CC BY
38
ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК
Том 20. Выпуск 3.
УДК 51(092) DOI 10.22405/2226-8383-2019-20-3-7-21
Наум Ильич Фельдман и теория трансцендентных чисел (к 100-летию со дня рождения)
Ю.В. Нестеренко (г. Москва)
Нестеренко Юрий Валентинович — доктор физико-математических наук, профессор, член-корреспондент РАН, заведующий кафедрой теории чисел механико-математического факультета, Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова. e-mail: nester@mi.ras.ru
Аннотация
Статья содержит краткий очерк о научном творчестве Наума Ильича Фельдмана. Ключевые слова: Наум Ильич Фельдман. Библиография: 27 наименований.
Для цитирования:
Ю.В. Нестеренко Наум Ильич Фельдман и теория трансцендентных чисел (к 100-летию со дня рождения) // Чебышевский сборник, 2019, т. 20, вып. 3, с. 7-21.
CHEBYSHEVSKII SBORNIK Vol. 20. No. 3.
UDC 51(092) DOI 10.22405/2226-8383-2019-20-3-7-21
Naum Il'ich Feldman and the theory of transcendental numbers (to
the centenary of the birth)
Yu. V. Nesterenko (Moscow)
Nesterenko Yury Valentinovich — doctor of physical and mathematical sciences, professor, corresponding member of RAS, head of number theory's chair of the mechanics and mathematics faculty of the M. V. Lomonosov Moscow State University. e-mail: nester@mi.ras.ru
Abstract
The article contains a brief essay on the scientific work of Naum Il'ich Feldman. Keywords: Naum Il'ich Feldman. Bibliography: 27 titles.
For citation:
Yu. V. Nesterenko, 2019, centenary of the birth)" ,
"Naum II'ich Feldman and the theory of transcendental numbers (to the Chebyshevskii sbornik, vol. 20, no. 3, pp. 7 21.
Наум Ильич Фельдман (26.11.1918 20.04.1994).
Наум Ильич Фельдман, замечательный ученый-математик, специалист в области теории диофантовых приближений и теории трансцендентных чисел, родился 26 ноября 19181'. в г. Мелитополе. В 1936г. он окончил среднюю школу и поступил учиться на математико-механи-чеекий факультет Ленинградского университета, который окончил в 19411'. накануне войны. Его научным руководителем в годы учебы в Универеитте был
Родион Оеиевич Кузьмин (9.11.1891 24.03.1949). Родион Оеиевич Кузьмин (1891 1949) российский и советский математик, доктор физико-математических наук (1935), член-корреспондент АН СССР (1946). Р. О. Кузьмин окончил физико-математический факультет Петроградского университета в 1916 году и был оставлен на кафедре для подготовки к профессорскому званию.
С августа 1918 но 1921 год он преподавал в Томском технологическом институте, в 1921 году стал профессором кафедры математики и заместителем декана физико-математического факультета Пермского университета. Одновременно с 1921 года был деканом технического
факультета Пермского университета. С 1922 года он профессор Петроградского политехнического института.
В 1930-е годы совместно с Н. М. Гюнтером издал «Сборник задач по высшей математике» в трёх томах, который был переведён на немецкий язык и выдержал более десяти изданий. Отметим также выпущенную в 1933г. монографию Р. О. Кузьмина о Бесселевых функциях — первую книгу на русском языке по этой тематике. Основные научные труды Р. О. Кузьмина относятся к теории чисел и математическому анализу.
Статистика Гаусса — Кузьмина. В работе 1928 г. [1] Р. О. Кузьмин даёт решение одной задачи о непрерывных дробях, поставленной ещё Гауссом, именно:
определить вероятность того, что при разложении в обыкновенную непрерывную дробь наудачу взятого числа, между 0 и 1, п-е полное частное будет иметь дробную часть, заключённую между 0 и данным, в (0 < в < 1).
Р. О. Кузьмин получает для указанной вероятности при большом п приближённую формулу.
Пусть х —случайная величина, равномерно распределённая на интервале (0, 1) и пусть 1
представление числа х в виде цепной дроби. Требуется оценить выражение
кг +
1
к2 +
Дп(в) = Р <
1
кп+1 +
1
< 8
> - ^(1 + в)
кп+2 +----
Гаусс доказал, что Дп(з) стремится к нулю при п стремящемся к бесконечности. Р. О. Кузь-
мин установил, что
|Дп(«)| < С ■
где С и а — некоторые положительные постоянные. В 1929 году Поль Леви предложил иной метод решения этой задачи и доказал более сильную оценку С ■ 0, 7" [3]. Константа в оценке П. Леви была улучшена Сюсом до 0,4 [4] и, наконец в 1974г. Вирзинг доказал неравенство с константой 0,30366... [5].
