Алгебры с конечной мерой конструктивного исчисления высказываний Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 004.588

Вестник СПбГУ. Сер. 10, 2006, вып. 3

В. Т. Тарушкин

АЛГЕБРЫ С КОНЕЧНОЙ МЕРОЙ

КОНСТРУКТИВНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ ВЫСКАЗЫВАНИЙ

1. Построение алгебры. Рассматривается интерпретация А конструктивного исчисления высказываний [1] в виде универсальной алгебры

Л = (М,А, V, 3,-1,0,1),

(1)

где М - линейно упорядоченное множество с отношением порядка 0 £ М - наименьшим и 1 еМ - наибольшим элементами; двуместными операциями А (конъюнкцией), V (дизъюнкцией), э (импликацией); одноместной операцией (отрицание). В [1] показано, что алгебра (1) для М — {0,1/2,1} является моделью конструктивного исчисления высказываний. Однако потребности практики [2] требуют рассмотрения в качестве М = [0,1], М = {нет, слабый, сильный}, М — {нет, слабый, сильный, критический, максимальный} и т. д., т. е. линейно упорядоченных множеств. Пусть X, У, XI,... обозначают пропозициональные переменные (простейшие высказывания). Определение формулы и правила опускания скобок те же, что и в [1]. Импликация вычисляется по формуле

1, если X ^ У, У, если X > У .

X эУ —

Аналогичным образом

| У, если X > У,

X УУ =

У, если X ^ У, X, если X > У,

Введем булеву алгебру

1, если X = 0, 0, если X > 0.

Ас = (Мс, Э, А, V, 0, 1),

(2)

являющуюся подалгеброй алгебры (1) с Мс = {0,1} и классическими операциями 3, V, А, -I. Для каждой пропозициональной переменной X, У,... алгебры (1) введем классические пропозициональные переменные Сх,Су, ■■■ алгебры (2) такие, что

Сх =

0, если X — 0,

1, если X > 0

(Су,... аналогично). © В. Т. Тарушкин, 2006

Вычислим

I 1, если X — О, — {

[О, если X > О,

т. е. имеем -1X = -^Сх^У = ■■■ и

Теорема 1. Отрицания пропозициональных переменных совпадают с отрицаниями их классических аналогов.

По определению С х-, Су, имеем

. (3)

Поскольку Сх, Су, ■■■ ~ классические пропозициональные переменные, то для них выполнен закон двойного отрицания

^Сх — Сх, ~>->Су — Су,... . (4)

По теореме 1, применяя вторично операцию отрицания, получаем

-1-1 .X = ->->Сх,= -1-^Су,... . (5)

Из (3)-(5) следует

Теорема 2. Закон двойного отрицания в алгебре А не имеет места, т. е.

X -.-.X, У ^ -1-.У,... .

Вычисляя X V -1-Х", находим

Теорема 3. Закон исключенного третьего не имеет места, т. е. ХМ ^ 1. Вычисляя X Л -1Х, имеем

Теорема 4. Закон противоречия имеет место, т. е. X А ->Х — 0. Таким образом, нарушается принцип двойственности.

Рассмотрим вычисление аксиом: А3 [1, с. 332] с учетом правила опускания скобок есть формула 0 3 Семантическая функция /[ ], задающая отображение любой формулы ^ в множество М, здесь будет [О Э Ь] = 1, где [Х1] — Ь, Ь Е М— значение пропозициональной переменной Х1, но это очевидное тождество, поскольку всегда 0 ^ Ъ-

Аксиома А2

Хх 3 Ха V Х2

в алгебре (1) принимает вид

[а э (о V Ь)] = 1,

где а, Ъ - значения пропозициональных переменных Х1, Х2 соответственно. Если а ^ Ь, то а\/ Ь = Ь, а Э 5 = 1 и получаем тождество. В противном случае а > Ь,а\/ Ъ = а, а Э а — 1 и получаем требуемое тождество. Остальные аксиомы вычисляются аналогично.

