CC BY
106
Вестник Санкт-Петербургского университета. Сер. 6, 2004, вып: 3
А.С.Карпенко ПРЕДМЕТ ЛОГИКИ
В СВЕТЕ ОСНОВНЫХ ТЕНДЕНЦИЙ ЕЕ РАЗВИТИЯ
Специально в канун наступления нового тысячелетия была опубликована статья1, в которой основное внимание уделялось тенденциям развития современной логики. Уже здесь и особенно в аналитическом обзоре современных исследований в философской логике2 обращалось внимание на то, что в мировой литературе широко обсуждаются проблемы обоснования логики, где одной из главнейшей является, что есть логическая система!
Объем данной статьи не позволяет учесть все аспекты дискуссии, но, ограничившись некоторыми магистральными тенденциями развития логики (например, оставлен в стороне вопрос о компьютеризации логики и вопрос о том, является или нет мышление человека вычислительным процессом)3 и имея в виду, что вопрос о том, что есть логика, становится все более сакраментальным, мы приступим к рассмотрению предмета логики.
Возрождение психологизма? Начнем с того, что в подавляющем числе учебников и учебных пособий, издающихся в настоящее время для гуманитарных специальностей, предметом логики (за редчайшим исключением) является изучение законов мышления, а значит, форм мышления.
Такое понимание предмета логики можно было бы считать возрождением классического психологизма в логике, представленного Д.С. Миллем еще в середине XIX в. и утверждавшего, что логика является моделью процессов мышления, а логические законы могут быть выведены из законов мышления. Известно, что психологизм в логике был подвергнут обстоятельной критике еще Г. Фреге и Э. Гуссерлем.
Время наивысшего развития классической логики принадлежит 30-м годам XX в. Как теоретико-доказательный способ рассуждений, так и теоретико-модельный способ рассуждений ни в коей мере не принимают в расчет тот факт, что реальный процесс рассуждения, осуществляемый людьми или машинами, имеет строгие внутренние ограничения. В машинах Тьюринга, которые являются важнейшим инструментом в металогических исследованиях, память вообще не ограничена.
Тем не менее интуитивная связь между логическими формами (законами) и формами (законами) мышления, по-видимому, коренится глубоко в подсознании и является весьма неосознанной, если даже такой выдающийся специалист в области математической логики, как Дж. Барвайс, пишет о законах мышления, выражаемых кванторами первопорядковой логики4.
От корректных способов рассуждений к законам логики. Если обратиться к одному из самых авторитетных изданий по истории и развитию логики5, то в нем можно найти следующее традиционное определение предмета логики: «Наука, которая исследует принципы корректных или приемлемых рассуждений». Однако такое определение оставляет полностью открытым вопрос о точной сфере данного предмета, т.е. о сфере действия логики. Для традиционной логики — это силлогистические рассуждения, и существует ровно 24 правильных силлогизма. В свою очередь, в одном из наиболее известных в мире учебников по логике находим: «Если... его исследования посвящены в первую очередь изучению математических
© А. С. Карпенко, 2004
рассуждений, то предмет его занятий может быть назван математической логикой»6. По своему характеру рассуждения могут быть весьма разнообразными, например немонотонные рассуждения, которые позволяют адекватно оперировать с не полной и изменчивой информацией. Нечеткая (fuzzy) логика изучает нечеткие рассуждения, неформальная логика изучает неформальные рассуждения, философская логика, выходит, изучает философские рассуждения. Тогда психологические рассуждения изучают .... Чтобы избежать подобной бессмысленности, нужно выделить то ядро или те базовые понятия, с которыми данная наука имеет дело. Таким ядром несомненно является понятие логического следования.
Именно А. Тарский еще в 1935 г., как один из создателей современной логики, выделяет ее суть в работе с характерным названием «О понятии логического следования»: «Предложение Алогически следует из предложений класса К, если и только если каждая модель класса К есть также модель предложения Х»\
В последнее время концепция логического следования Тарского вызывает повышенный интерес, точнее, вокруг нее идет бурная дискуссия. Сама работа Тарского носит скорее философский, нетехнический характер и оставляет много места для различных конфликтующих интерпретаций. Особый интерес представляет статья М. Гомеза-Торренте8, где идеи Тарского анализируются в историческом логико-философском контексте, в котором они и были предложены.
