CC BY
51
УДК 531/534: [57+61]
АКТУАЛЬНЫЕ ПРОБЛЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ НАПРЯЖЕНИЯМИ В СТОМАТОЛОГИИ
В.Ю. Кирюхин1, Ю.И. Няшин1, И.Г. Номинатов2, Г.И. Рогожников2,
О.А. Шулятникова2, А.Г. Рогожников2
1 Кафедра теоретической механики Пермского государственного технического университета, Россия, 614990, Пермь, Комсомольский пр., 29, e-mail: vkiryukhin@mail.ru
2 Кафедра ортопедической стоматологии Пермской государственной медицинской академии имени академика Е.А. Вагнера, Россия, 614990, Пермь, ул. Куйбышева, 39
Аннотация. В данной работе авторы делятся опытом формализации и механического анализа актуальных проблем стоматологии. Приведены результаты расчета напряженно-деформированного состояния ряда структур, создаваемых на этапе лечения различных заболеваний ортодонтическими методами. Рассматриваются вопросы управления напряжениями и, в отдельных случаях, деформациями. Представлена методика управления напряжениями в рамках теории упругости. Описан принцип работы предложенной теории для сформулированных и иных задач.
Ключевые слова: биомеханика, стоматология, теория упругости, управление напряжениями, постановка задачи.
Введение
Помимо чисто механических и технологических проблем изготовления аппаратов, применяемых в медицине по уже известным методикам, возникает проблема разработки новых методов развития индивидуализированного подхода при осуществлении лечения. Решение возникающих при этом практических и теоретических проблем биомеханики (моделирование перестройки, роста и морфогенеза, проведение операций по замене органов, прогнозирование протекания постлечебного периода и др.) связано с учетом, математическим описанием и вычислением напряжений в живых тканях и их искусственных заменителях. При этом значительная часть проблем не может сводиться только к моделированию состояния рассматриваемого тела. Более ценными с позиции приложения оказываются формулировки и методы решения задач, сфокусированные на выборе некоторого оптимального варианта. Так, например, для стоматологической практики интересны оптимальные конструкции протезов зубов, оптимальный выбор материала или сочетания нескольких пломбировочных материалов, наилучший способ установки искусственных заменителей (имплантатов).
Авторы данной работы предлагают вниманию читателя работу, в которой делятся накопленным опытом описания, механического анализа ряда актуальных проблем стоматологии, которые уже на протяжении нескольких лет активно
© Кирюхин В.Ю., Няшин Ю.И., Номинатов И.Г., Рогожников Г.И., Шулятникова О.А., Рогожников А.Г., 2007
рассматриваются как задачи биомеханики. Их отличительной особенностью является то, что каждая задача с позиции механики может быть сформулирована и решена как проблема управления напряжениями по всему объему тела или лишь в его части.
Авторы предлагают следующую последовательность изложения. В первой части работы приводятся результаты расчета напряженно-деформированного состояния ряда структур, создаваемых на этапе лечения различных заболеваний ортодонтическими методами. Во второй части работы рассматриваются вопросы интерпретации ряда задач стоматологии и биомеханики как задач управления напряжениями и, в отдельных случаях, деформациями. Оказалось, что решение очень широкого круга проблем практической стоматологии связано с созданием тем или иным путем некоторых желаемых напряжений. Авторы приводят несколько наиболее характерных примеров формулирования таких проблем. В третьей части работы авторами предлагается методика управления напряжениями в рамках теории упругости. В результате анализа были выделены особенности формулировок проблем биомеханики, связанные с созданием заданного распределения напряжений. В конце работы, в ее четвертой части, авторы описывают принцип работы предложенной теории для сформулированных задач, а также иных, которые, возможно, знакомы читателю.
Примеры моделирования проблем биомеханики в ортопедической стоматологии
Напряжения в живых структурах
В тканях и органах живого организма постоянно происходят процессы, приводящие к возникновению напряжений. Причем интересно, что не все процессы имеют чисто механическую природу и изначально не связаны с действием каких-либо сил или температуры, например, процессы роста, резорбции или перестройки. В прежних работах авторов [16] на основе литературных данных достаточно детально рассматривался вопрос о разнообразии природы механических напряжений в костных и мягких тканях. Так, можно выделить, силовые, остаточные, температурные и ростовые напряжения.
Остаточные напряжения в механике классически понимаются как самоуравновешенные напряжения, создаваемые в теле после снятия внешних нагрузок. О существовании остаточных напряжений в живых мягких и твердых тканях известно давно, в частности, из экспериментальных исследований [47]. Остаточным напряжениям посвящено достаточно много авторитетных работ [24-26, 29, 40, 42, 45, 46, 48, 49], однако авторы данного исследования не ставят здесь целью детально излагать все направления экспериментальных и теоретических исследований.
Обширный обзор исследований по тепловым явлениям в живых тканях дан в работе Станчика и Телеги [44]. В данной работе указывается, что в живой ткани могут возникать даже повреждения из-за напряжений, вызванных охлаждением ткани (температурные напряжения). Эксперименты показали [34], что появление напряжений в цементе, фиксирующем протез, связано с его температурой во время затвердевания и что во время охлаждения напряжения возникают во многом благодаря температурным деформациям в противоположность объемному сжатию.
Таким образом, к температурным напряжениям относят не только напряжения, вызванные непосредственным изменением температурного поля и появлением несовместных температурных деформаций [34], но и процессами усадки компонентов искусственных протезов [44], их фазовыми превращениями, поскольку эти изменения
могут быть представлены как несиловое объемное расширение или сжатие, характерное для температуры.
Под ростовыми напряжениями понимаются напряжения, возникающие в теле в процессе (в результате) адаптационного роста живой ткани. Понятие ростовых напряжений и их особенности вводятся и обсуждаются в работах А. Штейна,
С. Регирера [23], Л. Табера [45]. Математическое обоснование ростовых напряжений представлено, в частности, в работе [43].
Имеющееся многообразие задач биомеханики приводит к изобилию моделей и способов решения задач вычисления и управления напряжениями. Авторы работы [16] выдвигают предположение о единообразной природе и механике напряжений, возникающих в живых тканях в процессе их роста, теплового и механического взаимодействия с окружающими телами. Так, предлагается объединить понятия остаточных, тепловых, усадочных, ростовых, адаптационных напряжений в одно понятие биологических напряжений. Далее в работе говорится о напряжениях, возникающих в живых тканях, придавая им смысл биологических.
Анализ причин вторичного деформирования
В клинической практике часто приходится иметь дело с таким явлением, как изменение положения одного или ряда зубов вследствие каких-либо нарушений целостности зубного ряда. Будем называть такие смещения вторичными деформациями зубного ряда. Само по себе подобное смещение, конечно, ведет к негативным последствиям для здоровья пациентов: нарушению жевательной функции, снижению эффективности пережёвывания пищи, возникновению блокирующих движений нижней челюсти при значительном перемещении антагонистов в область дефекта, нарушению функции жевательных мышц и их нервной регуляции, изменениям со стороны височнонижнечелюстного сустава, заболеваниям тканей пародонта, травматизации мягких тканей ротовой полости, эстетическому дефекту. Более того, оно создает серьезные трудности для восстановления жевательной функции при протезировании.
Имеющиеся в литературе данные о причинах и механизме возникновения вторичных деформаций зубов [5, 18] не могут объяснить всё многообразие
клинических примеров данной патологии. Несмотря на то что рассматриваемый процесс, очевидно, связан с механикой зубочелюстной системы и многие исследователи пытаются объяснить его в терминах сил и моментов [22], до настоящего времени нет чётких механических обоснований возникновения вторичных деформаций.
Исследования в данном направлении могли бы дать биомеханическое обоснование возникновения смещений зубов, согласно которому в результате перераспределения нагрузок в костной ткани изменяются напряжения и деформации вокруг исследуемого объекта - зуба, что приводит к перестройке в структуре кости и формированию вторичной деформации. Основополагающими факторами данного процесса являются вязкоупругопластические свойства костного материала, величина и распределение прилагаемых жевательных нагрузок, время формирования деформации.
Установив чёткую функциональную зависимость между данными факторами, с достаточной степенью достоверности можно будет прогнозировать сроки возникновения вторичной деформации, скорость её формирования, возможные осложнения. В клинике данная информация позволит на основе объективных показателей определять необходимость протезирования, оптимальные сроки для начала лечения, выбор рациональной конструкции протеза.
Расчет штифтовых конструкций
Одной из актуальных проблем ортопедической стоматологии является восстановление зубов с полностью разрушенной коронковой частью. Полное разрушение коронковой части зуба в результате травмы, кариеса, патологической стираемости, некариозных поражений и последующее удаление корней являются пусковым механизмом в развитии функциональных и структурных нарушений зубочелюстной системы [4].
