CC BY
65
УДК 621.3
АЛГОРИТМ ПАРАМЕТРИЧЕСКОГО СИНТЕЗА ЭЛЕКТРОМАГНИТОВ
© 2010 г. Б.Н. Лобов
Южно-Российский государственный South-Russian State
технический университет Technical University
(Новочеркасский политехнический институт) (Novocherkassk Polytechnic Institute)
Предложен алгоритм параметрического синтеза оптимальных электромагнитов различных конструкций на заданные статические тяговые характеристики. Обосновывается необходимость разработки алгоритма, сходимость и единственность получаемого решения, возможность использования метода скользящего допуска.
Ключевые слова: алгоритм; оптимизация; электромагнит; тяговая характеристика; метод скользящего допуска.
Algorithm of a parameter synthesis of an optimum electromagnets of different construction to task static traction descriptions was presented. The necessary of algorithm development, tallying and onlying of receive solution, opportunity of use of the method of gliding tolerance are substantiating.
Keywords: algorithm; optivisation; electromagnet; traction description; method of gliding tolerance.
Практически все известные в настоящее время алгоритмы проектных расчётов электромагнитов (ЭМ) решают задачу синтеза ЭМ на заданное значение тягового усилия и рабочего воздушного зазора [1-7 и др.] и требуют доработки при проектировании на заданные тяговые характеристики. При этом именно последние часто определяют условия и режимы работы, а следовательно, и все выходные показатели электрического аппарата (надежность и долговечность, экономический эффект, технические показатели).
Отсутствуют универсальные алгоритмы, позволяющие проектировать ЭМ постоянного и переменного тока различных конструкций.
Ниже представлен алгоритм проектного оптимизационного расчета электромагнитов различных конструкций постоянного и переменного тока на заданную статическую тяговую характеристику или на заданное тяговое усилие при определенном значении рабочего воздушного зазора.
Задача параметрической оптимизации является классической задачей математического программирования и в формальной постановке представляется как: найти экстремум функции цели (критерия оптимальности) К, зависящего от переменных х1, х2,..., хп
еХг К(хьх2, ... хп). (1)
Математическая модель электромагнита ставит в соответствие любому набору значений Х(хь х2, ... хп) некоторое значение функции цели (критерия оптимальности) К(Х) и накладывает на переменные (X) ограничения, в общем случае имеющие вид нелинейных неравенств:
< < Ь (/' = 1,2,...,п); (2)
g, (X) > 0 (] = 1,2,...,т). (3)
Задача поиска оптимальных параметров состоит в нахождении оптимальной стратегии поиска и такого набора Х, который удовлетворяет неравенствам (2) и (3), т.е. находится в области допустимых решений D и обеспечивает экстремум критерия оптимальности:
К(X*) = ехИК(X); X е D. (4)
В качестве ограничений выступают функция, определяющая расхождение заданной и расчётной тяговой характеристики, а также минимальное и максимальное значения диапазонов изменения независимых переменных.
По [8] наиболее эффективными при решении задач оптимизации нелинейных функций при линейных и (или) нелинейных ограничениях являются методы: обобщенного приведённого градиента, скользящего допуска, нелинейного программирования, последовательной безусловной минимизации.
Сравнение возможностей указанных методов показывает, что при отсутствии ограничений-равенств (что имеет место в данном алгоритме) метод скользящего допуска требует немного большего числа шагов для достижения оптимума, чем остальные три. В то же время здесь не нужно находить производные, что существенно уменьшает затраты времени на их вычисление и исключает ошибки, связанные с такими вычислениями. Ещё одно важное преимущество метода скользящего допуска заключается в том, что в самом начале поиска удаётся получить существенный объём информации относительно К(Х) за счёт рассмотрения большого числа вершин деформируемого многогранника. При этом увеличивается вероятность того, что некоторые из найденных Хк), будут соответствовать локальному оптимуму, лучшему любого другого локального оптимума. Сказанное является основанием выбора метода скользящего допуска для организации алгоритма параметрического синтеза
электромагнитов. При использовании данного метода задачу (1) - (4) можно заменить более простой: найти ех^ К(Х), X е D при ограничении Фск№) - Т(Х) > 0.
