CC BY
14
УДК 624.071.22
doi:io.2i685/2227-8486-2022-i-9
АЛГОРИТМ МОДЕЛИРОВАНИЯ НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ ИЗГИБНО-ЖЕСТКИХ НИТЕЙ
Д. А. Тарасов1, Н. Ю. Митрохина2, Е. В. Маньченкова3
1 2, 3 Пензенский государственный университет, Пенза, Россия 1 tarasov.denis.penza@gmail.com, 2 natenai@yandex.ru, 3 ekaterina.manchenkova@mail.ru
Аннотация. Актуальность и цели. Предложен алгоритм, реализующий метод компьютерного моделирования распределения напряжений и деформаций с учетом изгиб-ной жесткости в элементах. Материалы и методы. Исследования основаны на положениях сопротивления материалов и методах исследования математических моделей. Результаты. Проведен сравнительный анализ напряженно-деформированного состояния, определенного, с помощью проблемно-ориентированной системы компьютерного моделирования, реализующей предложенный алгоритм, и коммерческой системы компьютерного моделирования, реализующей метод конечных элементов. Выводы. Использование предложенного алгоритма позволит с большей точностью определять напряженно-деформированное состояние нитей, обладающих определенной изгибной жесткостью. Это даст возможность корректно решать задачи по расчету и конструированию, а также может привести к более широкому внедрению элементов, работающих в основном на растяжение и частично воспринимающих изгибающие моменты.
Ключевые слова: напряжения, деформации, изгибная жесткость, нить, алгоритм
Для цитирования: Тарасов Д. А., Митрохина Н. Ю., Маньченкова Е. В. Алгоритм моделирования напряженно-деформированного состояния изгибно-жестких нитей // Модели, системы, сети в экономике, технике, природе и обществе. 2022. № 1. С. 82-93. doi:10.21685/2227-8486-2022-1-9
ALGORITHM FOR MODELING THE STRESS-DEFORMED STATE OF BENDED-RIGID THREADS
D.A. Tarasov1, N.Yu. Mitrokhina2, E.V. Manchenkova3
1, 2, 3 Penza State University, Penza, Russia 1 tarasov.denis.penza@gmail.com, 2 natenai@yandex.ru, 3 ekaterina.manchenkova@mail.ru
Abstract. Background. An algorithm is proposed for modeling the distribution of stresses and strains, taking into account the bending stiffness in elements for which the design model is a thread. Materials and methods. The studies were carried out based on the provisions of the strength of materials and mathematical modeling. Results. There has been carried out a comparative analysis of the stress-strain state, determined using a problem-oriented software package that implements the proposed algorithm and a commercial computer modeling system that implements the finite element method. Conclusions. The use of the proposed algorithm will make it possible to determine the true stress-strain state of threads with a certain bending stiffness. This will allow to correctly solve the problems
© Тарасов Д. А., Митрохина Н. Ю., Маньченкова Е. В., 2022. Контент доступен по лицензии Creative Commons Attribution 4.0 License / This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.
of calculation and design, and can also lead to a wider introduction of elements that work mainly in tension and partially perceive bending moments.
Keywords: stresses, deformations, bending stiffness, thread, algorithm
For citation: Tarasov D.A., Mitrokhina N.Yu., Manchenkova E.V. Algorithm for modeling the stress-deformed state of bended-rigid threads. Modeli, sistemy, seti v ekonomike, tekhnike, prirode i obshchestve = Models, systems, networks in economics, technology, nature and society. 2022;(1):82-93. (In Russ.). doi:10.21685/2227-8486-2022-1-9
Введение
В настоящее время достаточно широко представлены методы по расчету несущих элементов механических систем [1], расчетной моделью которых является гибкая нить [2]. В качестве таких элементов выступают стальные канаты воздушных линий электропередач, контактных проводов электрифицированных железных дорог, кабель-кранов и канатных дорог [3-5]. Однако техническая сложность реализации опорных узлов и ограниченная доступность стальных канатов ведет к их замене горячекатаными профилями. Это особенно актуально для покрытий зданий и сооружений, где в качестве несущих конструкций часто используют криволинейные элементы, выполненные в виде стальных труб и двутавров, хорошо работающих как на растяжение, так и на изгиб [6]. Следовательно, для указанных элементов расчетная модель гибкой нити не позволит определить истинное напряженно-деформированное состояние (НДС), возникающее в результате внешнего воздействия [7, 8]. Таким образом, для определения реальных значений напряжений и деформаций необходимо рассматривать нить с учетом изгибной жесткости [9].
