CC BY
136
ФИЛОСОФИЯ И МЕТОДОЛОГИЯ НАУКИ
А. С. Карпенко
К ОПРЕДЕЛЕНИЮ ЛОГИЧЕСКОГО: ТРАДИЦИЯ И СОВРЕМЕННЫЙ ВЗГЛЯД
Обсуждается вопрос относительно природы логического с точки зрения текущих тенденций в развитии логики. Рассматриваются соотношения между принципами правильного рассуждения и законами логики, законами логики и логическими системами, логическими системами и исчислением логик, законами мышления и законами алгебры, логика как категориальный объект.
В 2001 г. был переиздан учебник по логике известного российского философа В. Ф. Асмуса. Это была первая работа по формальной логике, вышедшая в СССР в 1947 г. после долгого периода резко критического отношения к этому научному направлению. Глава «Предмет и задача логики» начинается подзаголовком: «Логика как наука о правильном мышлении» [Асмус, 2001]. В этом же году издана «Новая философская энциклопедия», где логика рассматривается «как наука, дающая теоретическое описание законов мышления» [Бочаров, 2001, с. 406]. Подчеркнем, что в подавляющем числе учебников и учебных пособий, издающихся в настоящее время для гуманитарных специальностей, предметом логики (за редчайшим исключением; см. [Гладкий, 2001] и [Анисов, 2002]) является изучение именно законов мышления, а значит форм мышления.
Такое понимание предмета логики можно было бы считать возрождением классического психологизма в логике, представленного Д. С. Миллем еще в середине XIX в., который утверждал, что логика является моделью процессов мышления, а логические законы могут быть выведены из законов мышления. Известно, что психологизм в логике был подвергнут обстоятельной критике еще Г. Фреге и Э. Гуссерлем. Непримиримым критиком психологизма в логике был создатель логического направления в Львовско-Варшавской школе Я. Лукасевич: «...Неверно, что логика - наука о законах мышления. Исследовать, как мы действительно мыслим или как мы должны мыслить, - не предмет
КАРПЕНКО Александр Степанович - доктор философских наук, профессор, академик РАЕН, зав. сектором логики Института философии РАН © Карпенко А. С., 2007
логики. Первая задача принадлежит психологии, вторая относится к области практического искусства, наподобие мнемоники» [Лукасевич, 1959, с. 48].
Время наивысшего развития классической логики - 30-е гг. XX в. Как теоретико-доказательный способ рассуждений, так и теоретико-модельный способ рассуждений ни в коей мере не принимают в расчет тот факт, что реальный процесс рассуждения, осуществляемый людьми или машинами, имеет строгие внутренние ограничения. В абстрактных машинах Тьюринга, которые являются важнейшим инструментом в металогических исследованиях, память вообще не ограничена.
Тем не менее интуитивная связь между логическими формами (законами) и формами (законами) мышления, по-видимому, коренится глубоко в подсознании, если даже такой выдающийся специалист в области математической логики, как Дж. Барвайс, говорит о законах мышления, выражаемых кванторами логики предикатов первого порядка [Барвайс, 1982, с. 43].
От способов рассуждений к законам логики. В одном из самых авторитетных изданий по истории и развитию логики [Kneale W. and Kneale M., 1962, p. 1] можно найти следующее традиционное определение предмета логики: «Наука, которая исследует принципы корректных или приемлемых рассуждений». Однако такое определение оставляет полностью открытым вопрос о точной сфере данного предмета, т. е. о сфере действия логики. Для традиционной логики - это силлогистические рассуждения, и существует ровно 24 правильных силлогизма. В одном из наиболее известных в мире учебников по логике находим: «Если... его исследования посвящены в первую очередь изучению математических рассуждений, то предмет его занятий может быть назван математической логикой» [Мендельсон, 1984, с. 7]. По своему характеру рассуждения могут быть весьма разнообразными, например, немонотонные рассуждения, которые позволяют адекватно оперировать с неполной и изменчивой информацией. Нечеткая (fuzzy) логика изучает нечеткие рассуждения [Weisstein, 1999], неформальная логика изучает неформальные рассуждения [Groarke, 2002], философская логика, выходит, изучает философские рассуждения. Тогда психологические рассуждения изучает. Что-
бы избежать подобной бессмыслицы, нужно выделить то ядро или те базовые понятия, с которыми данная наука имеет дело. Таким ядром, несомненно, является понятие логическое следование.
А. Тарский еще в 1936 г. как один из создателей современной логики выделяет ее суть в работе с характерным названием «О понятии логического следования». Однако возникают чисто методологические проблемы: в каких терминах, или, как бы мы сейчас сказали, какова парадигма возможного ответа. Ответы на вопрос о сфере логики, о ее базисных понятиях, которыми оперирует и которые использует концепция логического следования, могут быть совершенно различными: теоретико-модельными, семантически теоретико-множественными, или теоретико-доказательными, или конструктивными, или комбинаторными и т. д. Ответ самого Тарского находится всецело в рамках семантического подхода: «Предложение X логически следует из предложений класса K, если и только если каждая модель класса K есть также модель предложения X» [Tarski, 1983b, p. 417].