Подобно классическому случаю, если Р(Хх,..., Хп) - любая тавтология (тождественно истинная формула), то ,.... X, \ Л,,...,ХП) тоже тавтология. Здесь Xi\Ai-результат замены X, на любую формулу А{(Хх,..., Хп). Пусть [Х1] = а!,...,[Х,] = аг,..., [Хп] — ап - некоторые значения пропозициональных переменных. По условию ..., Ог,...., ап)] = 1. Пусть Ьг = [ЛДа1,...,аг,...,ап)], но тогда ..., Ь{,..., ап)] = 1, поскольку ах,..., Ьг,..., ап - обычный набор пропозициональных переменных (такой же, что и ах,..., а;, ....ап). на котором формула является тавтологией.

Применяя рассмотренный прием многократно, получаем: если F(X 1,..., Хп) - тавтология, то и F(X 1 \ Ai, ...,Хп \ Ап) - тавтология (первое правило вывода в конструктивном исчислении высказываний [1]).

Покажем, что и второе правило вывода в [1] сохраняет свойства тавтологий: если Fi и FXDF2- тавтологии, то F-2 - тавтология. Доказательство проводим от противного: существует такой набор пропозициональных переменных, что формула F-2 принимает значение т(теМит^1), но тогда F\ D F% примет значение 1 э т = га, а это противоречит тому, что -Fi D F2 - тавтология.

Поскольку аксиомы - тавтологии, а правила вывода свойства формул быть тавтологиями сохраняют, то все формулы, выводимые в конструктивном исчислении высказываний в алгебре А, будут интерпретироваться как тавтологии. Таким образом, доказана

Теорема 5. В алгебре А существует модель [1] конструктивного исчисления высказываний.

Из этой теоремы следует справедливость законов конструктивного исчисления высказываний, доказанных в нем, для алгебры А: коммутативности, ассоциативности, дистрибутивности и т. д. Построенная алгебра также уточняет некоторые положения теории. Например, в [1, с. 73] сказано: «Приводимая нами трехзначная модель (т. е. только для случая М — {0,1/2,1}) представляет собой применение метода интерпретации логики высказываний посредством псевдобулевых алгебр [3]». Если следовать этому рассуждению, то в алгебре А должна иметь место интерпретация одного из законов де Моргана [3, с. 77, формула (32)], т. е. в наших обозначениях

->а V -1& ^ -п(а Л Ь),

где о, Ь е М, но это неверно, что можно доказать прямым вычислением по таблице истинности. Уточненный закон будет

-,а V -ib = -.(а Л 6). (6)

Дадим доказательство (6) в А ( включающее трехзначную логику как частный случай). Если а ^ Ь, то ^ -1 а, левая часть (6) будет а. Правая часть (6) будет тоже -iа, поскольку а Ab = а. Если а > Ь, то ^ ~>Ь, левая часть (6) будет Ь. Правая часть (6) тоже будет -Д поскольку а Л b = b.

Рассмотренная в теореме 5 алгебра А = (М, Л, V, D, 0,1) является интерпретацией КМ конструктивного исчисления высказываний, поскольку реализующая ее система

КМ = (MKM^KMI^KM^kmi^KMI^KMAKM)

[1, с. 82 ] такова, что Мкм = М, Пкм — A,Uкм — V, -<км — -i,0км - 0,1 км = 1-Далее

а) аксиомы конструктивного исчисления высказываний - тавтологии (по терминологии [1] общезначимые или тождественно истинные формулы, здесь проверены только две аксиомы, поскольку остальные 7 аналогичны);

б) если формула F может быть получена как результат применения какого-либо правила к тавтологиям, то она сама - тавтология (свойство правил вывода сохранять свойство формул быть тавтологиями для подстановок формул доказано полностью, аналогичное свойство доказано и для правила modus ponens).

