Александр Иванович Галочкин (к 80-летию со дня рождения) Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 51(091)4-511.46

Б01 10.22405 /2226-8383-2024-25-2-20-29

Александр Иванович Галочкин (к 80-летию со дня рождения)

Ю. В. Неетеренко, В. А. Быковский, В. Н. Чубариков, В. Г. Чирекий, О. Н. Герман,

Н. М. Добровольский

Александр Иванович родился 14 мая 1944 г. в г. Уржуме, маленьком, но очень старом и красивом городке Кировской области (первое упоминание в 1584 г.). Окончив школу в 1962 г. он поступил учиться на механико-математический факультет МГУ. После окончания факультета в 1967 I'. и аспирантуры защитил 14 мая 1971 г. кандидатскую диссертацию «О дио-фантовых приближениях чисел некоторых классов». В студенческие годы и в аспирантуре его научным руководителем был профессор Шидловский Андрей Борисович. С 1970 года и по настоящее время А. II Галочкин непрерывно работает на кафедре теории чисел механико-математического факультета МГУ сначала в должности ассистента, а с 1 сентября 1978 г. в должности доцента. В 2009 году он защитил докторскую диссертацию "Об арифметических свойствах значений аналитических функций некоторых классов". С 2011 г. он профессор механико-математического факультета МГУ.

А. И. Галочкин крупный ученый и известный специалист по теории чисел. Его работы по теории трансцендентных чисел и, в частности, исследования арифметических свойств значений Е-функций и Ст-функций Зигеля, оценки линейных форм от значений гипергеометрических функций, широко известны в России и многих странах. По приглашениям зарубежных учебных и научных организаций он читал лекции о полученных им результатах в университетах Монголии, Японии и Финляндии, участвовал в международных научных конференциях по теории чисел в Германии, Литве, Белоруссии. Им опубликовано более 50 печатных работ.

Прежде, чем рассказывать подробнее о научных достижениях А. И. Галочкина, скажем несколько слов о теории трансцендентных чисел. Существование трансцендентных (не алгебраических) чисел впервые доказал в 1844 году Жозеф Лиувилль, фактически построивший примеры таких чисел. Например, он доказал, что число ^^=1 2-п' трансцендентно. В 1873 г. Шарль Эрмит доказал трансценденность числа е. И Лиувилль, и Эрмит были иностранными членами Российской Академии наук, Эрмит даже был её Почётным членом.

Жозеф Лиувилль (1809-1882) Шарль Эрмит (1822-1901)

В 1882 году Фердинанд Линдеман установил трансцендентность числа ж и тем доказал невозможность квадратуры круга с помощью циркуля и линейки — задачи, которую пытались решить ещё древние греки. Между прочим, Линдеман был научным руководителем Давида Гильберта — одного из великих математиков, сформулировавшего на рубеже XIX и XX столетий ряд проблем, работа над которыми должна была по его мнению определить основные направления развития математики в XX столетии. Одной из таких проблем под номером 7 было утверждение о трансцундентности чисел вида аъ при алгебраических числах а, Ь и условиях, что а отлично от 0 и 1, и Ь иррационально. Эта гипотеза была полностью доказана в 1934 г. Александром Осиповичем Гельфондом и несколько позже с рядом существенных отличий Теодором Шнайдером. В эквивалентной формулировке, как утверждение о трансцендентности при некоторых условиях чисел вида Ь эта гипотеза высказывалась ещё Леонардом Эйлером.

Фердинанд Линдеман (1852-1939)

Давид Гильберт (1862-1943)

Гельфонд был заведующим кафедрой теории чисел мехмата МГУ с 1948 по 1968 годы и, естественно занимался вместе со своими учениками не только комплексным анализом, но и теорией чисел, в частности исследованиями проблем, связанных с трансцендентностью чисел. После смерти Гельфонда кафедру унаследовал Андрей Борисович Шидловский, а руководить научным семинаром Гельфонда стали его ученики А. Б. Шидловский и Наум Ильич Фельдман, оба выдающиеся специалисты в теории трансцендентных чисел.

