Математическое моделирование напряженно-деформированного состояния стальных канатов Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

УДК 624.071.22:531.011

Д. А. Тарасов, В.В. Коновалов, В.Ю. Зайцев МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ СТАЛЬНЫХ КАНАТОВ

Предложен метод математического моделирования напряженно-

деформированного состояния стальнъа канатов. Представлена математическая модель, реализованная в виде листинга математического пакета МаЛСАБ. Особенностью модели является возможность учитывать большие стрелы провеса начального очертания стальных канатов. Рассмотрен пример и проведен сравнительный анализ напряженно-деформированного состояния, полученного разнъгми методами расчета.

Стрела провеса, канат, нить, усилия, перемещения

D.A. Tarasov, V.V. Konovalov, V.Y. Zaitsev MATHEMATICAL MODELING OF THE STRESS-STRAIN STATE IN STEEL ROPES

We propose a method of mathematical modeling of the stress-strain state in the steel wire ropes. A mathematical model implemented in the form of a listing of the mathematical package MathCAD. The characteristics of the model include the ability to take into account the large sag of initial outlines of steel ropes. A case study was made, and the comparative analysis of the stress-strain state was obtained using different methods of calculation.

Sag, rope, thread, effort, movement

В настоящее врем, расчеты отдельных стальных канатов, несущих поперечную нагрузку, ведутся с использованием известных методик расчета гибких нитей таких ученых, как В.К. Качурин, Н.С. Москалев, Г.С. Ведеников, Р.Н. Мацелинский. Однако такие подходы не позволяют с достаточной точностью определять напряженно-деформированное состояние гибких нитей с большими стрелами провеса. Проблема заключается еще и в том, что указать точную границу между нитями с малыми и большими стрелами провеса невозможно, так как эта граница зависит от характера и величины нагрузки, от материала и условий работы нити [1]. В таком случае становится очевидным, что требуется одна методика расчета гибких нитей как с малыми, так и с большими стрелами провеса, обеспечивающая достаточную степень точности.

Для решения поставленной задачи использованы методы математического моделирования и вычислительной математики. Результатом явилась предложенная методика, реализованная в виде листинга математического пакета MathCAD, а также проведенные численные исследования.

При обозначении вертикальных опорных реакций RA и RB на расчетной схеме, представленной на рис. 1, следует принимать реакцию RA на более высокой опоре.

Для построения линии равновесия гибкой нити используются правила построения эпюры изгибающих моментов для балки. Линия равновесия гибкой нити под действием вертикальной нагрузки совпадает с эпюрой изгибающих моментов шарнирно опертой балки пролетом l, находящейся под действием той же нагрузки; при этом ординаты эпюры моментов уменьшены в H раз и отложены от хорды АВ, соединяющей точки крепления нити. Математически это записывается так [2]:

y(x) = MHx) + x • g, (1)

H

где M(x) - изгибающий момент в шарнирно опертой балке пролетом l, от соответствующей нагрузки, Нхм, Н - распор, т. е. горизонтальная составляющая опорных реакций в точках крепления нити, равная по величине горизонтальной составляющей продольных усилий T во всех сечениях нити, Н.

Fд 1 Fдi

Рис. 1. Расчетная схема гибкой нити:-- начальное состояние линии равновесия нити; - конечное

состояние линии равновесия нити от внешнего воздействия

Построение линии равновесия гибкой нити сводится к определению ее распора Н в точках крепления, так как определение изгибающего момента в шарнирно опертой однопролетной балке не вызывает трудностей.

При определении внутренних усилий в однопролетной балке пролетом I поперечная сила равняется сумме сил, расположенных по одну сторону от рассматриваемого сечения; изгибающий момент равен сумме моментов всех сил, расположенных по одну сторону от рассматриваемого сечения относительно центра тяжести сечения. Математически внутренние усилия при изгибе можно записать следующим образом [3]:

Я(х) _ X ^(х)'йх ; (2)

М(х) = XМ + X Рг ' к(х) + XI (х) ' к(х) ' Лх , (3)

где к(х) - плечо силы.