Для восстановления коронковой части широко используются стандартные штифты различных форм, типов из различных конструкционных материалов, а также штифтовые конструкции индивидуального литья. Схематически установка штифта проиллюстрирована на рис. 1.
Некачественная установка штифта может привести к серьезным отклонениям: перелому корня зуба, нарушению фиксации (расцементирование), перелому корня зуба (откол части стенки корня), нарушению фиксации материала искусственной культи коронковой части зуба, перфорации стенок канала корня, возникновению рецидивирующего кариеса коронковой и корневой частей зуба, локализованному воспалению и ретракции десны (расширение лунки), прогрессированию атрофии кости в области шейки зуба, изгибу и перелому штифта.
На основе собственного клинического опыта авторы работы создали новую конструкцию штифта, имеющего вкладку (рис. 2, б). В целях улучшения адгезии цемента и ножки штифта предлагается использовать поверхностное напыление, создаваемое ионно-плазменным методом. Создание такого промежуточного слоя призвано не только увеличить прочность соединения, но и улучшить распределение передачи жевательных усилий на корень зуба и окружающие его ткани. Однако обоснование того, что предлагаемый тип штифта с вкладкой, а также нанесенное напыление имеют положительный клинический эффект, невозможно без объективного биомеханического анализа функционирования рассматриваемой системы. Поскольку большинство осложнений после установки штифта и наиболее часто встречающиеся нарушения имеют исключительно механическую природу, они могут рассматриваться как проблемы механической прочности. В связи с этим логично подходить к решению проблемы установки штифта с точки зрения механики деформируемого твердого тела.
Для сравнения авторы данной работы кроме предлагаемой штифтовой конструкции с вкладкой рассматривают конусообразный штифт, также широко применяемый в клинической практике (рис. 2, а). Подробности постановки и нюансы изложены в работе [19].
Рис. 1. Схематическое изображение установки Рис. 2. Рассматриваемые в работе типы штифтов: штифтовой опоры для искусственной коронки а - конусообразный штифт, б - штифт с вкладкой
Рис. 3. Схематическое изображение принятых граничных условий модели
При установке штифта удаляется коронка зуба, он депульпируется, затем обрабатывается канал (ему придается необходимая для установки штифта форма) и с помощью цемента в подготовленную область устанавливается ножка штифта. Впоследствии на коронку штифта крепится искусственная коронка зуба.
В данной работе рассматривается плоская модель резца, рассеченного в сагиттальной плоскости. Модель состоит из покрывной конструкции, искусственной культи зуба, препарированного корня зуба, слоя периодонта, фрагмента нижней челюсти и штифта. В работе рассматриваются два вида форм ножки штифта. Геометрия моделей при установке обоих типов показана на рис. 2. При этом авторы исследования считают, что поведение системы описывается теорией упругости для малых деформаций. В работе не рассматриваются температурные эффекты, сопровождающие процесс употребления холодной и горячей пищи.
На зубы действуют различные нагрузки. Их величина изменяется в зависимости от расположения зуба (резец, премоляр или моляр), выполняемой им функции (откусывание или измельчение пищи), типа употребляемой пищи, возраста человека, его пола, состояния всей зубочелюстной системы в целом и отдельных ее компонентов. В данной работе авторы следуют устоявшейся практике в научных исследованиях биомеханики зубочелюстной системы и принимают усредненные значения нагрузок, приходящихся на зуб. По данным работы [35] можно считать, что вертикальная нагрузка для резца составляет 315 Н, а горизонтальная - в 3,5 раза ниже, т.е. порядка 9G Н. Анализ и сравнение штифтов в данной работе авторы проводят преимущественно для действия горизонтальной нагрузки, поскольку из практики известно, что в наибольшей степени утрате прочного контакта между штифтом и корнем зуба из-за разрушения цемента способствует именно это направление силы [4].
Кинематические граничные условия выбраны в соответствии с рис. 3.
Для получения данных о напряженно-деформированном состоянии в принятой модели используется метод конечных элементов, реализованный в пакете программ Earth и PrMech.
Для того чтобы проанализировать влияние материала штифта на состояние цемента, пограничного слоя, корня зуба, периодонта, производился расчет напряженно-деформированного состояния при указанных выше предположениях и для различных модулей упругости материала штифта от 20 ГПа до 15G ГПа с шагом 10 ГПа. Таким образом в рассмотрение попали такие материалы, как сталь (21 ГПа) и золото (1GG ГПа). Особое внимание было обращено на сплавы титана (110 и 150 ГПа) и цирконий (101 ГПа). В данном случае авторы уклоняются от детального
рассмотрения материального многообразия как самих материалов, так и их подвидов вместе с изобилием свойств, поскольку, очевидно, это не является первоочередной целью работы.
На построенной модели с учетом сделанных предположений с помощью метода конечных элементов был произведен расчет напряженного состояния на основе теории упругости для 14 вариантов модулей упругости материалов штифта, для двух типов формы ножки штифта и для наличия или отсутствия нанесенного напылением слоя. Хотя авторами был получен и проанализирован набор целого ряда параметров напряженно-деформированного состояния модели, основное внимание для иллюстрации полученных результатов уделено среднему нормальному напряжению [7]
с =
(1)
как оказавшемуся наиболее показательным для сравнения рассмотренных случаев.
Сначала стоит указать на качественный характер распределения средних нормальных напряжений. Общая картина, повторяющаяся качественно для всех рассматриваемых случаев, показана на рис. 4. Во всех изображенных случаях было рассчитано среднее нормальное напряжение для циркониевого штифта при двух типах нагрузки, для обоих форм штифта и способов обработки их поверхности.
Из расчетов следует, что присутствие или отсутствие напыленного слоя не влияет качественно на распределение средних нормальных напряжений ни при горизонтальной нагрузке, ни при вертикальной нагрузке. Разные формы ножек штифта также устойчивы на качественном уровне к изменению свойств поверхностного слоя, нанесенного ионно-плазменным методом. Напряжения при горизонтальной нагрузке распределяются в цементе и поверхностном слое несколько ровнее при использовании поверхностного слоя, чем без него.
б
Рис. 4. Распределение средних нормальных напряжений под действием горизонтальной нагрузки при установке штифта с вкладкой: а -без напыления, б - с ионно-плазменным напылением
а
125000 і 100000 -75000 -50000 -25000 -0 -
-25000 1 -50000 --75000 -100000 -125000
-без обработки -с обработкой
175000
150000
125000
100000
75000
50000
25000
0
-25000
-50000
-75000
-100000
-125000
-150000
без обработки
------с обработкой
Рис. 5. Средние нормальные напряжения в комплексе «цемент и поверхностный слой» при установке конусного штифта (а) и штифта с вкладкой (б). По оси абсцисс отложено значение модуля упругости материала штифта (ГПа), по оси ординат - среднее нормальное
напряжение (Па)
175000
150000
125000
100000
75000
50000
25000
0
-25000
-50000
-75000
-100000
-125000
-150000
-слой и цемент
- — — цемент
125000
100000
75000
50000
25000
0
-25000
-50000
-75000
-100000
------слой и цемент
- цемент
Рис. 6. Средние нормальные напряжения в комплексе «цемент и поверхностный слой» и отдельно в цементе при установке штифта с вкладкой с необработанной поверхностью (а) и штифта с вкладкой с обработанной поверхностью (б). По оси абсцисс отложено значение модуля упругости материала штифта (ГПа), по оси ординат - среднее нормальное
напряжение (Па)
110
130
110
130
а
110
110
130
а
Авторы считают, что на конструкцию действуют лишь горизонтальные нагрузки, как показано на рис. 3. На рис. 5, 6 представлены диаграммы изменения максимальных и минимальных средних нормальных напряжений, возникающих во всем цементном слое, фиксирующем и удерживающем штифт. На основании представленных результатов можно отметить следующие особенности использования различных типов штифтов и обработки их поверхностей ионно-плазменным методом.
Во-первых, наибольшие и наименьшие напряжения в цементе для штифта с вкладкой меньше соответствующих значений при использовании конусообразного штифта. Но надо признать, что отличия несущественны, составляют порядка 7% при необработанной поверхности и могли бы быть отнесены к погрешности вычислений, если бы не повторяющийся регулярный характер.
Во-вторых, использование обработанного слоя приводит к снижению абсолютных значений наименьшего и наибольшего средних значений, однако для обоих рассматриваемых типов штифтов уменьшение можно считать незначительным (рис. 6, прерывистая линия), поскольку составляет от 2,54 до 3,06 % (в среднем 2,8 %) для конусообразного штифта и от 0,82 до 3,00 % (в среднем 2,48 %) для штифта с вкладкой.