Подчеркнем, что логические свойства, в частности общезначимость самого аргумента логического следования, должны быть независимы от отдельно выбранного универсума рассуждений. Основной замысел Тарского состоял в том, чтобы дать определение логического следования, применимого для очень широкого класса рассуждений, настолько широкого, что возникают проблемы уже другого уровня, относящиеся к вопросу о том, что есть логика.
Как бы то ни было, понятие логического следования заняло центральное место в логике, и потому все больший смысл приобретает следующий вопрос: Что значит для заключения А следовать из посылок Е? Следующий критерий считается общепринятым: А следует из посылок Б, если и только если любой случай, в котором каждая посылка в I является истинной, есть случай, в котором А истинна. Обратим внимание, что выдающийся российский логик А. А. Марков связывает этот принцип с определением того, что есть логика: «Логику можно определить как науку о хороших способах рассуждения. Под „хорошими" способами рассуждения при этом можно понимать такие, при которых из верных исходных положений получаются верные результаты»9. Таким образом, сутью логического следования является сохранение истины во всех случаях, а все это приводит нас к объектам, которые называются «логическими законами»: это сохраняющие истину рассуждения.
В итоге можно было бы объявить, что предметом логики является ни много ни мало как сама Истина. Заметим, что первоначальная реакция на психологизм в логике таковой и была. Определение предмета логики, данное Фреге, необычайно красиво: «Логика есть наука о наиболее общих законах бытия истины»10. Может показаться удивительным, что такое понимание логики продержалось почти сто лет и с некоторой модификацией вошло в книгу У. Куайна «Философская логика», где предметом логики, является систематическое изучение логических истин".
Этот традиционный подход к пониманию логики, развиваемый также А.Н. Уайтхедом и Б. Расселом и названный впоследствии логицистическим, предполагает, что логику в нем можно попытаться определить посредством совокупности логических законов, ее задающих. При этом, конечно, мы отказываемся от мифологизации некоторых логических законов как основных законов мышления.
Итак, в правильном рассуждении заключение вытекает из посылок с логической необходимостью, и общая схема такого рассуждения представляет собой логический закон. Таким образом, рассуждать логически правильно — значит рассуждать в соответствии с законами логики.
От законов логики к логическим системам. С современной точки зрения «логический закон» — это «теорема формальной системы». Так мы приходим к понятию формальной системы и доказательства в ней. Именно благодаря Д. Гильберту, предложившему программу обоснования математики после обнаружения в ней парадоксов, понятие формальной системы и доказательства становится строго формализованным объектом. С этого времени начинается совершенно новый этап развития современной логики. Мы изучаем не рассуждения, не их отдельные классы, ни те или иные аргументы, а доказательства как формальные объекты. Но для этого сама логика должна быть представлена в виде строго формализованной логической (дедуктивной) системы, или исчисления. Представление логических систем в виде исчислений может быть совершенно различным. Первоначально такое представление состоялось в виде так называемых гильбертовских исчислений, которые по сей день играют важную роль при образовании новых исчислений, а также при их классификации. Свою специфическую роль играют натуральные исчисления, секвенциальные исчисления, аналитические таблицы, но все они эквивалентны между собой.
Идеи, лежащие в основе гильбертовского' исчисления, чрезвычайно просты: из бесконечного множества законов логики (тавтологий) выбирается некоторое конечное число «очевидных» законов, названных аксиомами, и минимальное число правил, с помощью которых из аксиом (а также из множества допущений Г) выводятся другие законы, Например, в логике высказываний можно обойтись только одним правилом отдепения (modus ponens): из формул Ф и ф з ф выводима формула ф. Заметим, что это правило зависит только от вида формул и может в принципе производиться некоторым автоматическим устройством. В первопорядко-вой логике добавляются еще правила для кванторов. В качестве «вспомогательного» правила весьма полезной является теорема дедукции: если Г - множество формул, ц>и ф- формулы и Г, ф |— ф , то Г |— ф з ф. В частности, если ф |— ф, то \— ф з ф.
Как видно, гильбертовские исчисления представляют собой довольно-таки простую конструкцию, легко запоминаемую и объяснимую и, что немаловажно, удобную для доказательства различных метатеорем.
