CC BY
40
2007
НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК МГТУ ГА серия Радиофизика и радиотехника
№126
УДК 621.396
АДИАБАТИЧЕСКИЕ ИНВАРИАНТЫ ОДИНОЧНЫХ ИМПУЛЬСНЫХ СИГНАЛОВ
Ю.А. КРАСНИТСКИЙ
Исследуется задача обнаружения факта и момента возможного подключения источников дополнительной энергии к излучателю электромагнитных импульсов. Решение основано на процедуре вычисления адиабатического инварианта для импульса (атмосферика), излучаемого каналом молниевого разряда. Адиабатический инвариант рассматривается как функция времени. Факт и момент возможной подпитки канала определяется по расположению локальных экстремумов этой функции.
1. Введение
Основными источниками импульсных электромагнитных полей естественного происхождения являются молниевые разряды. Согласно одной из гипотез [1], основную роль в формировании атмосферика, излучаемого разрядом на стадии обратного удара, играет дискретная антенная решетка, образованная локальными неоднородностями канала молнии. Она возбуждается импульсом тока, возникающим в момент замыкания канала на уровне Земли и затем движущимся по каналу вверх. Сведения о геометрической и электрофизической структуре решетки содержатся в ее импульсной характеристике (ИХ) излучения, т.е. операторе, который, воздействуя на ток в основании канала, преобразует его в наблюдаемое поле. ИХ можно попытаться восстановить [2] путем решения соответствующей обратной задачи для атмосферика, зарегистрированного на известном расстоянии от разряда.
Исследования восстановленных ИХ позволяют предположить, что среди узлов решетки должны быть излучающие элементы по меньшей мере двух видов.
1) Пассивные, излучение которых вызвано изменением скорости движения основной волны тока, порожденной замыканием вблизи поверхности Земли нисходящего и восходящего лидеров, первоначально формирующих ионизированный канал молнии, и распространяющуюся затем вверх по этому каналу. К ним принадлежат, например, области резких изменений направ-
2) Играющие активную роль, через которые в канал разряда может поступать дополнительная энергия в виде импульсов тока. В качестве активных излучателей в решетке могут, повидимому, выступать точки ветвления канала и концы ветвей. Конфигурации каналов весьма многообразны. На рис. 1 показаны результаты фоторегистрации двух разрядов, различающихся характером ветвления -наличием преимущественно восходящих (рис. 1а) или нисходящих (рис. 1б) ветвей, и их числом.
Таким образом, возникает задача обнаружения факта и момента возможной подпитки канала со стороны его ветвей. Поступление в канал дополнительной энергии означает, что характер распространения волны тока вдоль него перестает быть адиабатическим.
ления канала.
Рис. 1
Будем рассматривать канал молнии как осциллятор с частотой, зависящей от времени. О нарушении адиабатичности можно судить по поведению соответствующих инвариантов. Процедура их оценки состоит в преобразовании исследуемого атмосферика по Г ильберту, переходе к аналитическому сигналу, нахождению его огибающей, фазовой структуры и мгновенной частоты с последующей проверкой, удовлетворяет ли он уравнению осциллятора с переменной частотой. Факт и момент возможной подпитки канала определяется по расположению локальных экстремумов адиабатического инварианта на оси времени.
2. Предварительная обработка атмосферика
При необходимости учета спектральных компонентов принимаемого сигнала, лежащих за пределами полосы пропускания устройства регистрации, следует провести предварительную обработку, состоящую в устранении влияния приемника на форму атмосферика. С этой целью результат
ez (t) = e(t )* hiM(t) (!)
регистрации электрического поля e(t) атмосферика, искаженный вследствие свертки последнего с ИХ приемника ^прм(^, нужно подвергнуть обратной фильтрации. Здесь и далее через * обозначена операция свертки. Модель приемника в виде каскадного соединения ВЧ и НЧ фильтров Баттерворта соответствующих порядков рассмотрена в [2]. Сигнал, приведенный к входу приемника, описывается соотношением
u(t) = F~'[S(w)/Hi6i (w)], (2)
где S(w) - спектр Фурье принятого атмосферика; Hii6i (w) - передаточная характеристика приемника; F - символ преобразования Фурье.
3. Представление атмосферика аналитическим сигналом
Исследуемый атмосферик можно представить [3] как обобщенный колебательный процесс вида
u(t) = р (t) cos y(t) = Re [w(t)] , (3)
где
w(t) = u (t) + i v (t) = p(t) eiy{t), (4)
- аналитический сигнал, мнимая часть
Im [w(t)] = v(t) = —* u(t) = p (t) sin y(t) (5)
2 ТІЇ
которого есть преобразование Гильберта [3, 7] от (3).
С вычислительной точки зрения сигнал (5), сопряженный по Гильберту с атмосфериком (3) более удобно находить через спектр последнего
S v( iw) =
iSu, w < 0;
o,w = 0; (6)
- iSu, w > 0;
с помощью обратного преобразования Фурье.