В-третьих, графики на рис. 5 показывают, что в комплексе двух соприкасающихся областей «цемент» и «поверхностный слой» использование ионноплазменного метода приводит к существенным отличиям для материалов штифта с модулем упругости большим чем 100 ГПа для конусообразного штифта и 80 ГПа для штифта с вкладкой. Как видно из диаграмм, средние нормальные напряжения существенно снижаются, если использовать обработку поверхности. Для
конусообразного штифта снижение составляет от 8 до 24%, для штифта с вкладкой - от 12 до 40%.
Данные, сведенные в диаграммах на рис. 6, показывают, что для штифта с вкладкой при необработанной поверхности максимальные и минимальные значения средних нормальных напряжений в комплексе «цемент и поверхностный слой» при более жестких материалах штифта локализуются в поверхностном слое. В это же время для того же типа штифта при обработанной поверхности максимальные и минимальные значения почти во всех случаях создаются в цементе. Это является, с одной стороны, положительным эффектом, поскольку позволяет говорить о более высоком запасе прочности самого слоя, прочностные характеристики которого из-за сложной структуры еще требуют исследования. Но, с другой стороны, цемент не обладает высокими прочностными показателями и может быть разрушен, однако, как показывают расчеты, при правильной установке все равно остается достаточно высокий запас надежности.
Отмеченные после установки штифтовой конструкции осложнения в виде расшатывания зуба заставили обратить внимание на то, как повлияет выбор материала обрабатываемого штифта на состояние периодонта. Оказалось, что упругость материала штифта практически не влияет на деформации и напряжения, создаваемые в периодонте при вертикальной и горизонтальной нагрузках. Так, согласно расчетам, изменение первого инварианта напряжений составляет 2-3% при выборе упругих свойств материала штифта в диапазоне от 20 ГПа до 150 ГПа. Причем на этот результат не влияет тип устанавливаемого штифта и способ обработки его поверхности.
Актуальным вопросом является долговременная циклическая прочность. Для ее оценки авторы пользуются условием потенциальной энергии изменения формы тела при переходе из упругого в пластическое состояние (теория Губера-Мизеса-Генки). В соответствии с ним критерием возникновения пластических деформаций принимается потенциальная энергия формоизменения. Тогда условие пластичности принимает вид [14]
где ajj - предел текучести материала. Однако, учитывая тот факт, что штифт и окружающие его элементы работают в условиях постоянно изменяющегося циклического нагружения, вместо предела текучести a j в формуле (2) следует использовать предел симметричной циклической усталости, который по оценкам для режима жевания можно оценить как a_ = 0,28• 0,7-aj [7]. Авторы данной работы
рассматривают прочность только цементного слоя для обоих типов штифтов и для обоих типов поверхностей на каждом из них. По данным работы [9] предел текучести материала цемента Lute It составляет 53 МПа, т.е. a_ = 10,4 МПа.
Принимая во внимание полученные числовые значения, а также оценку пределов прочности для дентина, титана и кортикальной кости, необходимо отметить, что в любом случае величины напряжений, полученные в данном исследовании, не вызывают беспокойства в плане разрушения от нагрузок кортикальной, губчатой костной ткани, периодонта, штифтов, в том числе при горизонтальной нагрузке. Эти результаты хорошо согласуются на качественном уровне с результатами работы [9]. Запас прочности оказывается достаточным даже с учетом цикличности нагружения.
В результате анализа напряженно-деформированного состояния плоской модели предложенных штифтовых конструкций можно сделать несколько важных выводов, подтверждаемых практикой.
(2)
В отношении прочности соединения цемента со штифтом результаты наглядно показали, что использование ионно-плазменного метода существенно снижает усилия в комплексе «цемент и поверхностный слой» (на величины порядка 10-40%). Это достаточно заметные значения, чтобы не пренебрегать ими на практике. Тогда можно сделать вывод о том, что для увеличения срока качественной работы установленного штифта предварительная подготовка поверхности в виде напыления может восприниматься как необходимость.
Согласно оценке запаса прочности цементной фиксации следует признать, что при принятых размерах штифта, корня зуба и толщины цементирующего слоя (0,1 мм) запас прочности достаточно высок при всех случаях: разных типах и материалах штифтов, способах обработки поверхности. Объяснить это можно как высоким запасом прочности используемых материалов, так и тем, что при расчете напряженно-деформированного состояния используется геометрически плоская модель. Тем не менее нельзя не заметить определенной тенденции: обработка поверхности штифта с вкладкой улучшает качество его фиксации цементом, что согласуется и с иными результатами расчетов [9]. Даже если считать, что при циклическом нагружении предел прочности снижается на 80% относительно соответствующего значения для квазистатического нагружения [7], все равно полученные напряжения с большим запасом удовлетворяют условию невозникновения пластических деформаций и последующего разрушения цемента. Тогда причину разрушения цемента как одного из частых негативных последствий некачественной установки штифта следует искать в использовании некачественного цементирующего вещества, неправильном подборе толщины цементного слоя вплоть до его отсутствия в отдельных местах поверхности штифта, неровной установке корня штифта в подготовленную полость в корне зуба, возникновении полостей или неоднородностей в массе цемента при его застывании. Механических причин для разрушения цементного соединения при качественном выполнении всех работ авторы не видят. Однако важно, что использование нового типа штифта в пять раз увеличивает запас прочности, оставляя тем самым ресурс для неизбежных ошибок при установке штифта. Таким образом, расчеты показывают, что отдаленные последствия использования штифта с вкладкой должны давать более благоприятную статистику по сравнению с конусообразной конструкцией.
Некоторым недостатком использования нанесенного слоя является тот факт, что тогда в объеме цементе и в поверхностном слое в первом возникают экстремальные значения средних нормальных напряжений. Однако уже упомянутый запас прочности обеспечивает качественную работу данного типа конструкции.
Также в результате расчетов было показано, что на расшатывание зуба не может влиять тип штифта, способ обработки поверхности его и материал ножки штифта и цемента. Следовательно, возникновение осложнений в виде расшатывания зуба, вероятно, следует связывать с тем, что неправильно рассчитана нагрузка на штифт. Это может произойти, к примеру, если штифт использован для опоры мостовидного протеза, испытывающего слишком большие жевательные усилия, или если состояние пародонта является неудовлетворительным вследствие какого-либо заболевания. В таком случае следует ставить вопрос вообще о целесообразности установки штифта, а не о его параметрах.
Клинические проблемы, возникающие после использования штифтовой конструкции для восстановления функции зуба, по-видимому, вызваны тем, что реальная установка штифта не идеальна и не соответствует идеализированному варианту расчетной схемы, использованной в статье, а именно: неравномерно
распределяется цемент, образуются незаполненные поры, корень зуба имеет недостаточный объем и пр. Следовательно, как раз на условия использования штифта и
качество исполнения следует обратить особенное внимание стоматолога-ортопеда при принятии решения и выполнении операции.
В заключение этой части работы авторы хотят отметить некоторые моменты, оставшиеся за пределами учтенного, рассмотренного и изложенного в данной работе:
1. Напряженно-деформированное состояние характеризуется многими параметрами, а не только средними нормальными напряжениями. Компоненты деформации и перемещений при детальном рассмотрении могли бы дать ответы на какие-то новые вопросы, не поставленные в данной статье.
2. Не удалось обнаружить и проанализировать механические причины разрушений корня. Остается лишь пока согласиться с тем, что его разрушение, скорее всего, связано с недостаточной толщиной сохраняемого при операции слоя дентина.
3. На практике используется огромное количество типов и подтипов штифтов, каждый из которых имеет свои преимущества, но рассмотреть все из них не представляется возможным в рамках одной статьи.
4. На данный момент продолжает модернизироваться список материалов, используемых для цементирования штифта. Имеющиеся в распоряжении авторов данные говорят о том, что если упругие характеристики у них и близки, то адгезионные и прочностные данные существенно отличаются. Поэтому открытым остается вопрос об оптимальном выборе материала цемента, тем более что толщина фиксирующего слоя также может варьироваться специалистом, выполняющим операцию.
5. Современные компьютерные технологии позволяют моделировать не только плоские объекты, но и объемные. Результаты, полученные при пространственном моделировании, очевидно, более характерны, но далеко не всегда оправдывают усилия, потраченные на построение соответствующей расчетной схемы.
Все перечисленное выше говорит не о недостатках представленной работы, а о направлениях дальнейших исследований с целью не только увеличить их научную ценность, но и повысить качество лечения.
Более подробно результаты и выводы изложены в работе [19].
