Стоячие волны как решения полной системы уравнений Навье — Стокса в одномерном случае Текст научной статьи по специальности «Математика»

Вычислительные технологии Том 18, № 2, 2013

Стоячие волны как решения полной системы уравнений Навье — Стокса в одномерном случае*

В. Е. Замыслов

Уральский госудаpственный университет путей сообщения, Екатеринбург, Россия

e-mail: [email protected]

Рассматривается полная система уравнений Навье — Стокса, решения которой описывают одномерные течения сжимаемого вязкого теплопроводного газа при постоянных значениях коэффициентов вязкости и теплопроводности. В качестве независимых термодинамических переменных выбраны давление и удельный объем, через которые система уравнений с частными производными записывается в нормальном виде относительно производных по времени. Решения выписанной системы строятся как бесконечные суммы гармоник по пространственной переменной с коэффициентами, зависящими от времени. Показано, что при условиях теплоизоляции и прилипания на границах отрезка пространственной переменной решения начально-краевой задачи представляют собой сумму стоячих волн с кратными частотами. Получена алгебраическая зависимость минимальной частоты в решении от частот гармоник, входящих в начальные условия. Предложено объяснение механизма взаимного влияния друг на друга гармоник с разными частотами.

Ключевые слова: стоячие волны, полная система уравнений Навье — Стокса, одномерные потоки.

1. Построение решений системы уравнений Навье — Стокса 1.1. Постановка начально-краевой задачи

Рассмотрим полную систему уравнений Навье — Стокса (ПСУНС) для идеального газа, записанную в нормальном виде через удельный объем 8 = 1/р, скорость u и давление p, в безразмерных переменных [1-3]:

8t = 8ux — u8x,

ut = —uux — 18px + ^Q 8Uxx, (1)

pt = —upx — Ypux + kq (8p)xx + ^qy(y — 1)u

где £ — время, х — пространственная переменная, к0 — постоянные положительные коэффициенты вязкости и теплопроводности, 7 > 1 — показатель политропы идеального газа, а уравнения состояния имеют следующий вид:

Т = 8р, е = Т.

Здесь Т — температура, е — внутренняя энергия идеального газа.

* Исследование поддержано РФФИ (проект 11-01-00198).

Для системы (1) на отрезке 0 < х < п ставятся начальные

8(Ь,х) |4=о = ¿°(х), и(£,х)|4=° = и°(х), р(г,х)|4=° = р°(х) (2)

и краевые

и|х=0,х=п = 0, Тх|х=°,х=п = 0 (3)

условия. Последние (3) обеспечивают условия прилипания и теплоизоляции в граничных точках х = 0, х = п.

В работах [4, 5] доказано, что при определённых условиях на начальные данные поставленная начально-краевая задача (1)-(3) для ПСУНС имеет единственное решение в Ь2, а при дополнительных предположениях — ив С2+а,1+а/2 (по х, £). Её решение при £ ^ описывает процесс стабилизации одномерного течения от начального неоднородного состояния (2) к состоянию однородного покоя.

В настоящей работе решение задачи (1)-(3) строится в виде формальных бесконечных сумм с неизвестными коэффициентами р°(£), & = 1, 2,..., К = те [3]:

K K K

,x) = 1 + ^^ 8¿(t) cos íx, u(t,x) = ^^ Ui(t) sin íx, p(t,x) = 1 + ^^ 'Pi(t)cOSi

1=1 1=1 1=0

Для представлений (4) при x = 0, x = п автоматически выполняются условия прилипания и теплоизоляции (3). Начальные данные для системы (1) записываются в виде, аналогичном (4):

K K K

8(0,x) = 1 + ^^ 84 cos íx, u(0,x) = ^^ uO sin íx, p(0,x) = 1 + ^^ pO cos íx, (5)

1=1 1=1 1=0

где 84, uO°, p0, pO, í = 1, 2,... — заданные константы.

