Акустические волны в двухфракционных смесях газа с каплями и твердыми частицами разных материалов и размеров при наличии фазовых превращений Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 532.529:534.2

АКУСТИЧЕСКИЕ ВОЛНЫ В ДВУХФРАКЦИОННЫХ СМЕСЯХ ГАЗА С КАПЛЯМИ И ТВЕРДЫМИ ЧАСТИЦАМИ РАЗНЫХ МАТЕРИАЛОВ И РАЗМЕРОВ ПРИ НАЛИЧИИ ФАЗОВЫХ ПРЕВРАЩЕНИЙ

Д. А. ГУБАЙДУЛЛИН, А.А. НИКИФОРОВ, Е. А. УТКИНА Институт механики и машиностроения КазНЦ РАН, Казань

Изучено распространение акустических волн в двухфракционных смесях газа с каплями и твердыми частицами разных материалов и размеров с фазовыми превращениями. Представлена математическая модель, получены дисперсионное соотношение и волновое уравнение, рассчитаны дисперсионные кривые. Проанализированы зависимости относительной скорости звука и декремента затухания на длине волны в смеси воздуха с паром, каплями воды и частицами песка. С помощью метода быстрого преобразования Фурье выполнены расчеты по распространению импульсных возмущений в двухфракционных смесях воздуха с каплями воды и частицами песка.

Ключевые слова: дисперсные системы, акустические волны, межфазный тепломассообмен, дисперсионное соотношение.

Многофазные среды широко распространены в природе и интенсивно используются в современной технике, например в энергетике и машиностроении. Исследование нестационарных волновых процессов является одной из актуальных проблем механики многофазных сред. Из многообразия гетерогенных сред могут быть выделены дисперсные смеси, представляющие собой смесь нескольких фаз, одной из которых являются различные включения (капли, твердые частицы, пузырьки) - аэрозоли, газовзвеси, пузырьковые жидкости, суспензии, эмульсии и т.д. Основные модели волновой динамики дисперсных сред и ряд результатов в этой области представлены в работе [1]. Учет влияния полидисперсного состава газовзвеси на распространение монохроматических возмущений в однокомпонентных смесях газа с частицами или пара с каплями выполнен в работе [2]. В [3] исследованы особенности распространения монохроматических волн в двухкомпонентных полидисперсных смесях газа с паром и каплями жидкости. Распространение сферических и цилиндрических волн малой амплитуды в полидисперсных туманах с фазовыми превращениями рассмотрено в работе [4]. Получена общая дисперсионная зависимость волнового числа от частоты колебаний и теплофизических свойств фаз. В [5] изучен аномальный эффект немонотонной зависимости диссипации слабых гармонических и импульсных возмущений от массовой концентрации капель т в монодисперсных аэрозолях с тепломассообменом. Достаточно полное изложение линейной теории распространения плоских возмущений в моно- и полидисперсных двухфазных смесях газа с паром и каплями жидкости дано в работе [6]. В [7] изучено распространение акустических волн различной геометрии в двухфракционных газовзвесях с частицами разных материалов и размеров без учета фазовых превращений.

В настоящей работе рассматриваются дисперсные системы, представляющие собой смеси газа с каплями и частицами разных размеров и

© Д.А. Губайдуллин, А. А. Никифоров, Е.А. Уткина Проблемы энергетики, 2010, № 7-8

веществ, с существенно различными теплофизическими свойствами. Исследование нестационарных волновых процессов в таких средах обычно осложняется необходимостью учета полидисперсного состава (неодинаковости размеров включений) смеси. При описании движения таких систем следует учитывать реальное распределение диспергированных включений по размерам, а также межфазный обмен массой, импульсом и теплом.

