CC BY
21
УДК 004.94:519.6
В.В. ЖИХАРЕВИЧ, канд. фiз.-мат. наук, доц., ЧНУ
iM. Ю.Федьковича, Чертвщ,
К.П. ГАЗДЮК, асистент, ЧФ НТУ "ХШ", Чернiвцi
АЛГОРИТМ ВИЗНАЧЕННЯ СУС1ДНГХ ЕЛЕМЕНТ1В МНОЖИНИ РУХОМИХ КЛ1ТИННИХ АВТОМАТ1В ЗА УМОВ Ф1КСОВАНО1 К1ЛЬКОСТ1 СУС1Д1В
Розглянуто основн1 алгоритмы пошуку найближчих сусщв для безсггкових метсдав моделювання ф1зичних процеав. На основ1 проведено! аналоги рухомих частинок i3 рухомими клiтинними автоматами, запропоновано та дослщжено новий алгоритм пошуку сусiдiв за умов !х фжсовано! кiлькостi. На прикладах рiвномiрного та довiльного розпод1лу автоматов проiлюстровано запропонований алгоритм. 1л.: 8. Бiблiогр.: 9 назв.
Ключов1 слова: безсiтковий метод, рухомi кштинш автомати, алгоритм пошуку сусiдiв.
Постановка проблеми. 1снуе ряд задач, яш мають велике прикладне значения для моделювання взаемодп та деформацй' тш, протiкання рвдин, процесiв теплопередачi, астрофiзики тощо. З ростом продуктивностi комп'ютерно! технiки все бшьшо! популярностi для розв'язку таких задач набувають безсiтковi методи [1, 2], як1 апроксимують рiвияиия з частинними похiдиими, грунтуючись лише на иаборi вузлiв, без використання розрахунково! сiтки. В таких методах обов'язковим е визначення частинок, яш взаемодшть мiж собою, тобто поняття сусiдства частинок. 1снуе ряд алгорштшв визначення сусiдства довшьно! множини дискретних елемеитiв, як1 вiдрiзияються продуктившстю та об'емом використовуваних додаткових допом1жних ресурсiв. Зазвичай оптимальний вибiр того чи шшого алгоритму здiйсиюеться iз врахуванням особливостей модельовано! системи. Наприклад, при моделюваннi процесiв пластично! деформацй можна одноразово на початковому етат, згiдно задано! схеми сусiдства, визначити сусщв для вае! множини автомапв. Цю iнформацiю можна занести у допом1жний iндексний масив, вмiст якого буде незмшним впродовж процесу моделювання. Звичайно, наведений приклад е частковим випадком широкого спектру модельованих динамiчних систем. При моделюванш довiльно!' системи методом РКА можливi так1 змiщения окремих автомапв, при яких вони вийдуть за меж1 свого сусщства в околицю iншого. В цьому випадку необхвдно визначити нових сусiдiв. Iснуючi алгоритми пошуку сусiдiв передбачають можливiсть юнування довiльно!'
© В.В. Жихаревич, К.П. Газдюк, 2015
змшно! шлькосп сусщв для рiзних дискретних елеменпв. В той же час, очевидно, що в межах будь-яко! множини сусiдiв, можна видiлити шдмножину, взаeмодiя iз якою е визначальною, а вплив решти елементiв е несуттевим.
Аналiз лiтератури. Найпростiшим пiдходом до пошуку сусiдiв е повний перебiр всеможливих пар частинок, проте при збшьшенш кiлькостi частинок в 10 разiв затрати часу та ресурав на пошук сусiдiв збiльшаться у 100 р^в, що значною мiрою ускладнюе обчислювальний процес. При необхвдносп пошуку лише одного найближчого сусща зазвичай використовують метод кО-дерева [3], а також окто-дерева [4], у випадку сусiдства зпдно заданого радiусу взаемодп. Недолiком окто-дерев е !х iерархiчна структура даних, яка моделюе iерархiчну структуру процесiв. При значнш кiлькостi частинок виникае необхщшсть моделювання протiкання паралельних процесiв, i пошуку алгоритму для паралельних задач. В [5 - 7] описаш методи, як полягають в розбитп областi на комiрки нерухомою сггкою рiзноl розмiрностi в залежностi вщ поставлених задач. В останнi роки широкого застосування набули клiтиннi автомати (КА) [8] та рухомi клтшнш автомати (РКА) [9], як1 не мають жорстко! прив'язки до просторово! стацюнарно! решiтки та можуть набувати дов№них значень у просторi. Це дозволяе провести чгтку аналогiю iз безсiтковими методами моделювання.