Из теоремы 5 о существовании модели (условий а) и б)) следует, что всякая выводимая в конструктивном исчислении высказываний формула есть тавтология. Это дает

еще один способ исследования законов алгебры А. Например, из теоремы 1 [1, с. 62] имеем для любых формул , Р2

П = Р2 П ,

отсюда находим тавтологию

являющуюся сокращением для

А Р2) Э (Лг 3 *!)) Л ЛЛ) 3 Л что имеет место в алгебре А тогда и только тогда, когда

т. е. получили закон коммутативности, который можно вывести прямо из определений алгебры А. Аналогичным образом

hF1UF2 = Р2 иЛ,

I- (Л П Р2) П^е^П П ^з),

Ь и и ^з = ^ и и ^з),

Ь Л и {Р2 П = {Рх и Р2) П {Рх и

Ь ¥х П (^2 и Рз) = (^1 П и № П

Выведенные в этой теореме П. С. Новикова формулы дадут законы коммутативности (второй), ассоциативности, дистрибутивности. Полученная нами формула

Ь -.-.-.^ = ^

дает формализацию закона о тройном отрицании.

На основе проведенного рассмотрения имеем уточнение определения модели в [1]: модель - это множество выводимых формул конструктивного исчисления высказываний, которые являются тавтологиями в данной интерпретации КМ, совпадающей с алгеброй А.

2. Моделирование операции «Искра» алгебрами с вероятностной мерой.

Рассмотрим события, которые произошли утром 12 января 1943 г. по верхнему течению р. Невы.

Ср: «успешная атака позиций 18-й немецкой армии по левому берегу Невы 136-й дивизией Н. П. Симоняка». Соответственно Сд = ->Ср - неуспешная;

рс

- частично

успешная (Рс ^ Ср) и С}с - частично неуспешная ^ Сд) атаки этой дивизии. Классическая булева алгебра, описывающая атаку дивизии Симоняка, имеет вид

где Iе: «успешная или неуспешная атака дивизии Симоняка» — единица алгебры, 0е: «не состоялась успешная или неуспешная атака дивизии Симоняка» — нуль алгебры.

Аналогичным образом атаки остальных дивизий первого эшелона 67-й Красной Армии Ленинградского фронта 12 января 1943 г. позиций 18-й немецкой армии: 286-й

С. H. Борщева, 86-й В. А. Трубачева, 45-й А. А. Краснова - могут описываться булевыми алгебрами

На каждой из этих алгебр заданы вещественные функции рс(х), Рв(х), Рт{%), Рк{х) (конечные меры или вероятности), которые отображают высказывания (события, описываемые алгебрами) в [0,1] и обладают свойствами [4] (аксиомами):

0 «С рс(х), 0 ^ рв(х), 0 ^ рт(х), 0 ^ Рк(х), (7)

Рс(1°) = Рв(1В) = Рт(1Т) = Рк(1К) = 1. (8)

Если х,у е М§ = {0с,С£,С§,1с} (для = {0В,С#,С|,1В}, -

{0Т, Cj, C'J, 1т}, = {0^, Ср , Cq, 1к} аналогично), то из х Л у = 0е следует

Рс(ж Vy) =рс(х) +Рс(у)- (9)

Из (7)-(9) получаем

Рс(0с) =Рб(0в) =рт(0т) = рк(0к) = 0

(вероятности нулевых элементов алгебр - нули), а также при условии, что успешные и неуспешные атаки дивизий равновероятны,

Рс{<$) = Рс«%) = рв{С?) = Рв{С§) =

= Рт{СтР) = р(С$) = р(С*) - р(С£) - 1/2.