7-я, проблем,а, Гильберта,. В 1930 году Р. О. Кузьмин установил [2], что если а является алгебраическим числом, а Ь — вещественной квадратичной иррациональностьью, то число аь трансцендентно. Например, отсюда следует, что число
2
2,6651441426902251886502972498731
трансцендентно.
В 1900г. Д. Гильберт поставил проблему о трансцендентности алгебраических степеней алгебраических чисел (7-я проблема Гильберта). В частности, он предложил доказать трансцендентность двух чисел еж = (—1)-г, а также 2^ (см. [6, 7]).
Трансцендентность первого из них доказал в 1929г. А. О. Гельфонд [8], см. ниже. Трансцендентность второго числа была установлена Р. О. Кузьминым в 1930г..
Он в основном пользовался методом А. О. Гельфонда, но внёс в него существенные упрощения. Например, Р. О. Кузьмин полностью отказался от использования интегралов.
В 1934г. 7-я проблема Гильберта была полностью решена А. О. Гельфондом [9] и несколько позже, но в том же году Т. Шнейдером [10]. Доказательства Гельфонда и Шнейдера были различны и оба сыграли важную роль в дальнейшем развитии теории трансцендентных чисел.
Военные годы. В июне 1941 года Н. И. Фельдман был направлен на курсы артиллерийских техников при Артиллерийской академии, а в октябре 1941 года в составе 2-го артиллерийских) противотанкового полка прибыл в район Серпухова. Зимой 1941 1942 года Н. И. Фельдман участвовал в боях иод Москвой. Вот история из тех времен, как-то рассказанная мне Н аумом Ильи чем.
Прибыв в действующую армию с группой таких же, как и он необстрелянных молодых солдат, он получил первое задание очистить от смазки новое орудие, только что доставленное в военную часть и подготовить его к стрельбе. Орудие было новым, с таким ни он, ни его напарник на курсах не встречались. Приказано сделано. Орудие было разобрано, лишняя смазка снята. При сборке обнаружилась конструктивная особенность нового изделия некоторая деталь могла быть вставлена в соответствующее ей место двумя способами. Молодые люди не задумываясь вставили ее, как получилось, и при нервом же выстреле пушка разорвалась. Оба участника этой диверсии были арестованы за вредительство. Ученая карьера Наума Ильича могла бы закончиться не начавшись, обстановка иод Москвой в октябре 1941 была очень сложной. Но их командир, войдя в положение, как-то сумел замять это происшествие.
В 1942 1943 годах в составе 1280-го армейского зенитно-артиллерийского полка И. И. Фельдман сражался в районе Сухиничей и иод Курском. В 1944 году участвовал в освобождении Минска и других городов Белоруссии, воевал в Восточной Пруссии, участвовал в штурме Кенигсберга, а 3 4 мая 1945 г. во взятии военного порта Пиллау. Н. И. Фельдман был награжден орденами «Отечественной войны 2-й степени» и «Красной Звезды» и многими медалями; в том числе медалями «За боевые заслуги», «За победу над Германией», «За оборону Москвы», «За взятие Кенигсберга».
На фотографии военного времени
изображены Наум Ильич и его сестра Рахиль Ильинична. Впоследствии она защитила докторскую диссертацию но химии, вместе с коллегой опубликовала учебное пособие но коллоидной химии. К сожалению она рано ушла из жизни.
В 1946 I'. после демобилизации Наум Ильич поступил на учебу в аспирантуру механико-математического факультета Московского университета, которую закончил успешно и в 19491'. защитил кандидатскую диссертацию. Его научным руководителем в аспирантуре был
Александр Осипович Гельфонд, 24.10.1906-07.11.1968, выдающийся ученый-математик, специалист в области теории чисел и анализа, член-корреспондент АН СССР.
Гельфонд родился 24 октября 19061'. в городе Санкт Петербурге. По окончании школы он поступил в МВТУ им. Баумана, но затем, решив стать математиком, в 19241'. перевелся в Московский Университет. В 19271'. он начал учиться в аспирантуре под руководством В. В. Степанова и А. Я. Хин чина. В 19301'. он защитил кандидатскую диссертацию, а с 1931 1'ода начал преподавать как профессор МГУ. В 19341'. он решил 7-ю проблему Гильберта в общем случае, а в 19351'. без защиты ему была присвоена ученая степень доктора физико-математических наук. В 19391'. он был избран членом-корреспондентом Академии Наук СССР.
Скажем несколько слов о доказательстве специального случая 7-й проблемы Гильберта, а именно о трансцендентности числа еп, Гельфонд тогда был ещё аспирантом.