Чтобы найти уравнения для коэффициентов 8¿(t), u(t), p¿(t), выражения (4) подставляются в систему (1) и каждое из трёх полученных уравнений проецируется на свою систему базисных гармоник, а именно, умножается соответственно на cos íx, sin íx и cos íx (í = 1, 2,...) и интегрируется на отрезке [0, п], а для коэффициента p0(t) в третьем уравнении добавляется случай í = 0.

В результате получим следующую бесконечную систему обыкновенных дифференциальных уравнений (СОДУ) для бесконечного числа искомых функций 8¿(t), u¿(t), po(t), p,(t) [3]:

2K

8¿(t) = íu,(t) + - У^ (mflfcmí + fcbfcm^) 8fc(t)um(t), (6)

п

k,m=l

2 K 1 2 K

u^(t) =--mbkímuk(t)um(t) + íp^(t) +--mbm¿k8k(t)pm(t) - ^oí2u¿(t)-

п ^^ Y Yn ''

k,m=l k,m=l

2K

-^0- m2bm£k8k(t)um(t), (7)

п

k,m=l

1 K 1 K

p0(t) = -(1 - y) J] kuk (t)pk(t) + - ^0 Y (Y - 1)J] k2uk (t), (8)

k=l k=l

2 K

PÁt) = - У^ (mbkm£ - Ykakmi) uk(t)pm(t) - yí[1 + po(t)]u¿(t)-

k,m=l

2 Л

2 ^ г' 2 , i„2\

-K0f {[1 + po(t)]Se(t) + pe(t)} - Ко - [(m2 + k2)ükm£ - 2kmbkmf] h (t)Pm (t) +

п

k,m=l

2 K

2

(l - 1^- > y kmakmfUk(t)um(t)

ir ' J

П - , r,

k,m=l

с начальными данными вида

ü(t)|t=o = SO, ue(t)lt=o = uO, Po(t)|t=o = p0, PÁt)lt=o = poe. (10)

Здесь K = ж, индексы принимают целые значения k,m,í = 1, 2,..., а коэффициенты akmi, bkmi выражаются через интегралы [3]

п п

akml = J cos kx cos mx cos íxdx, bkml = J sin kx sin mx cos íxdx. oo

В дальнейшем будем рассматривать приближённое решение системы (6)—(10), положив во всех суммах верхний предел K равным конечному числу, а число уравнений — соответственно числу неизвестных коэффициентов 3K + 1.

1.2. Свойства решений СОДУ

Теорема 1. Если в системе (6)-(10) для фиксированного í0 (0 < í0 < K) заданы начальные условия вида (10), отличные от нуля хотя бы для одного значения SO, uO , pO0, а остальные значения SO, uO, pO, í > 0, равны нулю, то в решении системы среди функций Sl(t), ul(t), pl(t), í> 0, отличными от тождественного нуля могут быть только функции с индексами í, кратными í0, т. е. í = í0, 2Í0, 3í0,..., í < K.

Теорема 2. Пусть индекс í (0 < í < K) принимает все значения из конечного множества L = {í0,í\, ...,ím}. Если в начальных условиях системы (6)-(10) при каждом í Е L хотя бы одно значение SO, uO, pO отлично от нуля, а остальные значения SO, uO, pO, í Е L, í > 0, равны нулю, то в решении системы при положительных индексах í отличными от тождественного нуля могут быть только функции Sl(t), ul(t), pl(t) с индексом í, кратным d, т. е. í = d, 2d, 3d,..., где d = НОД(^,^, ...,ím) — наибольший общий делитель чисел í0, í\,...,ím.

Лемма 1. Для коэффициентов akml, bkml из уравнений (6)-(9) справедливы равенства

!п ( П, если í = |k - m|,

П, если í = k + m, или í = |k - m|, I п

bkml =< -П, если í = k + m, 0 в остальных случаях, I

0 в остальных случаях.