В действительности только алгебры адекватно описывают бои 136-й и 86-й

дивизий 12 января. Например, высказывание: «дивизия Симоияка быстро форсировала реку Неву, потеряв всего несколько десятков человек и среди них только одного командира (командиры полков и батальонов дивизии, вопреки требованиям уставов, были впереди своих атакующих частей). Дивизия взломала передний край вражеской обороны и сумела продвинуться на 3-4 километра» будет эквивалентным введенному уже Ср, когда последнее принимает значение 1е. Соответственно высказывание: «неудача постигла дивизию Трубачева, которая на льду Невы между Марьино и Шлиссельбургом попала под губительный огонь и продвижения не имела» будет эквивалентно введенному уже Сд, когда последнее принимает значение 1т. Для описания боя дивизии Борщева применим алгебру конструктивного исчисления высказываний (1) с M — {0Б, FB, 1В}, на основе которой строим алгебру, аналогичную описанию опыта однократного бросания монеты на нечеткую, в смысле JI. Заде, плоскость [5]. Имеем

Ав — (Mb, А, V, -i), (10)

где M в = {0B:PB,CB,QB,C%,XB,YB,ZB,lB},3wcb 0в, Рв ,СВ ,QB ,СВ, 1В - те же события, что определены для дивизии Симоияка (с заменой буквы С - для Симоняка на букву В - для дивизии Борщева). Например, реализовавшееся 12 января событие

рВ

: «частично успешная атака дивизии Борщева» будет эквивалентно высказыванию: «две правофланговые роты 947-го стрелкового полка дивизии Борщева попали под пулеметный огонь во время броска через Неву и полегли головами в сторону левого берега. К концу дня 268-я дивизия продвинулась на три километра» при условии, что Рв примет значение \в. Высказывания Хв — Рв V Сд : «частично успешная или неуспешная атака дивизии Борщева», Ув = Рв V С^в : «частично успешная или частично неуспешная атака дивизии Борщева», Ъв — Св V С}в : «успешная или частично неуспешная атака дивизии Борщева» задают события, которые, поскольку

Рвлс§ = ов, Рв Л - ов, св л с^в — ов, в силу свойства (9), имеют вероятности

Рв(Хв) =Рв(РВ) + 1/2, рв(¥в) = РВ(РВ) + Р^В), (11)

Рв(гв)=Рв(С$) +рв^в) = 1/2 + рв(С2в), (12)

при этом свойство (9) (а в дальнейшем и свойство (7)) формулируется для любых х, у Е Мв■ Пропозициональные переменные алгебры (10) Св и Сд таковы, что

Св =

0, если Рв = О,

1, если Рв > О,

св = < ' если =

д |1, если > О,

откуда

рв

^ Ср, С^в Сд. Введем аксиому монотонности (в классической теории булевых алгебр она доказывается): если Рв ^ Св, Цв ^ Сд..., то рв(Рв) ^ рв(Св), Рв{ЯВ) ^ Рв(Сд).... Отсюда получаем оценку вероятности частично успешных и частично неуспешных атак дивизии Борщева

рв(Рв)< 1/2, 1/2.

Из (11), (12) оцениваем вероятности последних трех элементов множества Мв в виде

рв(хв)^ 1, Рв(гв)^1.

Теоремы 1-4 в алгебре (10) могут быть переформулированы. Например (для теоремы 4), вычислим Рв А ->РВ: поскольку

,РВ =

'1В, если Рв — 0В, 0В, если Рв > 0В,

то

Р" д =

0В, если Рв>Ов,

откуда получаем

Теорема 4'. Закон противоречия имеет место, т. е. Рв А ->РВ — 0 .

Для описания боя дивизии Краснова применим алгебру конструктивного исчисления высказываний (1) с M — {0K,FK,1K}, на основе которой строим алгебру, аналогичную (10). Имеем

АК = {МК, А, V,-.), (13)

где M к = {0 K,PK,C$,QK,Cg,XK,YK,ZK,lK},PK: «частично успешная атака дивизии Краснова», Ср : «успешная атака дивизии Краснова», QK : «частично неуспешная атака дивизии Краснова», Cq : «неуспешная атака дивизии Краснова», 1К = Ср V Cq , 0К = -.1*, Хк = Рк V С§, YK = Рк V QK, ZK QK. По той же методике, что

и для дивизии Борщева, получаем

Рк(рк) ^ i/2, рх(д^) ^ i/2,

^ 1, pK(YK) ^ 1, ^ 1.