Линеаризованная система дифференциальных уравнений возмущенного движения парогазокапельной смеси с твердыми частицами в системе координат, относительно которой невозмущенная среда покоится, записывается аналогично [6], но с учетом различия в составе дисперсной фазы и имеет вид:

Ф1 5vJ

~ы +р1° =_и°JV j,

dp'V dv'1

~дГ + PV ° Ц = ~"°Jv j,

др'и +pi д*к n L.

"дГ+р2° "дХ"= n°Jj,

Ф2д +pa dv2 a °

"а"+Р2°1Т=°.

М+m/A-vk+navi-vk=°, Ы Р1° дх -Ы <a

дv21 _ v1 - v21 д' " T*vl '

д^Ж = v1- v2 a 1va

дТ{ a1° др1 + T'-Tj i + T1- Tj a _ °, (1)

д p1°cp1 д X*T1l TT 1a

rs rr't rr<f rr<f

д1И , T2l - Tjl

д TT 2l

= °,

55 T' t1'

дT2a + T2a - 1 ja _ ° * Tt2a " '

cng° T1- Tji + c g T2i - Tji l .

--i-+ c2lg°-i-= -1° Jj,

mL TT1l TT 2l

77 rrit rrif rrit

c 1 - a + m c T2a - TZa _ °

cp1-i-+ mac2a-i-= °,

TT1a TT2a

r2 rv

Ti

Pv =-:-PV + Pv 0 rr

Yva10 To

2

J_

Yiaio

Г 2 T '

Pi = —Mpl + AR(Pv - kvPi)) + Pio T1,

PVs = Ts

' l0PV0

jL = JVL '

. m0 Pvx - Pvs i = g m° P'v- V j£ = go--—-—, jVZ = g0-

P10 Tß

P10 Tki

4 3 o , Pv , PG I ,I 1

go = ^nrl P20 , kV =-, kG =-, kV + kG = ь

3 Pi Pi

o P20j o P2j /. л

P10 =a10Pl0, mj =-, m° =—Г , ( j = a, l) ,

Pi0 Po

Pi = Pv +PG , Pi = Pv + PG R1 = kVRV + kGRG,

Rv

AR = (Rv - Rg VRio, Rv

R

10

A1 = kvAv + kGAG , Ml = kVMv + kGMG, , , 1 л/2П YiCvri

CPi = kVCPV + kGCPG , Tß=T--

^ ^ ^ H 3 YV ßCf

Tki = iR^ - kv ^ • У = 1pTd ^ Td = D

Tvj = Tvj

1 - i V2"

(v; )

, Tvj =

2 р21Г/_ 9 Mi

o 2

Porj í ■ л TMlj = —, (i = a,l),

T* = 1 a10 TA1 j = j k = A1

Tlj 3 a2o j 1 + zi j ' Alj kl, 1 poc

rj2

a20 j 1 + zl j

Ai po ci

1 - i ✓ ч1/2 / • j\

Zlj = ^(fflTAlj) , (j = a,l)

0

♦ 1 [322у - (3 - у №2у ] Гу

тГ2у = ТтХ2у----, тЬ2у = ^-,

3 22у №2у - 22у ) к2у

к2у = О"27 , 22у = ^(ютЬ2у )1/2, (у = «,1) . Р2ус2у

Система уравнений (1) описывает плоские волны в двухфракционных смесях газа с каплями и твердыми частицами при наличии фазовых превращений в декартовой системе координат.

Переменные с индексом "1" относятся к несущей фазе, а с индексом "2" - к дисперсной, с индексом "V" - паровой составляющей несущей фазы, с индексом "в" - газовой составляющей несущей фазы. Штрихи вверху используются для обозначения возмущения параметров, индекс 0 соответствует начальному невозмущенному состоянию. Переменные с индексом "я" относятся к твердым частицам радиуса га, с индексом "I" - к каплям радиуса г , "£" - к поверхности раздела. Здесь р - приведенная плотность; р0 - истинная плотность; V - скорость, а - объемное содержание; р - давление, С - скорость звука в газе; ер -

теплоемкость при постоянном давлении; Т - температура; т - массовое содержание частиц т^ - время релаксации температур; тv - время релаксации скорости; Ц1 - коэффициент динамической вязкости несущей среды; в -коэффициент аккомодации; - коэффициент бинарной диффузии; уух -диффузионный поток пара к поверхности капли "£"; - интенсивность конденсации на поверхности индивидуальной капли; ку и к^ - концентрации

пара и газа в несущей фазе смеси.