В 1893г. Эрмит доказал одно важное тождество [11]. Пусть а\,..., ат различные комплексные числа и п\,..., пт — неотрицательные целые числа. Тогда
1
е2^ с!(
2пг]с (( - аг)^1 ■ ■ ■ (С -
Е (*)<
(1)
к=1
Здесь С окружность, содержащая внутри все точки аг,...,ат, и для любого целого к, 0 < к < т, коэффициенты Рк(г) — многочлены от г степени Пк- Правая часть этого тождества есть просто сумма вычетов подинтегральной функции в точках аг,..., ат.
Гельфонд пришел к этому тождеству, отправляясь от интерполяционных рядов. В виде таких интегралов представляются остатки интерполяционного ряда.
Выберем в тождестве Эрмита Пк = 0, и пусть а.к = и + т € Ъ[г\ будет совокупность всех гауссовых чисел, лежащих в круге с центром в точке ( = 0 и радиус ом N. Здесь N большое натуральное число и т, конечно, зависит от N. Из равенств ежак = (еж)и(-1)^ следует, что
Д(я-) €
г
С помощью интерполяционного ряда Гельфонд доказывает, что существует бесконечная последовательность чисел Ж, для которых Я(к) отлично от нуля. С другой стороны интегральное представление для В,(п) в силу большого количества плотно расположенных точек а к показывает, что эти числа быстро убыв ают с ростом N. Предположение об алгебраичности числа еж и отличие этого числа от нуля, позволяют с помощью теоремы Лиувилля доказать для него оценки снизу. Обе оценки сверху и снизу противоречат друг другу. Это доказывает
'К
трансцендентность е.
Кузьмин в 1930г. также рассмотрел случай Пк = 0, но вместо поля гауссовых чисел использовал действительное квадратичное поле Ь = Q(v/d), (I > 0, и целые числа этого поля
a,k £ Zl = Z + wZ, где ш = л/d или w = 1+2^- Тогдa R(lna) £ Ь[аш, а-ш]. Вместо интерполяционного ряда применялись интерполяционные многочлены. Для оценки сверху R(lna) вместо интеграла использовалось представление разности функции и её интерполяционного многочлена с помощью производной интерполируемой функции. Отличие R(lna) от нуля также следует из явного вида представления указанной разности. Оценка снизу как и у Гельфонда проводится с помощью теоремы Лиувилля в предположении алгебраичности аш. Получающееся в результате противоречие доказывает трансцендентность числа аОба доказательства и Гельфонда, и Кузьмина очень хорошо описаны в книге Н. И. Фельдмана "Седьмая проблема Гильберта" [21].
В 1931г. К. Малер [12] с помощью тождества Эрмита доказал ряд количественных результатов.
1) Количественная версия теоремы Линдемана-Вейерштрасса.
2) Оценка меры трансцендентности числа е: для каждого многочлена А(х) £ Z[x] с условиями А = 0, degA < d, Н(А) < Н выполняется неравенство
, cd2 log(ri+1)
|А( е)|>Н ~d log log н , . (2)
Чтобы получить этот результат нужно в тождестве Эрмита взять щ = ... = пт = п и О-к = к — 1. Тогда R(l) = Р(е),degP <т — 1. Если предположить, что значение А(е) очень мало, то сравнение Р(е) и А(е) при помощи некоторого усовершенствования теоремы Лиувилля позволяет получить оценку (2).
3) Оценка меры трансцендентности числа ■к: для каждого многочлена А(х) £ Z[x] с условиями А = 0, degA < d, Н(А) < Н выполняется неравенство
|А(к)| > Н,
где с > 0 абсолютная постоянная и Н превосходит некоторую границу, зависящую от d. Доказательство основано на тождестве Эрмита с параметрами п1 = ... = пт = п, {а1,..., ат} = {—d,..., —1, 0,1,..., d}. Тогда R(2K) = Р(к), где degP < п.
Неэффективные конструкции. Нетрудно проверить, например, вычисляя интеграл в левой части тождества Эрмита, как вычет в бесконечности, что
R(z) = —— I _^^_= ± zn +
( ) 2кг J с (С — ai)™i+1 ■ ■ ■ (С — ат)п^+1 N! +
где
т
N = —1 + ^(пк + 1). к= 1
Последнее равенство означает, что тождество Эрмита даёт приближение Эрмита-Паде для
фуНКЦИЙ £акZ.
В 1929г. К. Зигель [13], исследуя арифметические свойства значений так называемых Е-функций, обнаружил, что если выбирать многочлены Р^(z) так, чтобы линейная функциональная форма в правой части тождества Эрмита имела не максимальный возможный порядок пуля в точке z = 0, но несколько меньший, то можно получить, подставляя вместо z какие-нибудь числа, линейные формы от значений экспоненциальной функции с коэффициентами, существенно меньшими, чем даёт тождество Эрмита, но числовые линейные формы всё ещё достаточно малыми для доказательства трансцендентности или оценки меры трансцендентности изучаемых чисел.
