Точечная характеризация множества Парето в линейной многокритериальной задаче Текст научной статьи по специальности «Математика»

quantitative-qualitative object definiteness within its scope it is workability with a specified reliability level and it can be changed in the direction of some general development trend according to principles primordial peculiar to it.

REFERENCES

1. KobzovD.Y., Martynenko O.P., GubanovV.G. There must be no alternative to the right choice of diagnostic parameters. Proceedings of the 2nd International Machinery Monitoring

& Diagnostics Conference & Exhibit, Los Angeles, California, 1990. PP.374-380. Kobzov D.Y. Diagnostics of Hydrocylinders of Single Bucket Excavators Working Equipment. Synopsis of thesis for doctor's degree. Leningrad, 1987. 22 p. Reliability and Effectiveness in Engineering. Reference book. In 10 vol. (Ed.B.: Avduevskiy V.C. etal.). Moscow, Machine-building, 1986. V.I: Methodology. Organization.

Terminology. Edited by Rembeza A. 224 p.

Носков С.И. УДК 330.115

ТОЧЕЧНАЯ ХАРАКТЕРИЗАЦИЯ МНОЖЕСТВА ПАРЕТО В ЛИНЕЙНОЙ МНОГОКРИТЕРИАЛЬНОЙ ЗАДАЧЕ

К числу классических в теории приня- задачи (1), (2) принято понимать так называе-тия решений относится многокритериальная мое множество Парето. Обозначим его через задача линейного программирования (МЛП), N с X .Решение х е N называется паретовским формальная постановка которой имеет вид: (недоминируемым, неулучшаемым), если его

нельзя улучшить по какому-то одному крите-Cx ^ max, (1) рию, не ухудшив значение хотя бы одного из

оставшихся. Или, формально,

xeX

X = | x eRn I Ax < b, x > 0|. (2)

x e N ^ (Vy e X, y Ф x)-((Cy >Cx) л(3/ C y >Cx)),

Здесь, в отличие от обычной задачи ы ■ <■ ^

„ ,1Г„ „ где С - 1-ая строка (/-ыи критерии) матрицы С.

линеиного программирования (ЛИ), С — мат- т-г ^ т-г

^ г г * Проблеме построения множества Иа-

рица размерности l х и, а не вектор; А — матри-

рето в задаче МЛП посвящена обширная лите-

ца ограничений размерности т х п. Таким об- ратура. Вместе с тем, одной из лучших (если не разом, многокритериальная задача (1), (2)

предполагает максимизацию на многогранни-

лучшей) публикацией на эту тему является,

по-видимому, статья американских математике X не одного линеиного критерия, как в об- ков Р. к Уи и М. Zeleny [1]. Именно здесь при-

ычноизадаче(ЛИ),а I критериеводновремен- ведены хорошо теоретически обоснованные но.

методы построения множества паретовских Заметим, что от нормальнои формы вершин Мех е Ми всего множества Иарето.

/ Л \ /ГЛ\ V и 1 А

задачи(1), (2)легкопереитикканоническои. Для построения множества Мех в [1]

Ограничение х > 0, также легко обходится. представлен так называемыи многокритери-

Как правило, традиционного реше- альныи симплекс-метод. Он основан на двух

ния задачи (1), (2) не существует, то есть отсу- основных теоремах, формулировки которых

мы приведем здесь без доказательства.

тствует точка х е X такая, что Сх > Су для всех у е X,у ф х. В случае, когда у лица, принимающего решения (ЛИР), отсутствует какая-либо Теорема 1 ([1]). априорная информация относительно сравни- Множество Nех связно.

тельнои важности критериев, под решением

ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ

Теорема 2 ([1]).

х0 еN ою- 0. х0 еЮ о ю> 0.

Здесь Ю - X / N, а ю - решение задачи ЛП

ю- тах

X -{(х,I) е Яп+1 |х е X,Сх -е > Сх0,е > 0}.

(3)

(4)

Суть алгоритма построения множества Ыех, описанного в [1], состоит в следующем. Сначала ищется первая паретовская вершина х1. Для этого достаточно решить задачу ЛП с целевой функцией

£х С

тах, Х>0.

После этого на паретовость путем решения задачи (3), (4) проверяются все соседние к х1 точки. Те из них, которые окажутся паре-товскими, включаются в Ыех, проверке подвергаются соседние к ним и т. д.

Следует отметить, что в [1] приведен (см., например, теорему 3.1 в [1]) ряд простых достаточных условий принадлежности некоторой произвольной точки у е X множеству Ю, что существенно облегчает перебор.

Наряду с многокритериальным симплекс-методом в [1] показано, что для любой точки х е Ne существует набор чисел X. е (0,1),

' -1,I такой, что

х -агд тах IX{ С' у.