В последнее время вокруг концепции логического следования Тарского идет бурная дискуссия. Сама работа Тарского носит скорее философский, нетехнический характер и оставляет много места для различных конфликтующих интерпретаций. Особый интерес представляет статья М. Гомеза-Торренте [Gómez-Torrente, 1996], анализирующего идеи Тарского в историческом логико-философском контексте, в котором они и были предложены.
Подчеркнем, что логические свойства, в частности общезначимость самого аргумента логического следования, должны быть независимы от отдельно выбранного универсума рассуждений. Основной замысел Тарского состоял в том, чтобы дать определение логического следования, применимого для очень широкого класса рассуждений, настолько широкого, что возникают проблемы уже другого уровня, относящиеся к вопросу о том, что есть логика.
Как бы то ни было, понятие логического следования заняло центральное место в логике и потому все больший интерес приобретает следующий вопрос: что значит для заключения A следовать из посылок E? Следующий критерий считается общепринятым: A следует из посылок E, если и только если любой случай, в котором каждая посылка в E является истинной, есть случай, в котором A истинна. Обратим внимание, что выдающийся российский логик А. А. Марков связывает этот принцип с определением того, что есть логика: «Логику можно определить как науку о хороших способах рассуждения. Под "хорошими" способами рассуждения при этом мож-
но понимать такие, при которых из верных исходных положений получаются верные результаты» [Марков, 1984, с. 5]. Таким образом, сутью логического следования является сохранение истины во всех случаях, а все это приводит нас к объектам, которые называются «логическими законами», - это сохраняющие истину рассуждения.
В итоге можно было бы объявить, что предметом логики является ни много ни мало как сама Истина. Заметим, что первоначальная реакция на психологизм в логике таковой и была. Определение предмета логики, данное Фреге, необычайно красиво: «Логика есть наука о наиболее общих законах бытия истины» [Фреге, 2000, с. 307]. Может показаться удивительным, что такое понимание логики продержалось почти сто лет и с некоторой модификацией вошло в книгу У. Ку-айна «Философия логики», где предмет логики определяется как систематическое изучение логических истин [Quine, 1970].
Этот традиционный подход к пониманию логики, развиваемый также Б. Расселом и А. Н. Уайтхедом, весьма располагает тем, что логику в нем можно попытаться определить посредством совокупности логических законов, ее задающих. При этом, конечно, мы отказываемся от мифологизации некоторых логических законов как основных законов мышления (это закон непротиворечия, закон исключенного третьего и закон тождества). И для этого есть веские основания: к концу XX в. не осталось ни одного мало-мальски «приличного» логического закона, который не был бы подвергнут серьезной критике.
Итак, в правильном рассуждении заключение вытекает из посылок с логической необходимостью и общая схема такого рассуждения представляет собой логический закон. Таким образом, рассуждать логически правильно - значит рассуждать в соответствии с законами логики.
От логических законов к логическим системам. С современной точки зрения «логический закон» - это «теорема формальной системы». Так мы приходим к понятиям формальной системы и доказательства в ней. Именно благодаря Д. Гильберту, предложившему программу обоснования математики после обнаружения в ней парадоксов, понятия формальной системы и доказательства становятся строго формализованными объектами. С этого времени начинается совершенно новый этап развития современной логики. Мы изучаем не рассуждения, не их отдельные классы, не те или иные аргументы, а доказательства как формальные объекты. Но для этого сама логика должна быть представлена в виде строго формализованной логической системы или исчисления. Представление логических систем в виде исчислений может быть совершенно различ-
ным. Первоначально такое представление состоялось в виде так называемых гильбертовских исчислений, которые по сей день играют важную роль при образовании новых исчислений, а также при их классификации (некоторую классификацию гильбертовских исчислений посредством конечных булевых решеток можно найти в [Карпенко, 1997], [Karpenko, 2000]). Свою специфическую роль играют натуральные исчисления, секвенциальные исчисления, аналитические таблицы, но все они эквивалентны между собой.
Идеи, лежащие в основе гильбертовского исчисления, чрезвычайно просты: из бесконечного множества законов логики (тавтологий) выбирается некоторое конечное число «очевидных» законов, названных аксиомами, и минимальное число правил, с помощью которых из аксиом (а также из множества допущений Г) выводятся другие законы. Например, в логике высказываний можно обойтись только одним правилом отделения (modus ponens): из формул ф и ф e ф выводима формула ф. Заметим, что это правило зависит только от вида формул и может в принципе производиться некоторым автоматическим устройством. В логике предикатов первого порядка добавляются еще правила для кванторов. В качестве «вспомогательного» правила весьма полезной является теорема дедукции, когда какое-нибудь утверждение ф доказывают в предположении верности другого утверждения ф, после чего заключают, что верно утверждение «если ф, то ф».
Как видно, гильбертовские исчисления представляют собой довольно-таки простую конструкцию, легко запоминаемую и объяснимую и, что немаловажно, удобную для доказательства различных метатеорем.