Для такой конструкции Зигель предложил использовать одну лемму Туэ, уточняющую теорему Лиувилля о приближении алгебраических чисел рациональными, и необходимую Туэ
для исследования диофантовых уравнений. Эта лемма получила с тех пор название леммы Зигеля.
Спустя пять лет она была использована А. О. Гельфондом и Т. Шнейдером для решения 7-й проблемы Гильберта в общем случае. Точная формулировка этой проблемы такова:
Если а и Ь алгебраические числа, а отлично от 0 и 1, а Ь иррационально, то степень аь есть трансцендентное число.
Гельфонд и Шнейдер заменили тождество Эрмита своими конструкциями, основанными на лемме Зигеля.
Конструкция Гельфонда. Допустим, что три алгебраических числа аг,а2,5 € 0! связаны соотношением 5 = ^ • В силу равенства а\ = (12 заключаем, что для доказательства 7-й проблемы Гильберта достаточно получить противоречие с существованием указанных чисел аг, а2, 3- Вместо функции К(х) из тождества Эрмита Гельфонд, подбирая коэффициенты некоторого многочлена Р = 0 с помощью леммы Зигеля, строит функцию
/ (г) = Р К ,а22), Р € Ъ[х,у], degж Р < д, degy Р < д,
имеющую нули высокого порядка на некотором множестве целых точек, а именно
fМ(£)=0, 0 < ¿<¿0, 0 < 8 <80.
где ¿о, некоторые величины, зависящие от д. Далее сталкивая между собой верхние и нижние оценки для производных функции /(г) в целых точках, подобно тому, как это делалось при решении частных случаев 7-й проблемы, Гельфонду удаётся доказать, что /(а)(0) = 0 при любом в из промежутка 0 < в < д2 — 1. Непосредственное вычисление производных показывает, что это невозможно.
Конструкция Шнейдера. Пусть а, /3,7, — алгебраические числа, 7 иррационально и [3 = а1. Для того, чтобы прийти к противоречию в этих условиях Шнейдер строит многочлен Р с целыми алгебраическими коэффициентами из поля, порождённого над 0 числами а, [3,^ и вспомогательную функцию
{(г) = Р(г, а"), deg;c Р< 2к3, degy Р < к,
где к достаточно большое целое число, удовлетворяющую условиям
f(а + 67) = 0, 1 < а,Ь < к2.
Коэффициенты многочлена Р подбираются с помощью леммы Зигеля. Затем Шнейдер доказывает, что существуют не очень большие целые числа аг, Ьг с условиями
1 < аг < 3к2 + к, 1 < Ьг < 3к2, /(аг + Ьц) = 0, Оценивая сверху и снизу число /(аг + Ьг7), Шнейдер приходит к противоречию.
По окончании аспирантуры до 1954 года И. И. Фельдман работал заведующим кафедрой Уфимского нефтяного института, а с 1954 по 1961 год доцентом Московского геологоразведочного института.
В сентябре 1961 г. он перешел работать на механико-математический факультет Московского университета. Основными направлениями его научной деятельности были теория дио-фантовых приближений, теория трансцендентных чисел и диофантовы уравнения. Он опубликовал 70 статей и две монографии [21, 22], которые широко известны специалистам во многих странах.
Мы остановимся здесь на двух направлениях научной деятельности Н. И. Фельдмана в теории трансцендентных чисел, развивавших метод, с помощью которого А. О. Гельфонд решил седьмую проблему Гильберта.
Первые работы Н. И. Фельдмана (1949 1951), выполненные иод руководством А. О. Гель-фонда, посвящены оценкам снизу абсолютных величин |Р(w)| в зависимости от степени многочлена degP и его высоты Н(Р) — максимума модулей коэффициентов многочлена Р £ Z[x]. Иногда вместо высоты многочлена удобно было использовать его длину L(P) — сумму модулей коэффициентов. Задача об оценке снизу абсолютной величины многочлена эквивалентна оценке снизу расстояния |w — £| в зависимости от степени и высоты алгебраического чис-
зависящие от двух параметров degP и Н(Р) при их независимом изменении. Оценки предше-
Н( Р)
Кроме того в его работах оценки были существенно улучшены в зависимости от степени многочлена. Это легко увидеть сравнив результаты И. И. Фельдмана и приведенные выше результаты К. Малера. Эта линия в научном творчестве И. И. Фельдмана прошла через всю его жизнь. Он опубликовал 20 работ посвященных оценкам меры трансцендентности различных чисел.