Мета роботи. В данш роботi пропонуеться алгоритм пошуку сусщв, заснований на вде! фжсовано! кiлькостi сусiдiв (аналог фжсованш схемi сусiдства для класичних КА).
Реалiзацiя алгоритму. Вся множина автомапв нумеруеться (iндексуеться) i для кожного окремого КА вказуються iндекси його сусщв. Дал^ на кожному крощ взаемоди, яке передбачае зокрема i змiну координат КА, вiдбуваеться порiвняння вiдстаней до "вщдалених" сусiдiв (сусщв вибраного сусвда). Якщо деяка вщстань виявиться меншою за "ближнiй" максимум, то ближшм встановлюеться iндекс "вщдаленого" сусiда.
Кiлькiсть сусiдiв може бути дов№ною. Якщо автомати, що моделюють деяку систему, не взаемодшть один з одним, то суадство може бути ввдсутне взагалi (нульова шльшсть). I навпаки, якщо е необхвдтстъ органiзувати взаемодш кожного автомата зi всiею множиною одночасно, то шльшсть сусщв може дорiвнювати повнiй шлькосп автоматiв у системi мiнус один. Нехай, для прикладу, кожен автомат мае по шсть сусiдiв (рис. 1). На кожному крощ алгоритму обираеться зi вае1 множини один автомат (замальовано чорним
кольором) та визначаеться максимальна ввдстань до його сусщв (позначено пунктирним колом). Дат випадковим чином обираеться один iз сусiднiх автоматiв (замальовано сiрим кольором iз точкою), з яким по-перше, може бути органiзовано взаемодш, а по-друге, використовуючи його як автомат-посередник, ввдшуковуються iндекси та координати "вщдалених" сусiдiв (бiлi автомати, з'еднаш iз посередником пунктирними лiнiями).
Рис. 1. Схематичне зображення фрагменту множини рухомих клiтинних автомата, де чорним кольором замальовано обраний для взаемодй автомат, сiрим - його найближчi суади, а сiрим iз точкою - автомат-посередник для пошуку
"вiддалених" сусiдiв
Припустимо, що в системi вiдбулися деяк1 змiщення рухомих клтшнних автоматiв, як показано на рис. 2. В результат такого змщення, як видно iз рисунку, виявляеться, що деякий "вщдалений" сусвд стае ближчим до обраного автомата у порiвняннi iз максимально вщдаленим "ближнiм" сусiдом, радiус-вектор до якого описуе пунктирне коло. У нашому випадку к1льк1сть найближчих сусiдiв до будь-якого автомата е фжсованою, а отже необхвдно замiнити iндекс максимально вщдаленого "ближнього" сусiда на вдекс вiдповiдного "вiддаленого" сусiда, що потрапляе у межi пунктирного кола. Якщо таких автоматiв е дек1лька, обираеться найближчий з них.
Результата роботи описаного алгоритму зображено на рис. 3. Крiм того, тут зображено зм^ сусiдiв для автомата-посередника. Звичайно, для цього необх1дно, щоб автомат-посередник був обраний для взаемодй автоматом у подальших кроках ггерацшного циклу клiтинно-автоматних взаемодiй. Якщо порiвнювати рис. 2 та 3, то можна вiдмiтити зменшення радiус-векторiв, що визначають вiдстань м1ж обраними автоматами та максимально ввддаленими найближчими суадами.
Таким чином, очевидно, що при довшьному випадковому визначенш початкового стану допомiжного шдексного масиву сусiдства, в результатi роботи запропонованого алгоритму через певну шльшсть крок1в iтерацiйного циклу клiтинно-автоматних взаемодш, iндексний масив самовiльно впорядкуеться за принципом мшмально можливих ввдстаней мiж будь-яким автоматом та його найближчими сусiдами.