Утверждение леммы 1 легко проверяется по формуле Ньютона — Лейбница.

Следствие. Коэффициенты akml, bkml не равны нулю, когда любой их индекс равен сумме или рмзности двух других индексов, и равны нулю, если это не выполняется.

Лемма 2. Пусть Скте — массив чисел со следующим свойством: эти числа отличны от нуля, когда любой из индексов к,т,& равен сумме или разности двух других индексов, и равны нулю, если это не выполняется (к,т, & = 1, 2,..., К). Тогда для любых двух векторов

V = (VI, ^2, ..., Ук), W = (^1,^2, ...^к),

у которых отличны от нуля только компоненты с индексами, кратными ¿, т. е. с индексами к = 2^,..., к < К, сумма

к

Бе = Скт£ Ук ®т

к,т=1

равна нулю, если & не делится на ¿.

Доказательство леммы 2. Предположим, что & не делится на а сумма Бе не равна нулю. Тогда в сумме Бе есть слагаемые, отличные от нуля, которые имеют вид Скте Уки>т, где к, т кратны а индекс & = к + т или & = |к — т|. Но тогда индекс & также должен делиться на что противоречит предположению. □

Следствие. Утверждение леммы 2 остаются справедливыми при любой перестановке индексов у коэффициентов Скте, т. е. аналогичными свойствами будут обладать двойные суммы Бе с коэффициентами вида Скет, Стек и т. д.

Доказательство теоремы 1. Рассмотрим решение системы (6)-(10) с конечным числом уравнений. Пусть все решения этой системы, т.е. функции 8е(£), йе(£), Р°(£), ре(£), & =1, 2, ...,К, определены на некотором временном отрезке [0,£*]. Разобьём этот отрезок на N равных частей длины Д£ и построим для каждой из названных функций ломаную Эйлера [6]. Покажем, что при любом N утверждение теоремы 1 выполняется для всех ломаных. Поскольку при N ^ приближённые решения стремятся к точному решению, то утверждение теоремы 1 будет доказано.

Предположим р° = 0 для некоторого &° > 1, а остальные значения в начальных условиях равны нулю за исключением, возможно, р° (случаи = 0 и и° = 0 проверяются аналогично). Будем строить ломаные Эйлера последовательно в моменты времени = 0, £1 = Д£, £2 = 2Д£, ...,tN = NД£ = . Значения ломаных в точках £.1 обозначим как ¿е(^), йе(^), ре(^).

При £ = 0 начальные условия для ломаных следующие: рео(0) = = 0, $ео(0) = = 0, йео(0) = и£ = 0. Значения производных при £ = 0 находим, вычисляя правые части уравнений системы (6)-(9):

Р'ео (0) = — к°&о2'е0 (0) = 0, и'ео (0) = ^ (0) = 0, ^ (0) = 0.

Следовательно, в момент £ = £1 по итерационным формулам метода ломаных Эйлера имеем

Рео(£1) = Рео(0) + Д£р'£о(0) = Ре0(0) + Д£ (—к°&о2рео(0)) = 0, йео (£1) = йео (0) + Д£ие0 (0) = 0 + Д^ р*о (0) = 0,

4, (£1) = 0.

Для заданных к°,&° выполнения первого из трёх данных неравенств можно добиться за счёт уменьшения Д£ при увеличении N. При остальных & = &°, & > 0, получим

ре(£1) = 0, йе(£1) = 0, = 0.

При £ = £1 производная ^ (£) определяется из уравнения (6):

8'ео(£1) = &°йео (£1) + - У^ (тактео + к&ктео)<к(£1)йт(£1) = &°йео (£1) = 0,

к,т=1

поэтому в момент £2 к существующим ломаным йео, рео добавится ненулевая ломаная <ео.

В дальнейшем построении при переходе к £3, £4,... могут появиться ненулевые ломаные <е, йе, ре только с индексом &, кратным &°.

