CC BY
126
АЛГОРИТМ ИДЕНТИФИКАЦИИ СЛОЖНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ
А.А. Усков, В.В. Круглое
Управление динамическими объектами является широко распространенной задачей в самых различных областях науки и техники.
Одной из перспективных концепций построения систем управления является так называемое интеллектуальное управление. Системы, построенные с использованием данной концепции, обладают способностями, в какой-то степени аналогичными способностям человека к пониманию методов управления и обучению им [1].
В составе практически любой интеллектуальной системы управления используется модуль эмуляции (идентификации) объекта. Качество управления всей системы во многом зависит от этого модуля, что определяет актуальность рассматриваемой задачи.
Анализ систем управления с модулем эмуляции позволяет сформулировать следующие требования к алгоритму работы эмулятора:
- возможность эмуляции как линейных, так и сложных нелинейных объектов;
- отсутствие ограничений на порядок моделей;
- работоспособность при отсутствии априорной информации об объекте управления;
- возможность использовать в модели априорную информацию, заданную в удобной для человека форме;
- работоспособность при наличии шумов и помех;
- последовательная обработка информации, возможность работы в реальном масштабе времени;
- простота алгоритма вычислений;
- экстраполирующие и интерполирующие свойства получаемых моделей должны быть соизмеримы со свойствами известных методов.
Рассмотрим алгоритм эмуляции динамических объектов на основе самоорганизующейся системы нечеткого логического вывода - нечеткий дополняющий алгоритм [2,3], удовлетворяющий, как представляется, всем перечисленным требованиям.
Допустим, что объект имеет скалярные вход и выход р(1;) (рис. 1), предлагаемый подход несложно расширить и на многомерные динамические объекты.
Предположим, что регистрация входного и выходного сигнала объекта происходит в дискретные
эквидистантные моменты времени интервал между которыми значительно меньше постоянных времени объекта.
Допустим далее, что на объекте может быть реализован эксперимент, заключающийся в регистрации N пар значений < 41, Р1 >, при этом ^ и р| измеряются без ошибок.
Вход и выход исследуемого объекта связаны некой причинно-следственной связью, которую для стационарного объекта можно отразить нелинейным разностным уравнением т-го порядка:
Р1 = П(41>41 -1>-,41 -т'Р1 -1»Р1 -2>-,Р1 -т+1) . (1)
С другой стороны, такую модель можно интерпретировать как модель многофакторного статического объекта с числом входов п = 2т +1, при этом, заменяя в (1) переменные, приходим к соотношению:
У1 = П(х1), (2)
где компоненты х^ 0=1, 2, ... п) входного вектора Х соответствуют значениям вектора < 4|,41-1»"»41-т+1,
Р1 _1,Р1 _2,---,Р1 -т+1 > , а У1 = р1 - выходу объекта (верхние индексы 1=1, 2, ..., N указывают на порядковый номер опыта). При этом известны N пар значений (примеров) <х1,у1> (если 1=1, то значения 4о, 4-1, ••■, 4-т отражают предысторию входного сигнала, а р0, р-1, ..., р-т - начальные условия).
Допустим также, что о зависимости (2) имеется априорная информация, записанная в виде совокупности р продукционных нечетких правил вида:
Пг: если х1 есть Аг1 и х2 есть Аг2 и ... и хп есть Агп, то у = уг, где г =1, 2,., р - номер правила в базе знаний; Хо 0=1,2,...,п) - компоненты вектора х ; А^ -некоторые нечеткие числа с треугольными функциями принадлежности [4]:
=
1 -о,
Ь о
, если Хо -аг0 < Ьо,
(3)
если х!
"аг0 > Ь о ■
где аго - центры нечетких чисел Аф Ьо - постоянные параметры; Уг - обычные (четкие) числа.
Отметим, что данная априорная информация может и отсутствовать, то есть р = 0.
Предлагаемый алгоритм идентификации состоит в реализации последовательности следующих шагов.
Шаг 0. Задается е - погрешность аппроксимации. Устанавливается номер текущей обучающей точки 1=1.
Шаг 1. Выбирается очередная точка Х1 . Если формируемая база знаний пуста, переход к шагу 3, иначе с помощью алгоритма нечеткого вывода Сугэ-
х
а
но ($щвпо) 0-го порядка и с использованием имеющихся продукционных правил рассчитывается прогнозируемое значение у1 [4]:
Е Уг • «г(х ) у1 = п(Х') = ^-
(4)
Е«г(Х')
г-1
где «г(х¡) = тт{ Цг1(х1!), Цт2(х2'),- Цгп(хп')} - степень истинности предпосылки г-го правила.