Аналитический сигнал w(t) можно рассматривать как некоторую пространственную траекторию (годограф), описываемую концом вектора (4) при вращении последнего вокруг оси времени t. Выражения (3) и (5) служат параметрическими уравнениями этой траектории. Действительным сигналам u(t) и v(t) соответствуют проекции комплексного сигнала w(t) на взаимно перпендикулярные плоскости.
Рис. 2 иллюстрирует эту картину для одного из атмосфериков, зарегистрированного на удалении 30 км от молниевого разряда. В левом нижнем углу указан идентификатор этого сигнала.
Функции
p(t) = Vu 2(t) + v2(t) , (7)
y(t) =Im{Ln[w(t)]} =arctg [v(t)/u (t)] (8)
описывают соответственно огибающую и полную фазу аналитического сигнала (4), знание которых дает, в частности, возможность разделить мультипликативные компоненты в (3), т.е.
факторизовать атмосферик, представляя его как u(t) = р (t) % (t), где р (t) - “медленный”, а %
(t) = cos y(t) - “быстрый” сомножители.
Рис. 2
Результат разложения показан на рис. 3 а - г, где последовательно изображены анализируемый сигнал и(ї), его огибающая (7), фазовая кривая (8), а также “быстрый” сомножитель С(Ґ).
4. Молниевый разряд как осциллятор с переменной частотой
Проекция пространственной траектории, изображенной на рис. 2, на плоскость, перпендикулярную оси Ґ, дает наглядное представление о поведении аналитического сигнала (4) во времени. Она показана в правой части рис. 2, а также - более детально - на рис. 4. Полярные координаты р (Ґ) и у (Ґ) каждой точки (и, V), принадлежащей этой проекции, задаются соотношениями (7) и (8).
Исследуемой кривой можно придать простой механический смысл: она отображает движение шарика единичной массы, закрепленного на конце нити, по горизонтальной поверхности гладкого стола. Нить пропущена в отверстие, расположенное в центре стола. Протягивая нить через это отверстие, можно изменять расстояние r от центра стола до шарика, а следовательно, и декартовы координаты (u, v) последнего.
Составить уравнение, которое бы точно описывало истинную траекторию перемещения шарика, затруднительно. Однако, применив подход [4], подробно рассмотренный в [5], можно составить дифференциальное уравнение, моделирующее движение шарика по поверхности стола при переменной длине нити и отсутствии трения. Вычислив вторую производную сигнала u по времени, получим
u =р cosy-2/)ysiny-p(y)2 cosy-pysiny. (9)
Но в процессе перемещения шарика должен сохраняться его момент количества движения
M = uv - uv =p2y=C, (10)
где С - некоторая константа, откуда найдем, что
y=C р 2. (11)
Исключив с помощью (11) первую производную фазового угла в (9), получим искомое уравнение
ii + w(t) u = 0, (12)
которое описывает колебательный процесс, моделирующий движение шарика.
Частота колебаний, равная
w(t) = C7 р4 - Р/Р , (13)
зависит от времени. Из последнего выражения следует, что уравнение (12) будет выполняться
только в том случае, когда длина нити (t) подчиняется соотношению
p + G)2(t)p - C2 / р3 = 0, (14)
которое после замены r = р рси- переходит в
r + со2 (t)r - r-3 = 0. (15)
Известно [5-6], что колебания маятника с изменяющейся длиной могут служить классическим примером адиабатического процесса. Адиабатическое поведение параметров осциллятора предполагает, что в масштабе времени, характерном для рассматриваемой колебательной системы, ее параметры изменяются медленно. Это фактически означает, что процессы в ней происходят без структурных изменений и пополнения энергии от внешних источников.
Мерой указанного поведения могут служить адиабатические инварианты, т.е. такие физические величины, которые при медленном изменении параметров системы сохраняются с большой точностью в течение длительного промежутка времени. Так, для осциллятора, удовлетворяющего уравнению (12), точный инвариант определяется [5] как
Jl = 0,5[(u/r )2 +(ru - ru )2], (16)
где r - одно из частных решений уравнения (15). Если же длина нити меняется медленно ( r ® 0 ) и плавно (r ® 0 ), то из (15) следует, что r2 » 1/о. Тогда инвариант (16) принимает вид [5, 6]
/2 = 0,5(юи2 + и2/о) (17)
и совпадает с адиабатическим инвариантом I = Е /(О для случая, когда осциллятор (12) создает колебания с постоянной частотой (О. Здесь Е - энергия осциллятора.
Проверим аналитический сигнал (4) на соответствие рассмотренной модели, считая, что с течением времени шарик перемещается вдоль кривой, изображенной на рис. 4 и совпадающей с проекцией пространственной траектории рассматриваемого сигнала на плоскость стола.