Цель данного исследования заключается в разработке алгоритма компьютерного моделирования, позволяющего моделировать НДС нитей, обладающих определенной изгибной жесткостью, реализация этого алгоритма в системе компьютерного моделирования.
Материалы и методы
Рассмотрим изгибно-жесткую нить пролетом l с упругоподатливыми опорами, расположенными на разных уровнях под углом ß, представленную на рис. 1. До приложения равномерно-распределенной нагрузки q нить имеет исходное очертание, описанное уравнением параболы y0(x). В результате действия нагрузки в нити возникают вертикальные перемещения u(x) и появляется распор H - горизонтальная составляющая растягивающего нить усилия [10].
Рис. 1. Расчетная модель изгибно-жесткой нити 83
Известно [11], что нить, имеющая определенную изгибную жесткость, является общим случаем гибкой нити, для которой уравнение равновесия в деформированном состоянии, имеет вид [12]
, ч МБ (x)
у(х) = —^, (1)
H
где МБ(х) - функция изгибающего момента в шарнирно опертой балке пролетом l от действия нагрузки q, Нм; И - распор, Н.
Выражение (1) представляет собой уравнение эпюры моментов с масштабом подобия 1/И в балке, имеющей тот же пролет, что и гибкая нить, и нагруженная точно так же.
Переписав выражение (1) следующим образом, получим уравнение моментов, взятое относительно произвольной точки с абсциссой х, расположенной на оси гибкой нити [13]:
МБ (х) - Иу(х) = 0. (2)
Поскольку нить гибкая, то момент в любой ее точке равен нулю. Для нити, обладающей изгибной жесткостью и способной воспринимать изгибающий момент, уравнение (2) примет вид
Мб (х) - Иу(х) = Мн (Н, х), (3)
где МН(И, х) - функция изгибающего момента в изгибно-жесткой нити, Н-м.
В уравнении (3) в параметры функции изгибающего момента, воспринимаемого нитью конечной жесткости, добавлен распор ввиду того, что он неизвестен на момент определения данной зависимости.
Момент, возникающий в изгибно-жесткой нити, можно определить с помощью приближенной теории изгиба прямолинейных брусьев [14]:
Мн (И, х) = Е/^и (И, х), (4)
ах
где Е - модуль упругости первого рода, Па; / - момент инерции сечения, м4; и(И,х) - функция прогиба, м.
Между изгибающим моментом и поперечной силой существует дифференциальная зависимость, так производная от изгибающего момента по абсциссе сечения нити равна поперечной силе [15]:
6н (И, х) = аМН (И, х). (5)
ах
Из расчетной модели, представленной на рис. 1 видно, что уравнение, описывающее конечную линию равновесия, имеет вид
У (х) = Уо(х) + и (И, х). (6)
После подстановки (4) и (6) в уравнение (3) последнее приобретет вид
и( И, х) - МБ (х) + И (у0(х) + и(И, х) ) = 0. (7)
Вследствие того, что определение изгибающего момента в шарнирно опертой однопролетной балке не вызывает затруднений, то уравнение (7) не будет иметь решения только до тех пор, пока не известен распор [16, 17]. В первом приближении значение распора следует принимать равное величине, полученной в результате расчета эквивалентной гибкой нити.
Внутренние усилия (изгибающий момент М^) и поперечная сила Qв(x)), возникающие при изгибе в однопролетной шарнирно опертой балке при действии равномерно-распределенной нагрузки, определяются по выражениям:
МБ (x) = -— x(x > 0) - q
x-i xd-2
l 2
t2
x > xd- -1+
+ <
x-i xd +-
x > xd +— I;
(8)
2б (x) = V (x > 0)
l
+ <
x - x.
x > xd- 21+
x -1 xd + 2
x > xd + 2
(9)
где d - ширина зоны приложения нагрузки, м; с - расстояние от центра зоны приложения нагрузки до опоры В, м; xd - абсцисса центра зоны приложения нагрузки, м.
