Алгоритм численного решения задач вариационного исчисления на основе самоорганизующейся нечеткой нейронной сети Текст научной статьи по специальности «Компьютерные и информационные науки»

пространяется по сети от входного слоя к выходному, то при подстройке весов ошибка сети 5 распространяется от выходного слоя к входному.

После адаптации НС будет способна по любому вектору входных параметров X выдавать оценку стоимости исследуемого образца. Поскольку используемые передаточные функции являются монотонными, ошибка аппроксимации определяется через расстояние до ближайшей базисной функции и выдается НС в виде числа. Значения весовых множителей сети 'у определяют величину зависимости параметров, по которым проводится оценка, и могут использоваться для анализа и обоснования результатов.

Последовательное применение перечисленных алгоритмов, как это отражено на рисунке, образует ин-

теллектуальную систему поддержки принятия решений при стоимостной оценке объектов.

Данная система была разработана в среде MATLAB и использовалась для стоимостной оценки драгоценных камней.

Выбор интегрированной системы MATLAB в качестве инструментального средства обусловлен наличием в ней языка программирования высокого уровня и модулей расширения, таких как Database Toolbox, Fuzzy Logic Toolbox, Neural Network Toolbox. Совместное использование этих инструментов, а также средств разработки графических приложений и визуализации расчетных данных, создания независимо исполняемых приложений позволяет создавать эффективные приложения с минимальными затратами времени. Кроме того, матричный процессор, реализуя механизм векторной обработки данных, обеспечивает высокую точность и скорость вычислений.

Предлагаемая архитектура ИСППР на основе нейросетевых алгоритмов показывает одно из возможных направлений формализованного решения прикладных задач определения стоимостных характеристик объектов.

Список литературы

1. Искусственный интеллект: В 3 кн. Справочник /Под ред. Э.В. Попова, Д.А. Поспелова. - М.: Радио и связь, 1990.

2. Медведев Б.С., Потемкин В.Г. Нейронные сети. MATLAB 6. -М.: ДИАЛОГ-МИФИ, 2002. - 396 с.

АЛГОРИТМ ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ НА ОСНОВЕ САМООРГАНИЗУЮЩЕЙСЯ НЕЧЕТКОЙ НЕЙРОННОЙ СЕТИ

А.А. Усков

При построении оптимальных систем управления приходится решать задачи двух видов: синтез оптимальных алгоритмов управления (оптимальных управляющих воздействий) и синтез законов управления [1].

В настоящее время разработано большое количество различных алгоритмов численного решения указанных задач, которые базируются на классическом математическом аппарате [2]. Применение нечеткой логики в данных алгоритмах позволяет, с одной стороны, использовать априорную информацию об искомом решении, что повышает его точность, и с другой - получать результаты в виде продукционных правил если-то, которые затем легко интерпретировать, что дает возможность использовать данные алгоритмы в человеко-машинных системах (например, систе-

мах поддержки принятия управленческих решений) [3].

Рассмотрим задачу синтеза системы нечеткого логического вывода, реализующую функцию

У = ), (1)

которая обращает в минимум некоторый нелинейный функционал I = 0(п(х)), заданный в общем случае неявно, то есть 0(п(х)) - лишь абстрактное обозначение, выражающее принципиальную возможность определения I, зная п(х). Используя метод штрафных функций, к данной задаче можно свести большинство задач с ограничениями [2].

Классическим алгоритмом решения задачи является применение нечетких нейронных сетей, например, сетей Ванга-Менделя [3]. При этом стандартные алгоритмы обучения, основанные на

обратном распространении ошибки, в данном случае неприменимы, так как в общем случае неизвестен гессиан связи функционала I = О(-) и весов нечеткой сети [4]. Кроме того, существенным недостатком традиционных нечетких сетей является необходимость априорного выбора числа продукционных правил [3].

В данной ситуации можно применять алгоритмы наращивания (АН) сети, в которых чередуются циклы обучения сети и добавления новых правил. Однако, как известно, АН сети работают крайне медленно [5].

Рассмотрим алгоритм адаптации нечеткой нейронной сети, как представляется, свободный от указанных недостатков.

Допустим, что о зависимости (1) имеется априорная информация, записанная в виде совокупности т0 нечетких продукционных правил вида:

Пг: если хх есть Аг1 и х2 есть Аг2 и ... и хп есть Агп, то у = уг, где г =1, 2, ... т0 - номер правила в базе знаний, Xj 0=1, 2, ..., п) - компоненты вектора х, А^ - некоторые нечеткие числа, имеющие функции принадлежности ^ ^) •

Отметим, что данная априорная информация может и отсутствовать (при этом т0 = 0).

Предположим далее, что может быть реализован эксперимент, заключающийся в определении значения функционала I = 1(т((Х)) при текущем виде зависимости у = т|(Х).

Алгоритм состоит в реализации последовательности следующих шагов.

