CC BY
15
+ 2
+1 (ЦдиМ) + (ГХи$хМ),
8х, () = 0, I = 1П. (9)
Дальнейших итераций можно не проводить, поскольку они дают поправки к дx, имеющие формально третий порядок малости.
Решение уравнения в вариациях второго порядка
Решение СЛДУ (9) имеет вид
т п Я-Т
IIёк иу
у=1 к=1 (Му
t
Sx, (t) = j
1 n n ^ n Q2 f \
11ISik -,
2 j =1 k =1 ^ l=1 dxl dXj j
SX, SX-
lj
1 m n m Q2 f \
l=1 du, du
1=1 1 j j
~ I * I - g ik I :
j=1 k=1
Sui Suj
m n n Q2 f
11 Sik I
j=1 k=1
и dxj du
SxCj Suj
j j
где
SXi (r) = j
г
SXj (r) = j
m n pif
IISik ^uj j=1 k=1 duj
m n pj-f
IlSk jf^uj
j=1 k=1 duj
i = 1, n
dr
(10)
(11)
В (10) gk(t, t), k = 1, 2,..., n; i = 1, 2,..., n — элементы матрицы Коши уравнения в вариациях первого порядка (3).
Заключение
В статье для исходных уравнений движения управляемого объекта в виде системы нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений в нормальной форме Коши (1) получены уравнения в вариациях второго порядка в виде (8) и решение уравнения в вариациях второго порядка в форме ( 10)—(11). Уравнение в вариациях второго порядка для нелинейных управляемых систем более точно определяет связь между вариацией вектора состояния и вариацией вектора управления по сравнению с уравнением в вариациях первого порядка. Этот факт при наличии высокопроизводительной современной вычислительной техники позволяет надеяться на перспективность применения уравнения в вариациях второго порядка в задачах тео-р ии управления.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин С.В. Оптимальное управление. М. : Наука, 1979. 430 с.
2. Справочник по теории автоматического управления / под редакцией Красовского А.А. М. : Наука, 1987. 711 с.
УДК 330.115 Пашков Николай Николаевич,
д. т. н., профессор кафедры «Логистические транспортные системы и технологии», Московский государственный университет путей сообщения, тел. 8-916-949-27-17, email: [email protected]
АЛГЕБРАИЧЕСКИЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНОЙ МНОГОКРИТЕРИАЛЬНОЙ ЗАДАЧИ
N. N. Pashkov
ALGEBRAIC METHOD FOR SOLVING LINEAR MULTICRITERIA PROBLEM
Аннотация. В статье дано обоснование алгебраического метода решения линейной многокритериальной задачи. Изучены решения задачи в угловых точках границы множества условий, в которых нарушается диффе-ренцируемость. В этих точках классические методы математического анализа для поиска условных экстремумов неприменимы. На основании гомеоморфизма отображений выпуклых подпространств задачи доказана теорема о существовании единственного экстремального решения двойственной пары линейной многокритериальной задачи.
Ключевые слова: алгебраический метод, линейная многокритериальная задача, множество решений.
Abstract. This article deals with a substantiation of the algebraic method for solving linear multicriteria problem. The solving ofproblems at the corner points located on the boundaries of a variety of conditions is studied. Differentiability is broken at these points and classical methods of mathematical analysis to find the conditional extreme are not appli-
Современные технологии. Математика. Механика и машиностроение
cable. The theorem on the existence of a single extreme solution of a dual pair of linear multicriteria problems is proved on the basis of homeomorphism maps convex subspaces.
Keywords: algebraic method, linear multicriteria problem, set of solutions.
Одной из центральных задач в теории принятия решений, не имеющей общего прикладного метода выбора наилучшего варианта, является многокритериальная задача линейного программирования (МЗЛП):
Здесь Г - вектор показателей эффективности принимаемых решений, размерности 1x1, С - матрица коэффициентов целевых функций размерности I X п, А - матрица параметров объекта размерности ш X л, Ь - вектор ограничений размерности шу. \ х - вектор переменных задачи размерности п X 1, удовлетворяющий ограничениям Ах < Ь,х > 0.