Реализовавшееся событие QK со значением 1к будет эвивалентно высказыванию: «45-я гвардейская дивизия А. А. Краснова смогла пробиться лишь в первую траншею противника». Все теоремы 1-4 могут быть переформулированы для алгебры (13). Например, для теоремы 3 вычислим Рк V ->РК, поскольку

к _ (lK, если Рк = 0К, ~ (О*, если Рк > 0К,

то

PKW^PK=UK, если Рк = Ок, если Рк > 0К.

Отсюда, так как Рк принимает значение Рк, получаем

Теорема 3'. Закон исключенного третьего не имеет места, т. е. Рку^Рк ^ \к. В результате боев 12 января образовалась ударная группировка прорыва блокады со стороны Ленинградского фронта в составе 136-й дивизии Симоняка, введенной в полосе этой дивизии с ударом во фланг, оборонявших район Шлиссельбурга немецких войск, 86-й дивизии Трубачева, 123-й отдельной стрелковой бригады и других частей усиления (286-я дивизия Борщева с частями усиления перешла к обороне, чтобы сорвать попытку противника ударом во фланг срезать клин нашего прорыва). Действия этой группировки с 12 по 18 января будем описывать уравнением Колмогорова-Чепмена для цепей Маркова [5]

Pl 8 = Р127Г13--7Г18,

где начальное условие р\2 = (100) означает, что с вероятностью 1 состояние наступления ударной группировки имело место 12 января, 7rs (s = 13,..., 18) задают стохастические матрицы вида

Ph Р[2 PÎ3 100

Р21 Р22 Р23 1 0 0

Pii Рк Рзз 1 0 0

Здесь приведены общий вид матриц в буквах и конкретное их значение, позволяющее с 12 по 18 января сохранить состояние наступления ударной группировки, где условные вероятности р■*• = p(D?/D?"1) являются вероятностями перехода в состояние £И

для £ = при условии, что для t — было состояние -О?-1. Всего здесь вводятся три состояния: (наступление), В2 (оборона), Д-; (отступление). Интерпретация Р]Г = 1: «ударная группировка продолжает наступление с вероятностью 1 для £ = £<,, если она для t — t3-1 находилась в состоянии наступления (136-я дивизия)», интерпретация р-21 = 1: «ударная группировка продолжает наступление с вероятностью 1 для £ = £я, хотя для £ = некоторые части (например, 286-я дивизия) находились в состоянии обороны», интерпретация р= 1: «ударная группировка для I = Iя продолжает наступление, хотя некоторые ее части (например, 45-я дивизия, покинувшая захваченную первую траншею противника) отступили».

Был осуществлен к 18 января частичный прорыв блокады Ленинграда (противник мог вести прицельный артиллерийский огонь по территории, соединявшей Ленинградский и Волховский фронты, корректируя его со здания 8-й ГЭС (она была вскоре блокирована и взята позднее) и с Синявинских высот [6]). Введя алгебру

АР = (Мр, А, V, ->),

где Мр = {0Р, Ср, (^р, Сд, Хр, Ур, 1Р}, из простейших высказываний Рр: «частично успешный прорыв блокады», СР: «успешный прорыв блокады», С}1'\ «частично неуспешный прорыв блокады»; образовались: Сд = ~'Ср, 1Р = СР V Сд, 0Р = Хр = Рр V С£, Ур = Рр V др, 2Р = С[р V С}р. На основе разработанной методики вычисляем вероятности: рр(Ор) = 0, рр( 1Р) = 1, рр(Ср) — 1/2, рр(Сд) = 1/2,

рР(рр) ^ 1/2, Рр(др) ^ 1/2, Рр(хр) ^ 1, Рр(хр) ^ 1, РР(УР) ^ 1, Рр(гр) ^ 1. в

этой алгебре имеют место аналоги теорем 1-4.

