Алгоритм оценки матрицы прямых затрат в модели анализа межотраслевых связей В. Леонтьева Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 681.5

АЛГОРИТМ ОЦЕНКИ МАТРИЦЫ ПРЯМЫХ ЗАТРАТ В МОДЕЛИ АНАЛИЗА МЕЖОТРАСЛЕВЫХ СВЯЗЕЙ В. ЛЕОНТЬЕВА

Дмитриенко Д.В., к.э.н., ФГБОУВПО «ГУМРФ имени адмирала С. О. Макарова», e-mail: kaf_osnipr@gumrf.ru Сахаров В.В., д.т.н., профессор, ФГБОУ ВПО «ГУМРФ имени адмирала С. О. Макарова», e-mail:_saharov_@rambler.ru, SaharovVV@

gumrf.ru

Чертков А.А., к.т.н., доцент, ФГБОУ ВПО «ГУМРФ имени адмирала С. О. Макарова», e-mail: chertkov51@mail.ru

Одной из важнейших задач экономики является определение способов анализа, необходимых для решения проблем взаимных связей при межотраслевых взаимодействиях и установления количественных соотношений макропеременных с отраслевыми переменными микроуровня в процессе производства.Модели В. Леонтьева "вход-выход" являются мощным инструмент для планирования производства, количественных оценок межотраслевых связей и эффективности их взаимного влияния на экономическую активность производственных процессов. Для работы с моделями требуется достоверная информация о процессах, происходящих в производственных системах, на основе которой определяются элементы матриц моделей, а также подробная информация о способах измерения объемов выпуска продукции и получения элементов векторов конечного спроса. Требуется также иметь определенные сведения о допущениях и ограничениях, в которых применяется модель. В частности, сведения, необходимые для правильного использования межотраслевых мультипликаторов в макро и микромоделях. В статье рассмотрен алгоритм оценки элементов матрицы прямых затрат в модели «затраты - выпуск» по данным измерений, с целью коррекции мультипликаторов в рыночных условиях. Приведены примеры оценки матрицы прямых затрат в моделях межотраслевых связей. Применение алгоритма оценки матрицы прямых затрат с использованием функций инструментария MATLAB позволяет восстановить матрицу прямых затрат, а при наличии стохастической составляющей в измерениях - получить наилучшие оценки, обеспечив минимум эвклидовой нормы в оценке ошибки. Учет ограничений, вызванных спецификой производства, позволяет существенно улучшить процесс оценки и получить более точную интерпретацию результатов.

Ключевые слова: модель, «затраты - выпуск», межотраслевые связи, матричный мультипликатор, оценка, алгоритм, матрицы прямых и полных затрат, левое деление, псевдоинверсия.

DIRECT COST MATRIX ESTIMATION ALGORITHM IN ANALYSIS MODEL OF

LINKGES VALERY LEONTIEV

Dmitrienko D., Ph.D., Admiral Makarov State University of Maritime and Inland Shipping, e-mail: kaf_osnipr@gumrf.ru SaharovV., Doctor of Technical Science, professor, Admiral Makarov State University of Maritime and Inland Shipping, e-mail: _saharov_@

rambler.ru, SaharovVV@gumrf.ru

Chertkov A., Ph.D., associate professor, Admiral Makarov State University of Maritime and Inland Shipping, e-mail: chertkov51@mail.ru

One of the most important tasks of the economy is to define ways of analysis necessary to address problems of mutual links with cross-sectoral interactions and the establishment of quantitative makroperemennyh with industry micro-variables in the manufacturing process. Leontiev model "entry-exit" are a powerful tool for production planning, quantitative evaluations of intersectoral linkages and efficiency of their mutual influence on economic activity ofproduction processes.Leontief's model "input-output" is a powerful tool for production planning, quantitative estimates of inter-industry linkages and the efficiency of their mutual influence on the economic activity of production processes. To work with models requires reliable information on processes in manufacturing systems on the basis of which are determined the elements of matrix models, as well as detailed information about how to measure the output and receiving elements of the vectors of final demand. You also need to have certain information about the assumptions and limitations in applying the model. In particular, the information necessary for proper use of interindustry multipliers at the macro and micro models. The article describes the algorithm for estimating the matrix elements of direct costs in a model "input - output" according to the measurements, with the purpose of correction multipliers in market conditions. Examples of evaluation matrix of direct costs in models of intersectoral linkages.Application of algorithm of the evaluation matrix direct costs using MATLAB Toolkit functions allows you to recover the matrix direct costs, and in the presence of stochastic component dimensions-get the best scores, ensuring minimum Euclidean norm in assessing the errors. Accounting constraints caused by specificity ofproduction, can greatly improve the evaluation process and get a more accurate interpretation of the results.