Геометрическое место линии равновесия начального очертания изгиб-но-жесткой нити с достаточной степенью точности описывается квадратичной функцией:
>>o(x)=42° x2 - f x,
(10)
где ^ - первоначальная стрела провеса, м.
Получив решение дифференциального уравнения (7) относительно прогибов, воспользуемся условием неразрывности деформаций, являющимся вторым дополнительным уравнением, позволяющим найти истинное значение распора в изгибно-жесткой нити:
L0 + AL( H) = L( H),
(11)
где L0 - начальная длина, м; ЛЦЯ) - упругая деформация, м; L(H) - конечная длина, м.
Длина нити до приложения нагрузки равна
(((x) - xtgP)) I dx.
(12)
Под нагрузкой нить удлиняется на величину
Н г
Щ Н) = — |
ЕЛ{
1 + | &(х)-Нн(Н,х) + 1§р
ёх,
(13)
где Л - площадь поперечного сечения, м2.
Конечная длина определяется по выражению:
I - 2 н к
ДН) = |
1+
ёх
(у(х) - х1ф) I ёх,
(14)
где к - жесткость упругоподатливых опор, Н/м.
После того как определены все члены уравнения неразрывности деформаций, необходимо проверить данное условие. Если условие не выполняется, то расчет дифференциального уравнения (7) следует повторить. Расчет ведется методом последовательных приближений, и итерационный процесс заканчивается только тогда, когда условие неразрывности деформаций (11) выполняется.
Далее появляется возможность определить растягивающее продольное усилие. Из рис. 1 видно, что в любой точке по длине нити конечной жесткости растягивающее продольное усилие равно сумме проекций балочной поперечной силы и распора на касательную к линии конечного очертания. Математически это записывается так:
Т (х) = QБ (х) 8т а( х) + Н ео8 а( х),
(15)
где а(х) - угол между касательной в произвольной точке к линии конечного очертания изгибно-жесткой нити и осью абсцисс.
Тригонометрические функции угла между касательной в произвольной точке к линии конечного очертания изгибно-жесткой нити и осью абсцисс определяются по выражениям:
8т а( х) = -
ё_
ёх
(у(х) - )
оо8 а( х) =
1+| ёх (х) - *8Р) 1
1+( ёх (х) - х§р)]
(16)
(17)
Как только найдены продольное усилие и момент, возникающие в изгибно-жесткой нити, можно определить нормальные напряжения. Минимальные нормальные напряжения:
Д х) =
Т (х)
М н (Н, х)
Ж
(18)
где Ж - осевой момент сопротивления сечения, м .
Максимальные нормальные напряжения:
°max( x)
T (x) A
MH(H,x)
W
(19)
Общая последовательность действий при определении НДС нитей, обладающих определенной изгибной жесткостью, представлена в форме алгоритма на рис. 2 и реализована с помощью численных схем решения в проблемно-ориентированной системе компьютерного моделирования [18].
Рис. 2. Алгоритм моделирования напряженно-деформированного состояния изгибно-жестких нитей
Результаты исследования
С целью верификации предложенного алгоритма выполним сравнительный анализ НДС изгибно-жесткой нити с заданными физическими и геометрическими параметрами. Искомые напряжения и деформации определим в результате моделирования, проведенного с помощью проблемно-ориентированной системы компьютерного моделирования [18], реализующей разработанный алгоритм, а также коммерческой системы компьютерного моделирования, основанной на методе конечных элементов.
Объектом исследования для задачи верификации явилась изгибно-жесткая нить, представляющая собой стальную трубу с наружным диаметром 0,55 м и толщиной стенки 0,025 м, пролетом I = 12 м, закрепленная на упруго-податливых опорах с жесткостью к = 100 000 кН/м, испытывающая равномерно-распределенную нагрузку д = 341,27 кН/м на половине пролета d = 6 м, хЛ = 9 м. Хорда, соединяющая точки крепления А и В, располагалась под углом в = 5 град. Первоначальная стрела провеса в середине пролета /0 = 1 м. Нагрузка, вызывающая начальное очертание, отсутствовала.