Немецкое командование считало, что оно сильным ударом по нашим войскам сможет вновь замкнуть кольцо блокады, и оно такой удар нанесло в районе Черной речки 10 мая 1943 г. [6]. Это наступление выдохлось за один день, в течение которого немецкие войска понесли большие потери, нарвавшись на прекрасно организованный Красной Армией контрудар. Данный бой можно описать классической булевой алгеброй, аналогичной Наступление Красной Армии на Синявинские высоты началось

22 июля 1943 г. и реализовывалось как последовательность частично успешных действий, закончившихся взятием высот 15 сентября 1943 г. Оно может быть рассмотрено по приведенной в работе методике отдельно.

Теорема 6. Алгебры Ав,Ак,Ар изоморфны.

Рассмотрим гомоморфизм алгебры Ар в алгебру Ак, построив отображение hf(x) = х?, ставящее в соответствие каждому х € Мв элемент х? € Мк и отображающее соответствующим образом операции. Имеем

(0Р)' = о*, (1 ву = 1К, (РВУ = Рк,..., (Рв V с§У = рку с§,(Рв V <звУ = ркчС}к, ....

Здесь принято сокращение: (Рв V Собозначает (Рв)* (4)*(Сд. Поскольку отображение hf(x) взаимно однозначное, то гомоморфизм является изоморфизмом. Аналогичным образом изоморфизм устанавливается между любыми двумя алгебрами АВ,АК,АР.

Для пространства элементарных событий = {о^, где Ср = {и\} (выпадает герб), С(э = {002} (выпадает решетка), введем алгебру Гейтинга Я [7] для описания

опытов однократного бросания монеты на нечеткую в смысле Л. Заде плоскость, содержащую почти прямые линии. Имеем

Н= (Мп,П,и,-),

где множество нечетких случайных событий

Мп = {Ч>,р,сР^,ся,хп,¥п,гп,щ,

среди которых 0 - {(ил, 0), (ш2,0)}, Р = {(шь Р), (ш2,0)}, СР = {(ил, 1), (и;2,0)}, д = {(ил,0),(и;2,Р)}, Сд = {(ил,0),(и>2,1)}, = РиСд = {(ал,Р), (ш2,1)}, = Рид = {(ал,Р),(и;2,Р)}, = Ср ид = {(ы!,1),(ш2,Р)}. Здесь также 0 ^ Р ^ 1. Нечеткие случайные события Р, д,... определяются, как в [7]:

Р = {(ш,аш) | аш = цР{и),и € П},

д = {(«,0«) | рш =щ(ш),и е О},...,

где функции принадлежности др(ш), ^(ш),... отображают Г2 в {0,Р, 1} (этих функций девять, где девятая функция получится, если заметить, что П = {(ал, 1), (ш2,1)})-Определения пересечения П и объединения и нечетких случайных событий

Рпд = {(о;,7Ш) | =аш/\/Зш,и € П},

Рид = {(о;,<У |«м=оиУ]8(1„шбП}.

Дополнение нечетких случайных событий

-Р = {(а;,сгш) | аш - 6 П}.

Вычислим

-Р = {(ал, 0), (а>2, 1)}, -Ср = {(ил, 0), (а;2,1)}, -д = {(ил, 1), (ыг, 0)}, -Сд = {(ил, 1), (уз, 0)}. Отсюда получаем для алгебры Н аналог теоремы 1.

Теорема 1'. Дополнения нечетких случайных событий Р, д, нениями их классических аналогов Ср,Сд,..., т. е.

совпадают с допол-

Вычисляя

находим, что

Кроме того,

-P = -CP,-Q = -Cq,... . -~Р = {(ил,1),(о;2,0)},

Ц--р( ш) =

Цр(ш) -

1, если и = ил,

0, если со — и>2-

F, если ш = u>i,

0, если и = W2-

Поскольку для всех и € будет цр{ш) ^ получаем аналог теоремы 2 в

алгебре Я:

Теорема 2'. Закон двойного дополнения не имеет места, т. е. Р С--Р.