Keywords: model "input-output", interbranch relations, matrix multiplier, estimation, algorithm, matrix of direct and full costs, left division, pseudoinverse.

Введение

Для обеспечения надежного, устойчивого функционирования и развития флота, портов, предприятий водного транспорта в условиях рыночных отношений как сложных взаимосвязанных технико-экономических комплексов требуется разработка и практическое применение научно обоснованных решений, базирующихся на качественно новых технологиях, принципах организации и управления с применением математических моделей, методов оптимизации и моделирования [1]. Большую позитивную роль в развитии эффективных методов управления предприятиями водного транспорта могут сыграть производственные модели, широко применяемые как в нашей стране, так и за рубежом [2], [3]. Математические модели производственно-экономических процессов и систем позволяют в условиях устойчивого развития предприятий различных форм собственности осуществлять прогнозирование и производить количественные оценки принимаемых решений, без существенных затрат материальных средств на их получение [4], [5].

Количественный анализ в макро- и микроэкономике, моделирование сложных динамических процессов в экономических системах составляют одно из главных направлений развития современной экономической науки[6].Любое национальное хозяйство развивается

в сложной сети межотраслевых связей. Их изучение, построение экономико-математических моделей производятся на основе системного анализа, методов параметрической и структурной оценки, идентификации и оптимизации. Понятия и определения системы, модели, обратной связи, внешней среды, замкнутой и разомкнутой систем, целевой функции и другие, используемые в теории систем, целиком распространяются на экономические системы [7]. Экономико-математические модели, разработанные на их основе методы оптимизации, не только отвечают насущным потребностям экономической науки, но и играют роль важнейших ее составных элементов, позволяющих обеспечить в сложных условиях конкуренции наилучшие способы распределения ограниченных ресурсов для эффективной работы предприятий и отраслей народного хозяйства, с учетом динамики соответствующих секторов рынка [8], [9].

Одной из важнейших задач экономики является определение способов анализа, необходимых для решения проблем взаимных связей при межотраслевых взаимодействиях и установления количественных соотношений макропеременных с отраслевыми переменными микроуровня в процессе производства. Эта задача решается в экономике с помощью модели межотраслевого баланса В. Леонтьева. Связи между отраслями в модели устанавливаются с помощью ста-

тистических таблиц, называемых «межотраслевыми» и отражающих картину народнохозяйственной динамики за определенный период (как правило, 1 год). Таблицы межотраслевого баланса позволяют анализировать структуру потоков ресурсов [10]. В них отражена структура затрат (используемых ресурсов), необходимых для каждой отрасли, а также представлено распределение каждого вида продукции [11]. С помощью таблиц также устанавливаются балансовые соотношения для выпуска продукции и расходов отрасли.

Методыиматериалы

В модели В. Леонтьева допускается для каждой отрасли существование производственной функции с неизменным эффектом масштаба (затраты прямо пропорциональны выпуску) и с отсутствием взаимозаменяемости ресурсов. Существует несколько вариантов базовой модели межотраслевого баланса [12], [13]. Модель межотраслевого баланса обычно представляется матричным уравнением следующего вида:

x=Ax+F, (1)

где x - (пХ1)-мерный вектор, каждый г-й элемент которого есть объем выпуска отрасли x.; A-продуктивная неотрицательная квадратная матрицакоэффициентов прямых затрат размерности (nXn); F- вектор конечного спроса размерности (nX1), состоящий из положительных элементов. Если из вектора F в уравнении (1) выделить вектор импорта, то может быть получен вариант модели конкурентно-импортного типа, наиболее часто используемый в Японии. В других вариантах элементы x. могут быть сгенерированы с помощью наиболее подходящих производственных функций, например, функции Кобба-Дугласа, либо CES-функции и др. С этой целью соответствующая модель производственной функции должна «встраиваться» в модель В. Леонтьева [14].

Для продуктивной матрицы A и положительного вектора F уравнение (1) также имеет положительное решение

x=(l-A)-1 F,

где I-единичная матрица, В= (I-A)-1 - матрица коэффициентов полных затрат или матричный мультипликатор. Каждый элемент b.. матрицы Вопределяет потребность в валовом выпуске продукции отрасли . для производства единицы конечной продукции отрасли j. По сути, Ь.есть мультипликатор, показывающий эффект распространения спроса, первоначальным источником которого является спрос на конечную продукцию [15].

