CC BY
17
В случае результативной работы каждого из Ь - 1 этапов, в качестве последнего члена последовательности получим да-вершинный полный граф. Этот результат означает получение положительного ответа на вопрос является ли представленный граф предфрактальным графом с непересекающимися «старыми» ребрами, образованным двумя полными затравками Н1 = (I и Н2 = (12, <2), где мощности вершин Ц = т, |12| = п, где процедура ЗВЗ производится на нечетных этапах затравкой Нх = (I <.), а на четных - Н2 = (|, 02).
Принципиальная распознаваемость исследуемого предфрактального графа О = (V, Е) вытекает из конструктивного описания алгоритма а и однозначности результатов его работы.
Рассмотрим вопрос о вычислительной сложности алгоритма а. В процессе реализации этапов алгоритма осуществляются следующие операции: определение степени вершины, выявление окрестности радиуса 1 для этой вершины, просмотр всех пар вершин графа на предмет смежности, выделение и окрашивание ребер. Так как эти операции выполняются в пределах одной затравки, то верхняя оценка этапа не превосходит совокупного количества ребер, выделенных и отмеченных в процессе работы этапа. Отсюда, справедлива теорема: Всякий предфрактальный граф О = (V, Е с двумя полными затравками распознается алгоритмом а, где смежность старых ребер не нарушается, с вычислительной трудоемкостью алгоритма т(а) < 0(|Е|Ь).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Горелик, А.Л. Методы распознавания [Текст]/ А.Л. Горелик, В.А. Скрипкин. -М.: 2004.
2. Емеличев, В.А. Лекции по теории графов [Текст]/В.А. Емеличев [и др.]. -М.: 1990.
3. Кочкаров, А.М. Распознавание фрактальных графов: Алгоритмический подход [Текст]/А.М. Кочкаров. -Нижний Архыз, 1998.
4. Мандельброт, Б. Фракталы, случай и финансы [Текст]/Б. Мандельброт. -М.: 2004.
5. Шредер, М. Фракталы, хаос, степенные законы [Текст]/М Шредер. -М.: 2005.
6. Мандельброт, Б. Фрактальная геометрия природы [Текст]/Б. Мандельброт. -М.: 2002.
УДК 669.5
А.Л. Рутковский, И.И. Болотаева, Т.А. Юрошева
алгоритм модифицированного симплексного поиска
В ЗАДАЧЕ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ ПАРАМЕТРАМИ ПРОцЕССА ЭЛЕКТРОЛИЗА цИНКА
Большинство технологических процессов в металлургии цветных металлов моделируются сложными, существенно нелинейными уравнениями, которые не могут быть линеаризованы путем функционального преобразования переменных, входящих в модель.
Задачи статистической оптимизации подобных процессов, возникающие при разработке и реализации АСУТП цветной металлургии, формально сводятся к параметрическому анализу
систем идентификации с антиинтуитивным поведением математической модели по данным измерений входных и выходных координат процесса [1] и последующего определения оптимальных значений входных переменных, обеспечивающих экстремум некоторого функционала. Такая постановка соответствует решению задачи математического программирования [2]:
F(a) = min. (1)
При ограничениях
o(x) < 0, i = 1, 2, ..., m
H (x) = 0, j = m + 1, ..., n,
(2)
(3)
где x - вектор входных управляемых переменных; F - критерий оптимальности; о. - функции ограничений типа неравенств; H - функции ограничений типа равенств.
Наиболее часто в практических задачах встречаются ограничения типа неравенств, которые учитывают максимально допустимые ограничения на измерения технологических режимов процесса.
Решение задачи оптимизации сводится к замене (1)-(3) к некоторым функционалам, содержащим штрафную функцию, что приводит к задаче последовательной безусловной минимизации [3].
Общим требованием к штрафной функции является ее рост по мере удаления за пределы границы допустимой области и выполнение условия:
lim Р(о. (x), M(x)) —> 0. (4)
В конце решения задачи (здесь PQ штрафная функция).
Для решения задачи математического программирования известно достаточно алгоритмов [3], однако только методы нулевого порядка являются достаточно простыми и надежными для реализации в задачах анализа систем с антиинтуитивным поведением в АСУТП, т. к. координаты объекта измеряются с погрешностями и вычисление производных сложных функционалов невязок с необходимой точностью невозможно.
Наиболее широкое распространение для этой цели получил последовательный симплексный поиск, первоначально созданный в связи со статистическим планированием эксперимента [4-6].