Докажем это по индукции.

При £ = £1 есть отличные от нуля ломаные <ео, йео, рео, по крайней мере не все значения <ео (£1), йео (£1), рео (£1) равны нулю. Пусть на момент £ существуют ненулевые ломаные с индексами &°, 2&°,..., п&° или хотя бы не все значения $ео (^), <2ео(ti),..., <пео(ti), йео(ti), й2ео(ti), ...,й„ео(ti), рео(ti), р2ео(ti), ...,рпеоравны нулю. Тогда за счёт двойных сумм, входящих в правые части, в момент ^ могут появиться новые ненулевые производные с индексами, не входящими в диапазон &°, 2&°, ...,п&°. Действительно, двойные суммы в правой части уравнений (6)-(9) имеют вид

к

Бе = Скте Ук ^то

к,т=1

где коэффициенты Скте получены из акте и Ькте в виде линейных комбинаций и, возможно, отличны от нуля при & = к + т, & = |к — т| (лемма 1).

По предположению индукции в момент ^ множители Ук, и>т взяты у существующих ненулевых ломаных с индексами к, т из диапазона &°,...,п&°, т.е. эти индексы кратны &°. Поэтому отличными от нуля, возможно, будут суммы Бе с индексом &, равным к + т или |к — т|, так как в них могут находиться ненулевые слагаемые вида Скт,к+тУк^т, Скт,|к-т| УкИначе говоря, новые индексы & появятся в диапазоне &°, 2&°,..., п&°, (п + 1)&°, (п + 2)&°,..., 2п&°, поскольку получаются в виде сумм и разностей чисел &°, 2&°,..., п&°.

Следовательно, при построении ломаных Эйлера в момент £ появятся новые ненулевые производные (^), йе(^), ре(ti) и в момент возникнут новые ломаные <е,йе,ре, отличные от тождественного нуля, с индексами в диапазоне &°, 2&°,..., 2п&°, т.е. кратными &°.

Покажем, что ломаные с индексами &, не кратными &°, всегда тождественно равны нулю. На моменты £° и £1 это очевидно по их построению. По индукции, если в момент £ такие ломаные тождественно равны нулю, то значения <(^), йе(^), ре(£0 равны нулю при &, не кратном &°. Производные (ti), йе(ti), pе(ti) в левой части системы (6)-(9) для этих индексов в момент ti будут равны нулю, так как слагаемые в их правой части, не входящие в двойные суммы, пропорциональны значениям <е(^), йе(£г), ре(^) и поэтому равны нулю, а двойные суммы вида Бе в правой части равны нулю, поскольку их индексы не кратны &° (лемма 2).

Так как производные при £ и значения ломаных в момент £ равны нулю, то и значения этих ломаных в момент также будут равны нулю.

Утверждение теоремы проверено для ломаных Эйлера при любом N, и поскольку при N ^ приближённые решения стремятся к точному решению, то утверждение теоремы 1 будет справедливо и для точного решения. □

Доказательство теоремы 2. Пусть индекс £ принимает все значения из множества Ь = {£0, £1,..., £т} и начальные условия (10) при каждом £ Е Ь хотя бы для одной неизвестной функции 5е{Ь), йе{Ь), ре{Ь) отличны от нуля, а другие начальные условия за исключением, возможно, р0{0) равны нулю.

Доказательство теоремы проведём по индукции для индексов £ > 0, используя, как и в теореме 1, ломаные Эйлера.

Рассмотрим решение системы (6)-(10) с конечным числом уравнений. Пусть все решения этой системы, т.е. функции 8е{Ь), йе{Ь), р0{Ь), ре{Ь), £ = 1, 2,..., К, определены на некотором временном отрезке [0,Ь*]. Разобьем этот отрезок на N равных частей длины АЬ и построим для каждой из названных функций ломаную Эйлера. Будем строить ломаные Эйлера последовательно в моменты времени Ь0 = 0, Ь1 = АЬ, = 2АЬ, = NАЬ = Ь*. Значения ломаных в точках Ьг обозначим 5е{Ьг), йе(Ьг), ре{Ьг).