В кандидатской диссертации И. И. Фельдмана были получены оценки мер трансцендентности для следующих чисел
• логарифмов алгебраических чисел,
• алгебраических точек эллиптической функции Вейерштраеа с алгебраичееккими инвариантами,
• для числа к и периодов эллиптической функции Вейерштрасса.
И. И. Фельдман неоднократно возвращался к полученным ранее результатам и пытался
усовершенствовать их доказательства, улучшить оценки. Так, он опубликовал несколько работ
■
котором удобно шлифовать различные технические приемы.
■
Пусть £ — алгебраическое число, п = degН = Н(£), К = 0>(£), N = п + ^ьля+г)•
В 1949г. [14] И. И. Фельдман доказал, что
— £| > е-С1п(г+п ^га+к® Н)к^(2+га logга+к^ Н))
Здесь сг — положительная абсолютная постоянная. В доказательстве строится вспомогательная функция
/(г) = Р(г,е*), Р € Ък[х,у], degж Р < до, degy Р < д.
Укажем явно в зависимости от п и N присутствующие в последнем неравенстве параметры до, д, а также параметры хо и во, присутствующие ниже
до = [А3п 1п N ], д = [Л2 N 1п N ], хо = [А 1п N ], во = [А3Ж 1п N ]
Здесь Л достаточно большая положительная постоянная. Коэффициенты многочлена Р(х, у) выбираются с помощью варианта леммы Зигеля так, чтобы выполнялись условия
|/(s)(lrix)| < е-2х'пМ 1п2м, 0 < ж < хо, 0 < 8 < во.
В дальнейшем за счёт верхних и нижних оценок для производных /х) и теоремы Лиувилля удаётся распространить эти неравенства на большее множество точек при 0 < х < 2рхо- Распространение малости производных происходит за счёт индукции по параметру р для всех р < 1п2(3А2). Столь большое множество точек, в которых функция £ (г) принимает очень маленькие значения, приводит к противоречию.
В 1960г. предыдущий результат был усилен. И. И. Фельдман доказал [19], что
— £| > е-1п(п ^ Ь)(1+к^ га), £ = £(£)
Оказалось, что вместо производных функции /(г) лучше рассматривать их комбинации, а именно
А
л (г) = е^ Б(0 + 1) ■ ■ ■ (Б + в - 1)/(г), И = — .
В этом случае коэффициенты уравнений для леммы Зигеля имеют большой общий множитель. Сокращая на него, можно уменьшить величины коэффициентов многочленов Рь(г) и тем улучшить окончательный результат.
Наконец, в 1985г. [20] при всех достаточно больших ё была доказана оценка
|А(эт)| > е-389^^ь)(1+^а),Ь = Ь(А), А € Ъ[х], А = 0.
Наилучшая в настоящее время оценка меры трансцендентности числа ■к доказана в 1999г. Ю. А. Алексенцевым [23]. Ему удалось при тех же, что и у Фельдмана условиях уменьшить константу 389 до 21,5.
Второе направление исследований И. И. Фельдмана связано с эффективными оценками снизу модулей линейных форм
Ь = Ро + Рг 1п аг +-----+ рт 1п ат,
где а,] ,¡3] — алгебраические числа, в зависимости от высот и степеней этих алгебраических чисел и других параметров, а также приложениям подобных оценок. В случае т = 1 мы фактически имеем здесь оценки меры трансцендентности числа 1па^, а при т = 2 и 0о = 0 оценку меры трансцендентности отношения логарифмов алгебраических чисел. Оценки в последнем случае были получены в ряде работ А. О. Гельфонда.
В 1966г. [24] А. Бейкеру удалось получить первые эффективные оценки линейных форм от логарифмов для произвольного т > 1 и применить их для эффективизации решения ряда
теоретико-числовых задач. Впоследствии в ряде работ самого А. Бейкера и других математиков эти оценки уточнялись, выяснялась их зависимость от различных параметров, важных в тех или иных приложениях. Многочисленные работы были посвящены и приложениям указанных оценок.
Активную роль в этой деятельности принял и Н. И. Фельдман. Ему, в частности, первому удалось доказать в 1968 г. [25] оценку линейной формы, степенную в зависимости от высоты Н коэффициентов р линейной формы.
Метод, который использовал А.Бейкер для доказательства своих оценок для линейных форм от логарифмов алгебраических чисел, использовал функции от многих комплексных переменных. Н. И. Фельдман предложил использовать для этого наборы функций от одной переменной. Таким образом прогресс, достигнутый Бейкером, может рассматриваться, как переход от экстраполяции нулей или малых значений одной функции к аналогичной процедуре для совокупностей функций. Для простоты мы будем рассматривать сейчас случай т = 2, Ро = 0. Справедливы равенства
(*)= Е -Л1 ^«г (1пР)52(*),
' » С1 I I
«1+«2 = «
где
к!