Значение критерия скользящего допуска Ф, Ъм этапе поиска:
да
Положительно определённый функционал Т(Х) над множеством всех основных функций, задающих ограничения-неравенства:
на
T (X) = +
Фк) = min ^Ф
jk-1)
1 «н +1
Пн +1
У llx(k) - х(k)
Zj i лн+2
i=1
У Ug 2 (X)
j=1
0,5
Ф® = 2i„
Здесь V, = 0 при %(Х) > 0 и П, = 1 при ^(Х) < 0. Укрупненная структурная схема алгоритма приведена на рис. 1.
Рис. 1. Укрупненная структурная схема универсального алгоритма параметрического синтеза электромагнита
Алгоритм расчета строится следующим образом.
1. Ввод исходных данных (блок 1 на рис. 1).
Исходными данными для расчета являются значения, определяющие:
1) заданную статическую тяговую характеристику: р,51, i = 1, ..., np, 8 - погрешность получения заданной характеристики и других ограничений;
2) тип проектируемого привода и особенности его конструктивной схемы, например, tip = 11 - это электромагниты подвеса П-образного типа, 22 - «круглые» корпусосборочных устройств, 32 - электромагнитных вентилей переменного тока и т.д. Параметр tip определяет значения удельного сопротивления обмоточного провода и его температурного коэффициента, плотности материала провода обмотки, коэффициенты заполнения обмотки и магнитопровода, конструкцию обмотки: Ро , С , Уоб, кзоб , кзм и Z Для электромагнитов переменного тока задается количество ко-роткозамкнутых витков (от одного до трёх);
3) условия и режим работы электромагнита: U, ткзд, тд , reg=1 - длительный режим, когда начальное
значение J = 2 А/мм2 [7]; reg = 2 - кратковременный, когда значение J задается проектировщиком; reg = 3 -повторно-кратковременный, когда задается ПВ %; ограничения по ткзд и тд являются частными, их
выполнение осуществляется путём изменения соответственно параметров: къ, ав и J (рис. 1, блок 10);
4) вид критерия оптимальности: K= P/Q, K2= P/N, Кз= Ттр, K4= Ккр, K= Ц, K6=M, K7=V, K=N, а также значения AN Лц, где Ккр = ^M/Ммин +
+ A nN / ^
+ АцЦ/Цмин; P, Q, N, Гтр, Ц, М, V - рас-
чётная сила тяги, сила тяжести (вес), мощность, постоянная времени при отпущенном якоре, цена, масса и объём электромагнита; при оптимизации достигается максимум критериев К1 - К4 или минимум критериев К5 - К8;
5) материал магнитопровода; в общем случае детали магнитопровода могут быть выполнены из разных магнитомягких материалов. Вид материала задается параметрами mat1 - mat3 (якорь, сердечник, скоба), определяющими зависимости ц или рR и рX от
В, а также ум .
2. Выбор ветвей алгоритма (блок 2, рис. 1) осуществляется по параметрам n и tip. При n > 1 из заданной тяговой характеристики выбираются расчетные значения P и 5 по максимуму условной полезной работы Ауп = P 5 для электромагнитов постоянного тока
[2] и значения P и 5 , соответствующие притянутому положению якоря (5 = 0 - 0,3 мм) для электромагнитов переменного тока. Последнее связано с тем, что тяговая характеристика ЭМ переменного тока «пологая» и при отпущенном якоре практически всегда превышает механическую [1].
3. Определение начальных значений варьируемых (независимых) переменных (блок 3, рис. 1).
На основании результатов исследований автора [9] и литературных данных [1, 5, 8], задаются начальные значения В5 для ЭМ постоянного тока или амплитудное значение магнитной индукции на неэкра-нированной части полюса Вн для ЭМ переменного тока и относительные размеры:
1/, ,в=%
а =
& = a1/ а, рис. 2;
а1
d а
а1
V1
V2
б
Рис. 2. Эскизы электромагнитов корпусосборочных устройств: а - с прямоугольным; б - с круглым поперечным сечением магнитопровода
5
а
я
l
5
а
я
l
а
а =
П =
, v =
, рис. 3;
= Уй Д = , Рис. 4;
а = Yd' ß = %'Y =//, X = ^' Ä = ai'a, Рис. 5;
и =
а = У* в = ОЬ'^ = - /а
Задаются также при проектировании: электромагнитов корпусосборочных устройств (см. рис. 2) размер ая; броневых электромагнитов (см. рис. 3) размеры: кв, 5в,5кф,5кс; электромагнитов переменного
тока (см. рис. 5) - высота КЗ витка кв; электромагнитов подвеса - ширина феррорельса 2 а + й.