Расчет эффективности вкладки
При возникновении больших дефектов жевательной поверхности зуба (сколы, обширный и глубокий кариес) в современной стоматологии применяют технологию установки вкладки (рис. 7). Однако огромный опыт их использования не избавил этот тип восстановления поверхности зуба от ряда возможных негативных последствий: выпадения вкладки (расцементирование), откола эмали зуба, возникновения кариеса на поверхности эмали в области ее контакта с материалом вкладки и пр. Поэтому кажется очевидной актуальность анализа и последующего проектирования формы и материала вкладки, способа ее крепления с целью минимизировать вероятность появления приведенных выше нежелательных осложнений.
В последнее время в ортопедической стоматологии стал активно использоваться цирконий. Обладая хорошими свойствами в отношении биологической инертности, он имеет высокие механические свойства и удобен в клинической практике [20]. Поэтому авторы данной работы предлагают обратиться к анализу работы вкладки, изготовленной из такого материала.
Дополнительной особенностью исследования практических задач стоматологии с позиции биомеханики является выделение фактора, воздействующего на объект анализа: силовой и/или температурный. В действительности, до сих пор остается не выясненным до конца вопрос, какой из них оказывает наибольшее влияние на запуск и протекание процессов разрушения. Так, многочисленные исследователи [27, 30, 41]
рассчитывают поведение зубочелюстной модели под воздействием силового нагружения, вызванного жеванием. Намного скромнее список работ, к примеру [28], в которых рассматривается температурное воздействие. Однако из результатов упомянутых исследований не следует, что тепловое или силовое воздействие имеет преобладающее значение, на которое нужно ориентироваться при проектировании того или иного метода лечения какого-то поражения или заболевания в области зубов и окружающих их тканей. Правда, следует отметить, что «чистое» силовое воздействие встречается в таких работах чаще.
В этой части работы исследуются основные причины, приводящие к негативным последствиям установки вкладки. А именно рассматривается основной вопрос: какой из механических факторов (сила или температура) оказывает наибольшее негативное воздействие на состояние эмали. Для этого создается трехмерная модель расчетной схемы премоляра по выбранному образцу и на основе теории термоупругости моделируется процесс силового нагружения и нагрева системы зуб-вкладка.
Структура расчетной схемы
Для расчета предлагается модель, полученная по реальным размерам премоляра (двухкорневого зуба). В рассматриваемую расчетную схему включены зуб, сама вкладка и фиксирующий ее цемент. Зуб представлен в виде конструкции из эмали и дентина, в которых подготовлены полости для установки вкладки (см. рис. 7). Никакие иные компоненты (альвеолярный отросток, нижняя челюсть, зубы-антагонисты) зубочелюстной системы в данной работе не рассматриваются, поскольку они либо достаточно удалены от области интересов исследования (вкладки), либо моделируются в виде соответствующих граничных условий. Дополнительной особенностью моделирования дентина в этой работе является введение полого канала для имитации механической работы пульпы.
В механических задачах вообще и, особенно, в задачах биомеханики важной частью проведения расчетов в соответствии с выбранной моделью является конкретизация граничных условий, которые необходимы для того, чтобы передать на исследуемое тело силовую или температурную нагрузку.
Пищевой комок
Вкладка
Цемент
Эмаль
Дентин
Традиционно выбор граничных условий в задачах биомеханики требует анализа и предположений, поскольку приходится вычленять интересующую область из более общей биомеханической системы, обладающей в целом сложной геометрией и нетривиальным движением. В этих условиях не всегда возможно заранее, не решая задачи, определить точки (области) с известным перемещением или напряжением. Зачастую этот вопрос исследователи решают интуитивно или на основании эксперимента.
Одно из принципиальных решений данной проблемы - это отдаление границ от рассматриваемой области. Тогда согласно принципу Сен-Венана способ задания граничного условия будет в меньшей степени влиять на результат в интересующей исследователя области.
В данной работе авторы предлагают во всех моделях считать неподвижными наружные поверхности корней зуба. Температура считается постоянной и равной 36,6? С по каналу пульпы в массе дентина.
В отношении формирования нагрузки на коронку зуба авторы предлагают использовать новую идею: ввести в рассмотрение идеализированный фрагмент пищи или употребляемой пациентом жидкости, на который и действует необходимая нагрузка (см. рис. 7).
Другой важной особенностью является постановка в соответствии друг другу силовых и температурных граничных условий, поскольку стоит задача сравнения их влияния на зуб. Конечно, приуменьшив одно воздействие и преувеличив другое, можно добиться практически любых результатов. Ведь сравниваемое температурное воздействие никак не может быть связано с предполагаемым усилием жевания. Поэтому авторы предположительно выбрали жевательное усилие, равное 200 Н на рассматриваемый зуб, и температуру 60? С. Эти данные авторы представляют как усредненные. Но в этом случае, как показали результаты, заметно отличие температурного и силового воздействий.
Результаты
Описанная выше расчетная схема со всеми указанными значениями материальных свойств и вариантов граничных условий была смоделирована численно с помощью метода конечных элементов как пространственная структура. Ниже авторы представляют иллюстрации к полученным данным, сопровождая их необходимыми комментариями.
Для иллюстрации и оценки результатов могут использоваться различные параметры напряженно-деформированного состояния. Авторы выбрали инвариант тензора напряжений - напряжение по Мизесу и максимальное нормальное напряжение.
Для того чтобы оценить эффект, создаваемый в зубе с вкладкой температурным или силовым воздействием, авторы сначала рассматривают полноценный здоровый зуб, имеющий целые эмаль и дентин. На рис. 8 показаны распределения на поверхности первого инварианта тензора напряжений.
Очевидно, распределение первого инварианта тензора напряжений (а также иных факторов, здесь не указанных) при температурной нагрузке менее благоприятно, поскольку большие значения в случае силовой нагрузки вызваны лишь краевыми эффектами (рис. 10, 11).
4.229е+007 Ш. 3.877е+007 . 3.625 е+007 .3.172Є+007 .2.820е+007 .2.467е+007 .2.115Є+007 .1.762Є+007 . 1.410е+007 .1.057Є+007 І.7.050Є+006 Ш.3.526Є+006 11.213е+003
3.603Є+ОО7 Ш. 3.376е+007 .3.069е+007 . 2.763е+007 .2.456Є+007 ..2.149е+007 . 1.842Є+007 .1.535е+007 .1.229Є+007 . 9.218е+006 .6.150е+006 Ш.3.082Є+008 Ш. 1.428е+004
Силовое нагружение Температурное нагружение
Рис. 8. Первый инвариант тензора напряжений а
Рис. 9. Распределение температуры по объему цемента
Имя модели: Зуб + паз во к кладке Имя упражнения: Сило бое нагружение Тип эпюры: Проверка проектирования Построениеі Критерий: Максимальное усилие уоп Міїєї
Распределение запаса прочности: Мин. коэффициент запаса прочности = 17
Имя модели: Зуб + паз во вкладке Имя упражнения: Температурное нагружение Тип эпюры: Проверка проектирования Построениеі Критерий: Максимальное усилие уоп Міїєї
Распределение запаса прочности: Мин. коэффициент запаса прочности = 22
I
.000е+002 9.352е+001 .703е+001 .8.055е+001 .7.406Є+001 .6.758Є+001 . 6.110е+001 .5.461 е+001 . 4.81 Зе+001 .4.164Є+001 . 3.516е+001
Ё 2.868е+001 2.219е+001
а б
Рис. 10. Оценка запаса прочности по нормальному напряжению при силовом (а) : температурном (б) нагружениях
У
У
Теперь рассматривается зуб с установленной в него вкладкой из циркония. Так, на рис. 9 проиллюстрировано распределение температуры по объему цемента при квазистатическом температурном нагружении.
На основании расчетов и полученных числовых значений можно со всей определенностью сделать следующие выводы.
1. Критерий максимального нормального напряжения дает результат, при котором эмаль зуба должна начать разрушаться уже при употреблении напитков или пищи с температурой около 60? С. Однако этого не происходит, и объяснение этому
авторы видят в том, что такой критерий плохо применим для таких существенно неизотропных материалов как эмаль.
Имя модели:.Зуб + паз во вкладке
Имя упражнения: Силовое нагружение
Тип эпюры: Проверка проектирования ПостроениеЗ
Критерий: Максимальное касательное усилие
Распределение запаса прочности: Мин. коэффициент запаса прочности =
Имя модели: Зуб + паз во вкладке
Имя упражнения: Температурное нагружение
Тип эпюры: Проверка проектирования ПостроениеЗ
Критерий: Максимальное касательное усилие
Распределение запаса прочности: Мин. коэффициент запаса прочности =
I
Л00е+С Э.177е+С .355Є-К . 7.532е+С . 6.71 Ое+С . 5.687Є+С . 5.065е+С . 4.242е+С . З.420е+С . 2.597е+С . 1.775е+С 19.522е+С 11.297Є+С
ЛООе+002 9.175е+001 .349е+001 _7.524е+001 .6.699Є+001 ІЗ .0746+001 .5.043Є+001 .4.223е+001 .3.398е+001 . 2.57Зе+001 .1.7470+001
Ё- 9.222Є+000 9.697Є-001
У
У
а б
Рис. 11. Оценка запаса прочности по максимальному касательному усилию при силовом (а) и
температурном (б) нагружениях
2. С помощью расчетов было показано, что температурное воздействие на зуб приводит к более негативным последствиям, нежели силовое нагружение.