Доказательством называется всякая конечная последовательность формул, такая, что формула из этой последовательности есть либо аксиома, либо непосредственное следствие из каких-либо предыдущих формул по одному из правил вывода (которые могут применяться неоднократно). Доказанная формула называется теоремой.
К логической системе предъявляются некоторые требования, являющиеся ее фундаментальными свойствами. С одной стороны, мы бы хотели, чтобы все наши теоремы являлись тавтологиями. Это требование называется теоремой о корректности. Так непроизвольно произошла интересная метаморфоза: от свойства быть корректным рассуждением перешли к свойству корректности всей логической системы. Отсюда следует фундаментальное свойство непротиворечивости: логическая система является непротиворечивой, если в ней одновременно не доказуемы некоторая формула и ее отрицание.
С другой стороны, мы бы хотели, чтобы были доказуемы все тавтологии. Это требование на-
зывается теоремой о полноте. По существу, здесь говорится о том, что логических средств, т. е. аксиом и правил вывода, вполне достаточно для доказательства всех тавтологий. Таким образом, достигается главная цель: используя минимальные средства, можно обозреть все множество логических законов данной логической системы. Теорема о корректности и теорема о полноте вместе дают теорему адекватности: формула ф доказуема тогда и только тогда, когда ф тавтология. Смысл этой теоремы в том, что понятие логического следования и понятие доказательства совпадают. Для классической логики высказываний теорема адекватности была доказана в 1920 г. Э. Постом (1897-1954), а для логики предикатов в 1930 г. К. Гёделем (1906-1978).
От логических систем к исчислению логик. Однако следующий шаг, а на самом деле яркая тенденция развития современной логики - это изучение не отдельной логической системы, какой бы она ни была привлекательной, пусть то классическая логика, интуиционистская логика, многозначная логика Лукасевича, цепная логика Даммита, модальная логика доказуемости Гёде-ля-Лёба, линейная логика Жирара или базисная логика Виссера и так далее, - а изучение целых классов логических систем. Здесь мы опять сталкиваемся с проблемой бесконечности, но на этот раз не с бесконечным числом законов, а с бесконечным числом логических систем, поскольку многие конечно-аксиоматизируемые логики (исчисления) имеют бесконечное число непротиворечивых расширений. Исчисление Ц называется расширением исчисления L, если каждая доказуемая формула L также доказуема в Lv но не наоборот. Исчисление называется собственным расширением исчисления L, если непротиворечиво и содержит формулу, не выводимую в L.
В последнее время особое внимание привлекает проблема интерпретируемости теорий в смысле Дж. Мак-Кинси и А. Тарского, доказавших в 1948 г., что система интуиционистских теорем интерпретируема в модальной системе Льюиса. Понятие интерпретируемости часто используется в современной логике. Классическими применениями являются доказательство относительной непротиворечивости, результаты разрешимости и неразрешимости теорий.
Рассмотрим вопрос об интерпретируемости первопорядковых теорий (См. [Mycielski, Pudlak and Stern, 1990]). Под теорией (математической) здесь понимается то, что может быть формализовано средствами логики предикатов первого порядка. При этом желательно было бы выделить классы теорий, которые совместно интерпретируемы одна в другой, поскольку понятно, что теории зависят от выбора языка и исходных понятий. Последнее приводит к конструкции весь-
ма абстрактных объектов, а именно классов эквивалентности первопорядковых теорий. Имеются различные отношения эквивалентности на множестве теорий. Дж. Мыцельский и другие изучают одно из наиболее абстрактных отношений эквивалентности, названное локальной интерпретируемостью, а сами классы эквивалентности названы главами (chapters) математики.
Собрание всех глав не является собственным классом и имеет мощность континуума. Локальная интерпретируемость индуцирует частичный порядок на множестве глав. Этот порядок таков, что образует дистрибутивную алгебраическую решетку, названную авторами LC (the lattice of chapters).
Большой интерес представляет изучение алгебраических свойств решетки LC, в особенности если иметь в виду инвариантность глав теории T относительно языка, в котором T выражена. Отметим некоторые свойства: конечно-аксиоматизируемые теории соответствуют компактным элементам в LC; множество компактных глав и множество глав, содержащих рекурсивно перечислимые теории, являются подрешетками LC; эквациональные главы образуют алгебраическую решетку мощности, но она недистрибутивна и даже немодулярна и т. д.
Кроме самих теорий особый интерес представляет изучение классов логик, замкнутых относительно соответствующих правил вывода, в первую очередь modus ponens (MP) и подстановки (Subst), и каждый элемент этого класса является непротиворечивым расширением какой-либо исходной логики. При этом желательно представить такие классы логик в виде хорошо известной конструкции.
То, что логик бесконечно много, - стало большим событием в логическом мире. Уже К. Гё-дель в 1932 г. заметил, что существует счётное число логик между интуиционистской логикой и классической, которые впоследствии получили название суперинтуиционистских логик (с.и.-ло-гики). В середине 50-х гг. начинается систематическое изучение таких классов логик, как с.и.-ло-гики и льюисовские модальные логики.