К логической системе предъявляются некоторые требования, являющиеся ее фундаментальными свойствами. Прежде всего, мы бы хотели, чтобы все наши теоремы являлись тавтологиями. Это требование называется теоремой о корректности. Так непроизвольно произошла интересная метаморфоза: от свойства быть корректным рассуждением перешли к свойству корректности всей логической системы. Отсюда следует фундаментальное свойство непротиворечивости: логическая система непротиворечива, если в ней одновременно не доказуемы некоторая формула и ее отрицание. Вместе с тем мы бы хотели, чтобы были доказуемы все тавтологии. Это требование называется теоремой о полноте. По существу, здесь говорится о том, что логических средств, т.е. аксиом и правил вывода, вполне достаточно для доказательства всех тавтологий. Таким образом, достигается главная цель: используя минимальные средства, можно обозреть все множество логических законов данной логической системы. Теорема о корректности и теорема о полноте вместе дают теорему адекватности: формула ф доказуема тогда и только тогда, когда ф тавтология. Смысл этой теоремы в том, что понятие логического следования и понятие доказательства совпадают. Теорема дедукции и теорема адекватности являются характеристическими свойствами логических систем и окажутся полезными нам в дальнейшем, как и определение дедуктивной системы и теории, предложенное А.Тарским в 1930 г. В более обычной терминологии это выглядит так.
Множество всех формул, построенных из пропозициональных переменных и логических связок языка обозначим посредством Fm.
Дедуктивная система S (в языке S£) есть пара S = < Fm, \— >, где |— есть отношение следования между подмножествами множества формул Fm и элементами Fm, выполняющее следующие три условия для всех Г, Д с Fm и ф, ф е Fm:
(1)ф е Г => Г |— ф,
(2) Г |— ф и Г с А => Д ф,
(3) Г |— ф и А |— ф для каждого ф е Г => А |— ф.
Дополнительно |— является финитарным, если
(4) Г |— ф => Г |—ф для некоторого конечного Г' с Г
и называется структурным, если
(5) Г |— ф^>е(Г)|—еФ
для каждой подстановки е.
Тогда теория S, или просто 5-теория, есть множество формул замкнутых относительно отношения следования j—. Последнее означает, что если Е |— ф, тогда ф е Множество всех теорий S обозначается посредством Th(S).
От логических систем к исчислению логик. Однако следующий шаг, а на самом деле яркая тенденция развития современной логики, - это изучение не отдельной логической системы, какой бы она привлекательной ни была, а изучение целых классов логических систем. Здесь мы опять сталкиваемся с проблемой бесконечности, но на этот раз не с бесконечным числом законов, а с бесконечным числом логических систем, поскольку многие конечно-аксиоматизируемые логики (исчисления) имеют бесконечное число непротиворечивых расширений.
Сразу отметим, что изучение различных множеств логических систем в виде определенной решеточной структуры, с теми или иными свойствами, становится одной из главных тенденций развития логики во второй половине XX в.
Уже Тарский в 1930 г. заметил, что множество теорий Th(S) относительно теоретико-множественного включения образует брауэрову решетку, т.е. алгебру, дуальную к алгебре Гей-тинга. Итак, впервые было установлено, что само множество логических систем (в данном случае — дедуктивных систем в смысле Тарского) образует определенную конструкцию, более того, Тарский вводит термин «исчисление систем».
Интересное развитие результатов Тарского в этой области принадлежит В. Дзику12, который, в частности, показал, что содержание решетки всех теорий классической пропозициональной логики равно множеству интуиционистских теорем.
В последнее время особое внимание привлекает проблема интерпретируемости теорий в смысле Дж. Мак-Кинси и А. Тарского, доказавших в 1948 г., что система интуиционистских теорем интерпретируема в модальной системе Льюиса S4.
Рассмотрим вопрос об интерпретируемости первопорядковых теорий13. Под теорией (математической) здесь понимается то, что может быть формализовано средствами первопорядко-вой логики. При этом желательно было бы выделить классы теорий, которые совместно интерпретируемы одна в другой, поскольку понятно, что теории зависят от выбора языка и исходных понятий. Последнее приводит к конструкции весьма абстрактных объектов, а именно классов эквивалентности первопорядковых теорий. Имеются различные отношения эквивалентности на множестве теорий. Дж. Мыцельский и другие изучают одно из наиболее абстрактных отношений эквивалентности, названное локальной интерпретируемостью, а сами классы эквивалентности названы главами (chapters) математики.
Чтобы избежать тривиальных исключений, рассматриваются только непротиворечивые теории Т с моделями, имеющими более одного элемента. Tt является локально интерпретируемой в теории Тр если для каждой теоремы d О Г, существует интерпретация /, такая, что d' О Тг Интерпретация может иметь параметры, переменные могут переводиться как п-ки переменных (в этом случае говорят о и-мерной интерпретации). Будем говорить, что теории Т{ и Т2 имеют одну и ту же главу (т.е. попадают в один и тот же класс эквивалентности), если Т является локально интерпретируемой в теории 7\, и наоборот.