Более подробно результаты и выводы изложены в работе [8].
Задачи управления напряжениями в биомеханике
Задача 1. Оптимальная конструкция мостовидного протеза
После исследования механических особенностей вторичной деформации [3] была выдвинута следующая гипотеза о ее причинах: зуб должен восприниматься как элемент всей зубочелюстной системы в целом. В норме при целостном зубном ряде на зуб действует комплекс нагрузок различной природы: усилия со стороны пищи, усилия со стороны соседних зубов и зубов-антагонистов, усилия со стороны костных тканей альвеолярного отростка, передаваемые через слой периодонта. Все вместе данные усилия образуют уравновешенную (в среднем по времени) систему сил. Геометрия, механические свойства и иные параметры зубочелюстной системы соответствуют гомеостатическому состоянию, которое обладает способностью сохраняться достаточно продолжительное время, если не возникает каких-либо непреодолимых регуляционными механизмами отклонений. Исчезновение какого-либо зуба (нарушение целостного зубного ряда) приводит к тому, что какие-то из усилий, перечисленных выше, либо изменяются, либо исчезают вовсе. Но адаптационные механизмы организма обладают определенной инертностью, их реакция не может быть мгновенной. Поэтому, когда нарушается гомеостатическое состояние, в элементах зубочелюстной системы возникают новые напряжения, отличающиеся от тех, которые возникают при равновесии в норме. Изменение напряжений (вместе с механическими деформациями) запускает механизмы перестройки и адаптационного роста, которые, в свою очередь, изменяют форму и положение лунки и самого зуба.
В результате оказывается, что существенной отличительной особенностью предлагаемого описания является учет всего комплекса механических напряжений и деформаций, возникающих в твердых тканях, окружающих зуб. Поэтому следует
рассматривать не силы, действующие на зуб, а напряжения, возникающие вокруг него в области альвеолярного отростка. И при описании вторичной деформации авторы предлагают рассматривать лишь твердые ткани альвеолярного отростка, подверженные действию усилий со стороны мышц в местах их крепления и со стороны зуба, передающего через слой периодонта весь комплекс воспринимаемых им нагрузок. То есть задача биомеханического описания причин вторичного деформирования должна формулироваться и решаться как задача механики деформируемого твердого тела.
Определившись с причинами вторичной деформации, которые видятся как исключительно механические, если в основе процесса лежит лишь утрата какого-либо из зубов, нужно ставить насущный вопрос о способах лечения таких пациентов. Естественный способ привести зубной ряд в норму - это установить в ротовой полости конструкцию, восстанавливающую целостность и непрерывность жевательной поверхности. Существует множество способов того, как это можно сделать. Остановимся лишь на использовании мостовидного протеза, когда на соседние с вакансией зубы устанавливаются коронки (называемые опорными), между которыми устанавливается перемычка. На ней формируется поверхность, повторяющая анатомическую форму жевательной поверхности утраченного зуба.
Одной из наиболее трудных и неоднозначных клинических проблем является выбор такой конструкции протеза, при которой в объеме кости не должны возникнуть описанные выше процессы. Другими словами, зубы не должны смещаться относительно челюсти, не должны со временем расшатываться, сочленение протеза с зубом, перемычки с коронками должно обеспечивать долговременную прочность.
К сожалению, несмотря на то, что решение о выборе конструкции оказывается столь ответственным, практически этот вопрос решается на основе опыта врача и его предпочтений. Хотя, очевидно, что здесь обязательно должны производиться объективный анализ протезирования с позиции биомеханики и расчет на основе выбранного критерия оптимальности. Тем более, что сегодня оказание медицинской помощи имеет направленность на индивидуальный подход к лечению.
Авторы предлагают рассматривать проблему оптимального протезирования как проблему управления напряжениями в следующем виде. В костной ткани после протезирования должны создаваться напряжения, наиболее близкие к тем, что возникали в ней при нормально функционирующем зубном ряде. В области же протеза напряжения должны быть таковы, чтобы обеспечивалась его прочность. Оптимальные напряжения в костной ткани могут быть получены при расчете напряжений по модели с полным зубным рядом, а необходимые напряжения в протезе могут выбираться по-разному, в частности, имеет смысл стремиться к равномерному напряженному состоянию.
Достижение же заданной цели в терминах напряженного состояния возможно варьированием целого ряда параметров: формы обработки зубов под коронку, способа и места крепления перемычки, материала протеза целиком или его отдельных компонентов. Однако с точки зрения математического моделирования все эти проблемы можно свести к распределению механических свойств в объеме протеза и частично в объеме коронок опорных зубов.
Задача 2. Перестройка костной ткани
Достаточно давно исследователи и практикующие врачи столкнулись с таким процессом, как перестройка в костной ткани. Под перестройкой обычно понимают весь комплекс химических, биологических и механических процессов, приводящих к изменению формы и свойств костного образования. Среди причин, вызывающих перестройку, обычно выделяют изменившийся характер нагрузки на рассматриваемую
область, в частности, при естественном формировании костного образования в процессе роста. Так, клинический опыт ортопедической хирургии показывает, что у пациента, лишенного в течение долгого времени движения, возникает механическое ослабление костной ткани в нижних конечностях, которое выражается в снижении плотности минеральных солей. Изменения становятся заметными на рентгенограмме по увеличивающейся проницаемости материала кости.
Правильное моделирование процесса перестройки позволило бы строить надежные прогнозы направления и интенсивности изменения свойств ткани. Также необходимый процесс реабилитации после долгого бездействия конечности должен производиться с учетом того, что кость должна восстановить свою прочность, не подвергаясь при этом разрушению. Тогда возникает вопрос об управлении процессом перестройки, которое также опирается на ее адекватное моделирование.
Сложившаяся традиция исследований в данном направлении [45, 46]
заключается в том, что к построенной модели квазистатического поведения тела кости добавляется уравнение перестройки. Суть этого уравнения - описание скорости изменения свойств кости через изменение некоторых параметров напряженно-деформированного состояния, называемых в этом случае стимулом перестройки. Известны модели описания перестройки на основе таких стимулов, как отличие актуальных напряжений или деформаций от гомеостатических значений, неравномерность напряжений и деформаций, отклонение плотности энергии деформации от заданного значения и прочие [45, 46].
Помимо того что выбор типа самого уравнения представляет собой определенную проблему, его использование требует определения ряда констант (коэффициентов пропорциональности, показателей степени и прочих).
Авторы данной работы, понимая всю многогранность, трудность и актуальность проблемы описания процесса перестройки, предлагают следующий взгляд на механический фактор перестройки.
Будем считать, что в процессе перестройки костная ткань (или какая-то ее часть) стремится достигнуть некоторого состояния, характеризуемого выбранным параметром напряженно-деформированного состояния, выраженным через напряжения. Тогда процесс перестройки означает достижение этих напряжений с помощью создания таких свойств собственно костного материала, которые обеспечили бы создание в ней требуемого уровня и распределения напряжений. К примеру, напряженными состояниями, которых кость стремится достигнуть в процессе перестройки, могут быть равномерность распределения напряжений по объему или минимум пиковых напряжений.
В приведенной принципиальной постановке задача имеет вид задачи управления напряжениями и не требует построения уравнения перестройки. Это представляет существенное преимущество. Однако такой подход не позволяет моделировать протекание самого процесса перестройки.
Задача 3. Вкладка
Ранее авторы представили анализ механической работы вкладки, замещающей части эмали и дентина, удаленные в результате лечения обширного травматического или кариозного поражения зуба. Однако практика применения вкладок сталкивается с возможностью широкого варьирования таких параметров, как материал вкладки, размеры и форма подготавливаемой области, использование пазов в теле вкладки (см. рис. 7), нанесение мелких неровностей на поверхность вкладки и многое другое. Очевидные цели лечения - восстановление жевательной поверхности зуба и обеспечение долговременного использования вкладки - должны достигаться за счет
грамотного и индивидуального выбора из указанного набора параметров, оптимально решающего задачи установки вкладки.