В качестве коммерческой системы компьютерного моделирования, реализованной на методе конечных элементов, использовался программный комплекс ЛИРА версии 10.8 релиз 3.6. Моделирование нити с учетом изгиб-ной жесткости велось с помощью геометрически нелинейного конечного элемента - стержня сильного изгиба (тип 309). Упруго-податливые опоры задавались одноузловыми конечными элементами упругой связи по направлению глобальной оси X (тип 56). Метод приложения назрузки представлял собой автоматический выбор шага с поиском новых форм равновесия.
На рис. 3-5 представлены в графическом виде результаты моделирования с использованием эпюр, показывающих распределение нормальных напряжений и вертикальных перемещений в зависимости от значения абсциссы пролета изгибно-жесткой нити.
Рис. 3. Эпюра нормальных напряжений аш{п: а - метод конечных элементов; б - предложенный алгоритм
Напряжения о max (МПа)
41.049 116.55 192.04 267.54 343.04 418.54
П К Л И PA
а)
5001---
.417.2.
400---
17 maiiW 300 ---
б)
Рис. 4. Эпюра нормальных напряжений ошах: а - метод конечных элементов; б - предложенный алгоритм
а)
б)
Рис. 5. Эпюра вертикальных перемещений: а - метод конечных элементов; б - предложенный алгоритм
В табл. 1 отражены основные критерии оценки НДС изгибно-жесткой нити, полученного в результате моделирования предложенным алгоритмом и МКЭ.
Таблица 1
Сопоставление результатов моделирования
Критерий оценки Предложенный алгоритм МКЭ Расхождение значений, %
Нормальные напряжения ст1п(х), МПа -344,02 -343,09 0,27
Нормальные напряжения отах(х), МПа 417,2 418,54 0,32
Прогиб и(х), мм -75,8 -77,99 2,81
Из табл. 1 видно, что значения, полученные с помощью предложенного алгоритма, хорошо согласуются с величинами напряжений и деформаций определенными с помощью общепризнанного метода конечных элементов и их расхождение не превышает 5 %, что является хорошим показателем для инженерных расчетов.
Заключение
В статье представлены результаты комплексного исследования научно-технической проблемы расчета распределения напряжений и деформаций с учетом определенной изгибной жесткости нити при действии распределенной нагрузки с применением современной технологии математического моделирования и вычислительного эксперимента. В результате исследования предложен алгоритм, использование которого позволяет определить истинное НДС нитей, обладающих определенной изгибной жесткостью. Это дает возможность корректно решать задачи по расчету и конструированию, а также может привести к более широкому внедрению элементов, обеспечивающих общую прочность механических систем и работающих в основном на растяжение с частичным восприятием изгибающих моментов.
Список литературы
1. Тарасов Д. А., Коновалов В. В., Зайцев В. Ю. Конструкция защитного сооружения от удара для железнодорожных переездов // Региональная архитектура и строительство. 2014. № 1. С. 111-117.
2. Кужахметова Э. Р. Методы расчета вант и вантовых конструкций // Вестник Белгородского государственного технологического университета им. В. Г. Шухова. 2019. № 2. С. 39-48. ао1:10Л2737/ай1с1е_5с731с07Ьа7858.43737360
3. Тарасов Д. А. Комплекс программ моделирования напряженно-деформированного состояния стальных канатов // XXI век: итоги прошлого и проблемы настоящего плюс. 2013. № 12. С. 114-120.
4. Кужахметова Э. Р. Напряженно-деформированное состояние цилиндро-плитно-вантового покрытия здания (сооружения) с различными формами наружного опорного контура // Строительная механика инженерных конструкций и сооружений. 2020. Т. 16, № 2. С. 95-110. ^10.22363/1815-5235-2020-16-2-95-110
5. Тарасов Д. А. Комплекс программ моделирования работы стальных канатов при действии поперечной динамической нагрузки // XXI век: итоги прошлого и проблемы настоящего плюс. 2015. № 2. С. 48-55.
6. Сафронов В. С., Доманова Ю. А. Нелинейный статический анализ висячего трубопроводного перехода на действие вертикальной временной нагрузки // Научный вестник Воронежского государственного архитектурно-строительного университета. Строительство и архитектура. 2014. № 3. С. 118-127.
