Алгебраический подход к решению систем простейших тригонометрических уравнений общего вида Текст научной статьи по специальности «Математика»



"-4, +

112,1'

h';-h't

1,v

где

S -

константа, зависящая от

hm S = О . Так как по условию теоремы функция h и ее производные по длине дуги края не-¿-X)

прерывно зависят от параметра t, то

И" — h't ^ < p\t" — / 'I. где р - константа, зависящая

от выбора функции . Следовательно, с" — С1 <Т Це" -с' | + - С\ ,где Т-

константа, зависящая от 8, Итп Т = О. Выбирая 8 так, чтобы /<1. получим

||с" - с! < —У - . Так как Ь" - с'| < ||с" - сТ

11 ,,2'у 1 -г 1 .....

т

2 у - т0 выполняется неравенство

Iс" — С'\ < -—— /" — / 'I, что означает непрерывность функции С от параметра t. Лемма доказана.

Теорема 4 доказана.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Fomenko V.T. ARG -deformations hypersurface with boundary in Riemannial space // Tensor, N.S. 1993. Vol. 54. Chigasaki, Japan.

2. Векуа И.Н. Обобщенные аналитические функции / под ред. О.А. Олейник и Б.В. Шабата. 2-е изд., перераб. М.: Наука: Гл. ред. физ.-мат. лит., 1988. 512 с.

В.М. Кривенко, Н.Н. Кривенко

АЛГЕБРАИЧЕСКИЙ ПОДХОД К РЕШЕНИЮ СИСТЕМ ПРОСТЕЙШИХ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ ОБЩЕГО ВИДА

Введение

В последние годы в нормативных документах к ЕГЭ по математике просматривается тенденция, направленная на включение в программу ЕГЭ самых разнообразных заданий, решаемых алгебраическими методами. Отметим в связи с этим спецификацию и кодификатор к задачам группы Ce([lJ, [2¡D, в которых указывается, что выпускник должен: уметь строить и исследовать простейшие математические модели; моделировать реальные ситуации на языке алгебры, составлять уравнения и неравенства по условию задачи и исследовать построенные модели с использованием аппарата алгебры; моделировать реальные ситуации на языке геометрии, исследовать построенные модели с использованием геометрических понятий и теорем аппарата алгебры и решать практические задачи, связанные с нахождением геометрических величин; проводить доказательные рассуждения при решении задач, оценивать логическую правильность рассуждений, распознавать логически некорректные рассуждения.

В настоящей работе авторами разработан алгебраический подход к отысканию решений систем простейших тригонометрических уравнений общего вида. Этот метод доступен учащимся старших классов и позволяет без труда составлять и решать задачи по указанной тематике.

1 Простейшие тригонометрические уравнения общего вида, отыскание общих решений двух уравнений

Простейшими тригонометрическими уравнениями общего вида будем называть следующие уравнения:

SÍ1LА х = а (I), eos Вх = Р (II]. tan Сх = у ШОи cotDx = S (IV],

в которых коэффициенты при х являются целыми отличными от нуля числами и

Отметим, что число х является решением уравнения (I) тогда и только тогда, когда /(arcsina 2 íctt (tz — arcsina 21&T Vi

А А ) I А

'. является решением уравнения (II) тогда и только тогда, когда

х Е

(tarccosß 21аг 1 с—arccosß

В ' В '■' J ' t в в

'. является решением уравнения (III) тогда и только тогда, когда

* е

(arctany кж

г

Ч-

— |Jt е ZJ и

'. является решением уравнения (IV) тогда и только тогда, когда

rarccatS кя

х Ё

г

D

ктгг "i

тХк е4

Так как значения указанных обратных тригонометрических функций от упомянутых чисел н, /Г, у и £ представляются в виде г где с, и Ь являются некоторыми подходящими целыми числами и Ь Ф 0.то решение каждого простейшего тригонометрического уравнения является либо объединением двух множеств, имеющих вид:

где а, Ъ, т, п е 2, а Ь ип отличны от нуля, либо одним из таких множеств.

Отсюда следует, что х является решением системы двух простейших тригонометрических уравнений тогда и только тогда, когда х принадлежит объединению двух, трёх или четырёх множеств, каждое из которых является пересечением двух множеств, имеющих вид 00. Указанное пересечение можно найти, используя нижеследующую теорему.

Теорема.

Доказательство. Пусть xz принадлежит множеству (а< ж с, ктт

тогда -г с принадлежит каждому из пересекаемых множеств. Поэтому существуют такие целые числа и что

Cl- ^ 1 ^П" El" , fl*!] г

- + —;— и — -Ь-

с?! с?!

Поэтому выполняется равенство: ( С]_ & 2} — З'лГц = а2Ь]_с11_с11 —

Следовательно, (кр, является решением уравнения (к:-). Наоборот, пусть

h '

Тогда существует такая пара целых чисел А что х0 = — —— и

.: .' .' ■. -■ - ■ - .: ■ .' ■ л ■ - л ■ .' л . .. ■ - ; ■ .'■. .'■. ■.