Собрание всех глав не является собственным классом и имеет мощность континуума 2К". Локальная интерпретируемость индуцирует частичный порядок на множестве глав. Этот порядок таков, что образует дистрибутивную алгебраическую решетку, названную авторами LC (the lattice of chapters).
Большой интерес представляет изучение алгебраических свойств решетки LC, в особенности, если иметь в виду инвариантность глав теории Т относительно языка, в котором Т выражена. Отметим некоторые свойства: конечно-аксиоматизируемые теории соответствуют компактным элементам в LC; множество компактных глав и множество глав, содержащих рекурсивно перечислимые теории, являются подрешетками LC; эквациональные главы образуют алгебраическую решетку мощности 2х", но она недистрибутивна и даже немодулярна и т. д.
Кроме самих теорий особый интерес представляет изучени<^ш(аеевв логик, замкнутых относительно соответствующих правил вывода, в первую очереДь modus ponens и подстановки, и каждый элемент этого класса является непротиворечивым расширением какой-либо исходной логики.
То, что логик бесконечно много, стало большим событием в логическом мире. Уже К. Гё-дель в 1932 г. показал, что существует счетное число логик между интуиционистской логикой Н и классической С , которые впоследствии получили название суперинтуиционистских логик (si-логики). В середине 50-х годов начинается систематическое изучение таких классов логик, как si-логики и льюисовские модальные логики.
В течение долгого времени оставалась надежда найти полное описание решетки модальных и si-логик — тогда можно было бы «обозреть» любую логику и даже, может быть, представить их в виде исчисления. Все эти надежды были разрушены открытием В. А. Янко-вым14 континуального класса si-логик и обнаружением способов конструирования модальных и si-логик с весьма «нежелательными» свойствами (неразрешимость, неаксиоматизируемость и т. д.). Имея в виду исходный гёделевский перевод Н в S4 (Godel, 1933), можно распространить его и на весь класс si-логик. В результате был установлен изоморфизм всех si-логик и нормальных расширений S4, которых, следовательно, тоже континуум15. Впоследствии были обнаружены континуальные классы релевантных логик, паранепротиворечивых логик, логик следования и т. д. Оказывается, континуальность классов логик является не исключением, а нормой.
Важнейшим этапом современных исследований является изучение решеточных свойств классов логик. Уже С. Дж. Скрогом (1951 г.) в статье впервые было рассмотрено семейство модальных логик, в данном случае нормальные расширения S5 в виде решетки и установлено, что таких расширений счетное число. Поскольку множество всех si-логик, упорядоченное отношением включения, образует алгебру Гейтинга16, то таковой является и решетка расширений S4. Заметим, что представление расширений логических систем в виде решеток позволяет устанавливать погружающие операции между ними и по свойствам одной решетки логик выявлять свойства другой решетки логик. В свою очередь, Р. Григолия17 показал, что множество всех расширений бесконечнозначной логики Лукасевича также образует алгебру Гейтинга.
В обзоре по модальной логике, помещенном в первом издании «Справочника по философской логике»'8, лишь отмечается, что все нормальные модальные логики образуют дистрибутивную решетку относительно теоретико-множественного включения, которая чрезвычайно сложна. Прекрасная книга А. Чагрова и М. Захарьящева" содержит главу 4 под названием «От логик к классам логик», где оговорено, что классы расширений модальных логик рассматриваются как решетки. Здесь явно обозначена тенденция к изучению не отдельных логик, а их классов и намечено развитие общих методов исследования этих классов. Наконец, фундаментальный обзор по современной модальной логике, помещенный во втором издании «Справочника по философской логике»20, сразу начинается с представления решетки расширений ба-
зисной модальной логики К. Такой подход, отмечается авторами в предисловии, дает возможность использовать мощный технический аппарат, который позволяет ставить вопросы типа «что является ко-атомами в решетке?» (т.е. какие логики являютя максимально непротиворечивыми?) или «имеются ли бесконечные обрывающие цепи?» (т.е. являются ли все логики в этом семействе конечно аксиоматизируемы?) и т.д.
В итоге изучение способов рассуждения в некоторой выделенной логической системе отодвигается на второй план. А на первый план выдвигается изучение классов логических систем с «хорошими» семантическими или синтаксическими свойствами. Очевидно, есть разница между развитием теории дедукции для одной «избранной» логики и изучением свойств структурированных (континуальных) классов логик.