Андрей Борисович Шидловский (1915-2007)

Наум Ильич Фельдман (1918-1994)

А. Б. Шидловский, математические интересы которого были связаны в основном с исследованиями трансцендентности и алгебраической независимости значений Е-функций Зи-геля, создал большую школу в теории трансцендентных чисел, в частности его учеником был А. И. Галочкин. Класс Е-функций (функций в некотором смысле похожих на экспоненту ег) был определён в 1929 году Карлом Зигелем в связи с исследованиями алгебраической независимости значений целых гипергеометрических функций второго порядка.

Определение 1. Пусть К — алгебраическое числовое поле конечной степени. Функция

f (х) = аV — , аV е К ,

называется Е-функцией, если при любом е > 0 выполняются следующие условия

1) га = О (и ^);

2) существует последовательность (дп} натуральных чисел т,аких, что

дпа„ е ^ж, Яп = 0(п£П), п = 0, 1,...; 0 ^ V ^ п.

Е-функции образуют кольцо, замкнутое относительно дифференцирования. А. Б. Шидловский существенно усилил метод Зигеля. Он установил следующий критерий алгебраической независимости значений Е-функций.

Теорема 1 (Теорема Шидловского). Пусть совокупность Е-функций

/&),...,/э (г) (1)

составляет решение системы линейных дифференциальных уравнений

э

у'г = Яго(г) + ^ ^(г)у3, 1 < г < ^(г) е ]ВД, (2)

3 = 1

а — алгебраическое число, отличное от, нуля, и от, полюсов всех функций Qгj(г). Тогда для, алгебраической независим,ост,и значений

Ма),...,/3 (а) (3)

над полем 0> необходима и достаточна алгебраическая независимость функций (1) над полем

ад.

Впоследствии этот результат был распространен А. Б. Шидловским на случай алгебраически зависимых Е-функций. Все приложения метода, созданного Зигелем и Шидловским и, в частности, теоремы Шидловского, связаны с обобщёнными гипергеометрическими функциями

[а,1 + 1, у] ■■■ [аи + 1, у] ^

и=0

где [Л + 1, и] = (X + 1) ■ ■ ■ (Л + V), [X + 1, 0\ = 1, а все числа Ьу = —1, -2,

/ {¿) = У[*} + У\Л ■■■[Г + \ г* , г = V — и> 0, (4)

^ [Ь1 + 1,к\ ■■■ [к + 1, V] х '

В 1929 г. К. Зигель доказал, что, если все параметры а¿, bj — рациональные числа, то функция (4) является Е-функцией и удовлетворяет линейному дифференциальному уравнению с коэффициентами рациональными функциями. Но были известны примеры Е-функций с иррациональными параметрами.

Карл Людвиг Зиге.ль(1896 1981)

Следующая теорема устанавливает необходимое и достаточное условие того, чтобы общая гипергеометричеекая функция (4) являлась Е-функцией. Она носит окончательный характер и была доказана А. И. Галочкиным в 1981 году.

Теорема 2. Для того, чтобы функция (4-) с комплексными параметрами а\,...,аи; Ъ\,... ,Ъи, отличными от —1, -2,..., и такими, что

а^ = Ьк, 1 ^ ] ^ и; 1 ^ к ^ V,

была Е-функцией, необходимо и достаточно, чтобы все числа, а^, Ьк были рациональными, либо нерациональные среди них могли быть ра,збит,ы на т,акие пары, а^а, bjs, 1 ^ в ^ г, ч,т,о все разности а^а — bjs были бы неотрицательными целыми рациональными числами.

Среди многочисленных количественных результатов, доказанных А. И. Галочкиным мы выделим здесь точные по высоте оценки линейных форм от значений гипергеометричееких функций. Начнем с первого подобного результата, доказанного в 1978 г. с очень точной оценкой

0 < е < 2.