Система уравнений (1) замкнута и может быть использована для исследования распространения акустических возмущений в двухфракционных смесях газа с каплями и твердыми частицами в плоском случае.

Исследуем решения этой системы уравнений, имеющих вид прогрессивных

волн [6] для возмущений ф' (<р' = р!, ру,р2оа,Р2о/,р1 ,Ру,Т',...):

ф' = Ар ехр I (К* х-ю*), (2)

К* = К + К**, Ср = ю/К , СЕ = йю / йК , а = 2пК„ / К.

Здесь 1 - мнимая единица, К* - комплексное волновое число; К** -

линейный коэффициент затухания. Через Ср и С^ обозначены фазовая и

групповая скорости; а - декремент затухания на длине волны.

Подставляя решения вида (2) в систему (1), получаем систему линейных алгебраических уравнений:

• А + р -К А . Р201т1 1 А Р20/т/ 1 А 0

-гюАр1 + рюК+--— Ару---^ АрУЕ = 0 ,

р10 Т*к1 ^ р10 Т*к1

• A +p ;K л . P20Lmo 1 A P20lmo 1 A o

-i®ApV + Pv 0iK* Avl + ————ApV--—ApVL = 0,

-i®Ap2l + P20liK* Av2l -

pl0 Tkl

P20lmo J_ pl0 Tß

*pVL

pl0 Tkl

P20lmo J_

pl0 Tß

ApVS = 0,

-i®Ap2a + P20aiK* Av2a = 0,

iKV mi ma

pvl Avl +-Apl--T Av 2l--V Av 2a = 0,

Pi0 Tvl Tva

J_ T*vL

-- i®

- i®

V 1va

Av2l--Г" Avl = 0 ,

TvL

Av 2a ^ Avl = 0,

(3)

pT 1AT1 +—-Apl — ATSl ---ATZa = 0,

pl0cpl TTll TTla

v

TT 2 L

- i®

at2l- tv— Am = 0,

TT 21

TT 2a

- i®

. 1

AT2a -

TT 2a

ATSa = 0 ,

cpl 1

c2l

v - at 1- %шАты + — AT2l + ml TTll TT2l

lomo A lomo A 0

-ApVL--ApVS = 0,

Pl0Tß Pl0Tß

CP1 A P A + mac2a A =0 AT1 - pTIaATIa + —V-AT2a = 0 ,

TT la

TT 2a

c,2 =

Yiaio

—RvApv + At 1 - Apv = 0,

r

P10

PplApi + —1- ARApv + ^ At 1 - Api = 0,

Yiaio

lopVo

ATLl - ApVS = 0 ,

0

{ \

—+—

ЧТР т*к1

Ар¥П--ApVS--1~ АрУ = 0,

тв тк1

С т1 та . 1 1

где = —+ "*--гю , -Т1 = + —--гю ,

^а ТТ11 тТ1а

Е Ср1 + с21 - + с2ата =-*—+ —-, -ТПа = —-+ _*-,

тЬтТ11 тТ 21 тТ1а тТ2а

С 2

Ер1 =—^ (1 - АЯку ). Р У1а104 7

Система (3) имеет нетривиальное решение тогда и только тогда, когда ее определитель равен 0. Подсчитав определитель системы (3) по теореме Лапласа и приравняв его к 0, получаем следующее дисперсионное соотношение: 2

= V (ю)я(Ю). (4)

С1К *

Ю

где V (ю) = 1

.