Если логика имеет какое-то отношение к мыслительной деятельности человека, то тогда уровень логичности последней скрывается за «функционированием» бесконечных классов различных логических систем.
От законов мышления к законам алгебры. Мы рассмотрели только одно из направлений развития логики, инициированное Г. Фреге, Н. А. Уайтхедом и Б. Расселом, где истина и логическая истина явились первоначальными логическими предикатами. Под воздействием идей метаматематики эта тенденция в логике сфокусировалась на теории дедукции логических истин, выраженных логическими законами, что привело к построению логических систем, а затем к изучению их классов в виде структурализованных объектов.
Однако одновременно с этим Дж. Буль, В. Джевонс, Ч.С. Пирс и Э. Шрёдер в качестве примитивного предиката взяли логическую эквивалентность и использовали сходство между нею и равенством. Работы Джевонса, Пирса и Шредера привели к построению теории алгебры отношений, а работы Буля — к алгебре логики. Обратим внимание на название главной работы Дж. Буля, опубликованной в 1854 г.: «Исследования в области основных законов мышления, на которых основаны математические теории логики и теория вероятностей» (курсив наш. —А. К.). С этой поры основным предметом логики становится изучение свойств логических операций над множеством высказываний, рассматриваемых лишь со стороны их логических значений, и в первую очередь исследуются равенства (тождества) между формулами.
Постепенно были выделены основные свойства (классических) логических операций в виде некоторого количества тождеств. В совокупности эти тождества образовали конструкцию под названием «булева алгебра». Таким образом, булева алгебра есть результат алгебраической формализации классической логики высказываний.
Потребовалось некоторое время, чтобы логики задумались над связью между двумя, казалось бы, совершенно различными путями развития логики, пока А. Тарский в 1935 г. в точности не определил связь между булевой алгеброй и классическим пропозициональным исчислением. Его подход основывается на оригинальной идее А. Линденбаума (1926-1927 гг.), который предложил рассматривать формализованный пропозициональный язык как универсальную алгебру с операциями, соответствующими логическим связкам этого же языка. Но самое главное, затем вводится отношение логической эвивалентности = на множестве формул классического пропозиционального языка ср = ф т.т.т., когда ф <-> ф есть теорема. Определенное таким образом отношение эквивалентности = является также отношением конгруэнтности на алгебре формул /•»?, и соответствующая тогда фактор-алгебра Рт!= известна как алгебра Линденбаума-Тарского. Алгебры Линденбаума-Тарского классической пропозициональной логики, полученные подобным образом, являются (с точностью до изоморфизма) счетными булевыми алгебрами.
К середине прошлого века Л. Хенкином, Р. Сикорским, Е. Расёвой и другими было осознано, что этот метод может быть применен к другим логикам со связкой импликации, удовлетворяющей некоторым базисным свойствам. Такого рода обобщение было проведено в хорошо изве-
стной книге Е. Расёвой, где впервые вводится понятие «алгебраический пример (counterpart) ло-гики»1]. Магистральное развитие алгебраической логики12 состояло в систематическом исследовании широкого класса логик алгебраическими методами. Одними из целей явились установление общего критерия для класса алгебр быть алгебраическим примером логики и развитие для этого самих методов. В этой связи абстракция метода Линденбаума-Тарского играет главную роль. В результате в конце XX в. появился термин «абстрактная алгебраическая логика»23.
Для почти всех логик, рассмотренных в традиционной алгебраической логике, следующее свойство имеет место для каждой теории Z и каждой пары формул <р и ф: если для каждой формулы 5 с переменной х, 8(cp/.r) е X т.т.т., когда 5(ф/х) е X, то X с {ф} |— ф и X и {ф} |— ф.
Логики, которые удовлетворяют этому свойству для всех теорий, были названы прото-алгебраизуемыми24. Протоалгебраизуемые логики включают в себя почти все хорошо известные логики и составляют главный класс логик, для которых углубленные методы универсальной алгебры могут быть применены к их матрицам, чтобы получить строгие и интересные результаты. Интересно, что свойство протоалгебраизуемости может быть характеризуемо различными и даже удивительными способами, например протоалгебраизуемые логики обладают некоторой весьма ослабленной формой теоремы дедукции.