7. Тарасов Д. А., Коновалов В. В., Данилов А. Л., Бобылев А. И. Определение области несущей способности гибкой нити при действии поперечного удара //
XXI век: итоги прошлого и проблемы настоящего плюс. 2021. Т. 10, № 2. С. 40-43. doi:10.46548/21vek-2021-1054-0007
8. Тарасов Д. А., Митрохина Н. Ю., Эркебаев Э. М. Алгоритм моделирования поведения вращающейся гибкой нити в упругопластическом состоянии // Модели, системы, сети в экономике, технике, природе и обществе. 2021. № 1. С. 107-118. doi:10.21685/2227-8486-2021-1-9
9. Кауров П. В., Тимофеев А. А. Новый способ определения перемещений стержня малой жесткости при продольно-поперечном изгибе // Известия Петербургского университета путей сообщения. 2011. № 1. С. 163-171.
10. Тарасов Д. А., Семенов Д. Ю. Математическое моделирование напряженно-деформированного состояния гибких нитей с учетом физической нелинейности // Модели, системы, сети в экономике, технике, природе и обществе. 2017. № 3. С. 175-185.
11. Петрова Ю. Н., Вакулюк В. С., Афенченко Д. С., Катанаева Ю. А. Исследование границ применимости некоторых расчетных формул сопротивления материалов // Математическое моделирование и краевые задачи : материалы XI Всерос. науч. конф. с международным участием : в 2-х т. (Самара, 27-30 мая 2019 г.). Самара : Самарск. гос. техн. ун-т, 2019. С. 140-143.
12. Тарасов Д. А., Липов А. В., Ирышков А. М. Исследование влияния пластических деформаций при моделировании напряженно-деформированного состояния гибкой нити // Модели, системы, сети в экономике, технике, природе и обществе. 2020. № 1. С. 98-110. doi:10.21685/2227-8486-2020-1-8
13. Тарасов Д. А., Большаков Г. С., Коновалов В. В., Ирышков А. М. Оценка влияния конструктивной нелинейности при моделировании работы гибкой нити // XXI век: итоги прошлого и проблемы настоящего плюс. 2020. Т. 9, № 2. С. 117-123. doi:10.46548/21vek-2020-0950-0022
14. Аверин А. Н. Малые колебания жесткой нити вблизи статического положения равновесия // Строительная механика и конструкции. 2018. № 2. С. 53-66.
15. Тарасов Д. А., Коновалов В. В., Данилов А. Л. Определение частоты вращения гибкой нити с учетом физической нелинейности при заданных допустимых напряжениях и деформациях // XXI век: итоги прошлого и проблемы настоящего плюс. 2020. Т. 9, № 4. С. 10-14. doi:10.46548/21vek-2020-0951-0001
16. Виселева Ю. О., Глыбина Е. В. Расчет жесткой нити методом Бубнова - Галер-кина // Избранные доклады 60-й университетской научно-технической конференции студентов и молодых ученых, Томск, 24-25 апреля 2014 года. Томск : Томск. гос. архитектурно-строительный ун-т, 2015. С. 412-415.
17. Захарова Л. В., Александровский М. В. Об алгоритме вариационного метода для расчета упругой непологой нити с учетом изгибной жесткости // Вестник Белгородского государственного технологического университета им. В. Г. Шухова. 2017. № 10. С. 84-89. doi:10.12737/article_59cd0c5bd4bef4.35068893
18. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2020667618 Российская Федерация. Программа моделирования работы изгибно-жестких нитей в упругопластическом состоянии при воздействии статических и динамических нагрузок : № 2020667024 : заявл. 18.12.2020 : опубл. 25.12.2020 / Д. А. Тарасов, П. А. Косяков, А. Л. Данилов, О. Л. Шаповал ; заявитель Закрытое акционерное общество «Центр специальных инженерных сооружений научно-исследовательского и конструкторского института радиоэлектронной техники» (ЗАО «ЦеСИС НИКИРЭТ»).
References
1. Tarasov D.A., Konovalov V.V., Zaytsev V.Yu. Construction of protective equipment against impact for railway crossings. Regional'naya arkhitektura i stroitel'stvo = Regional architecture and construction. 2014;(1):111-117. (In Russ.)