Теорема 7. Алгебра Н изоморфна алгебрам Ар,Ак,Ар.

Рассмотрим гомоморфизм алгебры Н в алгебру Ак, построив отображение hf(x) — х^, ставящее в соответствие каждому х е М^ элемент х* е Мк и отображающее соответствующим образом операции. Имеем

(Р и СдУ = Р* V с£, (Р и <2У = РК V С}К,... .

Здесь принято сокращение: (Р и С (¿У обозначает (РУ (иУ [Со)*... . Поскольку отображение к}{х) взаимно однозначно, то гомоморфизм является изоморфизмом. В силу теоремы 6 получаем

Следствие. Алгебры Н,Ар,Ак,Ар изоморфны.

В силу условий (7), (8) для конечной (вероятностной) меры рн(х) имеем для любого

X е Мп

О ^рн(х),рн(П) = 1.

Если х П у = 0, то рн(х и у) — Рн(х) + Рн(у) (условие (9) для алгебры Н). Откуда получаем ря(0) — 0; если выпадание орла и решетки равновероятны, то рн(Ср) = рн(Ся) = 1/2.

Аксиома монотонности для алгебры Н формулируется в следующем виде: поскольку Р С С С<5,..., то рн(Р) ^ Ря(Ср), рн(<Э) ^ Ря(Сд),... Отсюда Рн(Р) ^ 1/2,Рн(Я) ^ 1/2. Отметим, что, поскольку

ХП=РиСд, Р П Сд = 0;

уп = рид, рпд = 0; гп = сР ид, сР п д = 0,

то ^ 1, ря(У") ^ 1, Ря(2п) < 1.

Поскольку —Р = Сд, то Xй — Ри—Р = {(ил,Р), (шг, Р)} и имеем аналог теоремы 3 в алгебре Н:

Теорема 3'. Закон исключенного третьего не имеет места, т. е. Ри —Р С П. Продолжая вычисления, получаем аналог теоремы 4: Теорема 4'. Закон противоречия имеет место, т. е. Р П —Р = 0. Следствие. Применяя аксиому монотонности, из теорем 3' и 4' определяем вероятность нечеткого противоположного события

Рн(-Р) ^ 1 -Ря(Р)

(в классической теории формула имеет вид рн(—Р) — 1 ~ Рн(Р))-

Приемом, рассмотренным в данной работе (описание взаимно однозначного отображения гомоморфизма), можно доказать изоморфизм булевых алгебр АА При реализации операции «Искра» одной из важнейших задач штабов всех уровней являлся прогноз суточной скорости движения ударных группировок Ленинградского и Волховского фронтов навстречу друг другу. Средняя скорость ударных группировок здесь составила 1 км в сутки.

Аналогичным образом, как и в настоящей работе, можно рассмотреть операцию «Уран» (окружение 6-й немецкой армии в районе Сталинграда в 1942 г.), операцию по полному снятию блокады Ленинграда в 1944 г. и др.

3. Большая военная игра в декабре 1940 г. в Москве. Совещание командного состава Красной Армии за 159 дней до нападения Германии на СССР завершилось большой военной игрой [8], где со стороны «Синих» (подразумевалась армия Германии) играл генерал Г. К. Жуков, со стороны «Красных» - генерал Д. Г. Павлов, руководил игрой нарком обороны С. К. Тимошенко. Действия «Синих» (наступающая сторона) описываются алгеброй

Ас = (Me, V, Л, -i),

где Мс = {0е, Рс, Qc, Xе, Zc, 1е}, С£: «Успешное продвижение "Синих" на глубину 250 километров (район города Барановичи) за 8 дней», Рс ^ Ср, Cq —

Qc ^ Cg, Xе = Рс V С§, Y° = Рс V Qc, Zc = СсРЧ Qc. При условии, что успешное и неуспешное наступления «Синих» равновероятны, имеем по разработанной выше для операции «Искра» методике вероятности:

рс(0е) = 0, рс( 1е) = 1, Рс(С£) = 1/2, рс(Рс) 5С 1/2, Рс(С%) = 1/2, pc(Qc) < 1/2, рс(Хс) ^ 1, pc(Yc) ^ 1, pc(Zc) <С 1.