Условия эксплуатации вкладки характеризуются циклическими силовым и температурным нагружениями. В результате чего со временем во вкладке, по границе с цементом, могут образовываться трещины, приводящие к разрушению вкладки или ее потере. Поэтому цель проектирования вкладки за счет указанных параметров - это обеспечение долговременной прочности конструкции зуб (эмаль+дентин)-цемент-вкладка. Тогда формируется задача достижения такого уровня напряжений по всей системе и по наиболее опасным областям (цемент), который гарантировал бы функционирование вкладки на протяжении заданного времени.
Задача 4. Задача оптимизации штифтовой конструкции
В действительности, проблемы подготовки и установки штифта в корень зуба по своей механической сути идентичны проблеме установки вкладки, описанной только что: цель - обеспечение долговременной прочности, параметры задачи - материал, форма штифта, тип цементирующего материала и т.д. (см. задачу 3). Отличия заключаются в том, что практика использования и механического анализа штифтов показала слабость не только цементного соединения, но и остатков корня зуба. Поэтому варьирование параметров конструкции должно происходить при условии выполнения прочностных требований для дентина корня зуба.
Оптимальное управление напряжениями в задачах ортопедической стоматологии
Задача упругости с собственными деформациями. Общая постановка и способ решения проблемы управления напряжениями
Как и большинство других задач в области биомеханики, работы, связанные с моделированием и вычислением напряжений в живых тканях, в перспективе ориентированы на постановку и решение задач управления или оптимизации. Последние в биомеханике представляют огромный пласт перспективных проблем.
Рассмотрим общую постановку задачи управления напряжениями в теле, поведение которого смоделировано обобщенной постановкой теории упругости с собственными деформациями. В деталях эта постановка для произвольных тел вообще и для объектов анализа в биомеханике приведена в работе [16]. Ниже представлены ее основные элементы.
Постановка краевой задачи определения биологических напряжений
Теоретическое исследование различных аспектов биологических напряжений в данной работе основывается на результатах анализа напряжений и деформаций, который проводился учеными разных стран (С. Тимошенко [21], В. Новацкий [15],
А. Коваленко [10], Б. Боли и Д. Уэйнер [1], Я. Подстригач [6], Я. Бурак [2], А. Поздеев [17] и др.) в течение ряда лет. В частности, близким к названным проблемам биомеханики оказался вопрос о температурном нагреве, который не вызывает температурных напряжений. В работе Т. Мура [36] такая температурная деформация была названа импотентной. Ученые Венского технического университета (Э. Мелан, Х. Паркус, Ф. Циглер, Х. Иршик, Ф. Раммерсторфер и др.) [12, 32, 33, 38] внесли существенный вклад в теорию математического моделирования и оптимального управления для температурных напряжений, деформаций и перемещений. Недавно было разработано новое приближение к этим задачам, основанное на методе
В. Майзеля [11] (см. работы Ф. Циглера и Х. Иршика [31, 50]). Было введено понятие нильпотентного нагрева как нагрева, не вызывающего деформации (в этом случае сумма температурной и силовой деформаций должна быть равна нулю). Все указанные работы основаны на дифференциальной постановке краевой задачи термоупругости и соответствующем классическом решении задачи.
Иной подход к исследованию напряжений, основанный на понятиях функционального анализа в гильбертовых пространствах и обобщенном решении задачи, был разработан учеными г. Перми (А. Поздеев, Ю. Няшин, П. Трусов) [17]. Этот подход был использован для моделирования и управления остаточными напряжениями в задачах термоупругопластичности. Был решен ряд задач управления остаточными напряжениями в технологических процессах обработки металлов давлением (горячая прокатка двутавровых балок, холодное волочение проволоки и др.). Эти результаты собраны и приведены в работе [17]. В данной работе этот подход будет использован для решения задачи об исследовании и управлении биологическими напряжениями и ростовыми деформациями.
Пусть исследуемое тело занимает ограниченную область О трехмерного евклидова пространства Е3. Замыкание области обозначим через О, границу (которая считается достаточно гладкой) - через Г ( О = О ^ Г ).
Классическая постановка
1) Уравнение статического равновесия внутри области
Б1уа + 0 = 0, г е О, (3)
~ -*• -*• 3
где а - симметричный тензор напряжений, 0 - вектор объемной силы, 0 е (С(О)) . В формуле (3) и далее величины а, , и считаются функциями координат,
представленными радиусом-вектором г е О .
2) Деформации будем считать малыми и аддитивными, т.е. тензор малой
деформации представляется в виде суммы тензоров упругой е и неупругой 1 деформации
~~ = е + 1, г еО, (4)
где под 1 следует понимать деформацию роста ткани или температурную,
пластическую деформацию, деформацию ползучести, деформацию от фазовых превращений, деформацию, созданную при перестройке в живой ткани и т.д. В работе Т. Мура [36] эти деформации называются собственными деформациями (eigenstrain).
3) Упругие деформации связаны с напряжениями законом Гука
а = С • • е, Г еО, (5)
где С - четырехвалентный тензор модулей упругости, Ст е С1(О) .
4) Соотношения деформация-перемещения записываются в рамках линеаризованной теории
(и) = 2 (У и + и V), Г е О, (6)
г 2 — 3
где и - вектор перемещения, и е (С (О)) .
Заметим, что компоненты тензора деформации удовлетворяют условиям совместности деформаций, которые эквивалентны обращению в нуль компонент
тензора второго ранга rot (rot s )T [13] (при условии существования вторых
производных по координатам от компонент деформации):
rot(rot s)T = 0, r є Q . (7)
5) Будем считать, что граница области Г делится на две взаимно
непересекающиеся части Г = Ги +Га. На части границы Ги заданы кинематические
граничные условия, на части Га задан вектор напряжений P є (C(Га ))3 :
и = ° r єГи, (В)
n-а=P, r єГа. (9)
6) Будем считать, что деформации s1 могут быть выражены в виде
функциональной зависимости
s 1 = f (t, r, <5 ). (10)
Так, в частности, температурные деформации є T є (C1(Q))6
T
ґТ
s T =|at (T)dT , r є Q,
To
где ат (Т) - тензор коэффициентов линейного теплового расширения как функция
температуры Т; Т - температура, при которой тело находится в естественном
(ненапряженном и недеформированном) состоянии.
Обобщенное решение задачи
Назовем обобщенным решением задачи теории упругости с собственными деформациями тензор а, который представим в виде
а = С --(в(и)-1), (11)
Г 13— Г
где и е (^2 (О)) , и = 0, г еГи , и имеет место соотношение
|а--в(й)ё¥ -| Р• -|0= 0, (12)
О Га О
V й е (^2 (О))3, й = 0, Г еГи .
1 3
Здесь (^2 (О)) есть соболевское функциональное пространство функций
с обобщенной производной, причем сами функции и их производные суммируемы
в квадрате. Деформации (и) и (й) определяются линеаризованными
геометрическими соотношениями (6), где производные понимаются в смысле распределений (или, другими словами, как обобщенные производные). Заметим, что значения функций на границе понимаются с помощью оператора следа,
Р е (12(Га ))3, 0 е (12(О))3.
Задача управления напряжениями
Сама задача управления напряжениями имеет следующую формулировку: пусть теперь тензор а известен, причем для него выполняются условия (12) (или (3) и (9)).
Требуется определить деформации в1 или свойства С (г) так, чтобы выполнялось соотношение (3) или (11).
Метод решения задач управления напряжениями
Рассмотрим множество Н симметричных тензоров второго ранга. Пусть компоненты тензоров являются вещественными функциями пространственных
координат и принадлежат функциональному пространству I2, тогда совокупность компонент тензора А принадлежит пространству (і2 )6: А є (і2)6.
В пространстве Н вводится скалярное произведение и порождаемая им норма
(А, в)= / Аііс^к,виау, (із)
□
N11 = ^/ ( Ац , А,:/), (14)
где Сщ - коэффициенты матрицы податливости.
Введем подпространство Ни е Н согласно следующему определению.
Симметричный тензор / є Н принадлежит подпространству Ни, если выполняется
1 3 — — —
условие: 3 и (г) є (^ (□)) : и (г) = 0, г є Ги, так что имеет место равенство
/(г) = 2(Уи +иУ), (15)
где производные понимаются в обобщенном смысле, а значение вектора и на границе Ги понимается в смысле оператора следа.
Физический смысл подпространства Ни состоит в том, что сюда входят совместные тензоры деформации, причем перемещения, соответствующие этим
деформациям, обращаются в нуль на неподвижных опорах. Легко убедиться, что подпространство Ни является линейным, так как операции сложения элементов и умножения на скаляр не выводят за его пределы.
Теорема о необходимых и достаточных условиях получения заданного поля биологических напряжений
В работе [16] была показана справедливость следующей теоремы.