Однако с начала 90-х годов был обнаружен целый ряд интересных непротоалгебраизуе-мых логик, например базисная логика Виссера, которая характеризуется транзитивными, но нерефлексивными шкалами Крипке. Это ставит вопрос о подходящем обобщении отношения конгруэнтности, введенного в алгебрах Линденбаума-Тарского, а также о построении общей теории непротоалгебраизуемых логик. Что касается протоалгебраизуемых логик, то их теория развита в фундаментальной монографии Я. Челаковского25.
В уже ставшей классической работе В. Блока и Д. Пигоцци26 понятию «алгебраизуемая логика» было дано точное определение. Основопологающая идея состояла в следующем: логика, в которой отношение следования выполняет пункты (1) — (5), является алгебраизуемой, если существует класс алгебр, относящийся к этой логике точно так же, как существует класс булевых алгебр, относящихся к классической пропозициональной логике.
Обратим внимание на внутреннее свойство логики, делающее ее алгебраизуемой: для нее имеет место (обобщенная) теорема адекватности. В итоге мы имеем алгебраическую семантику для исключительно широкого класса логических систем.
Отметим, что все алгебраизуемые логики являются протоалгебраизуемыми, однако имеется много неалгебраизуемых протоалгебраизуемых логик. Например, неалгебраизуемы логика следования Е и парранепротиворечивая логика Н. да Косты С1.
Современное бурное развитие алгебраической логики поставило вопрос об охвате алгебраическими методами всей символической логики, и результаты здесь весьма впечатляющи. Речь идет о связи между отдельным металогическим свойством специфической логики, которая, как правило, является алгебраизуемой, и алгебраическим свойством ассоциированных с нею алгебр. Приведем некоторые примеры.
Пусть Alg(L) обозначает класс алгебр, который соотносится с некоторой логикой L. Например, если L есть классическая логика высказываний, то Alg(L) есть класс булевых алгебр. Теперь можно формулировать теоремы, утверждающие, что L имеет определенное логическое свойство т.т.т., когда Alg(L) имеет определенное алгебраическое свойство. Это позволяет дать алгебраическую характеризацию таких логических свойств, как полнота, наличие теоремы дедукции, компактность, разрешимость, интерполяционность Крейга и т. д. Например, L допускает строго полную гильбертовскую аксиоматизацию (Г j—А т.т.т., когда Г | = А т.т.т.), когда Alg(L) есть финитно аксиоматизируемое квазимногообразие.
Заметим, что алгебраическая логика является хорошим инструментом для выяснения такого сложного вопроса, как взаимоотношение между различными логическими системами
и, главное, их классификация в зависимости от свойств отношения конгруэнтности27. Интересно, что дальнейший процесс абстрагирования понятия алгебраизуемости начинает фокусироваться на чисто теоретико-решеточной природе28. И здесь мы находим явные точки соприкосновения с тем, к чему пришло логицистическое развитие логики.
Наконец, обратим внимание на книгу П. Халмоша и С. Гиванта с весьма примечательным названием «Логика как алгебра»29, где показывается, что законы силлогистики, законы логики высказываний, законы логики предикатов — все есть законы алгебры. Таким образом, если идти от исходных идей Дж. Буля: нет больше законов мышления, отличных от законов алгебры.
Логика как категорный объект. Более 50 лет назад усилиями С. Мак-Лэйна и С. Эйлен-берга была создана теория категорий - одна из наиболее важных математических теорий прошлого века. Новая теория позволила обнаружить совсем неожиданные и удивительные взаимоотношения внутри различных разделов математики и, самое главное, под влиянием идей В. Ловера выступила мощным средством для разработки новых оснований математики. Во всем этом наблюдается некоторая негативная реакция на теорию множеств («основу всех основ»).
Как подчеркивает П. Т. Джонстон30, одной из принципиальных особенностей теории категорий является то, что она принимает «морфизм» (отображение) как первичное понятие на одном уровне с понятием «объект», т.е. существуют только объекты и морфизмы между объектами. При этом морфизмы удовлетворяют законам идентичности и ассоциативности. Все вместе образует конструкцию под названием «категория».
С построением теории категорий появилась возможность создания логического универсума гораздо более богатого, чем конструкция под названием «решетка», элементами которой являются логики в том или ином смысле.
В самом общем случае объектами являются логики вида А = <А, 1—>, где А есть множество (предложений) и |—4 есть отношение следования, выполняющее условия (1)-(3). Тогда морфизмы между объектами есть не что иное, как переводы, или погружения (embedding).