аф ~ . Авз
4
5
Рис. 3. Эскиз электромагнита броневого типа с внутренним воротничком
4. Определение начальных значений критерия оптимальности и ограничений начинается с расчёта превышения температуры КЗ витка ткз (блок 4, рис. 1).
5. Проверка превышения температуры КЗ витка
ткз< Ткзд.
6. Расчёт ограничения по превышению температуры нагрева обмотки т (блок 6, рис. 1). Здесь последовательно определяются размеры поперечного сечения полюса (для ЭМ постоянного тока), начальное приближение МДС обмотки, размеры обмоточного окна и другие размеры ЭМ (уточняется МДС обмотки путем расчёта магнитной цепи методом участков), обмоточные данные, мощность, потребляемая обмоткой.
Рис. 4. Эскиз электромагнита постоянного тока клапанного типа
6.1. Для электромагнитов постоянного тока определяются размеры поперечного сечения полюсов.
6.2. Начальное приближение МДС обмотки ¥*0) определяется по известному значению потока (произведение В5 на площадь поперечного сечения полюса) и вычисляемым здесь магнитным сопротивлениям воздушных зазоров. Падение МДС в стали магнитопровода учитывается вначале приближённо с помощью коэффициента
6.3. Определяются размеры обмоточного окна (I, й) и другие размеры ЭМ, при этом уточняется падение МДС в стали магнитопровода.
6.4. Вычисляется средний поток по высоте обмотки и эквивалентное магнитное сопротивление электромагнита.
6.5. Рассчитываются обмоточные данные.
6.6. Определяется мощность, потребляемая обмоткой электромагнита в длительном режиме
N = I Rп, среднее превышение температуры поверхности обмотки (по формуле Ньютона [2].
7. Проверяется выполнение неравенства т < тд (блок 7, рис. 1).
8. Рассчитывается статическая тяговая характеристика и критерий оптимальности (блок 8, рис. 1).
8.1. Магнитное сопротивление рабочего воздушного зазора 2тЬ определяется в зависимости от формы и размеров зазора.
8.2. Учитывая, что при увеличении рабочего воздушного зазора магнитный поток уменьшается, значение потока Ф§ уменьшается на 5 - 10 % по сравнению с рассчитанным в п. 4.10, и определяется значение ¥, соответствующее этому потоку.
8.3. Определяется ток и напряжение обмотки при
§; .
Ц = ¥ / (^л/2); и1 = 1Лб + ум^Фср | / л/2.
Проверяется условие [|и | - и] / и < 8, если оно не выполняется, значение Ф§ корректируется, и вычисления ¥, Ц, и повторяются.
3
/
ая ,, /^t
И и и и 'U 1
а1
Г0~~
a1
[ai
Рис. 5. Эскизы электромагнитов переменного тока: а - П-образного типа; б - Ш-образного типа
8.4.Тяговое усилие при отпущенном якоре: Р = 0,25
( 'Ф*1 V ^Л„ы
ЕЛ
шЪ у
db,
где для ЭМ клапанного типа (см. рис. 4) ^Л т5 = Л
шЪ'
для ЭМ П-образного типа (см. рис. 5, а) ЕЛшЪ = ■
Л
шЪ
2Л шЪк +Л шЪс
(см. рис. 3)
P = 0,5F
d Л
шЪ
1 12 ^ шо яр
db
1яр = 1я
1Л шЪ + 1 шо1я ^ 1 _ 1яЛ шв 2Л шв 1 | Л шЪ + 1шо1я Л шв Л шв у
Л шв 1 ^ ^шв*
8.5. Степень совпадения расчетной р1^-1 и заданной р1-3-1 тяговых характеристик зависит от конкретных значений вектора Х может быть определена пока-
-]2
зателем
Q (* ) = Е
1 P(p) (*)
2
для ЭМ Ш-образного типа (см. рис. 5, б) ^Лт5 =
2Л т5кЛ т5с
- ток тос для ЭМ с «внедряющимся» якорем
8.6. Рассчитывается значение критерия оптимальности, например, масса электромагнита М = Моб + Мм , где, например, для электромагнита П-образного типа (см. рис. 5, а)
Моб = 2Тоб^ [й (а + Ь ) + пй 20,25];
Мм = Ум Км [(2а + й ) (а + ая ) ь + аь (1 + 1Я )], для электромагнита Ш-образного типа (см. рис. 5, б)
Моб = Уоб Коб1 [2! (а + ь ) + 2 ], Мм = Умкзм [2аь (1 + 1я ) + ь (а + 2ая ) (а + й)].