Поиск решения МЗЛП, обеспечивающего максимум каждой из строк Cx на многограннике X, предполагает максимизацию одновременно всех l показателей эффективности, максимальные значения которых могут служить критериями оценки эффективности.
В том случае, если отсутствуют априорные значения критериев F, под решением МЗЛП понимают Парето-решение, т. е. такое решение, которое нельзя улучшить по одному из показателей, не ухудшая хотя бы один из оставшихся.
В работе [1] отмечено, что, как правило, традиционного решения МЗЛП не существует, то есть «отсутствует точка х Е X, такая, что Сх > Су
для всех у •= Х,у ф х». В этой связи в работе [1]
предлагается считать решением точку, компромиссную по отношению ко всему множеству Парето.
Однако можно показать, что для достаточно широкого класса объектов в МЗЛП существует такое единственное решение л-" Е X, что Сх* > Су
для всех у Е Х,у Ф х*.
Сохраним основные определения и обозначения работы [1]: множество Парето обозначим
через N с А\ решение х^ € N назовем паретов-ским, если
где С' - строка 1 матрицы С (¡'-й показатель эффективности).
В работе [2] показано, что «множество N представляет собой объединение выпуклых оболочек комбинаций точек из множества паретов-ских вершин Е N». Из линейности операции
объединения выпуклых оболочек следует, что множество N выпуклое. Кроме того, максимальные значения линейных целевых функций: Г = тахСх,
есть линейные комбинации паретовских решений ■ ^ипд: Сх^ .
Это значит, что многогранник паретовских решений ду
должен быть выпуклым, а угловые точки многогранника Хвх принадлежат выпуклому множеству N.х.
Покажем, как экстремальные точки х* из
можно определить
алгебраическим способом.
Основанием алгебраического способа решения ЗЛП служит структура отображений четырех основных подпространств [3], связанных матрицей A: подпространство строк А, подпространство столбцов Л. нуль-пространство
Х0 = (д; Е Кп\Ах = > 0} и левое нуль-
пространство матрицы АТ. Схема действия матрицы А представлена на рис. 1 и 2.
Аналогичную структуру отображений имеют четыре основных подпространства, связанных матрицей С: подпространство строк С, подпространство столбцов С, нуль-пространство У0 = {а е Д™| Сх = 0, г > 0} и левое нуль-
пространство матрицы СТ.
Известно [3, 4], что для каждой прямой ЗЛП существует двойственная ЗЛП в другом пространстве переменных, но с тем же значением целевой функции (если решение вообще существует). Обе задачи симметричны по отношению друг к другу, если их представить в матричной форме.
Покажем, что из свойств псевдообратной матрицы А+ (обобщенная обратная матрица Мура - Пенроуза), вытекает существование единственного максимального решения задачи линейного программирования (ЗЛП), равного единственному экстремальному решению двойственной пары.
Полагаем, что в матрице А исключены зависимые строки и столбцы. Из основной теоремы линейной алгебры следует, что полный ранг невырожденной прямоугольной матрицы А размера (тхп) равен наименьшему числу независимых строк m или столбцов п:
rank A = min {m, n\. Для невырожденных прямоугольных матриц существует единственная (левая или правая) псевдообратная матрица [5, стр. 47]:
[(Л'Д)-1^, еслитп > п,
если т < п.' Псевдообратная матрица А~ позволяет
найти экстремальные решения двойственной пары ЗЛП, формальная постановка которых приведена ниже.
Прямая ЗЛП. Требуется найти максимальное значение целевой функции
-г_ = : * — ".■., (1)
в условиях ограничений
Ах < Ь, (2)
* ^ С'. (3)
Современные технологии. Математика. Механика и машиностроение
где - скалярная целевая функция прямой задачи ЛП;
с1 = [с1! - вектор коэффициентов целевой
функции;
/ = ■. - вектор переменных прямой
задачи;
п — число переменных прямой задачи;
' ■■.. - вектор ограничений прямой
задачи;
— число ограничений; ' Оц ■ ■ ■ а1п
0,-у
Экстремальные решения двойственной пары ЗЛП дает теорема 1.
Теорема 1 (двойственность ЗЛП):
1. Если прямая задача ЛП двойственной пары имеет максимальное решение :
г' = А~Ь,
то двойственная ей задача ЛП имеет минимальное решение у^:
Справедливо и обратное.