Погружение одной логической системы в другую (первым примером которого является теорема В. Гливенко о погружении классической пропозициональной логики в интуиционистскую) стало сейчас важнейшей темой исследований. Самое общее понятие перевода состоит в следующем: система S переводима в S", если существует функция между двумя универсумами рассуждений, которая сохраняет (по крайней мере, в одну сторону) отношение дедуцируемоспЫ.
Переводом (из) логики А = <А, |—д> в логику В = <В, j—> является отображение f. А В такое, что для любогоIc А:Х\—А <р о f (X) |—н Дер).
В результате указанные логики как объекты и указанные переводы как морфизмы образуют биполную категорию, т. е. категорию, для которой определены произведения и суммы31. Конечно, могут рассматриваться различные ограничения, как на само понятие логики, так и на отображение /, в результате чего будем приходить к разным категорным объектам. Отметим также, что с категорной точки зрения может быть рассмотрена и интерпретируемость теорий32: / называется точной (faithful) интерпретацией теории Tt в теорию Т2, если
Т{ |— 8 тогда и только тогда, когда Т2 |— 5'.
Точная интерпретируемость Тх в Т2, и наоборот, влечет категорную эквивалентность Т-и Т - пополнений предтопоса33.
Выше мы рассмотрели категорию дедуктивных систем в смысле Тарского, которая оказалась биполной. Другой категорией может выступать категория алгебраизуемых логических систем, где под последними понимаются «алгебраизуемые дедуктивные системы» в смысле Блока и Пигоцци. Было доказано34, что категория алгебраизуемых логических систем изоморфна категории соответствующих первопорядковых теорий. Показано также, что эти категории кополны.
Как было показано, в качестве объектов могут выступать сами дедуктивные системы, а морфизмами между такими объектами считаются переводы одной дедуктивной системы в другую. Теперь можно выйти на уровень еще большего обобщения. Представление дедуктивных систем в виде категории наводит на мысль использовать понятие функтора, являющегося одним из основных понятий в исходной работе родоначальников теории категорий, в качестве погружающей операции. Функтор — это отображение из одной категории в другую, сохраняющее категорную структуру. В общем случае такие функторы можно рассматривать как переводы одной дедуктивной системы в другую.
Только совсем недавно появилась работа, посвященная категорному подходу к абстрактной алгебраической логике35, где обобщение дедуктивной системы дается в кате горных терминах и главные усилия направлены на изучение функторов между категориями теорий (сформулированных в разных логических языках).
В итоге заметим, что категорный подход к логике вообще не оставляет места для психологизма в логике и совсем мало — для самой логики, понимаемой в ее хорошем традиционном смысле как науке о правильных рассуждениях.
Однако новая парадигма — теория категорий— постепенно становится универсальной не только для всей математики (или почти всей), но и для логики. Введение в теории категорий конструкции под названием «функтор» естественным образом привело к образованию Ф. JTo-вером в 1966 г. конструкции под названием «категория категорий». Не случайно, что с объяснения, что такое категория категорий, по существу, начинается монография К. Мак-Ларти36.
В категории всех категорий CAT объектами являются все категории и морфизмами — все функторы. Тогда возникает настоящая проблема: является ли CAT сама по себе категорией? Ответ Мак-Ларти состоит в том, чтобы рассматривать CAT как регулятивную идею, т.е. как неизбежный способ мышления о категориях и функторах, но не как строго легитимную сущность. Такими регулятивными идеями являются, например, собственная личность, универсум и Бог у Канта (1781г.).
Подобным образом и логика приближается к статусу регулятивной идеи, симптомом чего является поиск при помощи категорных средств все более строгого и по возможности универсального объекта под названием «дедуктивная система». Понятно, что появление различных категорных объектов логической природы рано или поздно поставит подлинный вопрос о регулятивной идее логики всех логик.
Summary
In this paper the following questions are considered: 1. On psychologicism in logic. 2. From correct reasoning to the laws of logic. 3. From the laws of logic to logical systems. 4. From logical systems to the calculus of systems (to the lattice of logics). 5. From the law of thought to the laws of algebra. 6. Logic as a category.
1 Карпенко А.С. Логика на рубеже тысячелетий // Логические исследования. Вып. 7. М, 2000. С. 7-60.
: Карпенко А.С. Современные исследования в философской логике // Вопросы философии. 2003. № 9. С. 54-75.
I Там же.
4 Барвайс Дж. Введение в логику первого порядка // Справочная книга по математической логике. Ч. 1: Теория моделей. М., 1982. С. 43.
sKneale W.. Kneale M. The Development of Logic. Oxford, 1962. P. 1 (9th ed. in 1985).