Отсюда следует, что

"I" (с^й^Ьг^2]= г (^¡¡^¿¡¡¿^¿Тц.

Поэтому

С^ЛСрТГ 0-2 С^'рТГ

Это и означает, что

Замечания: 1. Из доказанной теоремы следует, что пересечение двух множеств, имеющих вид (■■*') также является множеством вида 0-0. поэтому указанный результат распространяется на пересечение произвольного конечного числа таких множеств; 2. Отыскание решений систем двух простейших тригонометрических уравнений сводится к решению диофантовых уравнений первой степени с двумя неизвестными.

§2. Линейное представление НОД и его применение при решении диофантовых уравнений первой степени с двумя неизвестными

Одним из основополагающих фактов теории чисел является теорема о делении с остатком согласно которой для любого целого числа а и любого целого числа Ь (й ^ О.1 существуют такие и притом единственные целые числа д ис, что а = Ь • ц + г и 0 < г < |й|.

Деление с остатком одного натурального числа на другое осуществляется в школьном курсе математики путём «деления в столбик».

Одним из основных инструментов алгебраического аппарата является понятие НОД.

Так как любое целое число делится на 1 и количество различных делителей у числа, отличного от нуля, конечно, то у любых двух одновременно не равных нулю целых чисел существует НОД и он единственен.

В школьном курсе математики НОД находится либо путём нахождения всех общих делителей, либо путём разложения чисел на простые множители. Каждый из этих способов обладает рядом недостатков.

При решении задач с использованием алгебраического аппарата будем использовать хорошо известный алгоритм Евклида нахождения НОД.

Он основан на том факте, что если для двух одновременно не равных нулю целых чисел а и Ь существуют такие целые числа ц и г. что и = Ъ ■ ц + т, то Н0Д(о,Н = НОД(Ьг).

Отсюда и теоремы о делении с остатком получается указанный алгоритм нахождения НОД.

Пусть а и Ь - произвольные одновременно не равные нулю целые числа. Если Ь=0, то НОДСо.О ] = а\.

Если />== 0, тогда а делим на Ь с остатком: а = Ь ■ ц._ +- Гу. где 0 < ^ < |Ь|. Если Ф 0. то Ь делим на с остатком: Ь — ^ ■ д: +- гг. где 0 < г2 < ■?]_. Если гг = 0, то делим на гя с остатком:^ = г2 ■ £)э + где 0 < гэ < г2.

Если бы каждый из вновь получающихся остатков был отличен от нуля, то получили бы бесконечное множество попарно различных неотрицательных целых чисел меньших, чем Ь . Действительно, £ I > г^ > г2 > ••■ > гг > ■■■, что невозможно. Поэтому на некотором конечном шаге указанного процесса получится остаток, равный нулю.

Пустьгп = 0. а+1 =0.Тогда 5 = НОД(о,й так как

= НОДСП г2 ) = НОДСй ,п ) = НОДСп, Ь). Из алгоритма Евклида вытекает, что

НОД (о, Ъ ) = а ■ и + Ъ • V, где и и V некоторые целые числа.

Действительно, = г„ _: — гж _: ■ Находя далее и подставляя в предыдущее равенство, получим выражение 5 через '?'ц _ г "'"ц-з: = ■ (1 + ■ — ги_д ■ Далее находим _: и подставляем в предыдущее равенство. Получим вьфажение ¡Ь через ^_3 и и т. д. пока не получим вьфажение Н ОД (и, Ь) через а и Ь.

Равенство ПОД (о., Ь 1 = о ■ и + Ь -V, где и и V некоторые целые числа называется линейным представлением НОД.

Покажем теперь, как решаются диофантовы уравнения с помощью линейного представления НОД.

Напомним, что целые числа а и Ь называются взаимно простыми, если НОД (о, Ь } = 1, Из линейного представления НОД следует, что целые числа а и Ь будут взаимно простыми тогда и только тогда, когда существуют такие целые числа и и V , что а - и + Ь -V =1 . Если же НОД (о, Ь ) = в. то разделив а и Ь на с, получим взаимно простые числа о ! и Ь^.

Решаем теперь в целых числах диофантово уравнение первой степени с двумя неизвестными

пг .", Ь и с являются целыми числами и а и Ь одновременно не обращаются в ноль. Пусть НОД (и., Ъ } = й. Тогда, если с : а. то уравнение (1) решений не имеет. Если же с\ а. то. разделив обе части уравнения на с получим равносильное уравнение:

где а = ~ и = ^ являются взаимно простыми числами.

Отсюда согласно линейному представлению НОД(о ]_., Ь^.1 существуют такие целые числа и 5?!, что П]_ ■ а-! ■ VI =1. Поэтому, умножая обе части предыдущего равенства на с±. получим:

Это означает, что уравнение (2), а значит и уравнение (1), имеют решение: Пусть теперь (г1 .у1] - произвольное решение уравнения (2), тогда Вычитая из равенства (4) равенство (3) получим: Поэтому

Так как правая часть равенства делится на й1. то и левая часть делится на Но и являются взаимно простыми, значит, (дг1 — - !) делится на Тогда существует такое целое число t, что ( д:1 — с1 ■ 3 = ■ !:. поэтому

Аналогично получаем, что

где t- - некоторое целое число.