Теорема 1. Пусть 5* (г) - симметричный тензор второго ранга, который
удовлетворяет соотношению (12) при заданных силах Р и ^. Введем тензор / согласно соотношению
/ = ~ *' + С “1 --5 *. (16)
Если / є Ни, то это является необходимым и достаточным условием того, что напряжения 5(г ) = 5 * (г ) имеют место в данной области □ є Е3.
Естественным следствием этой теоремы стала следующая теорема. Помимо нее был получен ряд иных полезных с теоретической точки зрения следствий, но авторы не приводят их в данной работе, а отсылают заинтересованного читателя к работе [37]. Теорема 2. Для того чтобы в точках тела не возникали биологические напряжения (5(г) = 0, г є □), необходимо и достаточно, чтобы тензор собственной деформации
в1 был совместным и соответствующие ему перемещения обращались в нуль на границе Ги.
Таким образом, авторы данной работы поддерживают тезис о единообразности математического описания температурных, остаточных, ростовых, перестроечных напряжений, имеющих место при различных процессах в живой ткани. Обоснованием такого предположения служит формализация в виде общей математической модели. Модель предполагает существование упругих деформаций, а также и неупругих: ростовых, температурных, деформаций усадки и др.
В работе [16] проведен теоретический анализ постановки задачи определения напряженно-деформированного состояния, позволивший выделить ряд основных свойств решения поставленной задачи, в частности, единственность классического и обобщенного решений.
Использование Теоремы 1 (или Теоремы 2) для построения реальных процедур поиска оптимального решения привело к получению мажорирующей оценки. Подробный вывод, основанный на функциональных свойствах решения задачи теории упругости с собственными деформациями, здесь не приводится, детали можно найти в работах [16, 34, 37, 39].
1 I
||5-5*||Н<-------М/, Л -У а, , (17)
туп^ £
гєУ
где Xтіп(г) - минимальное собственное значение тензора податливости С_1, а, -
коэффициенты разложения тензора / по базису пространства Ни .
При решении задач управления напряжениями используется функционал, выражающий правую часть неравенства (17) в некотором приближении.
Ф = К
1
(/,/) і,-Уа,2. (18)
,=1
Стремление к минимуму введенного функционала означает приближение в интегральном смысле истинных напряжений к заданным
Ф ^ тіп ^ || 5-а* || н^ тіп . (19)
Постановки задач управления напряжениями
Для описанных выше проблем биомеханики предлагаются следующие возможные формулировки задач управления напряжениями в рамках описанной модели упругости с собственными деформациями. Надо понимать, что в каждом случае постановки могут модифицироваться по мере накопления знаний о механике процесса или в результате сверки теоретических результатов с практическими.
Задача 1
Требуется определить такое поле распределения модуля упругости Е(г ) по объему протеза, чтобы напряжения, создаваемые в костной ткани вокруг рассматриваемых зубов, были бы максимально близки к значениям, возникающим в нормальной здоровой ситуации.
Задача 2
Пусть в области кости заданы напряжения а * = а * (Г). Процесс перестройки
означает создание в объеме кости распределение такого тензора C (г), который минимизировал бы функционал (18), обеспечивая возникновение в кости напряжений, близких к заданным. Характер зависимости полученных упругих свойств должен охарактеризовать тип анизотропии костного материала, определить линии анизотропии.
Также имеет смысл дополнить задачу условием минимума массы
J = |p(r )dV ^ min, (20)
V
где p(r) - плотность материала.
Задача 3
Рассматривается расчетная схема, состоящая из следующих объектов: Qd -область, занимаемая дентином, Qen - область, занимаемая эмалью, Qc - область, занимаемая цементом, и Qin - область, занимаемая вкладкой. Пусть Sc - это граничная поверхность между цементом и вкладкой. Подобласть Qd ^ Qd, соответствующая
корню зуба, имеет закрепление и = 0 по своей поверхности предполагаемого контакта с лункой. При заданном циклическом силовом и температурном нагружении на жевательную поверхность с интенсивностями 6 и T требуется определить Sc,
материал вкладки Cin и цемента Cc так, чтобы
max 6(r) ^ min . (21)
reQc SC C-
c с * с ’in
Варианты формулировки этой задачи могут включать в себя иные параметры, такие как форма подготавливаемой области или многокомпонентность вкладки.
Задача 4
Так же, как и концептуальная постановка, математическая формулировка задачи аналогична формулировке задачи со вкладкой (см. задачу 3): Qd - область, занимаемая дентином, Qc - область, занимаемая цементом, Qp - установленная на культю штифта искусственная коронка и Qs - область, занимаемая штифтом, ее поверхность Ss.
Предположим в данной формулировке, что вся внешняя поверхность дентина
соприкасается с лункой зуба и имеет по ней закрепление и = 0 . При заданном
циклическом силовом и температурном нагружении на жевательную поверхность
с интенсивностями 6 и T требуется определить Ss, материал вкладки Cin и цемента Cc так, чтобы
max 6(r) ^ min . (22)
reQc sc C-
c ^s^c^in
При этом полагается, что толщина цементного слоя постоянна и не изменяется. В качестве одного из вариантов постановки может рассматриваться постановка, в которой изменяются материал искусственной коронки, ее форма, толщина цементного слоя и форма препарирования, т.е. внутренняя поверхность области Qd .
Список литературы
1. Боли, Б. Теория термоупругих напряжений / Б. Боли, Дж. Уэйнер. - М.: Мир, 1964.
2. Бурак, Я.И. Об одной форме уравнений термоупругости в напряжениях / Я.И. Бурак, А.Р. Гачкевич // Математические методы и физико-механические поля. - 1977. - Т. 2. - Р. 73-75.
3. Вершинин, В.А. Биомеханические аспекты вторичной деформации зубов / В.А. Вершинин, В.Ю. Кирюхин, Г.И. Рогожников // Российский журнал биомеханики. - 2004. - Том 8, № 2. - 19-28.
4. Волков, В.В. Клинико-лабораторное обоснование ортопедического лечения разрушенных зубов плазмонапыленными штифтовыми конструкциями / В.В. Волков: автореф. дис. ... канд. мед. наук. -М.: Московский медицинский стоматологический институт, 1999.
5. Гаврилов, Е.И. Деформация зубных рядов. - М.: Медицина, 1984.
6. Григолюк, Э.И. Оптимизация нагрева оболочек и пластин / Э.И. Григолюк, Я.С. Подстригач, Я.И. Бурак. - Киев: Наукова Думка, 1979.
7. Демидов, С.П. Теория упругости / С.П. Демидов. - М.: Высшая школа, 1979.
8. Кирюхин, В.Ю. Конечно-элементный анализ эффективности установки вкладки для замещения дефекта премоляра / В.Ю. Кирюхин, Г.И. Рогожников, О.А. Шулятникова // Российский журнал биомеханики. - 2007. - Том 11, № 1. - С. 55-69.
9. Клепилин, Е.С. Экспериментально-клиническое обоснование штифтовых конструкций на основе стекловолокна / Е.С. Клепилин: автореф. дис. ... канд. мед. наук. - М., 2002.
10. Коваленко, А.Д. Термоупругость / А.Д. Коваленко. - Киев: Вища школа, 1975.
11. Майзель, В.М. Температурная задача теории упругости / В.М. Майзель. - Киев: Издательство АН УССР, 1951.
12. Мелан, Э. Термоупругие напряжения, вызванные стационарными температурными полями / Э. Мелан, Г. Паркус. - М.: Физматгиз, 1958.
13. Михайлов, В.Л. Дифференциальные уравнения в частных производных / В.Л. Михайлов. - М.: Наука, 1983.
14. Мразик, А. Расчет и проектирование стальных конструкций с учетом пластических деформаций / А. Мразик, М. Шкалоуд, М. Тохачек. - М.: Стройиздат, 1986.
15. Новацкий, В. Теория упругости / В. Новацкий. - М.: Мир, 1975.
16. Няшин, Ю.И. Биологические напряжения в живых тканях. Вопросы моделирования и управления / Ю.И. Няшин, В.Ю. Кирюхин // Российский журнал биомеханики. - 2002. - Том 6, № 3. - С. 13-32.
17. Поздеев, А.А. Остаточные напряжения, теория и приложения / А.А. Поздеев, Ю.И. Няшин, П.В. Трусов. - М.: Наука, 1972.
18. Пономарева, В.А. Механизм развития и способы устранения зубочелюстных деформаций. - М.: Медицина, 1964.
19. Рогожников, А.Г. Механический анализ штифтовой конструкции с ионно-плазменным напылением /
A.Г. Рогожников, В.Ю. Кирюхин, Г.И. Рогожников // Российский журнал биомеханики. - 2006. -Том 10, № 2. - С. 64-79.