2. Kuzhakhmetova E.R. Methods of calculation of shrouds and cable-stayed structures. Vestnik Belgorodskogo go sudarstvennogo tekhnologicheskogo universiteta im. V.G. Shukhova =
Bulletin of Belgorod State Technological University named after V. G. Shukhov. 2019;(2):39-48. (In Russ.). doi:10.12737/article 5c73fc07ba7858.43737360
3. Tarasov D.A. Complex of programs for modeling the stress-strain state of steel ropes. XXI vek: itogi proshlogo i problemy nastoyashchego plyus = XXI century: results of the past and problems of the present plus. 2013;(12):114—120. (In Russ.)
4. Kuzhakhmetova E.R. Stress-strain state of a cylindrical-plate-cable-stayed covering of a building (structure) with various forms of an external support contour. Stroitel'naya mekhanika inzhenernykh konstruktsiy i sooruzheniy = Construction mechanics of engineering structures and structures. 2020;16(2):95-110. (In Russ.). doi: 10.22363/ 1815-5235-2020-16-2-95-110
5. Tarasov D.A. A set of programs for modeling the operation of steel ropes under the action of a transverse dynamic load. XXI vek: itogi proshlogo i problemy nastoyash-chego plyus = XXI century: results of the past and problems of the present plus. 2015;(2):48-55. (In Russ.)
6. Safronov V.S., Domanova Yu.A. Nonlinear static analysis of a hanging pipeline transition to the action of a vertical time load. Nauchnyy vestnik Voronezhskogo gosudar-stvennogo arkhitekturno-stroitel'nogo universiteta. Stroitel'stvo i arkhitektura = Scientific Bulletin of the Voronezh State University of Architecture and Construction. Construction and architecture. 2014;(3):118-127. (In Russ.)
7. Tarasov D.A., Konovalov V.V., Danilov A.L., Bobylev A.I. Determination of the carrying capacity of a flexible thread under the action of a transverse impact. XXI vek: itogi proshlogo i problemy nastoyashchego plyus = XXI century: results of the past and problems of the present plus. 2021;10(2):40-43. (In Russ.). doi:10.46548/21vek-2021-1054-0007
8. Tarasov D.A., Mitrokhina N.Yu., Erkebaev E.M. Algorithm for modeling the conduct of a rotating flexible thread in an elastic-plastic state. Modeli, sistemy, seti v ekonomike, tekhnike, prirode i obshchestve = Models, systems, networks in economics, technology, nature and society. 2021;(1): 107-118. (In Russ.). doi: 10.21685/22278486-2021-1-9
9. Kaurov P.V., Timofeev A.A. A new method for determining the displacements of a rod of low rigidity in longitudinal-transverse bending. Izvestiya Peterburgskogo universiteta putey soobshcheniya = News of the St. Petersburg University of Railway Transport. 2011;(1):163-171. (In Russ.)
10. Tarasov D.A., Semenov D.Yu. Mathematical modeling of the stress-strain state of flexible filaments taking into account physical nonlinearity. Modeli, sistemy, seti v ekonomike, tekhnike, prirode i obshchestve = Models, systems, networks in economics, technology, nature and society. 2017;(3):175-185. (In Russ.)
11. Petrova Yu.N., Vakulyuk V.S., Afenchenko D.S., Katanaeva Yu.A. Investigation of the limits of applicability of some calculated formulas of resistance of materials. Ma-tematicheskoe modelirovanie i kraevye zadachi: materialy XI Vseros. nauch. konf. s mezhdunarodnym uchastiem: v 2-kh t. (Samara, 27-30 maya 2019 g.) = Mathematical modeling and boundary value problems : materials of the XI All-Russian Scientific Conference with international participation : in 2 vols. (Samara, May 27-30, 2019). Samara: Samarsk. gos. tekhn. un-t, 2019:140-143. (In Russ.)