В течение долгого времени оставалась надежда найти полное описание решетки модальных и с.и.-логик - тогда можно было бы «обозреть» любую логику и даже, может быть, представить их в виде исчисления.
Все эти надежды были разрушены открытием В. А. Янковым [Янков, 1968] континуального класса с.и.-логик и обнаружением способов конструирования модальных и с.и.-логик с весьма «нежелательными» свойствами (неразрешимость, неаксиоматизируемость и т. д.). Имея в виду исходный гёделевский перевод интуиционистской логики в модальную систему Льюиса S4, можно
распространить его и на весь класс с.и.-логик. В результате был установлен изоморфизм всех с.и.-логик и нормальных расширений модальных систем Льюиса, которых, следовательно, тоже континуум [Максимова и Рыбаков, 1974]. Впоследствии были обнаружены континуальные классы релевантных логик, паранепротиворечивых логик, логик следования и т. д. Оказывается, континуальность классов логик является не исключением, а нормой.
В итоге изучение способов рассуждения в некоторой выделенной логической системе отодвигается на второй план. А на первый план выдвигается изучение классов логических систем с «хорошими» семантическими или синтаксическими свойствами. См. гл. 4 «От логик к классам логик» в [Chagrov and Zakharyaschiev, 1997]. Очевидно, есть разница между развитием теории дедукции для одной «избранной» логики и изучением свойств структуированных (континуальных) классов логик.
Если логика имеет какое-то отношение к мыслительной деятельности человека, то тогда уровень логичности последней скрывается за «функционированием» бесконечных классов различных логических систем. Так мы приходим к понятию металогики на новом уровне.
От законов мышления к законам алгебры. Мы рассмотрели только одно из направлений развития логики, инициированное Г. Фреге, Н. А. Уайт-хедом и Б. Расселом, где истина и логическая истина явились первоначальными логическими предикатами. Под воздействием идей метаматематики эта тенденция в логике сфокусировалась на теории дедукции логических истин, выраженных логическими законами, что привело к построению логических систем, а затем к изучению их классов в виде структурализованных объектов.
Однако еще ранее Дж. Буль, В. Джевонс, Ч. С. Пирс и Э. Шрёдер в качестве примитивного предиката взяли логическую эквивалентность и использовали сходство между логической эквивалентностью и равенством. Работы Джевонса, Пирса и Шрёдера привели к построению теории алгебры отношений, а работы Буля -к алгебре логики. Обратим внимание на название главной работы Дж. Буля, опубликованной в 1854 г.: «Исследования в области основных законов мышления, на которых основаны математические теории логики и теория вероятностей» (курсив мой. - А. К.). С этой поры основным предметом логики становится изучение свойств логических операций над множеством высказываний, рассматриваемых со стороны их логических значений, и в первую очередь исследуются равенства (тождества) между формулами, приведение к нормальным формам, минимизация формул и т. д.
Постепенно были выделены основные свойства (классических) логических операций в виде некоторого количества тождеств. В совокупности эти тождества образовали конструкцию под названием «булева алгебра». Таким образом, булева алгебра есть результат алгебраической формализации классической логики высказываний.
Потребовалось некоторое время, чтобы логики задумались над связью между двумя, казалось бы, совершенно различными путями развития логики, пока А. Тарский в 1935 г. в точности не определил связь между булевой алгеброй и классическим пропозициональным исчислением. Его подход основывается на оригинальной идее А. Линденбаума (1926-1927 гг.), который предложил рассматривать формализованный пропозициональный язык как универсальную алгебру с операциями, соответствующими логическим связкам этого же языка.
К середине прошлого века Л. Хенкином, Р. Сикорским, Е. Расёвой и другими было осознано, что этот метод может быть применен к другим логикам со связкой импликации, удовлетворяющей некоторым базисным свойствам. Такого рода обобщение было проведено в хорошо известной книге Е. Расёвой [Rasiowa, 1974], где впервые вводится понятие алгебраический пример (counterpart) логики. Магистральное развитие алгебраической логики (уже в 1962 г. под таким названием появилась монография П. Халмоша [Halmos, 1962]. Интересно, что под таким названием большая статья включена во второе издание «Справочника по философской логике» [Andreka, Nemeti and Sain, 2001]) состояло в систематическом исследовании широкого класса логик алгебраическими методами. Одной из целей явилось установление общего критерия для класса алгебр (или для класса математических объектов, тесно связанных с алгебрами) быть алгебраическим примером логики и развитие для этого самих методов. В связи с этим абстракция метода Линденбаума-Тарского играет главную роль. В результате в конце XX в. появился термин абстрактная алгебраическая логика [см. прекрасный обзор [Font, Jansana and Pigozzi, 2003].
В уже ставшей классической работе В. Блока и Д. Пигоцци [Blok and Pigozzi, 1989] понятию алгебраизуемая логика было дано математически точное определение. Основополагающая идея состояла в следующем: логика является алгебра-изуемой, если существует класс алгебр, относящийся к этой логике точно так же, как существует класс булевых алгебр, относящихся к классической пропозициональной логике. Это отношение может быть выражено в различных формах, но здесь рассматриваются логические системы, в которых отношение логического следо-
вания является рефлексивным, идемпотентным, монотонным и финитарным. Понятие алгебраи-зуемой логики, введенное в этой работе, в действительности сейчас называется конечно-алгеб-раизуемой логикой.