Покажем, что при любом N утверждение теоремы 2 выполняется для всех ломаных.

В момент Ь0 = 0 начальные условия определяют набор ненулевых ломаных, чьи индексы кратны их наибольшему общему делителю. Пусть на момент Ьг построены ломаные 8е, йе, ре и найдены их значения 5е{Ьг), йе{Ьг), ре{Ьг) в точке Ьг, где индекс £, согласно теореме 1, принимает значения из множества, образованного кратными значениями чисел множества Ь. Обозначим это множество как id. Найдём производные функций ¿е{Ь), йе{Ь), ре{Ь) в точке Ьг, вычисляя правые части в уравнениях (6)-(9). За счёт двойных сумм получим ненулевые производные 5'е{Ьг), й'е{Ьг), р'е{Ьг) для индексов £, не входящих в множество id. Действительно, в двойных суммах, находящихся в строчках, чьи индексы получаются из всевозможных сумм и разностей индексов множества id, будут появляться, как и в теореме 1, ненулевые слагаемые. Поэтому, возможно, появятся новые ненулевые производные и, следовательно, в свою очередь в момент Ьг+1 появятся ненулевые значения у ломаных Эйлера с индексами, не входящими в множество id. Будем включать при каждом шаге по времени в множество id индексы вновь образованных ломаных. Их число станет возрастать, и в конечный момент времени = Ь* множество id можно представить как некоторое подмножество кольца целых чисел, полученное из конечного набора образующих £0, £1,...,£т с помощью операций сложения и вычитания. При этом берутся только ненулевые, положительные значения элементов. Множество id есть подмножество некоторого идеала I, образованного конечным набором элементов £0, £1,...,£т в кольце целых чисел {id С I). Так как кольцо целых чисел есть кольцо главных идеалов, то в I существует наименьший положительный элемент d такой, что все элементы I, а значит и элементы id, будут иметь значения, кратные d. Этот элемент является наибольшим общим делителем чисел £0, £1...,£т, т.е. d = НОД{£0,£1, ...,£т) [7]. Следовательно, в конечный момент времени Ь* среди ненулевых ломаных появятся ломаные с индексами, кратными d. Покажем, что среди них, возможно, есть ломаная с индексом d. Если в начальный набор индексов входили всего два индекса £0, £1, то их наибольший общий делитель можно записать в виде d = а£0-@£1, где а и в — целые положительные числа [7]. Согласно теореме 1, в решении образуются ломаные с индексами, кратными £0 и £1 . Поэтому при больших значениях К и N в какой-то момент tj образуется ломаная с индексом d, равным разности значений а£0, в£1. С этого момента начнут появляться ломаные с индексами, кратными d. Если

в начальных условиях значения с индексами -0, -1,...,-т отличны от нуля, то имеет место цепочка равенств [8]

¿1 = Н0Д(4Л), 4 = НОД(^Л), 4 = Н0Д(4,4),...,

^т = НОД (¿т—1, -^то) , d =

Поэтому за конечное число шагов будут появляться ломаные с индексами ¿1, ..., 1 и в результате появится ломаная с индексом

Покажем, что ненулевых ломаных с индексом не кратным быть не может. В самом деле, начальные значения с индексами, отличными от -0, -1, ...,-т, равны нулю по предположению и, следовательно, при ¿0 = 0 значения ломаных (^(¿0), «¿(¿о), ^(¿0) с индексами - = НОД(-0,-1, ...,-т) также равны нулю. По индукции, если в момент £ = ¿г значения и(¿¿), рЗ^(¿г) с индексами не кратными равны нулю, то производные в левой части системы (6)-(9) для этих индексов равны нулю. Действительно, их слагаемые в правой части, не входящие в двойные суммы, равны нулю, так как вычисляются через нулевые значения (^(¿¿), «¿(¿г), ре (¿г), а двойные суммы в правой части равны нулю по лемме 2. Поэтому и в момент £ = ¿¿+1 значения (^(¿¿+1), ), £^(¿¿+0 останутся равными нулю. Утверждение теоремы 2 проверено для ломаных. Переходя к пределу при N ^ получим, что утверждение теоремы 2 справедливо и для решений системы (6)-(10). □ Замечание 1. Теорема 1 есть частный случай теоремы 2.