Л * л *

1 - гют^ 1 - гютш

в(ю) = 1 . ((1 - ОС - *вае1а) [Н2 - 1lkVR■V (С1RVH3 - 210Н1) - М11 л] + (Ю)" + (1 - (еав1а )| + т21 ((2 - ВН3 - М21Л)] + т2а^1а (1 - М2ЬН3 ) +

_т2ае1а ( - 1)(^ - Щ1Н3 )_

(1 - *вае1а)| + т21 ((2 - ВН3 - М2ьЛ)] + т2ав1а (1 - М2ЬН3) ,

Н1 = е2, Н2 = (ец - Ье) Z , Н3 = е (1 - ец*е1) Z , Л = ЬН2 + Н2Н3 , Z = 1 е = 1

1 - (е1 (е11 - Ье )' гю(тр+тк1)

с21 * * а201 * е11 =-Т-*—Г , *е1 = гтт£1/ , тЕ1/ =-тТ 11,

т/ср1 С - г'ЮТТ21) а10

е с2а__1 * • * т* а20а т*

е1а = —О--*-, *еа = гЮтП1а , т21а =-тТ 1а ,

таср1 1 - гЮтТ2а а10

В = (1 -кг^г), с1 , М21 = m2lRу (1 -куЕу),

М11 = т11с1 ( - 1 + к¥^¥ ) , 10 = ^ Ь = 4?кИГ1 (( -1) ,

С12

т11 = ЩЩ ^ , т21 = т/т/ , т2а = тата © Проблемы энергетики, 2010, № 7-8

В случае линейных длинноволновых возмущений (ахш, , ютТа,

®тТ1, < 1) нестационарными эффектами межфазного взаимодействия можно пренебречь [1], тогда

^ о 2 * о 2 /

2 Р2аГа т 2 Р2/Г/ т ро с Г2 тг1 = Т-, тТа =Р2ас2ага

9 И

тТ/ = Р21с21г1

9 И

1 1 - + -

3А1

15Х,

2а

1 1

- + -

3^1 15^2/

Используя метод сведения системы линейных дифференциальных уравнений с частными производными к одному уравнению из [8], получаем из системы (1) волновое уравнение для случая плоских волн:

а

д(2

А V [ * + ( -1)/](/)-□2

2 д2

/

дх 2

\

тv/ д" +1

V д у

(^а + 1^) *(р') = 0, (5)

где

/ = т21 ((а - 'еа)[- куЯуП (Яу^- 2^) - Ми] + Ш2а ( - Мии() •

* = ((а - 4а)[+ т21 (- БИ$ - М2/)] + Ш2а (^ - М^) ,

^ = ёаё1а1 - & ( -

(—й г—ттй —й т—й йй —й

е - Ьеи ), И2 = е - Ье11, И3 = е1/ - *е1,

ср1та Л д ^ а д

е1а = ——-^1 + тТ2а д"), 'еа = -т2аТТ 1а ~д£ '

й д 'е/ = -т2/тТ1/ д"'

ср1т/

е1/ =-

с2/

1 + ТТ2/ £ I,

I = /02куУ1 ( -1), /о = \ , Б = «V (1 - куЯу ), с1 =-^-1,

" /0,- , Б = «V (1 - куЯу), с1 =

с/ У 7 У1

М2/ = т2/Яу (1 - куЯу ) , М1/ = т1/с1 (У1 -1 + куЯу ) ,

т1/ = ЩЩ ЯV , т2/ = т/т° 5 т2а = тата •

На рис. 1, 2 показаны зависимости относительной скорости звука и декремента затухания на длине волны от безразмерной частоты колебаний ютш соответственно. Расчетные зависимости построены с помощью дисперсионного соотношения (4). Расчеты выполнены для смеси воздуха с паром, каплями воды и частицами песка (сплошные линии) с массовым содержанием частиц песка та = 0,3 и капель т/ = 0,1 и для монодисперсной смеси воздуха с частицами песка (штриховые линии) с массовым содержанием та = 0,3 и смеси воздуха с паром и каплями воды (штрихпунктирные линии) при массовом содержании капель т/ = 0,1. Радиус