¡(г) = ^Ск/ак* ,
ф 31,32 Сг) = ^См^132акх Р
Фё*2 (*)= Е ¿Г^п«)'1 (1пР)'2 +¿2 (*).
Правая часть равенства для производной ( г) содержит трансцендентные числа 1п а, 1пр. Работая с совокупностями функций Фв!,^ (г) эти трансцендентные множители удаётся опускать.
Пользуясь оценками линейных форм от логарифмов алгебраических чисел, Н. И. Фельдман доказал эффективное степенное понижение показателя в теореме Лиувилля о приближении алгебраических чисел рациональными [26].
Пусть а - алгебраическое число степени п = degа > 3. Для любых чисел € Щ,д > 0, выполняется неравенство
|а - ^| >Сд-п+с,
= ( а) > 0 С = С( а) > 0 Ещё один результат Н. И. Фельдмана — эффективное степенное понижение в оценках величины решений диофантовых уравнений Туэ. Пусть (X, У) € Щ2 решение уравнения Туэ
¡(х, у)=М, ¡(х, у) € Щ[х, у], М € Щ, М = 0,
где ¡(х, у) неприводимая форма степени п > 3. Тогда,
|х |, |У |<С |М |с, с = с(/) > 0, С = С (/) > 0.
, С
Отметим некоторые проблемы, связанные с линейной и алгебраической независимостью логарифмов алгебраических чисел. В 1966г. А. Бейкер доказал, что
если а1,..., ап ненулевые алгебраические числа такие, что Ыа1,..., ln ап линейно независимы над полем рациональных чисел, то числа, 1, lnai,..., ln ап линейно независимы над полем всех алгебраических чисел.
Следующее предположение есть частный случай известной проблемы Шенуэлла об алгебраической независимости значений показательной функции.
Проблема 1. Если а1,..., ап ненулевые алгебраические числа, т,акие, что 1па1,..., ln ап линейно независимы, над полем рациональных чисел, то ln^,..., ln ап алгебраически независим,ы, над полем всех алгебраических чисел.
Более простое, чем проблема 1 утверждение было сформулировано Т. Шнейдером.
Проблема 2 (Шнейдер, 1957). Пусть a,f,7,5 ненулевые алгебраические числа,. Если
log a log 7 = log f log 5,
mo ln a, ln f, ln 7, ln£ линейно зависимы над полем Q [27].
И последнее утверждение было сформулировано Н. И. Фельдманом в его книге о 7-й проблеме Гильберта [21], но всё ещё не доказано.
a, f ln a = ln2 f,
то а = Р = 1.
Н. И. Фельдман очень ценил приводимую ниже цитату из пьесы И. В. Гоголя "Ревизор" и всякий раз вспоминал её, когда в математической среде возникали приоритетные споры. Он называл такие истории "Кто первый сказал "Э" и считал, что свою состоятельность математик должен доказывать новыми результатами.
Николай Гоголь, «Ревизор». Действующие лица: Пётр Иванович Бобчинский и Пётр Иванович Добчинский (Городские помещики)
П. И. Бобчинский: Как сказал он мне это, а меня так вот свыше и, вра,зум,и,л,о. «Э!» -говорю я Петру Ивановичу...
П. И. Добчинский: Нет, Петр Иванович, это я сказал: «Э!».
П. И. Бобчинский: Сначала, вы, сказали, а пот,ом, и я сказал. «Э!» - сказали мы с Петром Ивановичем.
Н. И. Фельдман придумал множество технических усовершенствований доказательств и новых приемов, вошедших в настоящее время в обиход и зачастую используемых без ссылок на его работы.
Так, им впервые было доказано наилучшее в настоящее время неравенство типа теоремы Лиувилля для оценки снизу модуля многочлена от нескольких переменных в алгебраической точке, введены многочлены, названные впоследствии многочленами Фельдмана, позволившие исключить лишние факториальные множители в производных вспомогательной функции и тем самым существенно усилить известные оценки, получены точные оценки целых коэффициентов в представлении производных степени эллиптической функции Вейерштрасса в виде многочлена от самой функции и ее первых двух производных.
Он нашел эффективную конструкцию приближений Эрмита-Паде для совокупностей некоторых обобщенных гипергеометрических функций, вариант изложения метода Бейкера оценки линейных форм от логарифмов алгебраических чисел с использованием только функций от одной комплексной переменной и многое другое. Н. И. Фельдман искусно работал с разнообразными функциональными определителями.
Явное вычисление таких определителей заменяло ему общие теоремы о числе нулей вспомогательных функций и зачастую способствовало улучшению оценок. Он любил в шутку повторять, что теория трансцендентных чисел наполовину теория определителей.