С этой целью, используя (7) и (8), вычислим мгновенную частоту
лч лч и(1 )у(1 ) - и(7)у&) М(7)
ю) = У) = У ; у У ; (18)
Р (7) Р (7)
где М(Х) - момент количества движения (10), в общем случае переменный во времени. Поведение частоты (18) и момента (10) представлено на рис. 5 а и б соответственно.
Рис. 5
Подставляя значения частоты (18) в соотношения (12) - (17), можно выяснить, как ведут себя рассмотренные выше характеристики анализируемого колебательного процесса. Соответствующие кривые показаны на рис. 5 в - д, где последовательно изображены нормированные графики левой части уравнения (12), а также адиабатические инварианты (16) и (17).
5. Обсуждение результатов
Проведенное исследование показывает, что процесс формирования атмосферика не является адиабатическим, о чем свидетельствует “быстрое” поведение момента количества движения (10), отображаемое кривой б на рис. 5, а также инвариантов (16) и (17), изображенных на рис. 5 г и д соответственно. Это говорит о том, что уравнение (12) не вполне адекватно описывает процессы в канале молнии.
Во-первых, оно не учитывает потери энергии в канале при распространении волны тока, что в механической модели эквивалентно пренебрежению трением шарика о поверхность стола. Во-вторых, импульсный характер графиков на рис. 5 г и д может означать, что резкие изменения в поведении инвариантов (16) и (17) соответствуют ситуациям, когда к осциллятору уже после возникновения колебаний подключаются дополнительные источники энергии.
Последнее предположение не противоречит гипотезе о том, что в антенной решетке, экви-валентлентной каналу молнии в электродинамическом смысле, активными элементами служат области, соответствующие началу и концу как главного канала, так и каждой отдельной ветви (рис. 1). Другими словами, источники дополнительной энергии - это электрические заряды, стекающие в главный канал после того, как движущаяся по нему волна тока пройдет точку, из которой начинается соответствующая ветвь. Подтверждение этому можно увидеть в том, что положение локальных экстремумов адиабатических инвариантов (16) и (17) на оси времени соответствует пикам (рис. 5 е) в ИХ h(t) излучения канала разряда. Последняя восстановлена путем обработки атмосферика (рис. 3 а) с помощью процедуры, описанной в [2].
Число и ориентация ветвей в молниевых разрядах могут варьироваться в широких пределах (рис. 1). Кроме того, в процессе нейтрализации заряда отдельного грозового облака обычно возникает несколько (иногда до 20 и более) повторных разрядов. Разряды, наступающие позже, отличаются от произошедших ранее тем, что имеют менее выраженную ветвистость. Это должно отображаться в адиабатических инвариантах уменьшением числа импульсов. Таким образом, по виду функций (16) (17) можно судить о степени активности грозового облака.
Весьма интересным представляется следующее обстоятельство. При сравнении поведения левой части в (12) как функции времени (рис. 5 в) и ИХ h(t) (рис. 5 е) обнаруживается высокая степень их подобия. Это может служить основой для разработки соответствующих алгоритмов анализа электромагнитного поля, а также геометрической и электрофизической структуры сложных излучающих систем, примером которых служат молниевые разряды.
ЛИТЕРАТУРА
1. Krasnitsky Yu.A. Evaluation of lightning current pulse parameters from spherics waveforms. - J. Geophys. Res., 1994, v. 99, No D5, pp. 10.723 - 10.725
2. Краснитский Ю.А. Оценка характеристик канала молниевого разряда по атмосферику. -Тр. 5 Российск. конф. по атмосферному. электричеству. - Владимир: Транзит - НКС, т.2, 2003, с. 285 -290
3. Вайнштейн Л.А, Вакман Д.Е. Разделение частот в теории колебаний и волн. - М.: Наука, 1983, 288 с.
4. Parker L. Adiabatic invariance in simple harmonic motion. - Amer. J. Phys., 1971, v. 39, No 1, pp. 24 - 27
5. Бакай А.С., Степановский Ю.П. Адиабатические инварианты. - Киев, Наукова думка, 1981, 281 с.
6. Заславский Г.М., Сагдеев Р.З. Введение в нелинейную физику. От маятника до турбулентности. - М.: Наука, 1988, 368 с.
7. Hann S.L. Hilbert transform in signal processing. - Artech House, 1996, 442 pp.
ADIABATIC INVARIANTS OF SINGLE PULSE SIGNALS
Krasnitsky Yu.A.
There is analyzed the problem of detection of case and time of possible connection of additional energy sour us to the radiator of electro magnetic pulses. The solution bases on determination technique of an adiabatic invariant of pulse (atmospheric) which is radiated by the channel of lighting discharge. The adiabatic invariant is considered as a time function. The case and time of possible in feed of channel is defined by position of a local extreme of this function.
Сведения об авторе
Краснитский Юрий Александрович, 1937 г.р., окончил Ленинградский институт точной механики и оптики (1960), доктор технических наук, профессор РАИ, автор более 100 научных работ, область научных интересов - антенные устройства, обработка сигналов, однопунктная радионавигация.