ы

(5)

Это означает, что множество Ыех можно построить, перебирая узлы 1 — мерной 2-сети

на множестве

А-{ХеЯ |Х,

: (0Д), ' -1, I}

и решая для каждого узла задачу ЛП (5).

Далее в [1] показывается, как на основе Ыех можно построить множество N. При этом N будет представлять собой объединение па-ретовских выпуклых комбинаций (граней многогранника X) точек из Ыех.

Заметим, что со всем множеством Парето N работать трудно, поскольку оно содержит бесконечное число возможных «равноправных» решений, ЛПР же, как правило, для реализации требуется какое-то одно решение. В то же время вся объективная информация уже использована, как будто бы, при построении множеств Nex и N.

Казалось бы, выходом из этой ситуации может быть решение задачи ЛП (5) с равными весовыми коэффициентами:

И ■

Это, однако, не так по двум причинам. Во-первых, такой способ предполагает одинаковую важность для ЛПР всех I критериев, что сужает постановку исходной задачи. И, во-вторых, такое решение непременно «выведет» на какую-нибудь точку из Nех (то есть на вершину), игнорируя, по существу, множество N/Nex.

Способ, позволяющий ЛПР выделить для реализации лишь одну точку из N и не требующих дополнительных соображений субъективного характера, может состоять в следующем.

Прежде всего заметим, что каждое паре-товское решение х е N равноправно по отношению к другим паретовским решениям (не лучше, но и не хуже них). Следовательно, при выделении единственной точки из N (то есть при точечной характеризации N) для реализации должно быть учтено (пусть и неявно) все множество N.

Отметим далее, что такая характеризация — обозначим ее через х - должна отражать конфигурацию множества N, в значительной мере задаваемую множеством Nех.

Основанная на учете этих двух соображений идея поиска решения х~ е N состоит в следующем. Необходимо, считая каждую точку из Nех равноправной по отношению к другим, найти выпуклую комбинацию всех точек из Nex с равными весами. Обозначим её через х* :

х* - - Iх, (6)

Р хеМех

где р - число элементов (мощность) множества Nex.

Ясно, что в общем случае точка х * не является паретовской. Поэтому естественно в множестве N выделить точку (ранее обозначенную через х), в максимальной степени «улучшающую» х * по всем критериям.

Воспользуемся для этого теоремой 2 и решим задачу (3) на множестве

X* -1 (х,I) е Яп+1 |Сх -е > Сх*,е > 0} .(7)

Полученное решение и будет искомой ха-рактеризацией х множества N.

'-1

' =1

Пример.

С целью сохранения последовательности изложения возьмем пример из [1]:

А =

1 2 1 1 2 1

"2 "1 0 1 2 0

"1 0 1 0 2 0

V 0 1 2 "1 1

Г16 ^

16

b =

16

I16 ;

Г1 2 "1 3 2 0

= 0 1 1 2 3 1

1 0 1 "1 0 "1

2 л 1

x

x

1 >

0

"v

При решении этой задачи с помощью многокритериального симплекс — метода множество Nех составили шесть точек: х1 -(0,0,0,0,8,0,0),

2 -(0,0,0,16,0,0,0),

х1

4

1 =(16,0,0,0,0,00), = (8,0,8,0,0,0,0),

x5 =f 0,0,—,—, 0,0,0

^ 3 3

x6 =f 0,0,-,0,-,0,0

I 3 3

Образом множества Nex в критериальном пространстве являются точки Cx1 =(16,24,0)',

Cx2 = (48,32," 16)' Cx3 =(16,0,16)', Cx4 =(0,816)',

Cx5 =Г16,64,16 333

Cx 6 = | 16 64 16

x =' ТУТ

По формуле (6) найдем выпуклую комбинацию точек из Nex с равными весами: x * = (4,0,4,3.55,2.2,0,0). Далее посредством решения задачи (3) на множестве (7) найдем точечную характериза-цию x множества Парето N:

if = (4.075,0,0.375,05.775,0,0). При этом расстояние отточки Cx*до множества Парето в критериальном пространстве

3

CN будет равно 0.4 (ю= 1 et = 0.4).

i = 1

Наконец, образом окончательного решения задачи будет точка

Cx =(15.2517.7,4.45)'.

Заметим, что если бы мы решили задачу (5) с равными весами, решением стала бы точ-

ка x2 (J Cixf = 64).

БИБЛИОГРАФИЯ

1. Yu L., Zeleny M. The set of all nondominated solutions in linear cases and multycriteria simplex method // J. of Math. Anal. and Applic.-1975.-v.45.-N2.-P.430-468.

i = 1