12. Tarasov D.A., Lipov A.V., Iryshkov A.M. Investigation of the influence of plastic deformations in modeling the stress-strain state of a flexible thread. Modeli, sistemy, seti v ekonomike, tekhnike, prirode i obshchestve = Models, systems, networks in economics, technology, nature and society. 2020;(1):98-110. (In Russ.). doi:10.21685/2227-8486-2020-1-8
13. Tarasov D.A., Bol'shakov G.S., Konovalov V.V., Iryshkov A.M. Evaluation of the influence of constructive nonlinearity in modeling the work of a flexible thread. XXI
vek: itogi proshlogo i problemy nastoyashchego plyus = XXI century: results of the past and problems of the present plus. 2020;9(2):117-123. (In Russ.). doi:10.46548/ 21vek-2020-0950-0022
14. Averin A.N. Small oscillations of a rigid thread near the static equilibrium position. Stroitel'naya mekhanika i konstruktsii = Construction mechanics and structures. 2018;(2):53-66. (In Russ.)
15. Tarasov D.A., Konovalov V.V., Danilov A.L. Determination of the rotation frequency of a flexible thread taking into account physical nonlinearity at given permissible stresses and deformations. XXI vek: itogi proshlogo i problemy nastoyashchego plyus = XXI century: results of the past and problems of the present plus. 2020;9(4): 10-14. (In Russ.). doi:10.46548/21vek-2020-0951-0001
16. Viseleva Yu.O., Glybina E.V. Calculation of rigid thread by Bubnov - Galerkin method. Izbrannye doklady 60-y universitetskoy nauchno-tekhnicheskoy konferentsii studentov i molodykh uchenykh, Tomsk, 24-25 aprelya 2014 goda = Selected reports of the 60th University Scientific and Technical Conference of Students and Young Scientists, Tomsk, April 24-25, 2014. Tomsk: Tomsk. gos. arkhitekturno-stroitel'nyy un-t, 2015:412-415. (In Russ.)
17. Zakharova L.V., Aleksandrovskiy M.V. On the algorithm of the variational method for calculating elastic non-elastic thread taking into account bending stiffness. Vestnik Belgorodskogo gosudarstvennogo tekhnologicheskogo universiteta im. V. G. Shukhova = Bulletin of the Belgorod State Technological University named after V. G. Shukhov. 2017;(10):84-89. (In Russ.). doi:10.12737/article 59cd0c5bd4bef4.35068893
18. Certificate of state registration of the computer program No. 2020667618 Russian Federation. Program for modeling the work of flexural-rigid filaments in an elastic-plastic state under the influence of static and dynamic loads. No. 2020667024; appl. 18.12.2020; publ. 25.12.2020. D.A. Tarasov, P.A. Kosyakov, A.L. Danilov, O.L. Shapoval; applicant Closed Joint Stock Company "Center for Special Engineering Structures of the Research and Design Institute of Radioelectronic Equipment" (CJSC "CeSIS NIKIRET"). (In Russ.)
Информация об авторах /Information about the authors
Денис Александрович Тарасов
кандидат технических наук, доцент кафедры автоматизированных систем безопасности,
Пензенский государственный университет
(Россия, г. Пенза, ул. Красная, 40) E-mail: tarasov. denis.penza@gmail. com
Denis A. Tarasov
Candidate of technical sciences, associate professor of the sub-department of automated security systems, Penza State University (40 Krasnaya street, Penza, Russia)
Наталья Юрьевна Митрохина
кандидат технических наук, доцент кафедры теоретической и прикладной механики и графики, Пензенский государственный университет
(Россия, г. Пенза, ул. Красная, 40) E-mail: natena1@yandex.ru
Natalia Yu. Mitrokhina
Candidate of technical sciences,
associate professor of the sub-department
of theoretical and applied mechanics
and graphics,
Penza State University
(40 Krasnaya street, Penza, Russia)
Екатерина Вячеславовна Маньченкова Ekaterina V. Manchenkova
магистрант, Master degree student,
Пензенский государственный Penza State University
университет (40 Krasnaya street, Penza, Russia) (Россия, г. Пенза, ул. Красная, 40) E-mail: ekaterina.manchenkova@mail.ru
Авторы заявляют об отсутствии конфликта интересов / The authors declare no conflicts of interests.
Поступила в редакцию/Received 27.12.2021 Поступила после рецензирования/Revised 16.02.2022 Принята к публикации/Accepted 04.03.2022