Обратим внимание на внутреннее свойство логики, делающее ее конечно-алгебраизуемой: для нее имеет место (обобщенная) теорема адекватности. В итоге мы имеем алгебраическую семантику для исключительно широкого класса логических систем (см. также [Font and Jansana, 1996]).
Современное бурное развитие алгебраической логики представляет собой систематическое применение методов и, главное, аппарата универсальной алгебры к символической логике. Именно на это как на тенденцию возможного дальнейшего развития алгебры логики указывал А. В. Кузнецов, когда говорил о возможности «охватить алгебраическими методами значительную часть современной математической логики» [Кузнецов, 1960]. На самом деле вопрос сейчас стоит об охвате всей символической логики, и результаты здесь весьма впечатляющие. Речь идет о связи между отдельным металогическим свойством специфической логики, которая, как правило, является алгебраизуемой, и алгебраическим свойством ассоциированных с нею алгебр. Приведем некоторые примеры.
Пусть Alg(L) обозначает класс алгебр, который соотносится с некоторой логикой L. Например, если L есть классическая логика высказываний, то Alg(L) есть класс булевых алгебр. Теперь можно формулировать теоремы, утверждающие, что L имеет определенное логическое свойство тогда и только тогда, когда Alg(L) имеет определенное алгебраическое свойство. Это позволяет дать алгебраическую характеризацию таких логических свойств, как полнота, наличие теоремы дедукции, компактность, разрешимость, интерпо-ляционность Крейга, определимость по Бету, истинность формул в модели и т. д. Например, первые два свойства принимают следующий вид: L допускает строго полную гильбертовскую аксиоматизацию (Г |— ф т.т.т., когда Г |= ф) тогда и только тогда, когда Alg(L) есть финитно аксиоматизируемое квазимногообразие; L допускает теорему дедукции тогда и только тогда, когда Alg(L) имеет эквационально определимые главные конгруэнции. Последнее свойство имеет особое значение, поскольку позволяет определять, существует или не существует, что более важно, теорема дедукции для широкого класса логик.
Заметим, что алгебраическая логика является хорошим инструментом для выяснения такого сложного вопроса, как взаимоотношение между различными логическими системами и, главное, их классификации в зависимости от свойств отношения конгруэнтности.
Интересно, что дальнейший процесс абстрагирования понятия алгебраизуемости начинает фокусироваться на чисто теоретико-решеточной природе [Blok and Jonsson, 1999]. Здесь, как это ни странно, а может, наоборот, закономерно, мы находим явные точки соприкосновения с тем, к чему пришло логицистическое развитие логики (см. окончание предыдущего раздела).
Наконец, обратим внимание на книгу П. Хал-моша и С. Гиванта с весьма примечательным названием «Логика как алгебра» [Haimos and Givant, 1998], где показывается, что законы силлогистики, законы логики высказываний, законы логики предикатов - все есть законы алгебры. Таким образом, если идти от исходных идей Дж. Буля, нет больше законов мышления, отличных от законов алгебры.
Логика как категорный объект. Более 50 лет назад усилиями С. Мак-Лэйна и С. Эйленберга [Eilenberg and MacLane, 1986] была создана теория категорий, одна из наиболее важных математических теорий прошлого века. Новая теория позволила обнаружить совсем неожиданные и удивительные взаимоотношения внутри различных разделов математики и, самое главное, под влиянием идей В. Ловера выступила мощным средством для разработки новых оснований математики. Во всем этом наблюдается некоторая негативная реакция на теорию множеств («основу всех основ»). Теперь в явном виде постулируется, что наши исходные элементы «структура-лизованы», а сама конструкция теории множеств должна быть более гибкой.
Одной из принципиальных особенностей теории категорий является то, что она принимает «морфизм» (отображение) как первичное понятие на одном уровне с понятием «объект», т. е. существуют только объекты и морфизмы между объектами. При этом морфизмы удовлетворяют законам идентичности и ассоциативности. Все вместе образует конструкцию под названием категория.
С построением теории категорий появилась возможность создания логического универсума гораздо более богатого, чем конструкция под названием «решетка», элементами которой являются логики в том или ином смысле.
Погружение одной логической системы в другую (первым примером которого является теорема Гливенко о погружении классической пропозициональной логики в интуиционистскую) становится сейчас одной из наиболее популярных тем исследования. Самое общее понятие перевода состоит в следующем: система S переводима в S', если существует функция между двумя универсумами рассуждений, которая сохраняет (по крайней мере, в одну сторону) отношение дедуцируемости.
