Аффинные квантовые фреймы и их спектр Текст научной статьи по специальности «Математика»

ж

Обозначим д(ж) = /(ж) - /(0), Ит /«т£(ж) = жт*-(ж - 1) £ ц1 Ц)т1к-1 Ц), где ^(ж) =

' 3 =0

= g(x + 1)/(x + 1). Тогда

lim ml(x) = xmk-i(x - 1)g1_i 1

и рассматриваемый ряд принимает следующий вид:

Е f_1,qm_1,q(x) = f (0) + £ xmk—i (x - 1)^—1 =

k=0 k=1

f (0) + x f>k (x - 1)g1 = f (0) + xg(x - 1) = f (0) + x(ggx) = f (x). k=0 V x /

Ряд (3) назовем предельным по полиномам Мейкснера. Обозначим его частичную сумму следующим образом:

n_1

S—1 (f ; x) = f (0) + x £ mk (x - 1, q)gk. (4)

k=0

Отсюда видно, что для любого n > 1 S—1 (f;0) = f (0). Можно показать, что частичные суммы (4) предельного ряда (3) обладают в определенном смысле лучшими аппроксимативными свойствами по сравнению с частичными суммами S^(f; x) (а > -1) ряда Фурье-Мейкснера (1), но мы на этом здесь не останавливаемся.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект 10-01-00191-а). Библиографический список

1. Meixner J. Orthogonale Polynomsysteme mit einer хачкала : Дагестан. науч. центр РАН, 2004. 276 с.

besonderen Gestalt der erzeugenden Function // J. of the ro, , , АЛ. , . , , ,

ISharapudinov I. I. Mixed series of orthogonal polyno-London Math. Soc. 1934. Vol. 9. P. 6-13. H s н j

2. Шарапудинов И. И. Смешанные ряды по орто- mials. Theory and applications. Makhachkala : Dagestan гональным полиномам. Теория и приложения. Ма- Scientific Center of RAS, 2004. 276 p.]

УДК 517.51+517.98

АФФИННЫЕ КВАНТОВЫЕ ФРЕЙМЫ И ИХ СПЕКТР

П. А. Терехин

Саратовский государственный университет E-mail: TerekhinPA@info.sgu.ru

Задача квантования коэффициентов приближающих полиномов решается для аффинных фреймов. Рассматривается также задача о квантовании коэффициентов разложения по фрейму. Вводится понятие спектра квантового фрейма. Оценивается спектр семейства аффинных фреймов.

Ключевые слова: фрейм, аффинный фрейм, квантовый фрейм, спектр квантового фрейма.

Affine Quantum Frames and Their Spectrum P. A. Terekhin

The problem of coefficients quantization for polynomials is solved for affine frames. The problem about coefficients quantization for frame decomposition is considered also. The notion of a spectrum of the quantum frame is introduced. The spectrum of family of affine frames is estimated.

Key words: frame, affine frame, quantun frame, spectrum of quantum frame.

1. ЗАДАЧА КВАНТОВАНИЯ КОЭФФИЦИЕНТОВ

Пусть X — банахово пространство, состоящее из числовых последовательностей ж = {жп}Ж=1 и удовлетворяющее следующему условию: система канонических ортов {ек}Ж=1 образует базис пространства X. Напомним, что е^ = {#3}ж=1, £ = 1, 2,..., где #3 — символ Кронекера. Будем называть X модельным пространством.

Пусть, далее, }Ж=1 — система элементов банахова пространства ^. Следуя [1], будем говорить, что система }Ж=1 является квантовой (е, #, С)-сетью в пространстве ^ относительно модельного

© Терехин П. А., 2013

пространства X, если существуют постоянные е> 0, 5 > 0 и С > 1 такие, что для любого вектора / е ^ найдется конечный набор целых чисел (тк}П=1 е ^ такой, что

п

/ тк5рк к=1

< е,

п £

к=1

тк 5вк

< С||/.

X

Заметим, что определение квантовой сети однородно по паре параметров (е, 5), т.е. для любого Л > 0 квантовая (е, 5, С)-сеть будет квантовой (Ле, Л5, С)-сетью. В силу этого обстоятельства существует е-аппроксимация любого вектора / для сколь угодно малого е > 0 с линейной зависимостью 5 = 5(е).