Взяв производные от левой и правой части формулы (1), получим выражение, которое необходимо для определения длины нити [2]:

йу _ 0(х)

йх

Н

где Q(х) - поперечная сила в шарнирно опертой балке пролетом I, от соответствующей нагрузки, Н. Длина дуги кривой между точками А и В равна длине нити и вычисляется по формуле [4]:

(4)

Ь = | С1 = |д/(Сх)2 + (с/у)2 = Г 1 +

Су

Лх

Сх,

(5)

гг г ч

где йъ - длина отрезка нити, имеющая проекции на оси йх и йу, м; I - пролет нити, м.

Примем все переменные, относящиеся к начальному очертанию гибкой нити, обозначать с индексом н, а к конечной линии равновесия - с индексом к.

Подставив формулу (4) в выражение (5), получим длину нити при действии нагрузки дн(х), вызывающей начальное очертание гибкой нити:

1

=I

(

1 +

QН (х)

Н„

+

(6)

где QН(х) - поперечная сила в шарнирно опертой балке пролетом I от начальной нагрузки дн(х), Н; НН -величина распора нити от начальной нагрузки дн(х), Н.

Распор гибкой нити от начальной нагрузки равен

М Н (хН)

, (7)

Нн =

/н

где Мн(хн) - значение изгибающего момента в шарнирно опертой балке пролетом ¡, нагруженной начальной нагрузкой дн(х), в сечении со значением абсциссы хН, Нхм; /Н - стрела провеса нити от начальной нагрузки qн(x) для координаты хН, м.

Рассмотрим случай, если нагрузка, вызывающая начальное очертание нити, отсутствует. В

0

формуле (6) при определении длины нити получается неопределенность типа — . Для раскрытия этой

неопределенности предварительно определим уравнение кривой провисания нити от действия равномерно-распределенной нагрузки равной погонному весу. Кривая может быть аппроксимирована цепной линией. В этом случае нить примет очертание по уравнению

Ун (х) =

Нн

Чп

( ( ек

\

V Нн

■ х

-1

УН - х ■ *&-

/У

\_tgp_ 2 :

(8)

где Чп - погонный вес нити, Н/м

При этом распор НН, относящийся к первоначальному положению нити, определяется из граничного условия [5]:

Л

... (9)

4 П 4 П

Если первоначальная длина нити равна длине хорды АВ, т. е. стрела провеса нити /н от

начальной нагрузки дн(х) для координаты хН равна нулю, то в этом случае уравнение кривой прови-

сания нити будет иметь вид

Ун (х) = х ■ , (10)

а распор НН будет равен нулю.

Тогда начальная длина нити определяется так:

2

о

Ьн=А!1+(^у н (х)1 ^.

ах'

(11)

Поскольку распор НК не известен до момента его определения, а он входит в уравнение для расчета длины нити при совместном действии начальной дн(х) и дополнительной ^Д(х) нагрузки, то уравнение запишем в виде функций от распора НК:

1 +

О К (х)

( н К

у

дх,

(12)

где йКх) - поперечная сила в шарнирно опертой балке пролетом I от совместного действия начальной дн(х) и дополнительной дД(х) нагрузки, Н.

Гибкая нить работает только на растяжение. Материал нити подчиняется закону Гука. Полное удлинение нити от изменения нагрузки дн(х), вызывающей начальное очертание, до совместного действия начальной дн(х) и дополнительной ^Д(х) нагрузки на величину Нк-Нн при постоянном значении распора Н и площади сечения А можно записать

аь(нк) = Г Нк-Нн а* = нК -Нн Г ах

* ппп?\. Тч . А 17. А

К 0 сооф • Е • А

где из тригонометрии известно

Е • А 1

2

соо ф

н к -Нн

Е • А

|(1 + tg2 ф)дх,

2

соо ф

1+tg2ф.

Уравнение (13) является функцией от распора НК.

В

(13)

(14)

Рис. 2. Расчетная схема при определении упругого удлинения гибкой нити Из рис. 2 видно

ду + у , дх

У

tgф■■

Ш = ^т ^ У = дх • Ш . ах

Подставив выражение (16) в (15), получим

ау+ах • tgв ау

йк (х)

Шф=' ах "= ах+Ш = н

+tgв.

(15)

(16)

(17)

Полное удлинение гибкой нити от изменения нагрузки после подстановки формулы (17) в (13) примет вид

Ж(Н К) =

н„-н

н

Е • А

• 1 +

Як (х)

( нк

У

ах,

(18)

где Е - модуль упругости материала, Па; А - площадь поперечного сечения нити, м2.