Шаг 0 (предварительный). Задается е - погрешность нахождения минимума функционала. Задается априорная база нечетких правил. Устанавливается текущее число правил в базе знаний т=т0.

Шаг 1. Если формируемая база знаний пуста, переход к шагу 2, иначе с помощью алгоритма нечеткого вывода Сугэно 0-го порядка с использованием имеющихся продукционных правил определяется оценка [3, 5]:

Е Уг • ar(x)

nm(X) = ^-

Е ar (x)

г-1

(2)

где аг(Х) = тт{ Мл^), ^гп(Хп)} -

степень истинности предпосылок г-го правила.

По оценке Пт(Х) определяется значение функционала 1т.

Шаг 2. База знаний пополняется правилом вида:

Пт+х: если Хх есть А(т+1)1 и Х2 есть А(т+1)2 и ... Хп есть А(т+1)п, то у = Ут+1, где А(т+1)^ - нечеткие числа с треугольными функциями принадлежности [3, 5]:

Hom-i)j(xj) =

a(m+1)j

>t+1)j

' еСЛНxj -a(m+1)J *V+j

j -a(m+1)j|

(3)

если |Xj

(m+1)j '

где - центры нечетких чисел А(т+1^.

По формуле, аналогичной (2), определяется

оценка ^т+1(Х'а(т+1)1' — , а(т+1),п, ут+1,

X(т+1),1, — , X(т+1)п). Настраиваются параметры

а(т+1)1 , ••• а(т+1)п , ут+1, Х(т+1)1 , ••• Х(т+1)п

тем оптимизации функции 1т+1=

= 1(П1т+1 (х, а(т+1)1' — ' а(т + 1),п,ут + 1, Х (т+1),1

..., X(т+1)п)) по данным параметрам [3]. Шаг 3. Проверяется неравенство:

1т - 1т+1 ^ , (4)

где 1т = 1(П1т(Х)) , 1т+1 = 1(Пт+1(Х)) .

Значение т модифицируется: т:=т+1. При невыполнении неравенства (4) переход к шагу 2, иначе переход к шагу 4.

Шаг 4. База знаний считается сформированной. В качестве окончательной берется база знаний, состоящая из т продукционных правил. В качестве оптимального значения функционала выбирается 1т.

Рассмотренный алгоритм будем называть далее нечетким дополняюще-оптимизирующим алгоритмом (ДОА).

Оценим эффективность ДОА по сравнению с АН нечеткой нейронной сети.

Под эффективностью алгоритма будем понимать следующее: пусть выделено N вычислений функционала I = 0(п(Х)), более эффективен тот алгоритм, который за данные N вычислений даст меньшее значение I = 0(п(Х)).

Допустим, что объем вычислений при настройке нечеткой нейронной сети приблизительно прямо пропорционален числу настраиваемых параметров [3].

Напомним, что в АН происходит оптимизация параметров всех правил, затем добавление нового правила и снова оптимизация параметров всех правил [5]. Число вычислений функционала в АН приблизительно определяется формулой:

Nh

m

Е i • k • n,

i=1

(5)

где k - const; n - число настраиваемых параметров в одном продукционном правиле; m - число продукционных правил.

Формулу (5) можно привести к виду:

хт m + m

NH =-kn.

H 2

(6)

Для ДОА при каждом добавлении нового продукционного правила оптимизируется только п параметров.

x

Число вычислений для ДОА определяется формулой:

^цоа = ктп . (7)

На рисунке 1 построены графики зависимости, определенные по формулам (6) и (7) соответственно, для случая, когда к = 1 и п = 3 .

Из рисунка видно, что ДОА требует значительно меньше вычислений по сравнению с АН.

На практике приведенные оценки являются лишь приближенными. Во-первых, база знаний сгенерированная с помощью ДОА, получается обычно больше, чем при использовании АН, что несколько снижает эффективность ДОА. Во-вторых, с ростом числа переменных число вычислений растет обычно быстрее, чем линейная зависимость, что, наоборот, говорит в пользу эффективности ДОА.

Рассмотрим иллюстрирующий пример.

Пусть имеется система, приведенная на рисунке 2.

Примем следующие обозначения: М - амплитудно-импульсный модулятор с фиксатором нулевого порядка и периодом квантования Т0=0,2; НЭ - нелинейный элемент - статическая нелинейность, определяемая формулой:

Z(t):

На вход системы подается сигнал: [sint,t е [0, п], 0, t > п.

x(t) =

Задача состоит в нахождении нелинейной функции у = п(х), минимизирующей функционал:

+Г I |2

I = J t ■ e dt ^ min .

о

Для решения задачи использовались разработанный ДОА с e = 0 и алгоритм наращивания нечеткой сети. В качестве алгоритма параметрической оптимизации применялся алгоритм Нелдера-Меада из пакета MATLAB 6.5 (R13) [6]. Для уменьшения вероятности сходимости процесса к локальному экстремуму алгоритм запускался 10 раз из случайно задаваемых начальных точек с последующим выбором наилучшего решения.