Мы видели, что в качестве объектов могут выступать сами дедуктивные системы, а морфизма-ми между такими объектами считаются переводы одной дедуктивной системы в другую. Теперь можно выйти на уровень еще большего обобщения. Представление дедуктивных систем в виде категории наводит на мысль использовать понятие функтора, являющегося одним из основных понятий в исходной работе родоначальников теории категорий, в качестве погружающей операции. Функтор -это отображение из одной категории в другую, сохраняющее категорную структуру. В общем случае такие функторы можно рассматривать как переводы одной дедуктивной системы в другую.
Недавно появилась работа, посвященная ка-тегорному подходу к абстрактной алгебраической логике [Voutsadakis, 2003], где обобщение дедуктивной системы дается в категорных терминах и главные усилия направлены на изучение функторов между категориями теорий (сформулированных в разных логических языках).
В итоге заметим, что категорный подход к логике вообще не оставляет места для психологизма в логике и совсем мало - для самой логики, понимаемой в ее хорошем традиционном смысле как наука о правильных рассуждениях.
Новая парадигма - теории категорий - постепенно становится универсальной не только для всей математики (или почти всей), но и для логики. Введение в теории категорий конструкции под названием функтор естественным образом привело к образованию Ф. Ловером в 1966 г. конструкции под названием категория всех категорий, которую назовём CAT, объекты которой есть все категории и стрелки которой есть все функторы. Не случайно, что с объяснения, что такое категория категорий, по существу начинается монография К. Мак-Ларти [McLarty, 1992].
Тогда возникает настоящая проблема: является ли CAT сама по себе категорией? Ответ Мак-Ларти состоит в том, чтобы рассматривать CAT как регулятивную идею, т. е. как неизбежный способ мышления о категориях и функторах, но не как строго легитимную сущность. Такими регулятивными идеями являются, например, собственная личность, универсум и Бог у Канта (1781).
Подобным образом и логика приближается к статусу регулятивной идеи, симптомами чего является поиск при помощи категорных средств всё более строгого и по возможности универсального объекта под названием дедуктивная система. Понятно, что появление различных категорных объектов логической природы рано или поздно поставит подлинный вопрос о регулятивной идее логики всех логик.
Законы мышления? Так неожиданно заканчивается 28-м разделом, добавленным В. Ходжесом ко второму изданию «Справочника по философ-
ской логике», статья «Элементарная предикатная логика» [Hodges, 2001]. Ходжес указывает, что корректность выводимости тавтологии p 6 (q 6 p) имеет отношение к мышлению не более, чем к девственности Артемиды или войне в Индонезии. В свою очередь заметим, что еще меньшее отношение к логичности мышления имеет изучение различных логических конструкций типа булевых алгебр, решеток Гейтинга или биполных категорий.
На самом деле вопрос стоит глубже: насколько обучение логике помогает думать логически? Например, в работе [Nisbett, Fong, Lehman and Cheng, 1987] показано, что стандартный курс логики для аспирантов совершенно не эффективен. Более того, в работе [Wason, 1966] показано, какие чудовищные ошибки делаются при рассуждениях, использующих истинностные таблицы. Заметим, что истинностные таблицы представляют собой наипростейшую логическую конструкцию, моделирующую классическую логику высказываний. Этот эксперимент вызвал огромное число работ, проверяющих различные гипотезы относительно причин этих ошибок (см. [Manktelow and Over, 1990]). Еще менее удовлетворительным, отмечает Ходжес, является компьютерное обучение логике такими наиболее известными программами, как «Tarski's World» и «Hyperproof».
И здесь мы возвращаемся к мыслительной деятельности человека. Каковы ментальные механизмы, которые нетренированный человек использует при совершении логической дедукции? В свою очередь, С. Феферман в статье, где дается характеризация классической логики предикатов посредством семантического определения ее логических операций, объявляет, что более важным вопросом является «как работает разум?» [Feferman, 1999, p. 32]. Именно на этот вопрос пытается ответить выдающийся физик и космолог нашего времени Р. Пенроуз, обосновывая невычислительный характер деятельности человеческого мозга. При этом Пенроуз опирается на теоремы Гёделя о неполноте (см. [Пенроуз, 2003a], [Пенроуз, 2003b]).
В заключение отметим, что конструкция в виде логики предикатов первого порядка, претендующая на основной и зачастую единственный аппарат для получения корректных рассуждений, является всего лишь предельным статичным огрублением человеческой дедукции с многочисленными ограничениями (см. [Карпенко, 2005]). При разумной деятельности человека, если он может разумно рассуждать, происходят различные логические процессы, и проблема состоит в том, как эти процессы взаимосвязаны и как происходит переход из одного логического процесса в другой. Возможно, одним из начальных подходов к решению этой проблемы является логический «синтез познавательных процедур» (см. [Финн, 1999]).
Примечания
[Анисов, 2002] Анисов, А. М. Современная логика [Текст] / А. М. Анисов. М.: ИФ РАН, 2002.
[Асмус, 2001] Асмус, В. Ф. Логика [Текст] / В. Ф. Асмус. М.: УРСС, 2001.
[Барвайс, 1982] Барвайс, Дж. Введение в логику первого порядка [Текст] / Дж. Барвайс // Справочная книга по математической логике. Ч. I. Теория моделей. М.: Наука, 1982. С. 13-54.