Кроме этого, длина нити изменяется от влияния температуры на величину [6]:

I • а • t

АЬ

со*в

(19)

2

2

о

о

К

0

(21)

где а - коэффициент линейного расширения материала, °С_1; I - расчетный перепад температур, °С.

Величины Ьн, Ьк(Ик), АЬ(Ик) и АЬ( связаны между собой [6]:

Ьн + АЬ(Ик) + — Ьк (Ик). (20)

Для решения уравнения (20) и нахождения распора гибкой нити НК используется вычислительный блок ^вп~Ат1.

Величина продольного усилия в гибкой нити равна [5]:

Тк — V И к 2 + Я2 , где

Яа — Як (0) + ИК • ; (22)

ЯВ — Ок (/) - ИК • . (23)

Прогиб нити, включающий ее упругую деформацию и кинематическое перемещение, можно представить в виде функции от абсциссы х:

™(х) — У к (х) - Ун (х), (24)

где уК(х) - значение ординаты сечения линии равновесия нити от совместного действия начальной

дн(х) и дополнительной ^Д(х) нагрузки, ун(х) - значение ординаты сечения линии равновесия нити от действия начальной дн(х) нагрузки или собственного веса в случае ее отсутствия.

В качестве оценки достоверности предложенной методики проведем сравнительный анализ напряженно-деформированного состояния нити, определяемого различными методами расчета. Рассмотрим кубическое уравнение В.К. Качурина, метод конечных элементов и предложенную методику на примере задачи, расчетная схема которой представлена на рис. 3.

¥д 1

х

Рис. 3. Расчетная схема гибкой нити:-начальное состояние линии равновесия нити;

- конечное состояние линии равновесия нити от внешнего воздействия

Гибкая нить с опорами на одном уровне пролетом /=1,09 м, сечение Л=3,58х10"6 м2, выполненная из стали с модулем упругости £'=167057,433 МПа, погонный вес нити ^П=0,27556 Н/м, нагружена сосредоточенной нагрузкой £д1=49,05 Н с привязкой Ьщ1=0,545 м (нагрузка, вызывающая начальное очертание нити дн отсутствует).

Примем за основные критерии сравнения продольное усилие нити ТК и прогиб ^(хн). Для этого решим ряд задач, последовательно приравнивая первоначальную стрелу провеса нити/н в сечении с абсциссой хн =0,545 м к долям от пролета нити.

Расчет методом конечных элементов выполнен в программном комплексе «ЛИРА» версия 9.6 релиз Я9. Конструкция моделировалась конечными элементами нити (тип 310), разбивка производилась на 20 конечных элементов. Длина заготовки больше расстояния между опорами, поэтому начальная геометрия определялась по специальной программе «цепная линия», входящей в программный комплекс «ЛИРА». Расчет выполнен шаговым нелинейным процессором, предназначенным для решения физически и геометрически нелинейных, а также контактных задач [7].

Результаты расчета по вышеуказанным методикам отражены на рис. 4 и 5.

Из гистограммы зависимости, представленной на рис. 4, видно, что изменение отношения первоначальной стрелы провеса к пролету нити /н//, не повлияло на величину продольного усилия в нити ТК, определенного рассматриваемыми методами.

Зависимость, представленная на рис. 5, показывает, что при малых отношениях первоначальной стрелы провеса к пролету нити/н//, значения прогиба ^(хн), определяемые по всем трем методикам, равны, однако с увеличением отношения/н// прогиб ^(хн), определяемый по известной методике расчета пологих гибких нитей, резко расходится со значениями, полученными методом конечных элементов и предложенной методикой, причем прогибы, рассчитанные двумя последними методами, остаются близкими по значению.

250

О

S

п

S

о

о

О

=

-й

п

О

п

о

£

150 -

100

50 -

0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4 0,45 0,5

Отношение первоначальной стрелы провеса к пролету нити - fu/l

□ Ряд1 □ Ряд2 □ Ряд3

Рис. 4. Гистограмма зависимости продольного усилия Тк от отношения первоначальной стрелы провеса к пролету нити Н//: Ряд 1 - предложенная методика; Ряд 2 - метод конечных элементов;

Ряд 3 - методика В.К. Качурина

90

80

ю

5 -о

6 а

70

60

50

40

30

20

10

0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4 0,45 0,5

Отношение первоначальной стрелы провеса к пролету нити - fu/l

□ Ряд1 □ Ряд2 □ Ряд3

Рис. 5. Гистограмма зависимости прогиба у/(хн) от отношения первоначальной стрелы провеса к пролету нити М/: Ряд 1 - предложенная методика; Ряд 2 - метод конечных элементов;

Ряд 3 - методика В.К. Качурина

Проведем сопоставление статистических показателей, полученных с использованием программы Excel, результатов по разным методикам расчета относительно метода конечных элементов. В таблице приведены статистические показатели.