Рассматриваемая модель наступления «Синих» носит многовариантный характер. Варианты задаются событиями Ср и различными вероятностными мерами рс■ Наступающая сторона стремится максимизировать рс(Ср) (дезинформация противника, тщательная разведка целей, длительная артиллерийская и авиационная подготовки, тренировка войск с учетом специфики местности для предстоящего наступления, захват господства авиации в воздухе и т. д.). Обороняющаяся сторона стремится минимизировать рс{Ср) («Западная граница Белоруссии еще с лета 1940 года непрерывно укреплялась. На строительство укреплений ежедневно выходило более 100 000 человек» [8, с. 171]. Из рапорта генерала Д. Г. Павлова Сталину от 18 февраля 1941 г.: «Необходимо Западный театр военных действий по настоящему привести в действительное оборонительное состояние путем создания ряда оборонительных полос на глубину 200-300 км, построив противотанковые рвы, надолбы, плотины для заболачивания, экскарпы, полевые оборонительные сооружения» [8, с. 172].) Рассматриваемая модель включает вариант, реализованный немецкой группой армий «Центр», по которому Ср : «Германская армия достигла города Барановичи за 4 дня» [8, с. 121]. Вероятности событий

рс(0с) - 0, рс( 1е) = 1, Рс(С%) = 1, рс(РС) ^ 1, Рс(С§) = 0,

Pc(Q°) = 0, рс(Хс) ^ 1, pc(Yc) ^ 1, pc(Zc) = 1.

Наличие рс(РС) ^ 1 означает, что хотя ударные соединения немецкой армии и достигли г. Барановичи, в тылу у них продолжают бороться Брестская крепость, Брестский вокзал и другие центры сопротивления (если их не было бы, то можно было бы обойтись булевыми алгебрами, как в случае с атаками дивизий Симоняка и Трубачева при анализе операции «Искра»).

Результаты игры были лично разобраны Сталиным с участием Д. Г. Павлова, членов Политбюро, руководства Наркомата обороны, офицеров Генштаба, командующих войсками приграничных военных округов.

Summary

Taryshkin V. Т. Algebras with finite measure for constructive proposition calculus.

Model and algebras for constructive (intuitionistic) proposition calculus with finite (probability) measure is constructed. The application of the theory to military operation planning is given on the example of Iskra operation on running Leningrad blockade.

Литература

1. Новиков П. С. Конструктивная математическая логика с точки зрения классической. М.: Наука, 1977. 328 с.

2. Тарушкин В. Т. Дискретный анализ в задачах диагностики // Вопросы механики и процессов управления. Вып. 23 / Под ред. С. В. Чистякова. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2004. С. 238-244.

3. Расева Е., Сикорский Р. Математика метаматематики/ Пер. с англ. В. А. Янкова. М.: Наука, 1972. 591 с.

4. Тарушкин В. Т. Алгебра Гейтинга нечетких случайных событий // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2004. Т. 11, вып. 2. С. 404-405.

5. Кемени Док., Спелл Дж. Конечные цепи Маркова / Пер. с англ.; Под ред. А. А. Юшкевича. М.: Наука, 1970, 271 с.

6. Лукницкий П. Н. Сквозь всю блокаду. Л.: Воениздат, 1975. 575 с.

7. Тарушкин В. Т., Тарушкина Л. Т., Юрков А. В. М-значная логика и оценка экономического состояния России //Междунар. конференция, посвященная 75-летию со дня рождения В. И. Зубова. Сб. трудов. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2005. Т. 3. С. 1604-1613.

8. Верховский Я., Тырмос В. Сталин. Тайный «Сценарий» начала войны. М.: ОЛМА ПРЕСС, 2005. 607 с.

Статья поступила в редакцию 6 марта 2006 г.