Шаг 2. Проверяется неравенство:
|у' - у'| < £. (5)
При невыполнении неравенства (5) - переход к шагу 3, иначе переход к шагу 5.
Шаг 3. База знаний пополняется правилом вида:
Пр+1: если х1 есть А11 и х2 есть А12 и ... хп есть А1п,
то ур+1= у', где А11, Л'2,...,Л'П - нечеткие числа с треугольными функциями принадлежности (3) при значениях а11=х1', а12=х2', ... а1п=хп' соответственно (фактически добавление нового продукционного правила сводится к добавлению в базу знаний строки вида <хД Х21, ... Хп', у' >).
Значение р модифицируется: р:=р+1.
Если точка Х' совпадает с какой-либо из имеющихся точек <аг1, аг2, .,агп>, то указанное пополнение базы знаний не производится, а осуществляется замена уг на (у'+уг)/2, после чего переход к шагу 5.
Шаг 4. Параметры функций принадлежности 1 всех правил корректируются в соответствии с формулой:
1 j =
тах(х () - т'п(х =), ' 3 ' 3
если т < 2п, тах(хj) - тт^) /(^р -1),
(6)
если т > 2п, j = 1, 2,..., п.
При такой коррекции значение параметров 1 j
будет приблизительно равно среднему расстоянию по координате j между обучающими точками, вошедшими в базу знаний. Идея введения подобной коррекции предложена в работе [5].
Шаг 5. Проверяется правило останова - просмотрены ли все N обучающих точек. Если правило останова не выполняется, то '='+1 и переход к шагу 1, в противном случае - останов, база знаний считается сформированной.
Рассмотренный алгоритм будем называть далее базовым нечетким дополняющим алгоритмом.
Можно предложить большое число модификаций рассмотренного алгоритма, отличающихся видом нечетких продукционных правил, алгоритмом нечеткого логического вывода, условием добавления новых правил в базу знаний и т.п.
Результаты вычислительного эксперимента
Рассмотрим пример моделирования дискретного динамического объекта. Пусть имеется объект,
имеющий один вход £ и один выход р . Состояние входа и выхода объекта изменяется в дискретные моменты времени ' = 0, 1, 2, .
Объект имитируется существенно нелинейным разностным уравнением
Р' = 3«т(р' - 2/5) + 8соэ(р'-1/5) +
(7)
+ 1000 ^Р'-2 /10)^п(Р'-1/10) +
Р'-1Р'-1/4 + 0.1 + 0.25£' - 2 + ' - 2),
при этом входной сигнал объекта представляет собой дискретный шум е (-200, + 200). Для идентификации использовалась выборка из 200 примеров.
Эмуляция объекта производилась с помощью следующих моделей:
1) многослойного персептрона, содержащего три слоя нейронов: 1-й слой - 10 нейронов, 2-й - 5 нейронов, 3-й - 1 нейрон с сигмоидальными функциями активации [4];
2) сигма-пи (Е-П ) нейронной сети, реализующей квадратичную функцию
р' = + Ь1 • £' + ь2 • £'-1 + Ьз • £'-2 + ь4 • р'-1 +
+ Ь5 • Р'-2 + Ь6 • £' • £'-1 + Ь7 • £' • £'-2 + Ь8 • £' • р'-1 + Ь9 •£' • Р'-2 + Ь10 •-1 •£'-2 + Ь11 •£'-2 • Р'-1 + + Ь12 • £'-1 • Р'-2 + Ь13 • £'-2 • Р'-1 + Ь14 • £'-2 • Р'-2 +
+ Ь15 • Р'-1 • Р'-2 + Ь16 • £'2 + Ь17 • £'-12 + Ь18 • £'-22 + 22 + Ь19 • Р'-2 + Ь20 • Р'-2 >
и настраиваемой по методу наименьших квадратов [4];
3) разработанного базового нечеткого дополняющего алгоритма.
В таблице приведены значения средней абсолютной погрешности моделей еср, полученных разными методами при тестировании реализацией входного сигнала, отличной от обучающей.
Таблица
Модель Многослойный персептрон Е-П нейронная сеть Дополняющий алгоритм
еср 9.7 14.3 11.3
Из данных таблицы видно, что ошибки аппроксимации всех трех используемых моделей приблизительно соизмеримы, однако нечеткий дополняющий алгоритм выгодно отличается от многослойного пер-септрона тем, что в нем не возникает проблемы выбора структуры нейронной сети, а от сигма-пи нейронной сети тем, что позволяет аппроксимировать зависимость п(^) произвольного (нелинейного) вида.