0

0

Статистические показатели

Показатели Сопоставление предложенной методики и метода конечных элементов Сопоставление методики В.К. Качурина и метода конечных элементов

Тк w(xh) Тк w(xh)

Коэффициент корреляции R 1 1 1 0,99184

F-тест 0,99118 0,97374 0,99033 0,28256

Хи2-тест 1 1 1 0,00597

Анализ коэффициентов корреляции показывает высокую коррелированность всех рассматриваемых моделей. При этом значения F-тест и Хи2-тест сопоставления результатов расчета по предложенной методике с методом конечных элементов показали значения указанных статистических показателей, близкие к единице, т.е. их различия крайне малы.

В то же время сопоставление результатов расчета по методике В.К. Качурина с методом конечных элементов для указанных статистических показателей имеют низкие значения, свидетельствующие о существенном расхождении результатов. Только продольное усилие ТК не имеет существенного расхождения результата по Хи2-тест между методикой В.К. Качурина и методом конечных элементов.

Из этого можно сделать вывод, что предложенная математическая модель по определению напряженно-деформированного состояния стальных канатов дает возможность вести расчет как с малыми, так и с большими первоначальными стрелами провеса в отличие от известных методик по расчету пологих гибких нитей. Данные, полученные с помощью предложенной методики, хорошо согласуются с результатами метода конечных элементов на всем интервале изменения отношения первоначальной стрелы провеса к пролету нити fH/l.

ЛИТЕРАТУРА

1. Качурин В.К. Теория висячих систем / В.К. Качурин. Л.: Госстройиздат, 1962. 223 с.

2. Справочник проектировщика промышленных, жилых и общественных зданий и сооружений. Расчетно-теоретический: в 2 кн. Кн. 1 / под ред. А.А. Уманского. 2-е изд., перераб. и доп. М.: Стройиздат, 1972. 600 с.

3. Макаров Е.Г. Сопротивление материалов на базе Mathcad / Е.Г. Макаров. СПб.: БХВ-Петербург, 2004. 512 с.

4. Бронштейн И.Н. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов / И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев; под ред. Г. Гроше, В. Циглера. М.: Наука, 1980. 976 с.

5. Белен, Е.И. Металлические конструкции: спецкурс: учеб. пособие для вузов / Е.И. Беленя, Н.Н. Стрелецкий, Г.С. Ведеников [и др.]; под общ. ред. Е.И. Беленя. 3-е изд., перераб. и доп. М.: Стройиздат, 1991. 687 с.

6. Качурин В.К. Проектирование висячих и вантовых мостов / В.К. Качурин, А.В. Брагин, Б.Г. Ерунов; под общ. ред. В.К. Качурина. М.: Транспорт, 1971. 280 с.

7. Лира 9.4. Руководство пользователя. Основы: учеб. пособие / Е.Б. Стрелец-Стрелецкий, В.Е. Боговис, Ю.В. Гензерский [и др.]. Киев: Факт, 2008. 164 с.

Denis A. Tarasov -

Тарасов Денис Александрович -

соискатель кафедры «Теоретическая и прикладная механика» Пензенского государственного технологического университета

Коновалов Владимир Викторович -

доктор технических наук, профессор кафедры «Теоретическая и прикладная механика» Пензенского государственного технологического университета

Зайцев Владимир Юрьевич -

кандидат технических наук, доцент, заведующий кафедрой «Теоретическая и прикладная механика» Пензенского государственного технологического университета

Degree Candidate

Department of Theoretical and Applied Mechanics, Penza State Technological University

Vladimir V. Konovalov -

Dr. Sc., Professor

Department of Theoretical and Applied Mechanics, Penza State Technological University

Vladimir Yu. Zaitsev -

Ph. D., Associate Professor,

Head: Department of Theoretical and Applied Mechanics,

Penza State Technological University

Статья поступила в редакцию 14.11.13, принята к опубликованию 15.12.13

221