Влияние фазовых переходов на распространение акустических волн в смеси газа с паром, каплями и полидисперсными частицами твердого материала

Губайдуллин Д.А.; Федоров Ю.В

УДК 532.529:534.2

ВЛИЯНИЕ ФАЗОВЫХ ПЕРЕХОДОВ НА РАСПРОСТРАНЕНИЕ АКУСТИЧЕСКИХ ВОЛН В СМЕСИ ГАЗА С ПАРОМ, КАПЛЯМИ И ПОЛИДИСПЕРСНЫМИ ЧАСТИЦАМИ ТВЕРДОГО МАТЕРИАЛА

Д.А. ГУБАЙДУЛЛИН*, Ю.В. ФЕДОРОВ** *Учреждение российской академии наук **Институт механики и машиностроения КазНЦ РАН, Казань

Изучено распространение акустических волн в смеси газа с паром, каплями и полидисперсными частицами твердого материала с фазовыми переходами. Представлена математическая модель, получено дисперсионное соотношение, рассчитаны дисперсионные кривые. Проанализировано влияние фазовых превращений на диссипацию и дисперсию малых возмущений.

Ключевые слова: полидисперсные частицы, фазовые переходы, дисперсионное соотношение.

Введение

Значительный интерес к проблемам и задачам механики многофазных сред обусловлен широким распространением таких систем в природе и их интенсивным использованием в современной технике, например в энергетике и машиностроении [1]. При этом наиболее распространенными процессами в многофазных средах являются волновые процессы, носящие нестационарный характер. Учет влияния полидисперсного состава взвеси на распространение монохроматических возмущений в однокомпонентных смесях газа с частицами или пара с каплями выполнен в работе [2]. В [3] исследованы особенности распространения монохроматических волн в двухкомпонентных полидисперсных смесях газа с паром и каплями жидкости. Распространение сферических и цилиндрических волн малой амплитуды в полидисперсных туманах с фазовыми превращениями рассмотрено в работе [4]. Получена общая дисперсионная зависимость волнового числа от частоты колебаний и теплофизических свойств фаз. В работе [5] изучен аномальный эффект немонотонной зависимости диссипации слабых гармонических и импульсных возмущений от массовой концентрации капель т в монодисперсных аэрозолях с тепломассообменом. Достаточно полное изложение линейной теории распространения плоских возмущений в моно- и полидисперсных двухфазных смесях газа с паром и каплями жидкости дано в работе [6].

Реальные дисперсные системы представляют собой смеси газа или жидкости с частицами, каплями или пузырьками разных веществ, часто с существенно различными теплофизическими свойствами, поэтому изучение волновых процессов в таких системах имеет особое значение. Ранее было

3

исследовано распространение звуковых волн в двухфракционных смесях [7], когда каждая из фракций является монодисперсной газовзвесью. Однако исследование нестационарных волновых процессов в дисперсных смесях газа с твердыми частицами обычно осложняется необходимостью учета полидисперсного состава (неодинаковости размеров включений) взвеси, поскольку реальные газовзвеси являются существенно полидисперсными. При описании движения таких систем следует учитывать реальное распределение диспергированных включений по размерам, а также межфазный обмен массой, импульсом и теплом. В работе [8] авторами исследовалась дисперсия и диссипация акустических волн в двухфракционных смесях газа с полидисперсными частицами разных материалов и размеров. В настоящей работе впервые изучено распространение звуковых волн в смеси газа с паром, каплями и полидисперсными частицами твердого материала с фазовыми переходами.

Основные уравнения

Для получения системы линейных интегро-дифференциальных уравнений возмущенного движения смеси газа с паром, каплями и полидисперсными частицами твердого материала необходимо проинтегрировать, аналогично [6], линеаризованные уравнения сохранения массы, импульса и энергии для отдельной фракции по радиусу частиц твердого материала. В итоге система уравнений будет иметь вид:

Ф1 ЭД . др'у ЗД

—+рю — = , + рк0 -дц = , (1)

дР2а + Ра д^,2и „ ; др2Ь + РЬ /^2Л 0

ИГ+р20~а2Т_По У2,"ИГ+ Р20 \ _ 0,

д Р10 дх т*а

_ Ч- ^2а ^2Ь _ У2Ь

д^ т* д т*.

1уа 1уЬ

ддп__1_дЕк+ 7'1- Т2 а +ЛЬГг\ _ 0,

д Р10ср1 д т*1а \ т*1Ь 1Ь

д12а + Т2а - Т2а _ 0 д12Ь + Т2Ь - Т2Ь _ 0 Я/ * ' я* * '

д тт 2а д тт2Ь

№р1 Т - Т2а + рг Т2а - Ча _ ..