В работе [1] приведен ряд отрицательных результатов о невозможности построения квантовых сетей, во-первых, на основе базисов или полных минимальных систем в банаховых пространствах, не содержащих с0, и, во-вторых, на основе банаховых фреймов с рефлексивным модельным пространством.

В этом пункте настоящей работы строятся квантовые сети на основе аффинных фреймов. Необходимо отметить, что мы используем другое определение понятия фрейма в банаховом пространстве, отличное от работы [1]. Мотивация принятого нами определения и история вопроса имеется в работе автора [2].

Определение 1. Скажем, что система (рп}^=1 образует фрейм в банаховом пространстве ^ относительно модельного пространства X, если существуют постоянные 0 < А < В < го такие, что для любого непрерывного линейного функционала д е ^* числовая последовательность его коэффициентов Фурье {(д, ^п)}^°=1 удовлетворяет неравенствам

А||д|^* < ||((д,Рп)}

те и п=1УХ *

< В||д||

Теперь перейдем к определению аффинного фрейма. Пусть функция р : К ^ К имеет носитель supp р с [0,1]. Для натурального числа п е N по стандартному представлению п = 2к + з, где к = 0,1,... и з = 0,..., 2к — 1, положим:

рп (г) = Фк,з (г) = р(2к г — з).

Система функций (рп}^=1 называется аффинной системой функций, или системой сжатий и сдвигов, порожденной функцией р.

Предположим, что р е Ьр[0,1], 1 < р < го, и /0 р(г) ¿г = 0. Тогда выполняются фреймовые неравенства для всех д е Ьч[0,1], р + 1 = 1 (см. [3]):

/ 1 2к-1 ,1/д

А||д||д < 8ир( 2к Е 1(д, Рк,^)М < В||д||в

к>о \ .=1 /

с постоянными А = | /0 р(г) и В = (/0 |р(г)|р ¿г)1/р. По определению 1 это означает, что аффинная система (рп}^=1 образует фрейм в пространстве Ьр[0,1] относительно модельного пространства X = 11,р, состоящего из числовых последовательностей х = (хп}^=1 = (хк)3- }к=о2=()1, для которых

конечна норма

те

2к-1

1х||1,р = 2^{2к |хк>^|р к=0 3=0

1/Р

< го.

Такую аффинную систему (рпназовем аффинным фреймом.

Теорема 1. Всякий аффинный фрейм (рп}те=1 является квантовой сетью в пространстве Ьр [0,1], 1 < р < го, относительно модельного пространства 11,р. Доказательство. Обозначим:

Ек (/) = ш|

{ч}

2К-1 3 }3 = 0

2 -1

/ — С3 Рк>1

3=0

к = 0,1,

р

как величину наилучшего приближения функции / е £р[0,1] линейными комбинациями элементов к-й пачки аффинной системы. Справедливо предельное соотношение

Нш Ек(/) = ^||/||р

с положительной постоянной < 1 (см. [4, теорема 1.21] для р = 2, общий случай доказывается аналогично). Пусть q9 < q < qo < 1 и ||/||р < 1. Тогда существует номер к и числа [е3-}2=-1 такие,

что

2*-1

/ - с3Рк,з

3=0

< q.

Положим ш3- = [е3- /5], 5 > 0. Будем иметь

2*-1

/-

т3 5^к,3

3=0

< q + 5|М|р,

-.2*-1 ч 1/р

т 5| <1+q

3=0

<

+ 5.

р

Выберем 5 = 50 =

00 - q ^ 1 + 00 т-г и ,,, .

-г:—г;— и С0 = -г:—г;—. При ||/||р < 1 получим:

2*-1

/ - Е т50^к,

3=0

<

1 2*-1 \1/р

|тз50|р) < С0.

3=0

Отсюда следует (см. [1, предл. 4.2]), что найдутся С1 < го и 51 > 0, зависящие только от С0, 50, о0 и

такие, что для всех / е £р[0,1] существует конечный набор целых чисел [шк>3-}К=02=01, для которого

К 2к-1

К

3 к,3 \ 1 \ 2к |т3

к=0 3=0 р к=0 ^ 3=0

2*-1

/ 1 ' \1/Р

/-ЕЕт51^к,3 < 1, Е 2кЕ т511р <ад||р.