2. Пара экстремальных решений (хт , у1)
- (т х п) матрица параметров ЗЛП единственная.
3. Экстремальные значения целевых функций Р^ и
-ат1
объекта.
Двойственная ЗЛП. Требуется найти минимальное значение целевой функции
р2 = Ь7у -»тт. (Г)
в условиях ограничений
,
(2')
У го. (3-)
где ~ скалярная целевая функция двойственной задачи ЛП;
ЬТ = [Ь| Ьг... - вектор коэффициентов целевой функции ДЗЛП;
у =..".": .'■■.. - вектор переменных двойственной задачи ЛП;
ш — число переменных двойственной задачи ЛП;
=.-'.-': ■.. - вектор ограничений двойственной задачи ЛП; 41 — число ограничений;
Ат=
Г.} двойственной пары ЗЛП в точке (г1*, у*1) равны:
Доказательство. В справедливости теоремы 1 можно убедиться непосредственным вычислением целевых функций.
1. Существование решений. На множестве допустимых решений
X = {х 6 Д"1Алг < Ь,х > 0}
рассмотрим выпуклый многогранник максимальных решений:
В силу существования единственной псевдообратной матрицы А на многограннике максимальных решений Хвх из Ах = Ь найдем единственное максимальное решение x прямой задачи ЛП:
X'
.-Tii.
(4)
Подставив правую часть (4) в (1), найдем един- (л х, ш) матрица параметров стеенное максимальное значение целевой функции прямой задачи ЛП:
Р/ = сТА+Ь. (5)
На множестве допустимых решений Y = {у G Ят|лту > г, у > 0}
объекта.
Симметричность этих задач состоит в том, что постановка двойственной задачи к двойственной совпадает с исходной прямой задачей. Роль вектора ограничений Ь (вектор-столбец правых рассмотрим выпуклый мн°г°гранник минималь частей ограничивающих условий) прямой задачи ных решении, выполняет вектор коэффициентов с целевой функции двойственной задачи, и наоборот. Строки
В силу существования единственной псев-
матрицы °граничений А прямой задачи сташта дообратной матрицы (AT)+ на многограннике
столбцами матрицы ограничений А двойственной задачи. Каждая двойственная переменная связана с соответствующими ограничениями прямой задачи.
ми-
нимальных решений Увх из Ay = c найдем единственное минимальное решение y двойственной задачи ЛП:
у- = -,-.
(4')
Подставив правую часть (4') в (1'), найдем единственное минимальное значение целевой функции двойственной задачи ЛП:
Е* = ЬТ(АТ)+с (У)
2. Единственность пары экстремальных решений у4'] Рассмотрим совместное реше-
Сц Си
с1п
сы.
левых функций;
Г11 ■■" х1т
тшт
- матрица коэффициентов це-матрица переменных пря-
X у
ние системы неравенств:
' (У)тЛл;т < (У)ТЬ
,
(6)
.хп1
мой МЗЛП;
"■ ■ " - число переменных прямой МЗЛП;
матрица ограничений пря-
Очевидно, что левые части неравенств (6) равны:
«У)тЛл:т)т = (*Т)ГЛ V,
следовательно, равны и правые части: &УЬ = {хЛУс
мой МЗЛП;
т X п — число ограничений; ' Иц ■ ■ ■ а1п
- (т X 71) матрица парамет-
Подставим в правые части неравенств (6) р0в 05ъекта
значения экстремальных решений (4) и (4'): (у1УЬ = {(А7УсУЬ,
.
Равенство правых частей:
(_(АТ)+сУЬ = (А+Ь)тс,
Двойственная МЗЛП. Требуется найти минимальные значения целевых функций
(8')
верно, если
.
Но (А+УШ(АТ)-.
следовательно, экстремальная пара векторов у"*1) единственная.
3. Равенство экстремальных значений целевых функций. Правые части (5) и (5') равны:
{сТА+Ъ')ТЩ Ьт(АтУс (7)
следовательно, равны и левые части:
Все пункты теоремы 1 доказаны. Действие теоремы 1 можно расширить на многокритериальные задачи линейного программирования (МЗЛП) следующим образом.