Н. И. Фельдман был выдающимся педаххи'ом. Он любил все формы педагогической деятельности и отдавал ей мншх) сил и времени. Читал общие и специальные курсы но математике, руководил специальными семинарами по теории чисел, являлся руководителем студентов, выполняющих курсовые и дипломные работы, руководил аспирантами. Из мх) учеников 6 защитили кандидатские диссертации, двое из них стали докторами физико-математических наук.
Заседание научншх) семинара кафедры теории чисел мехмата МГУ. В первом ряду сидят С. Трубников и А. Б. Шидловский, во втором ряду В. А. Горелов, И. И. Фельдман, А. И. Галочкин, в третьем ряду В. Г. Чирский, В. А. Быковский, В. К. Николаев и Ю. В. Нестеренко.
Наум Ильич отличался высокой порядочностью, принципиальностью, добротой и благожелательностью в общении с друзьями, коллегами и учениками. Он пользовался большим уважением среди студентов, аспирантов, коллег но кафедре и факультету, многих математи-
СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Kuzmin, R. О. On a problem of Gauss /7 Dokl. Akad. Nauk SSSR, (1928). 375 380.
2. P. О. Кузьмин Об одном новом классе трансцендентных чисел /7 Известия Академии наук СССР. VII серия. Отделение физико-математических наук, 1930, выпуск 6, 585 597.
3. P. Levy, Bull. Soe. Math. France, v. 57, 178 (1929).
4. P. Szusz Acta Mathematica (Acad. Sei. Hung.), v. 12, 447 (1961). 4
5. Wirsing, E. On the theorem of Gauss Kusmin Levy and a Frobenius-tvpe theorem for function spaces /7 Acta Arithmetica. (1974) 24 (5): 507 528.
6. Hilbert D. Gesammelte Abhandlungen, Bd. Ill, 1935, 290-329.
7. Проблемы Гильберта, под ред. П. С. Александрова, М., Наука, 1969.
8. Gel'fond А.О. Sur les nombres transcendantes. C.R. Acad. Sei., Paris, Ser. A 189, (1929) 12241228.
9. Gelfond А. О. Sur le septième problème de Hilbert // Известия Академии наук СССР. VII серия. Отделение математических и естественных наук, 1934, по. 4, 623-634.
10. Schneider Th. (1934): Transzendenzuntersuchungen periodischer Funktionen. J. Reine Angew. Math. 172, 65-69 and 70-74.
11. Hermite Ch., (1917), Oeuvres. Gauthier-Villar, Paris, Vol.3, p. 146-149.
12. Mahler K. (1932): Zur Approximation der Exponentialfunktion und des Logarithmus. J. Reine Angew. Math. 166, 118-136 and 137-150.
13. Siegel C.L. Uber einige Anwendungen Diophantischer Approximationen // Abh. Preuss. Akad. Wiss. Phys.-Math. Kl. (1929/1930), No. 1, 1-70.
14. И. И. Фельдман. Аппроксимация некоторых трансцендентных чисел // ДАН 66 (1949), 565^567.
15. Н. И. Фельдман. О мере трансцендентности логарифмов алгебраических чисел и эллиптических констант // УМН 4, вып. 1 (29) (1949), 190.
16. И. И. Фельдман. О совместных приближениях нескольких логарифмов алгебраических чисел алгебраическими числами // ДАН 75 (1950), 777—778.
17. Н. И. Фельдман. Аппроксимация некоторых трансцендентных чисел. I. Аппроксимация логарифмов алгебраических чисел // Изв. АН СССР. Сер. матем., 15:1 (1951), 53-74.
18. Н. И. Фельдман. Аппроксимация некоторых трансцендентных чисел. II. Аппроксимация некоторых чисел, связанных с функцией Вейерштрасса p(z), Изв. АН СССР. Сер. матем., 15:2 (1951), 153-176.
19. Н. И. Фельдман. О мере трансцендентности числа ■к // Изв. АН СССР. Сер. матем., 24:3 (1960), 357-368.
20. Фельдман Н. И. Постоянная в оценке меры трансцендентности числа ■к // в сб. Диофан-товы приближения. ч.1, иэд-во МГУ, 1985.
21. Н. И. Фельдман Седьмая проблема Гильберта. — М.: Издательство МГУ, 1982. — 312 с.
22. Фельдман Н. И. Приближение алгебраических чисел. — М.: Издательство МГУ, 1981. — 202 с.
23. Алексенцев Ю. М. О мере приближения числа ■к алгебраическими числами // Матем. заметки, т. 66 (1999). вып. 4. с. 1*3 193.