Последнее означает, что аффинный фрейм является квантовой (1,51,С1 )-сетью.

□

2. КВАНТОВЫЕ ФРЕЙМЫ

Пусть [^п}^°=1 — фрейм в банаховом пространстве ^ относительно модельного пространства X в смысле определения 1.

Определение 2. Скажем, что [^п}^=1 — квантовый фрейм, если существуют Ап > 0, п е М, такие, что для любого вектора / е ^ найдется последовательность целых чисел [тп}^=1 С Ъ, для которой [Аптп }^=1 е X и справедливо представление

/ = Е Ап тп ^п-

п=1

Множество всех таких последовательностей [Ап }^=1 назовем спектром квантового фрейма и будем обозначать £р([^п}^=1). Наконец, если Ф = ([^п}^=1) — некоторое семейство фреймов, то его спектр £р(Ф) определим как пересечение всех спектров фреймов }^=1.

Понятно, что [^п}^°=1 — квантовый фрейм в том и только том случае, когда [Ап}^=1 — система представления с целыми коэффициентами. Однако нам удобнее считать систему }^=1 фиксированной.

В данном параграфе, не останавливаясь на общих свойствах квантовых фреймов и их спектров, оценим спектр семейства аффинных фреймов.

Обозначим через Ф//, 1 < Р < семейство всех аффинных фреймов }^=1 в пространстве £р[0,1] относительно модельного пространства 11,р.

Теорема 2. Справедливо включение

, / 1 2*-1 \ 1/р ^ [Ак3 > 0>Г=0?=-' : ЙЦ* £ А1, =4 С «Р«//).

- \ 3=0 / )

р

р

р

р

3

р

34

Научный отдел

2 -1

Доказательство. Пусть lim (i Yh 7)1/p = 0, что не ограничивает общности рассуждений

k^tt 7=о '7

ввиду возможности перехода к подпоследовательности . Воспользуемся обозначениями из до-

казательства теоремы 1. Пусть q^ < q < q0 < 1 и f е Lp [0,1]. Тогда найдутся {ck7} такие, что

2k-1 f - Ck'7^k'j

7=0

< q||f ||p, k > ko.

Положим mk'j = [ck'j/Ak'j]. При достаточно большом k получим:

2fe-1 /1 2-1 y/p

f - ^ Ak'jmk'j^k'j < q||f yP + ^ц 2k xh) < qo

7=o p ^ 7=0 '

При этом

2k-1

1 1/p 1 + q0

2k |Ak'7mk'7|p ) < H^H ^ llp = 00\\J Up-

7=0

= C0

p

Используя полученные оценки, выполним процедуру итераций. Пусть Р0 = 0 и г0 = /. Если р^_1 и

2к-1

уже построены, то находим = ^ Лкь7->7-^>7- так, чтобы ||г^-1 — ||р < , что

7=0

п

возможно при достаточно большом к^. Положим г = — . Обозначим зп = ^ р^. Имеем:

г=1

/ = Го = Р1 + Г1 = Р1 + Р2 + Г2 = ... = Р1 + ... + Рп + Гп = 5п + Гп. По построению 11г^< д0||г^_1 ||р, откуда ||гп||р < ^ПII/ 11Р ^ 0 при п ^ го. Поэтому

tt tt 2ki-1

f = lim Sn = У^ pi = V Aki '7mki'7 ^7 •

n^tt *----- --

При этом

так что

2k-1

i=1 i=1 7=0

1/p

7=0

2fc lAki'7mki'7Г ) < C011ri—1 ||p < C0q0

i-11

tt /1 2*-1

EUE lAki'7mki'7 Г) <

i=1 v 7=0

1/p

1 - q0

< ro.