1. Для любой пары, целых чисел р,д с д > до(е)) выполняется неравенство

е--

/1 \ 1п 1п д >{ 2 —е)

2 "У д2 1пд

2. Существует бесконечная последовательность рациональных чисел р/д, д > 0 таких,

что

Р

е--

1 1п 1п

2 ) д2 1п д

Для доказательства Девис использовал интегральные представления для числителей и

В 1981-х году А. Н. Коробову удалось доказать следующую оценку снизу линейной формы, отличавшуюся от соответствующей оценки сверху лишь на постоянный множитель.

Теорема 4 (Теорема А. Н. Коробова). . Пусть в, а, а + Ь, с — натуральные числа, и

= П(йЖ + Ь)-1 ,

Тогда, для любых целых чисел к0 ,И,1 ... при

Н = шах(\ко\ ,..., к|) > 3

справедливо неравенство

Ч1)+■■■+Ч 1) |>^Н-э

, ч э±1

_Лп1пН\ 2

Положительная постоянная 7 не зависит, от, Н, причем существует бесконечная последовательность линейных форм, для которой выполняется противоположное неравенство, с

71

В 1984 году А. И. Галочкин существенно обобщил теорему Коробова. Этот результат не превзойдён до сих пор. Пусть I — поле рациональных чисел или мнимое квадратичное поле, числа е I, отличны от —1, —2,... , и упорядочены по убыванию последовательности аз = } гДе {о:} — дробная доля числа а.. Пусть также а е Ъ\, а = 0, — таково, что е Ъ\, 1 ^ ] ^ 8. Обозначим

ф^) = ^-/ ,чгл-;—1-г;-;-т, т = 5 + 1, (5)

¿0а™ (г/!)[Д1 + 1, и\ ■■■ [Дэ + 1, и\

и определим

I ---Ь а--

Функция ф(г) удовлетворяет дифференциальному уравнению

в

ат5(5 + Л1) ■ ■ ■ (6 + Хэ)у = гу, 5 = г—. (6)

Теорема 5. Пусть Ъ е Ъ\, Ь = 0, числа, е I не все равны нулю и

К = коф (1) + М' (1) + ■ ■ ■ + к.фэ (1) , Н = шахо^э | Нк 3 , Ф(ж) = х~ э(1пж)" э(1-А)(1п1пж)э(г -А). Тогда, существуют эффективно вычисляемые положительные постоянные

= С^(а, Ь, Аь ..., А.),

т,а,ки,е, что справедливы следующие утверждения:

1) Выполняется неравенство

\К\ > С1Ф(Н).

2) Существует бесконечное количество форм К, для, которых

\К\ < С2Ф(Н).

емое в работе А. И. Галочкина. Для краткости мы это определение здесь опускаем.

Приведем пример на применение теоремы 5

Пример 1. Пусть В этом примере

= ■ ■ ■ = а3 = 0, А = 0, г =

Поэтому в теореме 5

Ф(х) = х-8(1пх)-8(1п1пх)8 .

В 1929 г. Зигель определил ещё один класс функций, при исследовании которых могли использоваться идеи, предложенные им для исследования значений Е — функций. Функции, входящие в этот класс, он назвал С — функциями. Их определение отличалось от определения Е-функций лишь отсутствием факториалов в знаменателях коэффициентов определяющих их степенных рядов, см.(1), а также экспоненциальными оценками для роста чисел, сопряженных с коэффициентами рядов, а также для роста общих знаменателей коэффициентов. Основные примеры также были связаны с гипергеометрическими функции но теперь определяющие их ряды Тейлора должны были иметь конечный радиус сходимости. В случае гипергеометриче-

и =

жество С-функций, как и множество Е-функций, образует кольцо, производная С-функции также есть С-функция. Конкретные примеры С-функций: 1п(1+,г), (1+,г)г, г € Q . Сложность возникающих в этой области проблем можно проиллюстрировать замечанием, что вопрос об иррациональности значений С-функции (1 — хп)1 /п в рациональных точках равносилен Большой теореме Ферма.