Рис. 2. Схематичне зображення деякого змщення координат у окот обраного автомата та автомата-посередника
О О О О О О О Р""~рГ\ 0 . о О (О Л. Хг^
о о Vb'.......чо о
о о о о о
Рис. 3. Схематичне зображення результата визначення нових сусiдiв для обраного автомата та автомата-посередника
Продемонструемо це на прикладах. Нехай маемо рiвномiрний розподiл сшичено! кшькосп рухомих автоматiв у деякому обмеженому просторi (рис. 4). Результат роботи запропонованого алгоритму зображено на рис. 5. Видно, що в центральнш частиш множини автоматiв мае мюце чiтке регулярне визначення сусiдiв, а у граничному шарi -деяке спотворення. На рис. 6, 7 наведено початковий та шнцевий стан зв'язшв м1ж сусiдами для випадкового розподiлу клiтинних автоматiв у простора
Рис. 4. Приклад випадкового початкового формування зв'язюв сусiдства для рiвномiрного розиодшу клгшнних автоматш у просторi
Рис. 5. Результат роботи алгоритму щодо впорядкування iндексного масиву сусiдства виходячи з критерш мiнiмальних вiдстаней до сусщв для рiвномiрного розиод1лу клiтинних автомапв у просторi
Рж. 6. Прикид витдкового почaткового формyвaння зв'язюв cyciдcтвa для вишдкового розподшу клиинник aвтомaтiв y проcторi
Риc. 7. Рсзулыш' роботи aлгоритмy щодо впорядкyвaння iндeкcного мacивy cyciдcтвa вюодячи з критсрш мiнiмaльниx вiдcтaнeй до cyciдiв для випaдкового розподшу клiтинниx aвтомaтiв y проcторi
Для оцiнки Aaroro aлгоритмy нaвeдeмо порiвняльнi xaрaктeриcтики зaлeжноcтi чacy нa пошук cyciдiв ввд кiлькоcтi чacтинок для мeтодy
повного перебору та запропонованого нами (рис. 8). Методи будемо реалiзовувати виходячи з критерш мшмальних вщстаней до сусщв.
ЙД -,---■-,->
о ¿вдо nw «ич
Рис. 8. Залежнiсть часу на пошук сусiдiв вiд кшькосл частинок. Метод повного перебору - пунктирна лшя. Алгоритм щодо впорядкування iндексного масиву сусiдства - суцшьна лшш
Звiсно, методи окто-дерев, хеш-таблиць та розглянутi в [5 - 7] також е досить ефективними та значною мiрою оптимiзують обчислювальний процес, проте однi з них е чутливими до нерiвномiрностi розподшу частинок [7], iншi потребують потужних та дорого вартiсних програмно-апаратних комплексiв. Запропонований нами пiдхiд позбавлений цих недолЫв.
Висновки. Реалiзовано алгоритм пошуку сусiдiв за умови гх фiксованоï кiлькостi шляхом введення допомiжного iндексного масиву сусiдства. Продемонстровано результати роботи алгоритму щодо впорядкування iндексного масиву суадства виходячи з критерш мшмальних вiдстаней до сусiдiв для рiвномiрного та випадкового розподiлу клггинних автоматiв у просторi.
Список л1тератури: 1. Афанасьев К.Е. Направления научных исследований кафедры ЮНЕСКО по новым информационным технологиям. Часть 2. Бессеточные методы / К.Е. Афанасьев, С.Н. Карабцев, Р.С. Макарчук, Т.С. Рейн // Вестник КемГУ. - 2013. -№ 3 (55). - Т. 2. - С. 27-55. 2. Gingold R.A. Smoothed Particle Hydrodynamics. Theory and Application to Nonspherical Stars / R.A. Gingold, J.J. Monahan. - Monthly Notices Royal Astr. Soc., 1977. - 181 p. 3. Moore A. An intoductory tutorial on kdtrees [Електронний ресурс] / Andrew W. Moore. - Режим доступу до ресурсу: http://www.autonlab.org/autonweb/ 14665/version/2/part/5/data/moore-tutorial.pdf?branch=main&language=en. 4. Потапов А.П. Численное моделирование высокоскоростных соударений деформируемых тел методом сглаженных частиц: дис. на соискание уч. степени канд. фiз.-мат. наук: спец. 05.13.18 "Мат. моделирование, численные методы и комплексы программ" / Потапов Антон Павлович. -Москва, 2009. - 107 с. 5. Хокни Р. Численное моделирование методом частиц / Р. Хокни, Дж. Иствуд. - М.: Мир, 1987. - 638 с. 6. Калюн В.А. Використання методу гщромехашки згладжених частинок для розвязання задач гщромехашки довюлля. / В.А. Калюн, 1.О. Бровченко, А.О. Кущан // Вюник Кшвського ушверситету. - 2007. - N° 4. - С. 77-83. 7. Афанасьев К.Е. Алгоритм поиска ближайших соседей в методе сглаженных частиц и его