Замечание 2. Если наибольший общий делитель d = 1, то в решении системы (6)-(10) отличными от тождественного нуля могут быть функции ^(¿), «¿(¿), р(¿) при любом - < К.

1.3. Выводы

1. Если в начальных условиях (5) для системы уравнений (1)-(3) в суммах присутствуют гармоники только с частотами -0, -1,...,-т, приближённое решение (4) при конечном значении К на основании теоремы 2 имеет вид

^(¿,ж) = 1 + ^^ (¿)ео8^кж), к=1

«(¿,х) = ^^ (¿^т^кж), к=1

р^ж) = 1 + Рл(¿)cos(dfcx), (11)

к=0

где d = НОД(-о,-1, ...,-т). Другими словами, приближённое решение есть сумма волн с кратными d частотами, т.е., пользуясь терминами из акустики, звучать будут основной тон на частоте d и его обертоны на кратных ему частотах [9, 10].

2. Газодинамические параметры ^(¿,ж), «(¿,х), в формулах (11) являются пе-

риодическими функциями с периодом 2п^ и описывают колебания газа между точками (узлами) = пг^, г = 0,1, в которых при любом значении ¿ скорость «(¿, хг) = 0.

Эти колебания синхронны по времени и происходят в противоположных фазах на прилегающих к узлам интервалах. Графики функций 8(t,x), p(t,x) в каждый момент времени обладают зеркальной симметрией относительно вертикальных прямых x = Xi, i = 1, 2,..., d—1, а для графика скорости u(t, x) внутренние узлы во все моменты времени будут точками центральных симметрий. Поэтому построенные приближённые решения можно назвать стоячими волнами.

3. Из доказательств теорем 1, 2 следует, что в приближённой математической модели (6)-(10) при конечном значении K на гармонику с частотой t оказывают влияние гармоники с частотами k, m, для которых t = k + m или t = \k — m\, т.е. гармоники как с нижними, так и с верхними частотами.

1.4. Сравнение решений, иллюстрация содержания теоремы 1

Решения задачи (6)-(10) вида (11) будут приближёнными решениями задачи (1)-(3). Естественно ожидать, что при К ^ данные решения сходятся к её точному решению. Поэтому формулируемые выводы 1-3 о свойствах решений скорее всего будут справедливыми и для точных решений системы (1)-(3).

Проверка этих предположений проводилась путём сравнения численных решений задачи (6)-(10) с решениями задачи (1)-(3), полученными разностным методом. В обоих случаях выбирались параметры 7 = 1.4, = 0.001, к0 = 1.458333^0. Решения СОДУ были найдены по стандартным программам в системе Ма^аЬ при К = 50 с абсолютной погрешностью 1е—10. В разностном методе проводилась дискретизация вида

иП+1- иП

Ut

Ux

li+l

li-1

2h

Ux

ui+1 2Ui + ui-1 h2

с шагом по пространству h = 0.005, по времени т = 0.0001.

Ниже приводятся примеры результатов этой проверки для различных начальных условий. Численные решения, полученные методом сеток, проецировались на систему базисных функций, и обычным способом вычислялись коэффициенты тригонометрических рядов, приближающих данные решения.

Пример 1. В момент времени t = 0 заданы начальные условия вида

p(x, 0) = 1 + 0.1 cos(5x), 5(x, 0) = 1, u(x, 0) = 0.