20. Рогожников, Г.И. Сплавы титана в ортопедической стоматологии / Г.И. Рогожников,
B.А. Четвертных, М.Д. Кацнельсон, Н.Б. Асташина. - Пермь: Пермская госудаственная медицинская академия, 2007.
21. Тимошенко, С.П. Теория упругости / С.П. Тимошенко, Дж. Гудьер. - М.: Наука, 1979.
22. Шварц, А.Д. Биомеханика и окклюзия зубов. - М.: Медицина, 1994.
23. Штейн, А.А. Приложение методов механики сплошной среды к моделированию роста биологических тканей / А.А. Штейн // Современные проблемы биомеханики. - 2000. - Т. 10. -
C. 148-173.
24. Chaudhry, H.R. Evaluation of Residual Stress in Rabbit Skin and the Relevant Material Constants / H.R. Chaudhry, B. Bukiet, T. Findley, A.B. Ritter // Journal of Theoretical Biology. - 1988. - Vol. 192. -P. 191-195.
25. Chaudhry, H.R. Residual Stresses in Oscillating Thoracic Arteries Reduce Circumferential Stresses and Stress Gradients / H.R. Chaudhry, B. Bukiet, A. Davis, A.B. Ritter, T. Findley // Journal of Biomechanics. -1997. - Vol. 30, No. 1. - Р. 57-62.
26. Delfino, A. Residual Strain Effects on the Stress Field in a Thick Wall Finite Element Model of the Human Carotid Bifurcation / A. Delfino, N. Stergiopulos, J.E. Moore, J.J. Meister // Journal of Biomechanics. -1997. - Vol. 30, No. 8. - P. 777-786.
27. Derand, T. Stress analysis of cemented or resin-bonded loaded porcelain inlays / T. Derand // Dental Materials. - 1991. - Vol. 7, No. 1. - P. 21-24.
28. Goehring, T.N. Marginal adaptation of inlay-retained adhesive fixed partial dentures after mechanical and thermal stress: An in vitro study / T.N. Goehring, O.A. Peters, F. Lutz. // The Journal of Prosthetic Dentistry. - 2001. - Vol. 86, No. 1. - P. 81-92.
29. Gonzales-Carrasco, J.L. Thermal Oxidation Tretments in the Development of New Coated Biomaterials: Application to the MA 956 Superalloy / J.L. Gonzales-Carrasco, M.L. Escudero, J. Chao, M.C. Garcia-Alonso // Materials and Manufacturing Processes. - 1998. - Vol. 13, No. 3. - P. 431-443.
30. Hubsch, P.F. A finite element analysis of the stress at the restoration-tooth interface, comparing inlays and bulk fillings / P.F. Hubsch, J. Middleton, J. Knox // Biomaterials. - 2000. - Vol. 21, No. 10. - P. 10151019.
31. Irschik, H. Dynamic shape control of solids and structures by thermal expansion strains / H. Irschik, U. Pichler // Journal of Thermal Stresses. - 2001. - Vol. 24. - P. 565-576.
32. Irschik, H. Eigenstrain without stress and static shape control of structures / H. Irschik, F. Ziegler // AIAA Journal. - 2001. - Vol. 39. - P. 1985-1999.
33. Irshik, H. A review on static and dynamic shape control of structures by piezoelectric actuation / H. Irshik // Engineering Structures. - 2002. - Vol. 24, No. 3. - P. 5-11.
34. Kiryukhin, V.Y. Prescribed thermal stress in anisotropic and inhomogeneous elastic structures: a novel approach / V.Y. Kiryukhin, Y.I. Nyashin, F. Ziegler // Proc. 4th Int. Congress on Thermal Stresses. - 2001. - P. 577-580.
35. Konyuchova, S.G. Substantiation for the Application of the Porous Inserts into the Plate Implants According to the Strength Condition / S.G. Konyuchova, G.I. Rogozhnikov, Y.I. Nyashin, S.A. Chernopazov, S.V. Eremina, K.V. Dozmorova // Russian Journal of Biomechanics. - 2002. - Vol. 6, No. 2. - P. 22-32.
36. Mura, T. Micromechanics of Defects in Solids / T. Mura. - Dordrecht: Kluwer Academic Publ, 1991.
37. Nyashin, Y. Modeling and Control of Stress and Strain by Eigenstrain. Proceedings of the Third European Conference on Structural Control / Y. Nyashin, V. Lokhov, V. Kiryukhin // III European Conference on Structural Control, Vienna, Austria. - 2004. - Vol. II. - P. S1-131-S1-134.
38. Parkus, H. Thermoelasticity / H. Parkus. - Vienna, New York: Springer Verlag, 1976.
39. Pechenov, V.S. Finite Element Stress Analysis of Tooth Crowns with Titanium Inlays / V.S. Pechenov, N.B. Astashina, Y.I. Nyashin, G.I. Rogozhnikov // Russian Journal of Biomechanics. - 1997. - Vol. 1, No. 1-2. - P. 108-118.
40. Rachev, A. Theoretical Study of the Effect of Stress-Dependent Remodeling on Arterial Geometry Under Hypertensive Conditions / A. Rachev // Journal of Biomechanics. - 1997. - Vol. 30, No. 8. - P. 819-827.
41. Ratledge, D.K. The effect of restorative materials on the wear of human enamel / D.K. Ratledge,
B.G.N. Smith, R.F. Wilson // The Journal of Prosthetic Dentistry. - 1994. - Vol. 72, No. 2. - P. 194-203.
42. Rodriguez, E.K. Stress-Dependent Finite Growth in Soft Elastic Tissues / E.K. Rodriguez, A. Hoger, A.D. McCulloch // Journal of Biomechanics. - 1994. - Vol. 27, No. 4. - P. 455-467.
43. Skalak, R. Compatibility and the Genesis of Residual Stress by Volumetric Growth / R. Skalak,
S. Zargaryan, R.K. Jain, P.A. Netti, A. Hoger // Journal of Mathematical Biology. - 1996. - Vol. 34. - P. 889-914.
44. Stanczyk, M. Thermal Problems in Biomechanics: From Soft Tissues to Orthopaedics / M. Stanczyk, J.J. Telega // Russian Journal of Biomechanics. - 2001. - Vol. 5, No. 4. - P. 30-75.
45. Taber, L.A. Biomechanics of Growth, Remodeling, and Morphogenesis / L.A. Taber // Applied Mechanics Reviews. - 1995. - Vol. 48, No. 8. - P. 487-545.
46. Taber, L.A. Theoretical Study of Stress-Modulated Growth in the Aorta / L.A. Taber, D.W. Eggers // Journal of Theoretical Biology. - 1996. - Vol. 180. - P. 343-357.
47. Takamizawa, K. Kinematics for Bodies Undergoing Residual Stress and its Applications to the Left Ventricle / K. Takamizawa, T. Matsuda // Transactions of the ASME. Journal of Applied Mechanics. -1990. - Vol. 57, No. 3. - P. 321-329.
48. Tanaka, M. Preliminary Study on Mechanical Bone Remodeling Permitting Residual Stress / M. Tanaka, T. Adachi // JSME International Journal. - 1994. - Vol. 37, No. 1. - P. 87-95.
49. Vossoughi, J. Intimal residual stress and strain in large arteries / J. Vossoughi, Z. Hedjazi, F.S. Borris // Proc. Summer Bioengineering Conference. - 1993. - P. 434-437.
50. Ziegler, F. Thermal Stress Analysis Based on Maysel’s Formula / F. Ziegler, H. Irschik // Thermal Stress II (edited by R.B. Hetnarski). - Amsterdam: Elsevier, 1987.
ACTUAL DENTISTRY PROBLEMS OF STRESS CONTROL
V.Y. Kiryukhin, Y.I. Nyashin, I.G. Nominatov, G.I. Rogozhnikov,
O.A. Shulyatnikova, A.G. Rogozhnikov (Perm, Russia)
In this study, the authors present the experience of the formalization and mechanical analysis of actual problems of dentistry. The first part of the paper contains the results of the computing stress and strain states of some structures that are created during treatment of different disordes by orthodontic methods. The second part is devoted to the problems of the stress control generally and strain control partly that appear i006E the described situations. It is concluded that the solution of the wide scope of dentistry problems relates to the creation of the desirable stresses by some ways. Authors adduce some of the most representative examples of the formalization of the such problems. In the third part, the authors suggest the principles of the stress control in the frame of theory of elasticity. As a result of the analysis, the features of the formulating the biomechanical problems related to the assigned stress creation are emphasized. In the last part of the study, the authors describe the milestones of the suggested theory for the formulated problems and for others that are known for readers possibly.
Key words: biomechanics, stomatology, theory of elasticity, stress control, statement of a problem.
Получено 22 ноября 2007