Наиболее трудоемкой частью анализа межотраслевых связей является получение коэффициентов прямых затрат a., или элементов матрицы A . В условиях рыночных процессов ценообразования и изменяющихся макроэкономических показателей производственные модели сохраняют достаточную степень адекватности лишь в течение определенного времени, и, следовательно,элементы матрицы коэффициентов прямых затрат A также изменяются. Поэтому при функционировании экономических систем в нестационарных режимах целесообразно периодически производить оценки коэффициентов прямых затрат по обобщенным показателям.Таковыми, в частности, могут быть матрицы X и Y, составленные из векторов x и F в результате многократных измерений. Для минимизации ошибки оценки коэффициентов эти матрицы должны быть прямоугольными с размерностью (mXn), где m>n.

Остановимся на этом вопросе более подробно.

Предположим, что экономическая система состоит из n отраслей, осуществляющих выпуск конкретной продукции. Каждая отрасль должна обеспечить свои потребности и потребности (n-1) других отраслей в своей продукции, используемой в качестве сырья этими отраслями. Выпускаемую и потребляемую продукцию в экономике целесообразно представлять в денежном выражении.

Предположим также, что в процессе функционирования системы по статистическим таблицам в различные моменты времени получены твекторов x( г) и F( г), ( г'=1,...,т), гдет>п. Для оценки коэффициентов матрицы прямых затрат необходимы измерения векторовx и у на интервалах отчетности, характеризующихся квазистационарными режимами производства.

Введем обозначения: I -единичная (пп)-матрица, « T » - знак транспонирования, W- информационная матрица, BES - оценка обратной матрицы Леонтьева, AES -оценка матрицы коэффициентов прямых затрат.

Вычислительную процедуру оценки реализуем по следующему алгоритму, обеспечивающему минимальную среднеквадратичную ошибку оценки коэффициентов:

1. Из измерений векторов x и усформируем прямоугольные матрицы X и Y, число строк которых должно превышать число столбцов:

Х=[х(1)х(2)... х(т)]т, У=[Д1) Д2) ... Дт)]т.

2. С помощью матрицы векторов конечного спроса определим информационную матрицу

№= (У *У). (2)

3. Используя вычисления, выполненные по пп. 1 и 2 алгоритма, получим оценку матричного мультипликатора - обратной матрицы Леонтьева размерности (и X и):

ВЕ=Хт*Г«Г1. (3)

4. Произведем оценку элементов матрицы прямых затрат по формуле

^=4^)1 (4)

5. Выполним оценки с помощью псевдоинверсии Мура -Пен-роуза и операции левого деления:

ВЕ51=р1пу(Г)*Х. (5)

В^=у\х. (6)

Как следует из алгоритма, процедурой оценки предусматривается работа с прямоугольными матрицами полного ранга. Заметим, что для систем полного ранга идентичный результат может быть получен с помощью других способов оценки, в частности, псевдоинверсии Мура-Пенроуза и операции левого деления. Их отличие от метода наименьших квадратов состоит в возможности получения практически важных результатов в случае необходимости использования прямоугольных матриц неполного ранга. При неполном ранге существует множество решений, из состава которых в современных вычислительных средах выделены особо оценки по формулам.(5) и (6). Для них характерны следующие важные свойства: норма ВЕЕ1 получается наименьшей в сравнении с любыми другими решениями; оценка ВЕу2 производится так, что в ВЕу2 содержится наименьшее число ненулевых компонент. Эти оценки целесообразно использовать в задачах высокой размерности, если число производителей продукции превышает 100 и более.

Результаты

Рассмотрим пример. Воспользуемся уравнением (1) и предположим, что п=3 и т=6 для выполнения вычислений по приведенным формулам (2), (3) и (4) составим скрипт-файл sah565с.m в среде Ма^ЛБ.

Будем считать, что по табличным данным, полученным для трех взаимодействующих отраслей, составлены матрицы У и X, согласно п. 1 алгоритма.Их значения приведены в файле. Вычислительные операции снабжены необходимыми комментариями. % Файл sah565c.m

% Файл для оценки матрицы коэффициентов прямых затрат Л по заданной

% матрице конечного спроса Y и матрице объемов выпуска X, соответствующей заданному % конечному спросу Т

% Исходные данные для оценки матрицы коэффициентов прямых затрат.