На рисунке 3 показаны входной сигнал x(t) и сигнал на выходе НЭ z(t) (см. рис. 2) после окончания работы ДОА.

В результате работы алгоритмов были сгенерированы продукционные правила вида:

Пг: если х есть Аг , то у = уг , где г - номер правила, Аг - нечеткие числа с функциями принадлежности вида: х — аг ,

Мт(х)=

1

X г

если x

■ a^ ^ Xг,

0,

если x — aJ > X r

С помощью ДОА и АН до выполнения условия останова было сгенерировано 5 и 4 нечетких продукционных правила соответственно. Ниже приведены параметры, нечетких продукционных правил, сгенерированных с помощью ДОА: а1 = 0,9408, = 0,3181, у1 = 0,5476; а2 = 0,4932,12 = 0,2259, у2 = 0,0221; а3 = 0,4690,13 = 0,1320, у3 = 0,8053; а4 = 0,9682, Х4 = 0,0664, у4 = 1,4022; а5 = 0,7852,15 = 0,1027, у5 = 0,8936 и АН:

а1 = 1,0881, = 0,7567 у1 = 1,3421; а2 = 0,0733,12 = 0,0672, у2 = 1,0338; а3 = 0,0332,13 = 0,4553 у3 = 0,0000; а4 = 0,7155, Х4 = 0,4018, у4 = 0,2563.

Рис. 4. Зависимость значений функционала от числа его определений в процессе работы алгоритмов для АН и ДОА

Таблица

Число сгенерированных правил АН ДОА

I N I N

1 0.0595 406 0.0595 406

2 0.0196 2079 0.0296 940

3 0.0193 4206 0.0259 1439

4 0.0185 9652 0.0118 1975

5 Процесс обр ывается 0.0111 2403

Результаты моделирования сведены в таблице.

Из таблицы видно, что при увеличении количества правил объем вычислений в алгоритме наращивания лавинообразно возрастает, что приводит к невозможности найти точку глобального минимума за выделенное число итераций и к обрыву процесса (выполнению критерия останова). В ДОА объем вычислений растет приблизительно линейно с ростом количества сгенерированных правил.

На рисунке 4 показаны зависимости значений функционала (1АН - для АН и 1дОА - для ДОА) от

числа его определений в процессе работы алгоритмов.

Видно, что при равном N значения функционала при применении ДОА всегда меньше, чем при применении АН, что показывает преимущество разработанного алгоритма.

Список литературы

1. Мирошник И.В., Никифоров В.О., Фрадков А.Л. Нелинейное и адаптивное управление сложными динамическими системами. - СПб.: Наука, 2000.

2. Федоренко Р.П. Приближенное решение задач оптимального управления. - М.: Наука, 1978.

3. Осовский С. Нейронные сети для обработки информации. - М.: Финансы и статистика, 2002.

4. Омату С., Халид М., Юсоф Р. Нейроуправление и его приложения. Кн.2 / Общ. ред. А.И. Галушкина. - М.: ИРПЖР, 2000.

5. Круглов В.В., Борисов В.В. Искусственные нейронные сети. Теория и практика. - М.: Горячая линия - ТЕЛЕКОМ, 2001.

6. Дьяконов В.П., Круглов В.В. Математические пакеты расширения МАТЬАБ: Специальный справочник. - СПб.: Питер, 2001.

ИНФОРМАЦИОННЫЕ МОДЕЛИ НА ОСНОВЕ CASE-СРЕДСТВ ПРОМЫШЛЕННЫХ ОБЪЕКТОВ ДЛЯ ИНФОРМАЦИОННОЙ ПОДДЕРЖКИ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ

A.B. Вицентий, В.Н. Богатиков, Д.П. Вент, Б.В. Палюх

Наиболее трудоемкими этапами разработки информационных систем (ИС) в настоящее время являются этапы анализа и проектирования, в процессе которых CASE-средства обеспечивают качество принимаемых технических решений и подготовку проектной документации. При этом большую роль играют методы визуального представления информации. Графические средства моделирования предметной области позволяют разработчикам в наглядном виде изучать существующую ИС, перестраивать ее в соответствии с поставленными целями и имеющимися ограничениями.

В данной работе за основу было взято CASE-средство фирмы Rational Software Corporation

(США) - Rational Rose. Главной составляющей Rational Rose является построение различного рода диаграмм и спецификаций, определяющих логическую и физическую структуры модели, ее статические и динамические аспекты [3,5,12,13]. Общий процесс работы над проектом заключается в добавлении на диаграммы соответствующих графических элементов, в установлении отношений между этими элементами, их спецификации и документировании.

При создании информационных систем часто возникает задача оценки текущих состояний системы, с помощью которых принимаются решения по дальнейшему управлению системой. На рисунке 1 приведена обобщенная структура принятия