Га = 10"

частиц песка составлял © Проблемы энергетики, 2010, № 7-8

м,

капель воды - Г1 = 10 м. Учет

двухфракционного состава и различие теплофизических параметров фракций приводит к возникновению характерного перегиба для зависимости относительной скорости звука в области частот, обратно пропорциональных характерным временам релаксации скоростей фаз т ш и (рис. 1). Как показано на рис. 2, различие размеров включений и теплофизических параметров фракций приводит к возникновению двух пиков для зависимости декремента затухания на длине волны на характерных величинах ют ш и = 1.

Рис. 1. Зависимость относительной скорости звука от безразмерной частоты колебаний ютга для смеси воздуха с паром, каплями воды и частицами песка (сплошная линия), монодисперсной газовзвеси с частицами песка (пунктирная линия) и смеси воздуха с паром и

каплями воды (штрих пунктирная линия)

Рис. 2. Зависимость декремента затухания на длине волны от безразмерной частоты колебаний ютга для смеси воздуха с паром, каплями воды и частицами песка (сплошная линия), монодисперсной газовзвеси с частицами песка (пунктирная линия) и смеси воздуха с паром и

каплями воды (штрих пунктирная линия)

Рассмотрим теперь эволюцию импульсов давления типа гауссовой кривой, создаваемых на границе парогазокапельной смеси с твердыми частицами, когда начальная форма импульсов описывается функцией вида

р(0,1) = ехр[-((* - )/N )2],

где I* - половина длительности импульса; N - параметр, определяющий ширину пика импульса. Расчеты проводились с помощью дисперсионного соотношения (3), при использовании подпрограмм быстрого преобразования Фурье [9], по методике, изложенной в работе [6].

На рис. 3 показано влияние учета двухфракционного состава дисперсной фазы на эволюцию импульса давления в смеси воздуха с паром, каплями воды и частицами песка (сплошные линии) с массовым содержанием частиц песка та = 0,3 и капель воды Ш1 = 0,1 и для монодисперсной смеси воздуха с частицами песка (штриховые линии) и смеси воздуха с паром и каплями (штрихпунктирные линии) при одинаковом массовом содержании частиц

та = т1 = т = 0,4. Радиус частиц песка составлял га = 10-6 м, капель воды

ц = 10-5 м. Расчетные профили построены на расстоянии 4м и 8м от места инициирования импульса соответственно.

Рис. 3. Эволюция импульсного возмущения гауссовой формы в смеси воздуха с паром, каплями воды и частицами песка (сплошная линия), монодисперсной газовзвеси с частицами песка (пунктирная линия) и смеси воздуха с паром и каплями воды (штрих пунктирная линия)

Учет межфазного массообмена приводит как к более сильному затуханию, так и к более значительному изменению формы импульсов давления в силу большей дисперсии скорости звука и диссипации волн, так для одного и того же общего массового содержания частиц в монодисперсной газовзвеси с частицами песка затухание импульса будет меньше, чем в парогазокапельной среде (штриховые и штрихпунктирные линии).

В смеси воздуха с паром, каплями воды и частицами песка радиусов

га = 10-6 м и ц = 10-5 м соответственно и общем массовом содержании частиц т=0,4 затухание импульса будет больше, чем для монодисперсной газовзвеси с © Проблемы энергетики, 2010, № 7-8

частицами песка радиуса ra = 10-6 м и m=0,4 и меньше, чем для смеси воздуха с

паром и каплями ri = 10-5 м и m=0,4. Для смеси воздуха с паром, каплями воды и

частицами песка так же, как и для смеси газа с каплями радиуса ri = 10-5 м, наблюдается значительное изменение формы импульса из-за дисперсии скорости звука и диссипации волн.