[Бочаров, 2001] Бочаров, В. А. Логика [Текст] /
B.А.Бочаров // Новая философская энциклопедия. Т. 2. М.: Мысль, 2001. С. 404-407.
[Гладкий, 2001] Гладкий, А. В. Введение в современную логику [Текст] / А. В. Гладкий. М.: МЦНМО, 2001.
[Карпенко, 1997] Карпенко, А. С. Классификация пропозициональных логик [Текст] / А. Карпенко // Логические исследования. 2000. № 4. С. 107-133.
[Карпенко, 2000] Карпенко, А. С. Логика на рубеже тысячелетий [Текст] / А. С. Карпенко // Логические исследования. 2000. № 7. С. 7-60.
[Карпенко, 2003] Карпенко, А. С. Современные исследования в философской логике [Текст] /
A.С.Карпенко // Вопросы философии. 2003. №9.
C. 54-75.
[Карпенко, 2005] Карпенко, А. С. Неклассические логики versus классической [Текст] / А. С. Карпенко // Логико-философские штудии. 2005. № 3. С. 4873.
[Кузнецов, 1960] Кузнецов, А. В. Алгебра логики [Текст] / А. В. Кузнецов // Философская энциклопедия. Т. 1. М., 1960. С. 33-38.
[Лукасевич, 1959] Аукасевич, Я. Аристотелевская силлогистика с точки зрения современной формальной логики [Текст] / Я. Лукасевич. М.: ИЛ, 1959 (пе-реизд. в 2001 г.).
[Максимова и Рыбаков, 1974]. Максимова, А. А. Решетки модальных логик [Текст] / Л. Л. Максимова,
B. В. Рыбаков // Алгебра и логика. 1974. № 13. С. 105122.
[Марков, 1984] Марков, А. А. Элементы математической логики [Текст] / А. А. Марков. М.: МГУ, 1984.
[Мендельсон, 1984] Мендельсон, Э. Введение в математическую логику [Текст] / Э. Мендельсон. М.: Наука, 1984. 3-е изд.
[Пенроуз, 2003a] Пенроуз, Р. Новый ум короля. О компьютерах, мышлении и законах физики [Текст] / Р. Пенроуз. М.: УРСС, 2003.
[Пенроуз, 2003b] Пенроуз, Р. Тени разума. В поисках науки о сознании [Текст] / Р. Пенроуз. М.; Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003.
[Финн, 1999] Финн, В. К. Синтез познавательных процедур и проблема индукции [Текст] / В. К. Финн // Научно-техническая информация. Сер. 2. 1999. № 1-2. С. 8-44. (Переизд.: Финн, В. К. Интеллектуальные системы и общество [Текст]: сборник статей / В. К. Финн. М.: РГГУ, 2001.)
[Фреге, 2000] Фреге, Г. Логика и логическая семантика [Текст] / Г. Фреге. М.: АСПЕКТ ПРЕСС, 2000.
[Янков, 1968] Янков, В. А. Построение последовательности сильно независимых суперинтуиционистских пропозициональных исчислений [Текст] / В. А. Янков // Доклады Академии наук СССР, 181, № 1: 33-34. 1968.
[Andréka, Németi and Sain] Andréka, H. Algebraic logic [Text] / H. Andréka, I. Németi and I. Sain // D. Gabbay and F. Guenthner, editors. Handbook of Philosophical Logic. Second Edition. Vol. 2. Dordrecht: Kluwer, 2001.
[Blok and Jónsson, 1999] Blok, W. J. Algebraic Structures for Logic [Text] / W. J. Blok and B. Jónsson. New Mexico State University. 1999. Available at http:// math.nmsu.edu/~holysymp/.
[Blok and Pigozzi, 1989] Blok, W. J. Protoalgebraic logics [Text] / W. J. Blok and D. Pigozzi // Studia Logica. 1989. № 45. P. 337-369.
[Chagrov and Zakharyaschiev, 1997] Chagrov, A. Modal Logic [Text] / A. Chagrov and M. Zakharyaschiev. Oxford: Clarendon Press, 1977.
[Eilenberg and MacLane, 1986] Eilenberg, S. General theory of natural equivalences [Text] / S. Eilenberg and S. MacLane // Transactions of the American Mathematical Society. 1945. № 58. P. 231-294. (nepeMSA.: Eilenberg, S. Collected Works [Text] / S. Eilenberg and S. MacLane. Academic Press, 1986).
[Feferman, 1999] Feferman, S. Logic, logics, and logicism [Text] / S. Feferman // Notre Dame Journal of Formal Logic, 40, № 1: 31-54, 1999.
[Font and Jansana, 1996] Font, J. M. A General Algebraic Semantics for Sentential Logics [Text] / J. M. Font and R. Jansana. Berlin: Springer-Verlag, 1996.
[Font, Jansana and Pigozzi, 2003] Font, J. M. A survey of abstract logic [Text] / J. M. Font, R. Jansana and D. Pigozzi // Studia Logica. 2003. Vol. 74. № 1-2. P. 1397.