Нами использован модифицированный симплексный метод решения задачи нелинейного программирования [7].
Сущность метода заключается в том, что отраженная точка располагается на проектирующей прямой в положении, обеспечивающем минимум целевой функции в каждом цикле отражения, т. е. коэффициент отражения не является постоянной величиной, а определяется процедурой одномерной минимизации, исходя из требования опти-
мальности отраженной точки.
Следовательно, исходная задача сводится к решению последовательности задач одномерной минимизации:
R(x, а) = min,
(5)
что значительно проще.
При этом координаты отраженной точки определяют любым подходящим методом одномерной минимизации по а из процедуры:
xi0=x,* + a(x,* -
(6)
где х0 - координаты отраженной вершины, обеспечивающие (5); х* - координаты центра симплекса, без учета вершины, где целевая функция имеет наибольшее значение; х* - координаты вершины с наибольшим значением целевой функции; а - коэффициент отражения, параметр одномерной минимизации.
В разработанном алгоритме для определения а нами использован метод «золотого сечения» [3].
Для решения задачи (5), (6) предложена целевая функция, наиболее подходящая к процедуре последовательной безусловной минимизации [7]:
R(x) = F(x) + P(G,H) =
= F(x) + 7
п , , т
j=m+1
¿=1
'G(jc) + |G(JC)
(7)
где у > 0 - параметр, возрастающий по мере приближения к оптимуму.
Целевая функция такого вида удовлетворяет (4) и позволяет генерировать последовательность точек, среди которых могут быть как допустимые, так и недопустимые. Информация о значениях функции в недопустимой (2) и (3) области позволяет более точно определить направление движения оптимума и ускоряет сходимость. Очевидно, что при достаточно большом значении у в точке, обеспечивающей минимум (7), значение функции штрафа будет как угодно близко к нулю. Однако в начале поиска у не должно быть большим. В разработанном алгоритме точка окончания поиска при фиксированном у служит начальной точкой нового цикла при увеличенном его значении.
Алгоритм реализуется следующим образом.
Вычисляется значение целевой функции Я(хн) при фиксированной величине у = 10 для начальной точки поиска:
и
ХН {Х1Н Х2Н ..., Хпн}Г. (8)
Решение начинается с построения исходного регулярного симплекса с центром тяжести, совпадающим с начальной точкой. Вокруг этой точки можно построить бесчисленное множество регулярных симплексов. Нами использованы два способа ориентировки [3, 4].
При первом из них координаты вершин определяются следующим образом:
х = х „ + Еа , (9)
I] Н 1 ]
где х у - значение г переменной в ] вершине; Е -размер ребра симплекса,
_1_
/2|(» + 1)' г
2(1 + 1)'
при 7 — г — 1 < 0,
при у — 1 — 1 = 0, (10) при у - г" -1 > 0.
Во всех вершинах исходного симплекса определяется значение целевой функции и сравнивается с Я(хН).
Если окажется, что во всех вершинах значение функции больше, чем в центре симплекса, то строится новый симплекс вокруг той же начальной точки. При этом ребро симплекса уменьшается в соотношении золотого сечения до 0,62 от предыдущего, а симплекс переориентируется следующим образом:
20 + 1)' 1
при ] - г -1 < 0,
при 7—1 — 1 = 0,
2г(г +1)' 0, при у - г -1 > 0.
(11)
Такая процедура продолжается до тех пор, пока ребро симплекса не станет меньше заданного или отыщется точка, в которой значение функции меньше, чем в исходной точке.
В первом случае поиск считается законченным. Во втором - переходит к вычислению по (5), (6) координат новой вершины вместо той, в которой наибольшее значении функции.
Н2 БОд
, Г/ДМ
125
120
115
110
105
100
95
90
85
/у > * "" <
// \ f \
А // г V » я Ч XV N
У /у t V
Л/ /
/А у
БЬ= 1 зь = 2 мг,
мг'пм
дм
Мп= 1,2 г/дм
1- Со = 9 мг/дм
2-Со = 7 мг/дм"
3 - Со = 5 мг/дм"
100
ПО 120
130
140 2а, г/дм"
Сечение модели процесса при оптимальных значениях параметров
В ситуации, когда ребро симплекса еще больше заданного, а уменьшение функции цели незначительно (явление частое для функции со сложной топологией), в методе предусмотрено повторение процедуры поиска с ребром симплекса равным начальному, причем за исходную принимают точку, имеющую наименьшее значение целевой функции в последнем построением симплекса.