График давления и его спектр при t = 0 изображены на рис. 1. В начальных условиях присутствует одна гармоника с частотой, равной 5.

^(01

0.1

0.05

5 10 15 20 25 30 I

Рис. 1. График давления p(x) и его спектр при t = 0

Графики давления, скорости и удельного объёма для ¿ = 10 приведены на рис. 2-4. При изображении спектров были выбраны амплитуды первых 30 гармоник.

1/5(01

0.04

0.02

1 1 1 1 1

\р,Ш 0.06

0.04 0.02

0 5 10 15 20 25 30 /

0 5 10 15 20 25 30 I

Рис. 2. График давления р(х) и его спектр при Ь = 10, полученные при решении СОДУ (а ) и разностным методом (б)

а

Рис. 3. График скорости и(х) и её спектр при Ь = 10, полученные при решении СОДУ (а) и разностным методом (б)

5

1.03 1

0.97 0.94

Я 4

Л 2

Зл

4

Л X

Л X

18,(01 i

0.01

0.005

Щх)\

0.01

0.005

10 15 20 25 30 I

■Ill ■III

5 10 15 20 25 30 I

Рис. 4. График удельного объёма 5(х) и его спектр при Ь = 10, полученные при решении СОДУ (а ) и разностным методом (б)

а

Небольшие отличия от нуля в спектрах решений, полученных разностным методом, объясняются погрешностями при построении решения методом сеток, а также при численном нахождении коэффициентов тригонометрических рядов.

Из рис. 2-4 видно, что в решении присутствуют гармоники с частотами, кратными 5. По музыкальной терминологии [11] в данном простейшем случае начальные условия в виде одной гармоники частоты t0 = 5 заставляют звучать гармоники на кратных ей частотах, т. е. в решении кроме основного тона с частотой t0 появятся и его обертоны.

1.5. Результаты расчётов, иллюстрирующих выводы 1, 2

Результаты расчётов в последующих примерах получены разностным методом при указанных в разделе 1.4 значениях параметров 7, , h, т.

Пример 2. Пусть в начальный момент времени заданы условия для скорости u(x), содержащие частоты 8, 12, 20, т.е. задан аккорд (рис. 5)

u(x, 0) = 0.1 sin(8x) + 0.1 sin(12x) + 0.1 sin(20x), p(x, 0) = 1, S(x, 0) = 1.

В этом случае в решении появились новый тон частоты 4 и его обертоны, содержащие в качестве подмножества гармоники исходного аккорда вместе с обертонами, унтертонами и комбинационными тонами его составляющих частот. Новая основная частота равна наибольшему общему делителю исходных частот.

График функции p(t, x) в каждый момент времени обладает зеркальной симметрией относительно вертикальных прямых x = п/4, x = п/2, x = 3п/4 (рис. 6), а для графика скорости u(t,x) точки пересечения этих прямых с осью Ox при любом t будут точками центральных симметрий (рис. 7).

и,(01 0.1

0.08

0.06

0.04

0.02

8 12 16 20 24 28 I

Рис. 5. График скорости и(х) и её спектр при Ь = 0

1^(01 г

о.оз

0.02

0.01

4 8 12 16 20 24 28 I

Рис. 6. График давления р(х) и его спектр при Ь = 10

| «1,(01 о.оз

0.02

0.01

1.