Необходимо отметить, что полученные с помощью предложенного алгоритма модели для гладких зависимостей п(^) обладают несколько худшими аппроксимирующими свойствами по сравнению с нейросетевыми моделями (при правильном выборе структуры сети).
Выбор порядка модели
Остановимся на вопросе о выборе порядка модели т.
В работе [6] рекомендуется последовательно увеличивать порядок модели до получения минимального значения оценки средней погрешности. В
то же время, численное моделирование показывает, что зависимость средней погрешности ет(т) от порядка модели т представляет собой унимодальную функцию дискретного аргумента (возрастание средней погрешности при превышении порядком модели порядка объекта объясняется недостатком информации для обучения модели).
35 35 28 21 ее 14 7 0
С *
\ 5
\ >
>
0 0 1 2 3 4 5 6 0 m 6 Рис. 2. Зависимость средней ошибки аппроксимации от порядка модели
В качестве иллюстрации на рисунке 2 приведена данная зависимость для рассмотренного выше примера.
Воспользовавшись тем, что зависимость ет(т) унимодальна, а также тем, что максимальное значение порядка модели т обычно выбирается не больше 5-7, можно рекомендовать для поиска оптимального значения т дискретный вариант метода дихотомии [7].
Список литературы
1. Нейроуправление и его приложения. - Кн.2. - Сигеру Омату, Марзуки Халид, Рубия Юсоф / Под ред. А.И. Галушкина, В. А. Птичкина. - М.: ИПРЖР, 2000.
2. Усков А.А. Адаптивная гибридная нейронная сеть. -М.: Деп. в ВИНИТИ РАН, 2002. - Ю96-В2002.
3. Усков А.А., Фомченков В.П., Окунев Б.В. Di-nam_analysis. Свидетельство о регистрации программы для ЭВМ в Роспатенте N2002610429 от 25.03.2002.
4. Круглов В.В. Дли М.И., Голунов Р.Ю. Нечеткая логика и искусственные нейронные сети. - М.: Физматлит, 2001.
5. Катковник В.Я. Непараметрическая идентификация и сглаживание данных. - M.: Наука, 1985.
6. Гаврилов А.И. Нейросетевая реализация процедуры идентификации динамических систем // Автоматизация и современные технологии. - 2002. № 3. - С.22-25.
7. Аоки М. Введение в методы оптимизации. - М.: Наука, 1977.
ТРАНСФОРМАЦИОННЫЙ ПОДХОД К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ
ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ: АЛГОРИТМИЧЕСКОЕ И ПРОГРАММНОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ
Н.Е. Демидов
Предлагается трансформационный подход для решения оптимизационных задач с линейными ограничениями. Использование параметризованных преобразований, теории двойственности и ряда эвристических процедур позволило значительно уменьшить вычислительную сложность оптимизационных задач с большим числом переменных и ограничений, характерных для современных приложений.
Научно-технический прогресс привел к использованию в аналитической деятельности новых информационных технологий. Современные экспертно-аналитические подразделения и службы предприятий и организаций получили инструментарий для автоматизированного решения многих задач, в том числе и оптимизационных (планирование производства и перевозок; управление поставками, запасами и сбытом; инвестиционное проектирование; ценообразование и др.) [1]. Характерными особенностями большинства перечисленных оптимизационных задач является их линейность (различные постановки задач линейного программирования) или наличие при нелинейной целевой функции только линейных ограничений в форме равенств и неравенств, а также высокая размерность (сотни, тысячи и десятки тысяч переменных) и, как следствие, значительные вычислительные затраты на получение решений. В связи с этим представляются актуальными многочисленные
исследования, направленные на уменьшение вычислительной сложности указанных задач [2]. Для рассматриваемого класса оптимизационных задач особый интерес представляют методы уменьшения размерности (редукции), основанные на линейно-алгебраических преобразованиях (трансформации) матриц ограничений математических моделей. Предлагаемый ниже трансформационный подход к таким задачам позволяет кардинально уменьшить вычислительные затраты на их решение.
Теоретическое обоснование подхода
Во многих задачах математического программирования (линейное и квадратичное программирование, нелинейная условная оптимизация и др.) используются так называемые обобщенные обратные (псевдообратные, квазиобратные) матрицы (ООМ) [3]. В задачах оптимизации в большинстве случаев ООМ необходимы для решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) вида АХ=В с прямоугольной матрицей А размера п на т (п<т) полного (п=к) или неполного (п>к) строчного ранга (к=гапк А).
В настоящее время для расчета основных типов ООМ, и в первую очередь ООМ Мура-Пенроуза [3], имеются детально теоретически обоснованные на-