24. A. Baker, Transcendental Number Theory , Cambridge University Press, 1975.
25. H. И. Фельдман. Улучшение оценки линейной формы от логарифмов алгебраических чисел // Матем. сб., 77(119):3 (1968), 423-436.
26. Н. И. Фельдман. Эффективное степенное усиление теоремы Лиувилля // Изв. АН СССР. Сер. матем., 35:5 (1971), 973-990.
27. Schneider Th. (1957): Einfuhrung in die transzendenten Zahlen. Springer, Berlin.
REFERENCES
1. Kuzmin, R. O. (1928). "On a problem of Gauss". Dokl. Akad. Nauk SSSR: 375-380.
2. Kuzmin, R., 1930, "Sur une nouvelle classe de nombres transcendants." (Russian) JFM 56.0898.03 Bull. Ac. Sc. Leningrad (7) 3, 585-597.
3. R Levy, 1929, Bull. Soc. Math. France, v. 57, 178.
4. P. Szusz, (1961), Acta Mathematica (Acad. Sei. Hung.), v. 12, 447. 4
5. Wirsing, E., (1974), "On the theorem of Gauss-Kusmin-Lévv and a Frobenius-tvpe theorem for function spaces" . Acta Arithmetica. 24 (5): 507-528.
6. Hilbert D., 1935, "Gesammelte Abhandlungen" , Bd. III, 290-329.
7. Problems of Hilbert, edited bv P. S. Alexandrov, M., Science, 1969.
8. Gel'fond A.O. (1929b): Sur les nombres transcendantes. C.R. Acad. Sei., Paris, Ser. A 189, 1224-1228.
9. Gelfond, A., 1934, "On the seventh Hilbert problem. (Sur le septième problème de Hilbert.)" (French) Zbl 0010.39302 Bull. Acad. Sei. URSS, VII. Ser. , No. 4, 623-630 (1934).
10. Schneider Th. (1934): Transzendenzuntersuchungen periodischer Funktionen. J. Reine Angew. Math. 172, 65-69 and 70-74.
11. Hermite Ch. (1917): Oeuvres. Gauthier-Villar, Paris, Vol.3, p. 146-149.
12. Mahler K. (1932)"Zur Approximation der Exponentialfunktion und des Logarithmus." J. Reine Angew. Math. 166, 118-136 and 137-150.
13. Siegel C.L. (1929/1930): Uber einige Anwendungen Diophantischer Approximationen. Abh. Preuss. Akad. Wiss. Phvs.-Math. KL, No. 1, 1-70.
14. Fel'dman, N. I., 1949, "Approximation of some transcendental numbers" , DAN 66, 565-567.
15. Fel'dman, N. I., 1949, "On the transcendence measure of logarithms of algebraic numbers and elliptic constants" UMN, 4, is. 1(29), 190.
16. Fel'dman, N. I., 1950, "On joint approximations of several logarithms of algebraic numbers by algebraic numbers" DAN 75, 777^778.
17. Fel'dman, N. I., 1951, "The approximation of certain transcendental numbers. I. Approximation of logarithms of algebraic numbers" (Russian) Izvestiva Akad. Nauk SSSR. Ser. Mat. 15, 53-74.
18. Fel'dman, N. I., 1951, "The approximation of certain transcendental numbers. II. The approximation of certain numbers connected with the Weierstrass function p(z)" , (Russian) Izvestiva Akad. Nauk SSSR. Ser. Mat. 15, 153-176.
19. Fel'dman, N. I., I960, "The measure of transcendency of the number n" (Russian) Izv. Akad. Nauk SSSR. Ser. Mat. 24, 357-368.
20. Fel'dman, N. I., 1985, "Constant in the evaluation of the transcendence measure of the number n" , in sat. Diophantine approximations, part 1, MSU publishing house.
21. N. I. Fel'dman, 1982, "The seventh Hilbert problem." — Moscow: Publishing house of Moscow state University, — 312 p.
22. Fel'dman N. I., 1981, "Approximation of algebraic numbers." — Moscow: Publishing house of Moscow state University, — 202 p.
23. Yu. M. Alexencev, 1999, "On the measure of approximation of ж bv algebraic numbers", Math. Notes, 66:4, 395-403.
24. A. Baker, 1975 "Transcendental Number Theory" , Cambridge University Press.
25. N. I. Fel'dman, (1968), "Improved estimate for a linear form of the logarithms of algebraic numbers", Math. USSR-Sb., 6:3, 393-406.
26. N. I. Fel'dman, (1971), "An effective refinement of the exponent in Liouville's theorem", Math. USSR-Izv., 5:5, 985-1002.
27. Schneider Th. (1957): Einfuhrung in die transzendenten Zahlen. Springer, Berlin.
Получено 25.10.2019 г. Принято в печать 12.11.2019 г.