--*-+ 80с2а-*-_ -1012 ,

Ша тТ1а тТ2а

СР1 Т1 - Т2Ь + с Т2Ь - Т2Ь _ 0 р _ СУ Р + рУ 0 Т>

--*-+ С2Ь-*-_ 0, рУ _-РК Т1 ,

тЬ тТ1Ь тТ2Ь IV «10 Т10

С 2 - -

Р1 _ —^((1 - АЛАк)Р1 + АЯрК) +Т[ , У1а10 Т10

4

р _ 10рУ0 т ■ _ • т10

Интенсивность межфазного взаимодействия в соответствии соотношениями [1,9] записывается следующим образом:

• _ а т°а р', £ - p'Vs . _ „ т°а р',- р'ц / _ 4л эр0

1 _ д0--, •/VI _ д0--*-, д0 _ ~г1 р21,

р10 тр р10 Тъ1 3

/ О

ъ _ pv ъ _ рс ъ + ъ _ 1 т _ р20 ° _ р1 (/ _ а ь )

«V _-, ъс _-, Ъv + ъс _ 1, т/ _-, т/ _-, (/ _ а, Ь),

Р1 Р1 Р10 р2/

Р1 _ Pv + Рв, р1 _ РV + Рс , Щ1 _ %% + %%, Г1 _ ЪV V + «в ,

- %- % - %

»1 _ ъV»V + «С»С , Ср1 _ ъvcpv + ъссрс , _-Б-, ^ _ р

т ч/^С^ ЩГ(1 - ъV)тй у 1 - г . ^ Т а2

Тв_-7Т~Г, ТЪ1 _--ил . ч-, У (ЮТй)2, Тй = 1Т ,

Н 3YV рС2 3(1 + у) 72 А

Ту/ _ ТУ/'

, 1

1+7Г(ЮТ»17)2

-1 2

2 р2/' Р1/2 , .

, Ту/ _--, т»1 / _-1—, (/_а,Ь ),

79 »1 * 7 »1

о .2 1

т* «10 ТГ1/ Т р1ср17 г 1 - г,

Тт1/ _ 3020/1+^17' "17 _ 7 Г17 )2,

* _ТГ27 (3-27 - (3 - -27 №-27) _Р27с2772

Тт27 _ —3 ^ - , ТГ2/ _ Г ,

3 -27 ((к-27 - -27) Л27

1 - • 1 1 Ьтах

-2 /' _ --- (®ТГ27 )2, (7'_а,Ь ), (к)ь _ / ^(Ь^МЬ .

^ Р20 Ьт1и

Переменные с индексом 1 относятся к несущей фазе, с индексом 2 - к дисперсной, с индексом V - к паровой составляющей несущей фазы, с индексом С -к газовой составляющей. Штрихи вверху используются для обозначения возмущения параметров, индекс 0 соответствует начальному невозмущенному состоянию. Переменные с индексом а относятся к каплям радиуса а , с индексом Ь - к твердым частицам радиуса Ь ,1 - к поверхности раздела. Здесь р -

приведенная плотность; рО - истинная плотность; V - скорость; а - объемное содержание; р - давление; С1- скорость звука в газе; Ср - теплоемкость при

постоянном давлении; Т - температура; т - относительное массовое содержание частиц; Тт - время релаксации температур; - время релаксации скорости; »1-коэффициент динамической вязкости несущей среды; в - коэффициент аккомодации; Х^- коэффициент бинарной диффузии; /у: - диффузионный поток

с

5

пара к поверхности капли; - интенсивность конденсации на поверхности индивидуальной капли; kV и kG - концентрации пара и газа в несущей фазе смеси; N (b) - функция распределения частиц.

Записанная система уравнений (1) замкнута и может быть использована для распространения акустических волн в парогазокапельной смеси с полидисперсными твердыми частицами в плоском случае.

Исследуем решение этой системы уравнений, имеющих вид прогрессивных волн [10] для возмущений ф' (ф ' = pl, p'2a, p'b, Р1, T1 • ••).

ф' = ^ф exp[i (K* х -®t)], (2)

K* = K + iK**, Cp = ю/K , ст = 2nK** /K , где i - мнимая единица; K* -комплексное волновое число; K** - линейный коэффициент затухания; Cp -

фазовая скорость; ю - частота возмущений; ст - декремент затухания на длине волны.