[Gaifman, 1976] Gaifman, H. Operations on relational structures functors and classes. I [Text] / H. Gaifman // Proceedings of the Tarski Symposium. Amer. Math. Society. 1976. № 25. P. 21-39.
[Gómez-Torrente, 1996] Gómez-Torrente, M. Tarski on logical consequence [Text] / M. Gómez-Torrente // Notre Dame Journal of Formal Logic, 37, № 1: 125-151. 1996.
[Groarke, 2002] Informal logic [Electronic recourse] // Stanford Encyclopedia of Philosophy (http:// plato.stanford.edu/ entries/logic-informal).
[Halmos, 1962] Haimos, P. Algebraic Logic [Text] / P. Halmos. New York: Chelsea Publishing, 1962.
[Halmos and Givant, 1998] Haimos, P. Logic as Algebra [Text] / P. Halmos and S. Givant. Washington, 1998.
[Hodges, 2001] Elementary predicate logic [Text] // D. Gabbay and F. Guenthner, editors. Handbook of Philosophical Logic. Second edition. Vol. 1. Dordrecht: Kluwer, 2001.
[Karpenko, 2000] Karpenko, A. S. The classification of propositional calculi [Text] / A. S. Karpenko // Studia Logica. 2000. Vol. 66. № 2. P. 253-271.
[Kneale W. and Kneale M., 1962] Kneale, W. The Development of Logic [Text] / W. Kneale and M. Kneale. Oxford: Oxford University Press, 1962 (9-th ed. in 1985).
[Manktelow and Over, 1990] Manktelow, K. I. Inference and Uderstanding [Text] / K. I. Manktelow and D. E. Over. London: Routledge, 1990.
[McLarty, 1992] McLarty, C. Elementary Categories, Elementary Toposes [Text] / C. McLarty. Oxford: Clarendon Press, 1992.
[Mycielski, Pudlák and Stern, 1990] Mycielski, J. A lattice of chapters of mathematics (interpretations between theorems) [Text] / J. Mycielski, P. Pudlák, A. S. Stern //
Memoirs of the American Mathematical Society, 84, № 426. 1990.
[Nisbett et al. 1987] Nisbett, R. E. Teaching reasoning [Text] / R. E. Nisbett, G. T. Fong, R. D. Lehman and P. W. Cheng // Science.1987. № 238. P. 625-631.
[Quine, 1970] Quine, W. V. Philosophy of Logic [Text] / W. V. Quine. N.Y.: Englewood Cliffs, 1970 (Reprinted in 1986).
[Rasiowa, 1974] Rasiowa, H. An Algebraic Approach to Non-classical Logics [Text] / H. Rasiowa. Warszawa:
[Tarski, 1983b] Tarski, A. On the concept of logical consequence [Text] / A. Tarski // A. Tarski. Logic, Semantics, Metamatematics. Indianapolis: Hacket, 1983. 2nd ed. P. 409-420.
[Voutsadakis, 2003] Voutsadakis, G. Categorial abstract algebraic logic [Text] / G. Voutsadakis // Studia Logica, 74, № 1/2: 275-311. 2003.
[Wason, 1966] Wason, P. C. Reasoning [Text] / P. C. Wason // B. Foss, editor. New Horisons in Psychology. Penguin: Harmondsworth, 1966. P. 135-151.
[Weisstein, 1999] Weisstein, E. W. Books about Fuzzy Logic [Text] / E. W. Weisstein (http://www.ericweisstein.com/ encyclopedias/books/FuzzyLogic.html).
Е. Ф. Владыкина ИДЕИ ФИЛОСОФСКОЙ ГЕРМЕНЕВТИКИ
В статье рассматриваются идеи важнейшего направления современной европейской философии -герменевтики. С целью раскрытия динамики герменевтической проблематики автор обращается к таким именам, как Фр. Шлейермахер, В. Дильтей, М. Хайдеггер, Г. Г. Гадамер, П. Рикёр. Показывается перспективность исследования того, что можно было бы назвать русской герменевтикой - в лице Г. Г. Шпета, М. М. Бахтина и др.
Слово герменевтика происходит от греческого Ъеттепеиет, т. е. истолковывать, интерпретировать. Поэтому герменевтику можно буквально определить как искусство истолкования и понимания. Это слово также ассоциируется с мифологией древних греков, где Гермес выступал посредником между богами и людьми. В эпоху эллинизма задача герменевтов-толкователей состояла в интерпретации священных текстов, а к ним относились не только теологические, но и тексты законов, то есть юридические.
В средние века толкование, понимание, «высвечивание» текста Священного Писания становится одной из важнейших «забот». Например, Августину необходимо было непротиворечиво соединить Ветхий завет и Евангелие, а для этого пришлось проделать большую работу по переистолкованию многих положений Ветхого Завета. Пьер Абеляр также был озабочен наличием множества противоречивых суждений по поводу тех
ВЛАДЫКИНА Елена Федоровна - кандидат философских наук, доцент по кафедре философии и социологии ВятГГУ
© Владыкина Е. Ф., 2007