Подставляя значения д:1 и у1 в (5) получим, что

Отсюда следует, что !: = —поэтому

Далее непосредственно убеждаемся, что при любом значении t Е 2 пара чисел (ас1, у1) является решением уравнения (2).

Тем самым, ■ д:; + ^ ■ ¿\, с- ■ у1 — п1 ■ с) } является множеством решений уравнения (1).

§3. Образцы решения систем двух простейших тригонометрических уравнений общего вида . (созЛд: — 1

Решить систему: _ у гдр А. £

Решение. Согласно условию получаем, что

Найдём теперь такие целые числа Лс и 5, при которых Для этого решим в целых числах равносильное уравнение:

4Вк 4- С—44)* = А (1) Пусть НОД (—4Л., 4Б) = й. Тогда уравнение имеет решение тогда и только тогда, когда А : о.

-4А .4В „ Л. , ^ , _

При таком условии пусть -у = л1г — = и~ =А2. Тогда л1и взаимно просты, и уравнение равносильно уравнению

Так как Л^ Б: взаимно просты, то согласно линейному представлению НОДС^, находим такие И5[, что

Тогда уравнение (Д) имеет следующее множество решений: О^Да -BLt Г е 2}

Следовательно, х = ^ ■'" ('+■ е 2) и множество решений системы (1) совпадает с множеством , где

Применим теперь полученный общий результат для решения системы:

^ созЗх = 1

Решение. Согласно условию получаем, что

Найдём теперь такие целые числа к и 5, при которых

2К7Г 17+45:7

Для этого решим в целых числах равносильное уравнение:

Решаем согласно вышесказанному уравнение: ЗЛ: +- ',—8}5 = 2. Находим линейное представление НОД'ч—3,3]:

3=1- 3 -I- О

Отсюда получаем, что

1=3-3+ (-3] -1. Множеством решений уравнения является множество

Следовательно, множеством решений системы является множество

Заключение

В настоящей работе указан один из вариантов алгебраического подхода к составлению и решению задач группы (Г6 к ЕГЭ по математике и приведены образцы решения этих задач, как в общем случае, так и на примерах конкретных систем простейших тригонометрических уравнений общего вида. Результаты работы будут полезны учителям математики при подготовке учащихся к ЕГЭ, олимпиадам и проведению кружковой работы. Они в некоторой степени расширяют круг задач группы указанный в .4].

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Единый государственный экзамен по математике. Спецификация контрольных измерительных материалов единого государственного экзамена 2010 г. Режим доступа: www.fipi.ru.

2. Кодификатор требований к уровню подготовки выпускников по математике для составления контрольных измерительных материалов единого государственного экзамена 2010 г. Режим доступа: www.fipi.ru, свободный.

3. Ляпин Е.С., Евсеев А.Е. Алгебра и теория чисел. М.: Просвещение, 1978. 445 с.

4. Лысенко Ф.Ф. и др. Математика. Подготовка к ЕГЭ - 2011: учебно-метод. пособие. Ростов н/Д.: Легион-М, 2010. 411 с.

В.Т. Фоменко, В.В. Сидорякина

БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ ИЗГИБАНИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ В РИМАНОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ ПРИ ОРТОГОНАЛЬНЫХ ВТУЛОЧНЫХ СВЯЗЯХ

§1. В дальнейшем будем изучать бесконечно малые изгибания односвязных поверхностей положительной внешней кривизны с краем, подчиненные заданной внешней связи.

Внешней связью поверхности при ее бесконечно малом изгибании назовем условие, при котором изгибающее поле и на некотором множестве Ст точек поверхности 5 обладает наперед заданным свойством.

Внешние связи определяются, исходя из геометрических или кинематических соображений. Обычно в качестве множества Ст выбирают край поверхности с набором конечного числа точек

поверхности, а в качестве внешней связи - указание поведения точек множества Сг при бесконечно малых изгибаниях поверхности.

Впервые исследование бесконечно малых изгибаний сферических сегментов в евклидовом

пространстве Е ^ при условии скольжения точек края сегмента в плоскости сегмента было проведено Е. Либманом [1], и такие бесконечно малые изгибания были названы изгибаниями скольжения.

Аналитически такая внешняя связь записывается в виде ( ^, = 0, где к - единич-

ный вектор нормали плоскости края сферического сегмента.

В дальнейшем, условие скольжения точек поверхности в плоскости края было обобщено А.В. Погореловым, который изучал бесконечно малые изгибания поверхностей при условии, что точки края (не обязательно плоского) при ее изгибании смещаются параллельно заданной фиксированной плоскости. Такую внешнюю связь А.В. Погорелов назвал закреплением поверхности