К. Зигель ограничился лишь краткими замечаниями о возможности исследования арифметических свойств значений С-функций и сформулировал без доказательства несколько утверждений о значениях алгебраических функций и некоторых интегралов от них. Первые попытки применить метод К.Зигеля для исследования арифметической природы значений С-функций в алгебраических точках.были сделаны в работах М. С. Нурмагомедова, но доказанные результаты были настолько слабы, что не позволяли устанавливать даже иррациональность каких-либо чисел.

Среди рассуждений К. Зигеля упоминалось свойство сокращения факториалов у С-функций. Не было ни его определения, ни примеров его использования, но Зигель писал, что оно важно для доказательства сформулированных им результатов. Истинный смысл этого понятия был вскрыт в 1974 году А. И. Галочкиным. Он установил точное определение этого свойства и применил его в исследованиях значений некоторых С-функций.

Для любого многочлена Q(x) € Ъ[х[ и при любом целом к ^ 0 выполняется включение € ^[х] — это свойство сокращения факториалов для многочленов.

Определение 2. Пусть К — конечное расширение поля рациональных чисел и совокупность С-функций ¡\(г),..., /«(-г), составляет решение системы линейных дифференциальных уравнений (2). Тогда, при любом целом, к ^ 0 с некоторыми рациональными функциями Qkij (¿О выполняются равенства

з

у(к) = Qkio(z) + ^ Qkíj(г)!^ ; Qkíj(г) € К(г), з=1

1 ^ г ^ 8 к = 1, 2,

Говорят, что эта совокупность С —функций имеет свойство сокращения факториалов, если существуют ненулевой многочлен Т (г) € и натуральные числа, ап, п = 1, 2,... ,

т,а,ки,е, что

ап(т ^))кЯкФ) € ЫА, 1 ^ < п, 1 о ^^

причём с некоторыми постоянными Л и 7, не зависящим,и от, п выполняются неравенства

ап <7Лп , п = 1, 2,.... (7)

Здесь и далее буквами Zк обозначается кольцо целых чисел поля К.

Пример 2. Для в = 1 и С — функции ¡\(г) = — 1п(1 — г) имеем

¡1к\г) = (к — 1)!(1 — г)-к, ап 1, 2, . . . , п

0?(1 — 2)кЯк10(г) = ап € т , 1 < к < п,

Учитывая, что согласно асимптотическому закону распределения, простых чисел наименьшее общее кратное чисел, 1, 2,... ,п растет не быстрее, чем, е(1+е">п, заключаем, что для, 1п(1 — )

В 1974 году А. И. Галочкин доказал условные оценки для линейных форм с целыми коэффициентами от значений С — функций в рациональных точках, близких к нулю. Дополнительно предполагалась выполнимость условия сокращения факториалов для рассматриваемых С — функций. Для некоторых функций ему удалось доказать условие сокращения факториалов, что дало безусловные результаты. Например, он доказал, что для любых натуральных чисел с1, Н и любого многочлена Р(х\, ...,х3) = 0 с целыми рациональными коэффициентами степени не выше й, высоты, не превосходящей Н, любых попарно различных чисел а\,..., а3 из поля I и любого натурального д, превосходящего некоторую границу, зависящую от в, всех чисел а^ и поля I, выполняется неравенство

Р К- ■ ■1п(1 + *))

> д-ХН-11, (8)

где Л и ц положительные постоянные, зависящие от всех чисел а^ и доплпительно от числа д,.

Все постоянные в работе были явно вычислены, но мы опускаем их, чтобы не перегружать статью техническими подробностями.