Итак, в настоящей работе представлена замкнутая система линейных дифференциальных уравнений движения для двухфракционной смеси газа с каплями и твердыми частицами, когда одна из фракций участвует в межфазных превращениях. Выведено дисперсионное соотношение, определяющее распространение плоских возмущений малой амплитуды. Получено волновое уравнение для плоских волн. Рассчитаны дисперсионные кривые. Проанализировано влияние параметров дисперсной фазы для смеси воздуха с паром, каплями воды и частицами песка.

Работа выполнена при финансовом содействии Совета по грантам Президента Российской федерации для государственной поддержки ведущих научных школ РФ (грант НШ-3483.2008.1) по программе Президиума РАН№17П при финансовой поддержки РФФИ (грант № 07-01-00339).

Summary

Propagation of acoustic waves to two-fractional mixtures of gas with drops and rigid particles of different materials and sizes with phase transformations is investigated. The mathematical model is presented, the dispersion relation and a wave equation are received and dispersion curves are calculated. Dependencies of a relative velocity of a sound and attenuation decrements on a wavelength for a mixture of air with vapor, by drops of water and particles of sand are analysed. With the help of a method of a fast Fourier transform calculations on propagation of impulse perturbations to two-fractional mixtures of air with drops of water and particles of sand are carried out.

Key words: dispersed systems, acoustic waves, interphase heat and mass transfer, a dispersion equation.

Литература

1. Нигматулин Р.И. Динамика многофазных сред. Ч.1,2. М.: Наука, 1987.

2. Гумеров Н.А., Ивандаев А.И. Распространение звука в полидисперсных газовзвесях // Журнал прикл. мех. и техн. физ. 1988. № 5. -C. 115-124.

3. Губайдуллин Д.А., Ивандаев А.И. Влияние полидисперсности на распространение звука в смесях газа с паром и каплями жидкости // Журнал прикл. мех. и техн. физ . 1993. № 4. С. 75-83.

4. Губайдуллин Д.А. Сферические и цилиндрические волны малой амплитуды в полидисперсных туманах с фазовыми превращениями // Изв. РАН. МЖГ. 2003. №5. С. 85-94.

5. Нигматулин Р.И., Ивандаев А.И., Губайдуллин Д.А. Эффект немонотонной зависимости диссипации звука от концентрации капель в акустике газовзвесей // Докл. АН СССР, 1991. Т. 316, № 3. C. 601-605.

6. Губайдуллин Д.А. Динамика двухфазных парогазокапельных сред. Изд-во Казанского математического общества, 1998. 153 с.

7. Губайдуллин Д.А., Никифоров А.А., Уткина Е.А. Распространение акустических волн в двухфракционных газовзвесях с частицами разных материалов и размеров // Известия вузов. Проблемы энергетики. 2009. №1-2. С. 25-33.

8. Курант Р. Уравнения с частными производными. М.: МИР, 1964. 830 с.

9. Гапонов В.А. Пакет программ быстрого преобразования Фурье с приложениями к моделированию случайных процессов. Препр. АН СССР, Сиб. Отделение: ИТФ, 1976. Т. 5. 19 с.

Поступила в редакцию 22 декабря 2010 г.

Губайдуллин Дамир Анварович - доктор физ.-мат. наук, член-корреспондент РАН, директор Института механики и машиностроения КазНЦ РАН. Тел.: 8 (843) 236-52-89. E-mail: [email protected].

Никифоров Анатолий Анатольевич - канд. физ.-мат. наук, научный сотрудник Института механики и машиностроения КазНЦ РАН. Тел.: 8 (843) 231-90-59. E-mail: [email protected].

Уткина Евгения Александровна - инженер-исследователь Института механики и машиностроения КазНЦ РАН. Тел.: 8 (843) 523-91-61. E-mail: [email protected].