Ъ
1
a
a
a
a
я
я
Ъ
1
я
Ъ
1
d
d
a
б
1=1
2
1
9. Продолжение алгоритма скользящего допуска: определение вершин исходного многогранника и соответствующих им значений критерия оптимальности и ограничения, выполнение нулевого, первого и т.д. этапов оптимизационного поиска, на каждом этапе проверка условия окончания расчёта: получено ли оптимальное значение критерия (путём сравнения значений, полученных на данном и предыдущем этапах вычислительного процесса).
Функционал Т(х) в рассматриваемой задаче имеет
вид:
T ( x) = +
'•н "И
£ и,( x - x mm)2+z и 2( x max - x )2+
i=1
+ U з(е - Q(X ))2
Сходимость предлагаемого алгоритма определяется тремя основными факторами: поведением функции цели в области определения, возможностями используемого метода оптимизации, вычислительными возможностями проектировщика.
Многочисленные исследования [5, 6, 9 - 11] поведения различных функций цели в области определения показали, что функции К1 - К8 являются одноэкс-тремальными с расположением экстремума внутри области или на её границе.
Указанное обстоятельство, возможность нахождения методом скользящего допуска не только локальных, но и глобального экстремума, а также результаты
решения конкретных оптимизационных задач, представленные в [11], доказывают сходимость и единственность разработанного алгоритма.
Литература
1. Гордон А.В., Сливинская А.Г. Электромагниты переменного тока. М., 1968. 200 с.
2. Гордон А.В., Сливинская А.Г. Электромагниты постоянного тока. М., 1960. 447 с.
3. Любчик М.А. Расчет и проектирование электромагнитов постоянного и переменного тока. М.; Л., 1959. 224 с.
4. Любчик М.А. Оптимальное проектирование силовых электромагнитных механизмов. М.,1974. 392 с.
5. Никитенко А.Г., Пеккер И.И. Расчет электромагнитных механизмов на вычислительных машинах. М., 1985. 275 с.
6. Никитенко А.Г. Проектирование оптимальных электромагнитных механизмов. М., 1974. 135 с.
7. Сахаров П.В. Проектирование электрических аппаратов. М., 1975. 560 с.
8. Химмельблау Д. Прикладное нелинейное программирование. М., 1975. 534 с.
9. Лобов Б.Н. Оптимизация электромагнитов переменного тока с втяжным якорем и стопом // Изв. вузов Электромеханика. 2002, № 2. С. 41 - 45.
10. Лобов Б.Н., Медведев В.В., Плахотин О.Б. Оптимизация магнитной системы контактора МК-201. // Вестн. Всесо-юз. науч-исслед. и проект.-констр. ин-та электровозостроения. Новочеркасск, 2006. № 1(50). С. 229 - 235.
11. Математическое моделирование и автоматизация проектирования тяговых электрических аппаратов / А.Г. Никитенко [и др.]; под ред. А.Г. Никитенко, В.Г. Щербакова. М., 1995. 610 с.
0.5
Поступила в редакцию 24 декабря 2009 г.
Лобов Борис Николаевич - канд. техн. наук. доцент кафедры «Электрические и электронные аппараты». Южно-Российский государственный технический университет (Новочеркасский политехнический институт). Тел. 79281386092.
Lobov Boris Nikolaevich - Candidate of Technical Sciences. assistant professor. department «Electric and electronic devices». South-Russian State Technical University (Novocherkassk Polytechnic Institute). Ph. 79281386092.