В частности из этого результата следовало, что при любом натуральном д > е795 число

Ч1—Х1*

В 1985 году Д. В. и Г. В. Чудновским удалось доказать, что условие сокращения факториалов выполняется для любого набора О — функций, удовлетворяющих однородным линейным системам дифференциальных уравнений, определённым над полем 0>(,г). В частности, при этом была доказана следующая теорема о линейной независимости и оценках снизу для линейных форм с целыми коэффициентами в достаточно малых рациональных точках, см. теорему Чудновских ниже. Г. В. Чудновский также доказал аналог утверждения А. И. Галоч-кина (8) для любых О-функций, удовлетворяющих однородным системам дифференциальных уравнений вида .

У(к) = Е ЯкМу,; Якф) € <®(г). (9)

3 = 1

Теорема 6 (Теорема Чудновских). Пусть О-функции (х),..., /5(х) составляют решение системы дифференциальных уравнений , их ряды Тейлора имеют рациональные коэффициенты, а сами функции вместе с 1 линейно независимы, над полем С(,г). Тогда, для, любого £ > 0 и произвольного г = | = 0, с таким,и целым,и а,Ь, ч,то \Ъ\е > с \ а |(5+1)(5+е); где с = с( /1,..., ¡¡¡, е) > 0, числа 1, ¡\(г),..,, ¡3(г) линейно независим ы над Более того, для произвольных чисел Н0, Н\, ...,, Н3 € ^ выполняется неравенство

\ Но + НД(г) + ■ ■ ■ + На}а(г) \> Н-а-£

с Н = тах(\Н0\, \Н\\,... , \Н3\) , с условием Н > Ъ = Ъ(/\, ..., т) > 0. Здесь постоянные с и к эффективно вычислимы.

В 1996 году А. И. Галочкину удалось доказать условие сокращения факториалов для С-функций, удовлетворяющих и неоднородным системам дифференциальных уравнений.

Ограниченность объёма статьи вынуждает нас остановиться с описанием важных научных результатов А. И. Галочкина. Скажем теперь и о других сторонах его деятельности.

Профессор А. И. Галочкин педагог высокой квалификации. Его блестящие лекции по теории чисел всегда зарождали интерес у слушателей к этой науке. Много лет он ведёт занятия по математическому анализу на механико-математическом факультете, читает лекции и ведёт практические занятия по обязательному курсу теории чисел, читает специальные курсы, руководит специальными семинарами. Среди читавшихся им спецкурсов выделим "Введение в теорию трансцендентных чисел "Приближения чисел рациональными дробями "Теоретико-числовые методы и алгоритмы "Диофантовы приближения и трансцендентные числа Успешно руководит он научной деятельностью студентов и аспирантов. Его учебник и задачник по теории чисел используются в преподавании на механико-математическом факультете МГУ.

Много сил и времени Александр Иванович уделял и уделяет работе со школьниками. Он ежегодно участвует в подготовке и проведении Московской математической олимпиады и математической олимпиады механико-математического факультета МГУ. Составленные им задачи регулярно предлагались на этих олимпиадах. Он был одним из авторов сборников задач Московской математической олимпиады. А. И. Галочкин преподавал математику в 1134 московской школе, стараясь подготовить учащихся к восприятию более трудных, чем в обычной школьной программе, разделов математики и, в частности, к обучению в физико-математических классах, успешному дальнейшему обучению в МГУ и других высших учебных заведениях.

Добавим ещё, что Александр Иванович большой любитель рыбной ловли. Ежегодно со своими друзьями он на 2-3 недели отправляется в лодочное путешествие по российским рекам и возвращается с впечатляющими фотографиями своих рыбных трофеев.

Поздравляем Александра Ивановича с юбилеем и желаем ему обильных уловов, в том числе и в науке.

Ю. В. Нестеренко, В. А. Быковский, В. Н. Чубариков, В. Г. Чирский, О. Н. Герман, Н. М. Добровольский