Из условия существования у системы линейных уравнений (1) нетривиального решения вида (2) можно получить следующее дисперсионное соотношение:

/C1K^2

= V (<D)D(<D), (3)

ma . mb

У(т) _ 1 + + - * ,

1 - гютга - ^т*Ь/Ь

_ 1 + (Т1 - 1)m2а[H2 - Щкуу1(ЛуЗ,H3 - 2/0Hl) - М,Л] + ^ ( ) 1 + т2а (Н2 - БНЪ - М2Л) + 1^ '

2

где Н1 _ & ; Н2 _ (е1а - Те)Z ; Н3 _ е(1 - е1а*еа)Z ; Л _ ЬЩ + Н2Н3;

- 1 1 с2а

А _-, е _-, е1а _-,

I , / т \ * ' 1а 0 * '

1 - 1еа (е1а - Те) «в(тр+тк1) таСр1(1 - iraтт2a )

т* а2а т* , тЬС2Ь / 1 \ т* т* + тЬС2Ь т*

т21а _-тТ 1а , ^Ь _-\-— / , тТЬ _ тТ2Ь +-тТ 1Ь ,

а10 Ср1 \1 - ттТЬ / Ь Ср1

— ^0 —2 1 - е1а^еа (1 - М2ае) + Ьаеа - т2аВе , ¿0 _ —2 , Т _ кК (У1 - 1)У1/0 ,

_ С'

П _ -1 + Т1 + е(ДУ1 - 1)^еа + т2аВ - т2аУ1ЛУ ) - е1а'еа (У1 - 1) -

-М2ае'еае1а + У1еЛК(еат2ае1а ,

В _ Лу (1 - куЛу ), М2а _ т2аВ , М1 _ т2аЛуС1 (У1 -1 + куЯу ),

о _ 1

т2а _ тата , С1 _-7.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

У1 -1

В частном случае двухфракционной смеси газа с каплями и полидисперсными твердыми частицами без фазовых переходов, дисперсионное © Проблемы энергетики, 2011, № 9-10

6

соотношение имеет вид [8], а именно если считать, что одна фракция монодисперсная, то есть выбрать функцию распределения в виде N(а) = 5(а - яц), где 5 - функция Дирака; а0- радиус капель, тогда:

^ С1К*

V (ю)Б(ю),

V (ю) = 1 + -

т„

тъ

Л • * / *

1 - 1ЮТга (1 - «ютуъ

(4)

тас2а

тЪс2Ъ

Б(ю) — 1 + (У1 -1)-

ср1 1 - гюхГа ср1 \1 - 1ЮТГЪ/Ъ

1+

тас2а

1

тЪс2Ъ

1

ср1 1 - гютГа ср1 \1 - гюттЪ,

тТ =Тт2] + * 2* ТТ1 ] , (} = а,Ъ ). ср1

Асимптотики

Выражения для равновесной Се и замороженной С^ скоростей звука в

парогазокапельной смеси с полидисперсными твердыми частицами могут быть получены из дисперсионного соотношения (3) при предельных переходах ю^ 0 и ю^х соответственно, имеют следующий вид: 1

Се — С

У е

т1У1 т1 — 1 + та + тЪ,

, С/ = С1,

Г тас2а + тЪс2Ъ + 1 ^

У е =

ср1

IV (1 - % IV)+ь

тас2а + тЪс2Ъ

ср1

IV + ь - ^ (-1 + кV (71 -1)(-IV + 2/0У1)) У1

В случае ^ — 0, Ь — 0, то есть при распространении акустических волн в

двухфракционных газовзвесях без фазовых переходов, результат хорошо согласуется с [8]. В этом случае

ср1 + тас2а + тЪс2Ъ

у = —-.

е ср1 / У1 + тас2а + тЪс2Ъ Низкочастотная асимптотика К** имеет вид

2

К(0)(ю) — С

2С2

У1

т1^1 + — d2 У е

Ъ

7

йх = та+ тьхгь5,3 ,

г = 15Ср1т2а ((с2ата + с2ЬтЬ ) ЁУ (1 - кУЁУ )) +

+ср1 (Ёу + ку ((у 1 - 1)У1 ¿0 - Ёу )))2 ,

( 1 о о Л

в 1 Р2Ъс2Ъ + тЪс2Ъа10Р1 ,2

в =---+--Ъд з ,

^15 X 2Ъ 3а2ЪХ1 '

т2 = тас2а + тЪс2Ъ »

