CC BY
32
УДК 517.9
АЛГОРИТМ ДВОЙСТВЕННОЙ РЕГУЛЯРИЗАЦИИ В ОБРАТНЫХ ЗАДАЧАХ ТЕОРИИ ГЛОБАЛЬНОЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ЦЕПИ
© А.А. Жидков, А.В. Калинин, М.И. Сумин
Ключевые слова: уравнения с частными производными; обратная задача; двойственная регуляризация; глобальная электрическая цепь.
В работе рассматривается квазистационарная модель глобальной электрической цепи в атмосфере Земли. Изучается одна из наиболее перспективных задач — задача об определении различных характеристик сторонних источников электрического тока по данным измерений, проводимых на поверхности Земли. Для решения данной задачи обосновывается возможность применения метода итеративной двойственной регуляризации.
Решение задач атмосферного электричества в последнее время приобретает большое значение в связи с необходимостью уточнения существующих и построения новых метеорологических и климатических моделей [1]. Достаточно широкий класс задач атмосферного электричества описывается с помощью уравнения глобальной электрической цепи
д —*
—Д^(х, ^ + 4гё1у (ст(х^гаё <^(х, £)) = 4гё1у 7СТ(х, £), (1)
где х € П С М3 , облаеть П диффеоморфна шаровому слою с границей дП , состоящей из двух компонент связности Г1, Г2. Не нарушая общности, будем считать, что Г1 соотвест-вует поверхности Земли, а Г2 ограничивает верхние слои атмосферы.
Здесь — скалярный электрический потенциал, удовлетворяющий начальному уело-
ВИЮ
И*=0 = ^0 (2)
и граничным условиям
ИхеГх = С (t), у\х&2 =0, (3)
IX - г")ЙГ =0. (4)
Для прямой задачи, в которой проводимость а(х) и «сторонние» токи 7СТ(х,{) считаются заданными функциями, в работах [2, 3] доказана разрешимость и предложены некоторые численные методы её решения.
В настоящей работе изучается обратная задача граничного наблюдения в постановке (1)-(4) для определения ё1у 7СТ и /г2 ^Г по данным измерений нормальной компоненты
электрического потенциала на поверхности Земли. Исследуемая задача является актуальной с точки зрения дистанционного зондирования и определения характеристик грозовых процессов, происходящих в атмосфере Земли.
Таким образом, при решении обратной задачи система (1)-(4) дополняется условием
д<^
дп
= е„,(х,г). (5)
хеГх
Задача (1)-(5) является переопределённой, однако, на основе однозначной разрешимости задачи (1)-(4), может быть построен такой линейный ограниченный оператор А, что
A JCT = е,
Настоящая работа посвящена поиску нормального решения задачи (1)—(5), т. е. исходная задача эквивалентна оптимизационной задаче
J
ет
rT
\ 2
^div JCT(x,t)J dx + ^J (x,t)dr) ) dt — min,
2
(6)
Ii
J
CT
A
J
CT
(7)
Для решения задачи (6), (7) обоснована применимость метода двойственной регуляризации [4]. Для численного решения задачи с помощью метода итеративной двойственной регуляризации построена минимизирующая последовательность и доказано, что данная последовательность сходится к нормальному решению.
о
е
П'
ЛИТЕРАТУРА
1. Мареев Е.А. Достижения и перспективы исследований глобальной электрической цепи // УФН. 2010. Т. 180. № 3. С. 527-534.
2. Жидков А.А., Калинин А.В. Корректность одной математической задачи атмосферного электричества j j Вестник Нижегородского госуниверситета, 2009. № 4. С. 123-129.
3. Жидков А.А., Калинин А.В. Некоторые вопросы математического и численного моделирования глобальной электрической цепи в атмосфере // Вестник Нижегородского госуниверситета. 2009. № 6. С. ISO-158.
4. Сумин М.И. Регуляризация в линейно выпуклой задаче математического программирования на основе теории двойственности // Журн. вычисл. матем. и матем. физ. 2007. Т. 47. № 4. С. 602-625.
Поступила в редакцию 10 апреля 2011 г.
БЛАГОДАРНОСТИ: Работа выполнена при финансовой поддержке в рамках Аналитической целевой ведомственной программы «Развитие научного потенциала высшей школы (2009-2011 годы)» Минобрнауки РФ (регистрационный номер 2.1.1/3927) и Федеральной целевой программы «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 годы (шифр проекта НК-13П-13).
Zhidkov A.A., Kalinin A.V., Sumin M.I. Dual regularization algorithm for inverse problems of global electric circuit theory. In the present article we discuss a quasi-stationary model of global electric circuit in Earth atmosphere. We study one of the most promising problems — the problem for estimation different parameters of external current sources based on measuremetents near the ground. We justify a possibility of iterative dual regularization method for investigated problem.
Key words: partial differential equations; inverse problem; dual regularization; global electric circuit.
Жидков Артем Александрович, Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского, г. Нижний Новгород, Российская Федерация, ассистент кафедры математической физики, e-mail: [email protected].
Калинин Алексей Вячеславович, Нижегородский государственный университет им. Н.Н. Лобачевского, г. Нижний Новгород, Российская Федерация, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математической физики, e-mail: [email protected].
Сумин Михаил Иосифович, Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского, г. Нижний Новгород, Российская Федерация, доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой теории функций, e-mail: [email protected].
УДК 517.986.6
ТЕОРЕМА БОРСУКА УЛАМА ДЛЯ МНОГОЗНАЧНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ В БЕСКОНЕЧНОМЕРНЫХ БАНАХОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ © Н.М. Жук
Ключевые слова: еюръективный оператор; топологическая размерность; многозначное отображение; дифференциальное включение.
Данная статья посвящена доказательству бесконечномерной версии теоремы Борсука-Улама в случае, когда нечетное отображение является многозначным вполне непрерывным отображением с выпуклыми образами. Рассматриваются некоторые следствия доказанной теоремы.
Пусть Е\,Е2 — банаховы пространства, а : Е\ ^ Е2 — замкнутый линейный сюръ-ективный оператор. Пусть Бг (0) — сфера ради уса г с центром в нуле пространства Е1, отображение / : Бг (0) ^ Е2 — вполне непрерывное нечетное отображение.
Рассмотрим следующее уравнение:
а(х) = / (х).
Пусть N (а, /) С Бг (0) — множество решений этого уравнения. В работе [1] была доказана следующая теорема.
Теорема 1. Если йгш(Кег а) ^ 1, то уравнение а(х) = / (х) на сфере Бг (0) имеет, решение и (а, /)) ^ йгш(Кег а) — 1.
Легко видеть, что эта теорема естественно обобщает теорему Борсука-Улама на случай бесконечномерных пространств.
Настоящая работа посвящена доказательству бесконечномерной версии теоремы Борсу-
/
сведения из теории многозначных отображений содержатся в [2].
Пусть Е — банахово пространство, Ео = Е х Е1. Норму в Ео определим по правилу: ||(х,*)|| = \/\\х\\2 + Ь2 .Пусть Бо — единичная сфера в банаховом пространстве Ео, а Н : Бо ^ Ку(Е) — многозначное вполне непрерывное нечетное отображение. Рассмотрим включение
Н(х, £) Э х.
Л е м м а 1. При сделанных предположениях включение имеет, решение.
Рассмотрим теперь некоторые утверждения о топологической размерности множества решений операторных включений. Основные свойства топологической размерности содержатся, например, в [3].