Y=[200 190 220 230 240 195;100 110 115 96 140 90;300 280 250 240 340 310]';

Х=[242.9627 233.8499 265.0627 271.0028 295.0563 235.9853;

189.9432 195.6903 203.2874 183.8727 246.4309 179.6274; 396.6903 372.5229 336.1452 321.3028 453.4393 407.8529]'; % Оценка обратной матрицы Леонтьева (матрицы коэффициентов полных затрат Б) % по пп.1-4 алгоритма: r=size(Y); р=г(2); W=Y'*Y

Бes=X'*Y*inv(W)

% Оценка Б методом псевдоинверсии Мура-Пенроуза (п.5): Бes1=(pinv(Y)*X)

% Оценка Б по алгоритму левого деления (п.5 алгоритма): Bes2=(Y\X)

% Оценка матрицы Л коэффициентов прямых затрат: Лes=eye(p)-inv(Бes) % Модельные значения матрицы X: Xm=Bes*Y';

% Оценка адекватности модельных и исходных данных матрицы X:

авК=Х-Хт'; % Эвклидова норма: e=norm(delt,2)

% Норма Фробениуса: e1=norm(delt,'fro')

В результате получены следующие оценки матриц:

1.0454 0.2132 0.0264 Bs = 0.2160 1.0620 0.1314 0.0410 0.1370 1.2609

0.0020 0.2017 0.0105 0.2004 0.0050 0.1016 0.0000 0.0995 0.1961

Xm =

242.9627 233.8499 265.0627 271.0028 295.0563 235.9853 189.9432 195.6903 203.2874 183.8727 246.4309 179.6274 396.6903 372.5229 336.1452 321.3028 453.4393 407.8529

Из расчетов следует, что при малом уровне помех в измерениях X и /элементы матрицы модели Х^и исходной матрицы Хпрактически совпадают. Идентичными получаются также оценки Bes, Besl и Bes2.

В качестве примера макроэкономической модели рассмотрим задачу оценки матрицы коэффициентов прямых затрат по измерениям векторов Y и X, согласно алгоритму, для семи отраслей японской экономики за 1980 г. по данным, приведенным в работе [15,с.168-171]. Секторами экономики являются:

1. Сельское, лесное и рыбное хозяйство.

2. Тяжелая промышленность.

3. Легкая промышленность.

4. Строительство.

5. Энергетика.

6. Транспорт и связь.

7. Услуги.

Исходные данные по семи отраслям японской экономики получены путем агрегирования официально опубликованного 43-отраслевого баланса и последующих расчетов коэффициентов прямых затрат. По приведенным данным для оценки А составлены матрицы Y и Xразмерности (11Ч7).В каждом столбце матрицы конечного спроса Y содержатся базовые значения величин конечного спроса, соответствующие приведенному выше перечню секторов экономики (ед. измерения-млрд. иен). Нумерация секторов соответствует нумерации столбцов. Аналогично, в каждом столбце матрицы Х приводятся объемы выпуска продукции соответствующими секторами экономики. Матрицы имеют вид:

Y =

89.0 31625 30634 49670 3077 15919 117240"

89.3 31826 31234 50125 3085 15729 118240

89.7 32424 31839 50339 3123 15823 121023

90.0 33125 32135 50496 3311 15739 122509

91.4 33928 32326 50971 3279 16120 123235

89.8 34237 32611 51311 3402 16431 124247

91.9 34787 32934 51429 3329 16642 126117

92.1 34832 32974 51476 3343 16688 126149

92.3 34889 32996 51512 3372 16732 126223

92.7 34912 33011 51586 3412 16924 126745

92.9 35011 33216 51599 3426 16988 126822

X =0

0.1627 0.1639 0.1666. 0.1691 0.1718 5 х 0.1733 0.1755 0.1757 0.1759 0.1763 0.9940

0.7799 0.7839 0.7986 0.8107 0.8248 0.8321 0.8426 0.8435

1.3824 1.3989 1.4211 1.4351 1.4485 0.5531 1.4625 0.5569 1.4761 1.4778

8731

0.8446 1.4794 0.8459 1.4827 5.2296 2.8600

0.5381 0.3504 0.4301

0.5429 0.3526 0.4302

9.5459 0.3579 0.4354

0.5480 0.3630 0.4373

0.3665 0.4442

0.3714 0.4500

0.5586 0.3741 0.4553

0.5591 0.3747 0.4560

0.5595 0.3754 0.4567

0.5604 0.3772 0.4597 2/0197

0.5915 0.8272 0.8320 3.0186

.8890 .9286 .9510 .9658 1.9827. 2.0096 2.0106 2.0121

Дальнейшие оценки выполнены по приведенному алгоритму. В результате получена матрица А:

0.1078 0.1645 0.0004 0.0012 0.0005 0.0000 0.0078

0.1156 0.2311 0.0433 0.1980 0.0035 0.0343 0.0439

0.0683 0.0980 0.4529 0.1935 0.3869 0.1435 0.0326

A = 0.0018 0.0011 0.0012 0.0003 0.0086 0.0026 0.0183

0.0346 0.0370 0.0647 0.0192 0.1630 0.1953 0.0236

0.0376 0.0440 0.0283 0.0612 0.0248 0.1125 0.0541

0.0666 0.1246 0.1173 0.1231 0.0655 0.1431 0.1494

Обсуждение

Элементы Аи=Аполностью совпадают с данными, приведенными в работе [15, с.168-171], что подтверждает корректность выполненных вычислений.