4 8 12 16 20 24 28 I

Рис. 7. График скорости и(х) и её спектр при Ь = 10

2. Моделирование внешнего воздействия на процесс стабилизации одномерного течения газа

Смоделируем в какой-то промежуточный момент времени ¿ = ¿* > 0 мгновенное внешнее возмущение на процесс колебания газа, изменив решение путём добавления к функциям или ¿(¿*,ж) гармоники вида Сеcos(-x) или к функции «(¿*, х) гармоники вида Се sin(-x) при взаимно простым с d. Затем продолжим решение системы (1) на промежуток [¿*, ¿*], приняв за начальные условия при ¿* измененные функции. Тогда характер решения на промежутке [¿*^*] кардинально изменится по сравнению с решением на промежутке [0, ¿*]. Поскольку при ¿ > ¿* в качестве нового значения d выступает единица, то при ¿ > ¿* в решении появляются гармоники со всеми частотами. За счёт такого "перемешивания частот" мгновенное воздействие при малых значениях коэффициента вязкости приводит к хаотическим колебаниям газодинамических параметров.

Р

1.05 1

0.95 0.9

1ф II | | | | | Г

0.1 —■-■--{-------;-------г------1-------;-------

0.075

0.05-------------!-------Г------1-------!-------

0.025--------------------■------■--------------■

Рис. 9. Графики давления для Ь = 10,13,16,19 и спектр давления при Ь = 19

Пример 3. Рассмотрим начальные условия, когда задана одна гармоника с частотой 5 для давления (см. рис. 1). В момент t = 10 (рис. 2, б) добавим к функции p(x, 10) гармонику 0.1 cos 3x с частотой 3. В спектре давления кроме частот, кратных числу 5, появится частота 3 (рис. 8).

Так как при t > t* наибольший общий делитель НОД(3, 5) = 1, то при t > 10 спектры давлений будут содержать все частоты, а дальнейшие изменения давления будут носить хаотический характер (рис. 9).

Заключение

На основании утверждений, полученных при доказательстве теорем 1, 2, а также численного моделирования можно выдвинуть две гипотезы о структуре решений ПСУНС в одномерном случае.

Пусть для полной системы уравнений Навье — Стокса (1), описывающей течение сжимаемого вязкого теплопроводного газа на границах 0 < х < п, выполняются условия прилипания и теплоизоляции (3).

Гипотеза 1. Если начальные данные (2) для ПСУНС заданы суммами гармоник (5) с конечным набором частот £0,£1,..., £т, то решение начально-краевой задачи будет содержать гармоники вида (4) только с частотами, кратными й =НОД(£о,^1, ...,&т).

Гипотеза 2. Механизм взаимного влияния гармоник в решениях ПСУНС определяется суммой и разностью их частот. Именно, на гармоники с частотой I оказывают влияние гармоники с частотами к, т, для которых I = к + т, I = |к — т|.

Автор благодарен профессору С.П. Баутину за полезные советы и помощь в работе.

Список литературы

[1] Бдутин С.П. Характеристическая задача Коши и её приложения в газовой динамике. Новосибирск: Наука, 2009.

[2] Титов С.С. Решение нелинейных уравнений в аналитических полиалгебрах. I // Изв. вузов. Математика. 2000. Т. 1(452). С. 66-77.

[3] Бдутин С.П., Замыслов В.Е. Представление приближённых решений полной системы уравнений Навье — Стокса в одномерном случае // Вычисл. технологии. 2012. Т. 17, № 3. С. 3-12.

[4] АнтонцЕВ С.Н., Кджихов А.В., Монахов В.Н. Краевые задачи механики неоднородных жидкостей. Новосибирск: Наука, 1983.

[5] Кджихов А.В. Избранные труды. Математическая гидродинамика. Новосибирск: Ин-т гидродинамики СО РАН, 2008.

[6] Петровский И.Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1970.

[7] ван дер Варден Б.Л. Алгебра. М.: Наука, 1976.

[8] Виноградов И.М. Основы теории чисел. М.: Наука, 1972.

[9] Руденко О.В., Солуян С.И. Теоретические основы нелинейной акустики. М.: Наука, 1975.

[10] Лэмв Г. Динамическая теория звука. М.: ГИФМЛ, 1960.

[11] Алдошинд И., Приттс Р. Музыкальная акустика. СПб.: Композитор, 2006.

Поступила в 'редакцию 15 мая 2012 г.