^2 = ((5ср1(3(ср1 + т2У1)тр + Дср1 + с2ЪтЪ У 1)тХ1а ) + +(5с2ЪтЪ У1 (ср1 (-3Вта + (1 - кУ + с2ата ТХ1а ) + +ср1(-5ср1(кУ - 1)т^ + с2ата (5тХ1а -У1(5(кУ - 1)т^ + +т2а ТХ 2а )))) ЁУ + 5с2аср1кУта (У1 - 1)тХ1аЁК)(-т2В + +ср1(-ЁУ + кУ ((-У1 + 1)У1/02 + Ё2 ))) + (т2У1 Ёу + +ср1( ЁУ + кУ (У1 - 1)(-У1^0 + ЁУ )2))(5с2ас2ЪтатЪТХ1аВ + +5ср1(3тр + Ьхх1а - (кУ - 1)т^Ёу + ср1(5с2ЪтЪ (3тр + ЬтХ1а +

+(-3Вт2а + (1 - кУ )Тй ) ЁУ + 3В>кУт2аЁУ ) + с2ата (15тР +

+Ёу (-5(кУ - 1)т^ - (5тх1а - т2а Тх2а )(-1 + кУ Ёу )))))) / г. На диссипацию низкочастотных возмущений существенное влияние оказывают как эффекты межфазного трения, так и межфазный тепломассообмен. Высокочастотная асимптотика К** имеет вид

К.(? (га) = — [т + + W2 + 2 т т3 + WA1,

3тЪс2Ъ а2Ъ

Л(с2ЪтЪа10-у/ТХ1Ъ3,2 + ср1а2Ьу]ТХ263,2 )

3тЪс2Ъа2Ъ (-с2ЪтЪа10 + 3ср1а2А )

(с2ЪтЪа10^/ ТХ1Ъ 3,1 + ср1а 2Ъд/ ТХ 2Ъ3,1 )2

2

8

WA = 2п2(У1 -1)

ср1 , 3т2а -1

+4£л)-

2куУ1П

с2ата 2

3т

2а

+ (У1 -1)(8 + 2£2 +

9т2а Тр 1

=

I

+ (¿0(1 -У1) + ку )

с2а

Ьта

- средний радиус частиц, [Ь^ = | N(Ь)Ь*йЬ.

Ьт1п

При больших ю коэффициент затухания определяется, в основном, главным членом асимптотики. При распространении высокочастотных возмущений значительное влияние оказывают эффекты межфазного трения и теплообмена, а влияние межфазного массообмена на диссипацию возмущений проявляется незначительно.

Результаты

На рис. 1, 2 проиллюстрировано влияние межфазного массообмена на вид зависимости относительной скорости звука и декремента затухания на длине волны от безразмерной частоты колебаний ютуа. Расчеты проведены с помощью дисперсионного соотношения (3), (4). Рассматривалась смесь воздуха с паром, каплями воды радиуса а = 10-5 м и частицами песка, радиус которых изменялся

-7 -6

от 10 м до 10 м, с массовым содержанием частиц песка ть = 0,3 и капель при давлении несущей фазы р1 = 0,1 МПа (Тц = 271 °К) с учетом фазовых превращений (сплошная линия) и без учета фазовых превращений (штриховая линия). Функция распределения частиц N (Ь) = Ь'

Ср/С1

1

0,95

0,9 0,85

0,8

0,75

0,7

10-2 10° 102

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Рис. 1. Зависимость относительной скорости звука на длине волны от безразмерной частоты колебаний юТуа с

а

0,7 0,6 0,5

0,4

0,3 0,2 0,1 0

10

100

102

104

ЮТу

Рис. 2. Зависимость декремента затухания на длине волны от безразмерной частоты колебаний юТуа с учетом фазовых

учетом фазовых переходов (сплошная линия) , .. -

•> т г « V , ' переходов (сплошная линия) и без учета

и без учета фазовых переходов (штриховая , , ч

^ т г 4 г фазовых переходов (штриховая линия)

линия)

9

Из рис. 1 видно, что учет фазовых превращений приводит к уменьшению относительной скорости звука при частотах (ютш < 10) и практически не влияет

на частотах (ютуа > 10).

Из рис. 2 следует, что учет фазовых переходов приводит к увеличению

2

декремента затухания на длине волны при частотах (ютш < 10 ) и практически не

2

влияет на частотах (ютуа > 10 ).

На рис. 3 показана зависимость коэффициента затухания от безразмерной частоты колебаний при различном массовом содержании капель и частиц (1 -та = ть = 0,3 ; 2 - та = ть = 0,5 ; 3 - та = ть = 0,9) и низкочастотная асимптотика (штриховая линия).

На рис. 4 показана зависимость коэффициента затухания от безразмерной частоты колебаний при различном массовом содержании капель и частиц (1 -та = ть = 0,3; 2 - та = ть = 0,5; 3 - та = ть = 0,9) и высокочастотная асимптотика (штриховая линия). Видно, что высокочастотная асимптотика является хорошим приближением на частотах ютуа > 105.