Таким образом, при малом уровне помех в измерениях X и Y с помощью предложенных соотношений (2).. .(6) можно практически восстановить матрицу прямых затрат по ее оценке Аш, а при наличии стохастической составляющей в измерениях - получить наилучшие оценки, обеспечив минимум эвклидовой нормы в оценке ошибки.

Заключение

Учет ограничений, вызванных спецификой производства, позволяет существенно улучшить процесс оценки и получить более точную интерпретацию результатов.Приводятся примеры, подтверждающие корректность и эффективность алгоритма, а также практическую направленность работы и возможность ее использования для повышения экономической эффективности объектов водного транспорта.

Литература:

1. Сахаров В.В. Модели и алгоритмы оптимизации технологических процессов на объектах водного транспорта в среде MATLAB: монография/ В.В. Сахаров, А.А. Кузьмин, А.А. Чертков. - СПб.: Изд-во ГУМРФ им. адм. С.О. Макарова, 2015. - 436 с.

2. Haimes Y.Y. In operability input-output model (IIM) for interdependent infrastructure sectors: Case study /Y.Y. Haimes, B.M. Horowitz, J.H. Lambert, J.R. Santos, K.G. Crowther, and C. Lian// Journal of Infrastructure Systems. - 2005. - Vol. 11. - No. 2. -Pp. 80- 92.

3. Kurz H.Input-Output Analysis from a wider perspective: a Comparison of the Early Works of Leontief and Sraffa./HKurz.andN. Salvadori //Economic Systems Research/ " 2006. " vol.12. - No. 4. -Pp. 373-390.

4. Гетьман, И. А. Решение экономических задач средствами электронных таблиц / И. А. Гетьман, В. Н. Черномаз. - Краматорск.: ДГМА, 2012. - 104 с.

5. Ten RaaThijs. Neoclassical growth accounting and frontier analysis: a synthesis /Thijs TenRaa, and P. Mohnen, // Journal of Productivity Analysis. - 2002. " Vol. 18. - Is. 2. - Pp. 111-128. DOI: 10.1023/A:1016558816247

6. Miller, R. E. Input-Output Analysis: Foundations and Extensions. 2nd edition /R. E.Miller, andP.D. Blair. " New York: Cambridge University Press, 2009. - 784 p.

7. Chaudhur S. An overview of business intelligence technology /S.Chaudhur,U.Dayal andV.Narasayya //Communications of the ACM.

- 2011. " Vol. 54. - No. 8. - Pp. 88"98.

8. Alc6ntara V. Key sectors in final energy consumption: an input-output application to the Spanish case / V.Alc6ntara and E. Padilla // Energy Policy. - 2003. - Vol. 31. - Is. 15. - Pp. 1673-1678.

9. Jiang P. Risk management for Leontief-based interdependent systems / P. Jiang, and Y. Y.Haimes // Risk Analysis. - 2004. - Vol. 24.

- No. 5. - Pp. 1215-1229.

10. Емельянов, А. А. Имитационное моделирование экономических процессов / А. А. Емельянов, Е. А. Власова, Р. В. Дума. М.: Финансы и статистика. "2002. - 368 с.

11. Кротов В. Ф. Основы теории оптимального управления. Учеб. пособие для экон. вузов / В.Ф. Кротов,Б.А.Лагоша,С.М. Лобанов и др. " М.: Высш. шк., 1990."430 с.

12. Luptбиik M.The Analysis of Eco-efficiency in an Input-Output Framework / M. Luptбиik, B. Bцhm// Paper presented at the Ninth European Workshop on Efficiency and Productivity Analysis (EWEPA IX), Brussels, June 29th to July 2nd, 2005.

13. Ten RaaThijs.The economics of input-output analysis /Thijs ten Raa. - New York: Cambridge University Press. - 2005. - 197 p.

14. Runkler T.A. Data Analytics: Models and Algorithms for Intelligent Data Analysis /T.A.Runkler. "Springer Vieweg London Limited, 2012. — 140 p.

15. Кубонива М. Математическая экономика на персональном компьютере / М. Кубонива, М. Табата,С. Табата,Ю.Хасэбэ. Под ред. М. Кубонива. " М.: Финансы и статистика, 1991.-304 с.

A. =