'' Мендельсон Э. Введение в математическую логику М., 1984. С. 7 (3-е издание).
7 TarskiA. On the concept of logical consequence // Tarski A. Logic, Semantics, Metamatematics. Indianapolis: Hacket, 1983 (2nJ ed ). P. 417
sGómez-Torrente M. Tarski on logical consequence // Notre Dame Journal of Formal Logic. Vol. 37. 1996. P. 125-151.
'' Марков А.А. Элементы математической логики. M, 1984. С. 5.
"' Фреге Г. Логика и логическая семантика. М., 2000. С. 307.
II Ouine W. V. Philosophy of Logic. New York, 1970 (Reprinted in 1986).
12 Dzik W. On the content of lattices of logics. Pan II // Report on Mathematical Logic. 1982. N 14. P. 29-47.
" MycielskiJ.. PudlakP., Stern A. S. A lattice of chapters of mathematics (interpretations between theorems)// Memoirs of the American Mathematical Society. 1990. Vol. 84. N 426.
"Янков В. А. Построение последовательности сильно независимых суперинтуиционистских пропозициональных исчислений // Доклады Академии наук СССР. 1968. Т. 181. № 1. С. 33-34.
15 Максимова Л.Л., Рыбаков В.В. Решетки модальных логик // Апгебра и логика. 1974. Т. 13. С. 105-122. "' Hosoi Т. On intermediate logics II //Journal of the Faculty of Science, University of Tokyo. 1969. Vol. 16, P. 1-12.
17 Григолия P. Решетка всех финитно-аппроксимируемых расширений счетнозначной логики Лукасевича // Исследования по теории множеств и неклассическим логикам. М., 1976. С. 221-246.
" Bull R.A., SegerbergK. IID. Gabbay and F. Guenthner, eds. Handbook of Philosophical Logic -Vol. II: Extensions of classical logic, Dordrecht: Reidel, 1984. P. 22.
" Chagrov A., Zakharyaschev M. Modal logic. Oxford, 1997. Zakharyaschev M., Wolter F., Chagrov A. Advanced Modal Logic // D. M. Gabbay, F. Guenthner, eds. Handbook of Pilosophical Logic, 2ni ed. Vol. 3. Dordrecht: Kiuwer, 2001. P. 83-266.
21 Rasiowa H. An Algebraic Approach to Non-classical Logics. Warszawa, 1974.
22 Под таким названием большая статья включена во второе издание «Справочника по философской логике»: Andreka Я, Nemetil., $ain ! Algebraic logic // D. Gabbay and F. Guenthner, ed. Handbook of Philosophical Logic. Vol. 2. Dordrecht: Kiuwer, 2001.
25 См. обзор: Font J. M., Jansana R.. Pigozzi D. Asurvey of abstract logic // Studia Logica. 2003. Vol. 74. N 1/2. P. 13-97. "Blok W.J., Pigozzi D. Protoalgebraic logics // Studia Logica. 1986. Vol. 45, P. 337-369.
25 Czelakowski J. Protoalgebraic Logic. Trends in Logic. Vol. 10. Dordrect: Kiuwer, 2001.
26 Blok WJ., Pigozzi D. Algebraizable logics (monograph). Memoirs of the American Mathematical Society. 1989. N396.
27 Ibid. P. 49.
18 См.: Blok W.J.. Jonsson B. Algebraic structures for logic. New Mexico State University. 1999. Available at http:// math.nmsu.edu/~holysymp/.
24 Halmos P., GivantS. Logic as Algebra. Washington, 1998. w Джонстон П. Т. Теория топосов. М., 1986. С. 16.
" Carnielli W. A., D'Ottaviano М. L. Translations between logical systems: A MANIFESTO // Logique et Analyse. 1997. N 157. P. 74.
'2 Gaifman H. Operations on relational structures functors and classes. I // Proceedings of the Tarski Symposium. Amer. Math. Society. 1976. Vol. 25. P. 21-39.
" Определение предтопоса см ..Джонстон П. Т. Теория топосов. С. 258.
м Janossy A.. Kurucz A.. Eiben А. Е. Combining algebraizable logics // Notre Dame Jornal of Formal Logic. 1996. Vol. 37. P. 366-380.
15 Voutsadakis G. Categorial abstract algebraic logic // Studia Logica. 2003. Vol. 74. N 1/2. P. 275-311. и McLarty C. Elementary Categories, Elementary Toposes. Oxford, 1992.
Статья поступила в редакцию 7 апреля 2004 г