После доопределения Шк>7- = 0 при к = к видим, что для последовательности целых чисел (тп}^=1 = {шк>7-}^=02=_1 С й имеет место принадлежность {Лптп}^=1 е 11,р и справедливо представление

те 2к _1 те

/ = Е Е Лк,7Шк>7= ^ ЛпШп^п, к=о 7=0 п=1

причем последний ряд также сходится (надо учесть, что функции внутри каждой пачки аффинной системы имеют непересекающиеся носители). □

Теорема 2 показывает, что всякий аффинный фрейм {^п}^=1 является квантовым фреймом, а также дает достаточное условие принадлежности последовательности {Лп}^=1 его спектру. Нам неизвестно, является ли условие

/ 1 2к _1 \ 1/р

л7 =0

7=0

p

p

p

C0

p

необходимым и можно ли вместо включения в утверждении теоремы 2 поставить знак равенства. Однако вообще отказаться от этого условия нельзя. Действительно, пусть Лк^ = Л для всех к и ]. Тогда для порождающей аффинный фрейм функции ^ = Х[о,1] все частные суммы ряда

п= 1

представляют собой ступенчатые функции, принимающие значения целых кратных чисел Л, которые не могут приблизить функцию /(х) = Л/2.

Работа выполнена при финансовой поддержке гранта Президента РФ для молодых российских ученых (проект МД-1354.2013.1) и РФФИ (проект 10-01-00097).

Библиографический список

1. Casazza P. G., Dilworth S. J., Odell ESchlumprecht Th., Zsak A. Coefficient quantization for frames in Banach spaces // J. Math. Anal. Appl. 2008. Vol. 348. P. 66-86.

2. Терехин П. А. Фреймы в банаховом пространстве // Функц. анализ и его прил. 2010. Т. 44, вып. 3. С. 5062. [Terekhin P. A. Frames in Banach spaces // Funct. Anal. Appl. 2010. Vol. 44, № 3. P. 199-208.]

3. Терехин П. А. Неравенства для компонентов суммируемых функций и их представления по элементам системы сжатий и сдвигов // Изв. вузов. Математи-

ка. 1999. № 8. С. 74-81. [Terekhin P. A. Inequalities for the components of summable functions and their representations by elements of a system of contractions and shifts // Russian Math. (Izv. VUZ. Matematika). 1999. Vol. 43, № 8. P. 70-77.]

4. Терехин П. А. Аффинные системы функций и фреймы в банаховом пространстве : дис. .. . д-ра физ.-мат. наук. Саратов, 2010. 230 с. [Terekhin P. A. Affine systems of functions and frames in Banach space : Dissertation. Saratov, 2010. 230 p.]

УДК 517.518

РАВНОМЕРНАЯ СХОДИМОСТЬ РЯДОВ ПО МУЛЬТИПЛИКАТИВНЫМ СИСТЕМАМ

Р. Н. Фадеев

Саратовский государственный университет E-mail: belal_templier@mail.ru

Доказаны две теоремы о равномерной сходимости и ограниченности частных сумм рядов по мультипликативным системам с обобщенно-монотонными коэффициентами.

Ключевые слова: мультипликативная система, равномерная сходимость.

to Multiplicative Systems R. N. Fadeev

Two theorems on uniform convergence and boundedness of partial sums for the series with generalized monotone coefficients with respect to multiplicative systems are proved.

Key words: multiplicative system, uniform convergence.

ВВЕДЕНИЕ

Пусть {рп— последовательность натуральных чисел таких, что 2 < рп < N. Положим по определению т0 = 1, тп = рптп-1, п е N тогда каждое х е [0,1) имеет разложение вида

те

х = У^ —п, Хп е Z+, 0 < Хп <Рп. (1)

П-=Л тп

п=1

Разложение (1) будет единственным, если для х = к/тп брать разложение с конечным числом хп = 0. Каждое к е Z+ единственным образом представимо в виде

те

к = ^ кгтг-1, кг е Z+, 0 < кг <Р1. (2)

г=1

те

Для х е [0,1) вида (1) и к е вида (2) по определению Хк (х) = ехр 2пг^ х^ ^/т^ . Извест-

те ^ ^=1 '

но, что система {хк}те=0 ортонормированна и полна в Ь1 [0,1). Кроме того, при к < тп функция

© Фадеев Р. Н., 2013