3

2,5

2

1,5 1

0,5 0

10

К..

2000 1800 1600 1400 1200 1000 800 600 400 200 0

10

101

106

Рис. 3. Зависимость коэффициента затухания от безразмерной частоты колебаний юТуа при

разных массовых содержаниях частиц и низкочастотная асимптотика (штриховая линия)

102 104

Рис. 4. Зависимость коэффициента затухания от безразмерной частоты колебаний юТуа

при разных массовых содержаниях частиц и высокочастотная асимптотика (штриховая линия)

Заключение

Представлена замкнутая система линейных интегро-дифференциальных уравнений движения для двухфракционной смеси газа с паром, каплями и полидисперсными твердыми частицами, когда одна из фракций участвует в межфазных фазовых переходах. Получено дисперсионное соотношение, определяющее распространение плоских возмущений малой амплитуды. Получены равновесная и замороженная скорости звука, низкочастотная и высокочастотная асимптотики коэффициента затухания. Проанализировано влияние фазовых переходов на распространение акустических волн в

уа

10

двухфракционной смеси газа с паром, каплями и полидисперсными твердыми частицами.

Summary

Propagation of acoustic waves in the mixes of gas with vapour, drops and polydisperse particles of firm material with phase transitions is studied. The mathematical model is presented, the dispersion relation is received, and dispersion curves are calculated. Influence of phase transformations on dissipation and a dispersion of small indignations is analysed.

Key words: polydisperse particles, phase transitions, dispersion relation.

Литература

1. Нигматулин Р.И. Динамика многофазных сред. Ч.1,2. М.: Наука, 1987.

2. Гумеров Н.А., Ивандаев А.И. Распространение звука в полидисперсных газовзвесях // Журнал прикл. мех. и техн. физ. 1988. № 5. C. 115-124.

3. Губайдуллин Д.А., Ивандаев А.И. Влияние полидисперсности на распространение звука в смесях газа с паром и каплями жидкости // Журнал прикл. мех. и техн. физ . 1993. № 4. С. 75-83.

4. Губайдуллин Д.А. Сферические и цилиндрические волны малой амплитуды в полидисперсных туманах с фазовыми превращениями // Изв. РАН. МЖГ. 2003. №5. С. 85-94.

5. Нигматулин Р.И., Ивандаев А.И., Губайдуллин Д.А. Эффект немонотонной зависимости диссипации звука от концентрации капель в акустике газовзвесей // Докл. АН СССР. 1991. Т. 316, № 3. C. 601-605.

6. Губайдуллин Д.А. Динамика двухфазных парогазокапельных сред. Изд-во Казанского математического общества, 1998. 153 с.

7. Губайдуллин Д.А., Никифоров А.А., Уткина Е.А. Акустические волны в двухфракционных смесях газа с паром, каплями и твердыми частицами разных материалов и размеров при наличии фазовых превращений // Известия РАН. Механика жидкости и газа. 2011. № 1. С. 83-89.

8. Губайдуллин Д.А., Федоров Ю.В. Распространение акустических волн в двухфракционных газовзвесях с полидисперсными частицами разных материалов и размеров. // Известия вузов. Проблемы энергетики. 2011 № 5-6. С. 3-11.

9. Губайдуллин Д.А., Ивандаев А.И. Скорость и затухание звука в парогазокапельных системах. Роль тепломассообменных процессов // ПМТФ. 1987. № 3. С. 115-123.

10. Губайдуллин Д.А. О влиянии тепломассообмена на распространение звуковых волн в парогазокапельных системах // Вестн. МГУ. Сер. Математика, механика. 1987. № 3. С. 95-98.

Поступила в редакцию 20 мая 2011 г.

Губайдуллин Дамир Анварович - д-р физ.-мат. наук, член-корр. РАН, директор института механики и машиностроения КазНЦ РАН. Тел. 8 (843) 236-52-89. E-mail: gubajdullin@mail.knc.ru.

Федоров Юрий Валентинович - инженер-исследователь института механики и машиностроения КазНЦ РАН. Тел: 8-960-0449566. E-mail: kopperfildd@yandex.ru. © Проблемы энергетики, 2011, № 9-10

11

Аннотация научной статьи по физике, автор научной работы — Губайдуллин Д. А., Федоров Ю. В.

Похожие темы научных работ по физике , автор научной работы — Губайдуллин Д. А., Федоров Ю. В.

Influence of phase transition on propagation of acoustic waves in mixture of gas with vapour, drops and polydispersed solid particles