параллельная реализация / К.Е. Афанасьев, Р.С. Макарчук, А.Ю. Попов. // Журнал "Вычислительные технологии". - 2008. - № 5. - С. 9-13. 8. Аладьев В.З. Класические однородные структуры. Клеточные автоматы. [Електронний ресурс] / В.З. Аладьев. - 2009. -Режим доступу до ресурсу: http://elib.grsu.by/katalog/134963-249078.pdf. 9. Добрынин С.А. Развитие метода подвижных клеточных автоматов для моделирования генерации и распространения упругих волн при контактном взаимодействии твердых тел: дис. на соискание уч. степени канд. фiз.-мат. наук спец. 01.02.04 - "Механика деформируемого твердого тела", 01.04.07 - "Физика конденсированного состояния" [Електронний ресурс] / Сергей Александрович Добрынин. - Томск, 2009. - Режим доступу до ресурсу: http://serg-dobrinin .narod .ru/disert/1 _title_15-12-2009.pdf
Bibliography (transliterated): 1. Afanas'ev K.E. Napravlenija nauchnyh issledovanij kafedry JuNESKO po novym informacionnym tehnologijam. Chast' 2. Bessetochnye metody / K.E. Afanas'ev, S.N. Karabcev, R.S. Makarchuk, T.S. Rejn // Vestnik KemGU. - 2013. - № 3 (55). - T. 2. - P. 27-55. 2. Gingold R.A. Smoothed Particle Hydrodynamics. Theory and Application to Nonspherical Stars / R.A. Gingold, J.J. Monahan. - Monthly Notices Royal Astr. Soc., 1977. - 181 p. 3. Moore A. An intoductory tutorial on kdtrees [Elektronnij resurs] / Andrew W. Moore. - Rezhim dostupu do resursu: http://www.autonlab.org/autonweb/ 14665/version/2/part/5/data/moore-tutorial.pdf?branch=main&language=en. 4. Potapov A.P. Chislennoe modelirovanie vysokoskorostnyh soudarenij deformiruemyh tel metodom sglazhennyh chastic: dis. na soiskanie uch. stepeni kand. fiz.-mat. nauk: spec. 05.13.18 "Mat. modelirovanie, chislennye metody i kompleksy programm" / Potapov Anton Pavlovich. - Moskva, 2009. - 107 p. 5. Hokni R. Chislennoe modelirovanie metodom chastic / R. Hokni, Dzh. Istvud. - M.: Mir, 1987. - 638 p. 6. Kalion V.A. Vikoristannja metodu gidromehaniki zgladzhenih chastinok dlja rozvjazannja zadach gidromehaniki dovkillja. / V.A. Kalion, I.O. Brovchenko, A.O. Kushhan // Visnik Kiïvs'kogo universitetu. - 2007. - № 4. - P. 77-83. 7. Afanas'ev K.E. Algoritm poiska blizhajshih sosedej v metode sglazhennyh chastic i ego parallel'naja realizacija /K.E. Afanas'ev, R.S. Makarchuk, A.Ju. Popov // Zhurnal "Vychislitel'nye tehnologii". - 2008. - № 5. - P. 9-13. 8.Alad'ev V.Z. Klasicheskie odnorodnye struktury. Kletochnye avtomaty. [Elektronnij resurs] / V.Z. Alad'ev. - 2009. - Rezhim dostupu do resursu: http://elib.grsu.by/katalog/134963-249078.pdf. 9. Dobrynin S.A. Razvitie metoda podvizhnyh kletochnyh avtomatov dlja modelirovanija generacii i rasprostranenija uprugih voln pri kontaktnom vzaimodejstvii tverdyh tel: dis. na soiskanie uch. stepeni kand. fiz.-mat. nauk spec. 01.02.04 - "Mehanika deformiruemogo tverdogo tela", 01.04.07 - "Fizika kondensirovannogo sostojanija" [Elektronnij resurs] / Sergej Aleksandrovich Dobrynin. - Tomsk, 2009. - Rezhim dostupu do resursu: http://serg-dobrinin.narod.ru/disert/1_title_15-12-2009.pdf
НадШшла (received) 10.08.2015
Статью представил д.т.н., проф. НТУ "ХПИ" Поворознюк А.И.
Zhikharevich Vladimir, PhD, Math-ph Yuriy Fedkovych Chernivtsi National University Str. Universytetska 28, Chernivtsi, Ukraine, 58012 tel./phone: (050) 254-21-73, e-mail: vzhikhar@mail.ru ORCID ID: 0000-0003-4882-2954
Gazdiuk Kateryna, master
Yuriy Fedkovych Chernivtsi National University
Str. Universytetska 28, Chernivtsi, Ukraine, 58012
tel./phone: (066) 491-47-42, e-mail: kateryna.gazdyik@gmail.com