Прямая МЗЛП. Требуется найти максимальные значения целевых функций
Р± = СХ -» тах. (8)
в условиях ограничений
АХ < В, (9)
-£>0, (Ю)
где Р1 - матрица целевых функций прямой МЗЛП;
в условиях ограничении
АТУ > Ст
(91
У > 0, (10")
где ¡"2 - матрица целевых функций двойственной МЗЛП;
целевых функций;
- матрица коэффициентов
матрица переменных двой-
ственной МЗЛП;
т X п — число переменных двойственной МЗЛП; г
ет
Си
с1п
с1п.
матрица ограничений
двойственной МЗЛП; I Хп — число ограничений;
АТ =
- (п хт) матрица парамет-
ров объекта.
Здесь, в отличие от ЗЛП, ¥ - матрица целевых функций, матрица ограничений В прямой за-
Современные технологии. Математика. Механика и машиностроение
дачи играет роль матрицы коэффициентов С целевых функций двойственной задачи, и наоборот. Строки матрицы параметров объекта А прямой задачи по-прежнему становятся столбцами матрицы параметров объекта Ат двойственной задачи.
Теорема 2 (двойственность МЗЛП): 1. Если прямая МЗЛП двойственной пары имеет единственное максимальное решение: X1 = А~ В,
то двойственная ей задача имеет единственное минимальное решение:
У1 = (АТУСТ.
Справедливо и обратное.
2. Пара экстремальных решений (А' ,У1)
МЗЛП единственная.
3. Экстремальные значения целевых функций двойственной пары МЗЛП равны:
= СА+В.
Доказательство. В справедливости теоремы 2 также можно убедиться непосредственным вычислением целевых функций.
1. Существование решений. Найдем единственное максимальное значение матрицы переменных X прямой МЗЛП из неравенства (8):
.V' = .-TS.
(11)
Fl = С А~ В.
из неравенства (9'):
Yr = (АТУСТ.
(11')
системы неравенств:
" (¥1)ТАХГ < (У1)ТВ
Очевидно, что левые части (13) равны:
(13)
.
Следовательно, равны и правые части:
= (А^С.
(11'):
Равенство правых частей (13) с учетом (11) и
~Ое 7 = .ув 7 с,
верно, если
Но (А+)г = (Л7)4", следовательно, экстремальная пара матриц [А'1", 1'^) единственная.
3. Равенство экстремальных значений целевых функций. С учётом того, что (Л4)7" = (А: )
правые части (12)и(12') равны:
(СЛ+В)ГМ ВТ(А+)ТСТ,
равны и левые части (12) и (12'):
(fLz)T-
(14)
Подставив правую часть (11) в (8), найдем единственные максимальные значения целевых функций прямой МЗЛП:
(12)
Найдем единственное минимальное значения матрицы переменных У двойственной МЗЛП
Подставив правую часть (11) в (8'), найдем единственные минимальные значения целевых функций двойственной МЗЛП:
= ВТ(АТ)+СТ. (12")
2. Единственность пары экстремальных решений (А' , У*'). Рассмотрим совместное решение
Все пункты теоремы 2 доказаны.
Заключение
Теорема 2 охватывает все частные случаи МЗЛП, в том числе когда целевая функция F -скаляр, вектор или матрица искомых максимальных показателей эффективности решений.
Численные значения матриц CA B, или BT(A+)TCT, легко вычисляются с помощью встроенных в MS Excel стандартных функций и дают экстремальное решение МЗЛП.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Носков С.И. Точечная характеризация множества Парето в линейной многокритериальной задаче // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. 2008. № 1 (17). С. 99101.
2. Yu L., Zeleny M. The Set of all Nondominated Solutions in Linear Cases and Multycriteria Simplex Method // J. of Math. Anal. And Applic. 1975. v. 45. № 2. P.430-468.
3. Стренг Г. Линейная алгебра и ее применения. М. : МИР, 1980. 460 с.
4. Карманов В. Г. Математическое программирование. М. : ФИЗМАТЛИТ, 2004. 264 с.
5. Воеводин В.В., Кузнецов Ю.А. Матрицы и вычисления. М. : Наука, 1984. 320 с.