При значении ребра симплекса до заданных размеров цикл поиска заканчивается, и найденная точка служит исходной для нового поиска при
Yk = 10 ■ Yk+i.
(12)
Это ужесточает требование к соблюдению ограничений, которые будут выполняться в конце поиска с любой необходимой точностью. Общий поиск заканчивается при превышении параметром у заданной величины.
Разработанный алгоритм проверен на наборе тестовых функций [3, 4] и показал высокую точность достижения точки оптимума и большую скорость сходимости. Затраты машинного времени для наиболее сложных овражных тестовых функций четвертого порядка составляли несколько секунд. Это позволило применить разработанную методику для отыскания оптимальных параметров нейтрального раствора, подаваемого на электролиз в производстве цинка.
С этой целью использованы данные анализов усредненных значений содержаний Zn, Со, Мп, РЬ в нейтральном растворе и соответствующие им значения кислотности отработанного электролита, которые соответствовали всему возможному диапазону изменения этих параметров. Всего информационный массив содержал тридцать зна-
чений каждого параметра. Путем построения парных регрессий и анализа остатков была определена структура модели [8, 9], содержащая восемь неизвестных параметров.
Решением задачи минимизации суммы квадратов отклонений расчетных и истинных значений кислотности отработанного электролита получена модель
1 +10'045 + ОДЗМи - 0,002Мп2 + 0,0033— + 0,025РЬ /,-, .
сН80 =1001-О?-^-(13)
24 \1 2,61 + 0,0014(122,3 -гп)2
Модель обеспечивает среднеквадратичную ошибку адекватности 0,69 г/дм3 Н^04 при размахе 50 г/дм3, что говорит о ее высокой точности и возможности использования для расчета оптимальных параметров нейтрального раствора.
Поиск максимума выражения (13) с использованием штрафной функции типа (7) в области, ограниченной допустимым диапазоном изменения концентрации Со, Мп, РЬ и Zn, позволили определить, что максимум кислотности отработанного электролита С ^ = 127,7 г/дм3 (и, следовательно, максимальное значение извлечения цинка) достигается при концентрации Со = 4,4 мг/дм3, Мп = 12,09 г/дм3, РЬ = 1,07 мг/дм3, Zn = 123,3 г/дм3.
Полученные результаты позволяют сделать вывод о том, что при постоянной в среднем токовой нагрузке на процесс извлечения цинка оказывает влияние определенное сочетание параметров, а их заданная комбинация дает возможность оптимизировать процесс электролиза. На рисунке показано одно сочетание параметров модели (13), иллюстрирующее указанное положение.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Данилин, Л.А. Выбор структуры уравнений регрессии для описания процессов в аппаратах идеального перемешивания [Текст]/Л.А. Данилин, А.Л. Рутковский//Изв. вуз. Сер. Цветная металлур-гия.-1981.-№ 3.-С. 97-102.
2. Базара, М Нелинейное программирование [Текст]/М. Базара, К. Шотти//Теория и алгоритмы.-М.: Мир, 1982, 582 с.
3. Химмельблау, Д. Прикладное нелинейное программирование [Текст]/Д. Химмельблау .-М.: Мир, 1982.-584 с.
4. Дамбраускас, А.П. Симплексный поиск [Текст]/
А.П. Дамбраускас.-М.: Энергия, 1979.-175 с.
5. Spendley, W. Segmental application of simplex designs in optimization and evolutionary operation [TeKCT]/W. Spendley, G.R. Hext, F.R. Himsworth// Technimetrics.-1962.-Vol. 4.-№ 4.-P 441-461.
6. Mlder, I.A. Simplex method for function minimization [Текст]/ I.A. Mlder, R.A. Mead//The Computer Journal.-1965.-Vol 7.-№ 1.-P 307-313.
7. Салихов, З.Г. Системы оптимального управления сложными технологическими объектами [Текст]/ З.Г. Салихов, Г.Г. Арунянц, А.Л. Рутковский.-М.: Теплоэнергетик, 2004.-495 с.
8. Химельблау, Д. Анализ процессов статисти- 9. Сейдж, Э.П. Идентификация систем управ-
ческими методами [Текст]/Д. Химельблау.-М.: Мир, ления [Текст]/Э.П. Сейдж, Дж.Л. Мелса.-М.: Наука, 1973.-960 с. 1974.-248 с.
