CC BY
32
УДК 519.86
АДЕКВАТНОСТЬ МОДЕЛИ ПОВЫШЕНИЯ КАЧЕСТВА КРЕДИТНО-ИНВЕСТИЦИОННЫХ РЕСУРСОВ ПРОМЫШЛЕННОГО ПРЕДПРИЯТИЯ
© Д. Н. Протасов
Ключевые слова: динамика развития; погрешность решения дифференциального уравнения; экономико-математические модели.
Рассматриваются экономико-математические модели, которые позволяют исследовать динамику развития предприятия в зависимости от выбранных инвестиционных стратегий. Оценивается погрешность полученного решения.
Рассмотрим модель, устанавливающую взаимосвязь между агрегированными переменными (такими как объем выпуска, стоимость основных производственных фондов и темпы их прироста, общая и чистая прибыль, сумма налоговых отчислений и т. д.) и предназначенную для предприятий, функционирующих в условиях, описываемых системой предпосылок, которая используется в модели Ы\ [1]. Однако вместо однофакторной производственной функции будем использовать нелинейные виды производственных функций, в т. ч.:
1) степенная — для описания функционирования новообразованного предприятия, освоившего относительно свободную рыночную нишу и имеющего высокий потенциал разВИТИЯ,
2) экспоненциальная, с затухающими темпами и наличием асимптоты — для предприятия, имеющего ограничения по спросу.
Рассмотрим динамику прироста основных производственных фондов А(Ь) за счет собственных средств и внешних инвестиций I(Ь), с учетом непредвиденных факторов а. Обозначим Р(Ь) — выпуск продукции в момент времени Ь, 6(Ь) — внешнее возмущение. Получим уравнение:
ИА
^ = а(г)Р(г) +1(г) + аб(г),г е [о,т]. (1)
(1 — с — т{)£(г)
Здесь коэффициент а(Ь) = -------- -------- ; Кл е (0,1] — коэффициент, характе-
1 + т2 Кл(1 — £(Ь))
ризующий соотношение чистой и общей прибыли предприятия; функция £ — доля чистой прибыли, отчисляемой на реинвестирование и принимающая значение (0,1]; т\, Т2 — ставки налогообложения на объем выпуска и прибыль; с — удельная себестоимость выпуска
продукции; внешнее возмущение 6(Ь) = 0 (Ь), 0(Ь) = ^о £ Ь < 0 ^ е [0,Т); а
величине! внешних возмущений.
Используя соотношение (1), получаем основное уравнение динамики предприятия в случае степенной производственной функции, Р(г) = 7[А(Ь)]т :
ИА
— = ^[А(Ь)Г + I (г) + а6(Ь). (2)
Анализ уравнения (1) показал, что оно неразрешимо в явном виде. Это уравнение целесообразно решать приближенными методами.
Уравнение (2) разрешимо для случая I(Ь) = @А(Ь), при котором поток государственных инвестиций пропорционален динамике основных фондов промышленного предприятия с коэффициентом пропорциональности в (0 < в < 1), реализуется следующая стратегия финансовой поддержки — чем больше предприятие, тем больше инвестиций ему выделяется. Тогда (2) принимает вид:
ИА
Иг = 1а[А(1)]т + вА(г) + а6(г). (3)
Рассмотрим случай экспоненциальной производственной функции. Динамика предприятий часто характеризуется значительной нелинейностью: на первых стадиях их роста могут наблюдаться высокие темпы роста, которые затем снижаются. При этом в модели используются функции, отражающие процесс насыщения производства продукции
р (г) = Р0 + р(1 — е-А(% (4)
где Ро = Р(0) — начальный уровень производства, р — предел насыщения, Р(Ь) ^ Р(0)+ р при Ь ^ ж.
Функция (4) отражает процесс роста уровня производства предприятия до некоторого предела (асимптоты), определяемого внешними условиями (например, сбытом продукции, максимально возможным уровнем интенсификации труда штата сотрудников и т. д.). Дальнейшее падение производства в условиях бизнеса почти всегда означает его свертывание и переход к новому виду продукции, поэтому случаи снижения выпуска продукции в данной модели не рассматриваются.
Используя полученное ранее соотношение, отражающее связь между динамикой основных производственных фондов и производственной функцией при наличии внешних инвестиций, получаем:
ИА
— = а\ — Т12е-А(г') + I (Ь) + а6(Ь), (5)
где а1 = а(Р0 + р) и а2 = ара.
Рассмотрим влияние возмущений на решение дифференциального уравнения (3) и (5). Будем решать эту задачу для дифференциального уравнения общего вида. Пусть задана достаточно гладкая функция / : [0,Т] х К ^ К3. Рассмотрим задачу Коши:
у'(Ь) — /(Ь,у(Ь)) = 0, где Ь е [а,Ь],у(а) = уо. (6)
Предполагается, что функция / удовлетворяет условию Липшица по у, т. е. что существует такая постоянная Ь, что
У(Ь,у1) — /(Ь,у2)\\ < Ь||у1 — у21| (7)
при всех Ь е [а, Ь] и всех у1, у2 из интересующей нас области. Это условие обеспечивает
единственность решения задачи (6), если оно существует.
Предположим, что г(Ь) удовлетворяет соотношению
г’(Ь) — / (Ь,г(Ь)) = а6(Ь), (8)
где Ь е [а,Ь]; г (а) = у0 + а60, где а мало.
Полагая
г(Ь) = у(Ь) + ае(Ь) + 0(а2) (9)
и используя теорему Тейлора, из (8) получаем:
у' (г) + ае'(г) - / (г, у (г)) - /у (г, у(г))ае(г) = аб(г) + о(а2),
у (а) + ае(а) = у (г) + аб0 + 0(а2).
Следовательно, функция е(г) должна удовлетворять линейному дифференциальному уравнению:
е'(г) - /у(г,у(г))е(г) = б(г), е(а) = бо. (10)
Таким образом, если у и г удовлетворяют уравнениям (6) и (8), а е(г) - уравнению (10), то справедливо соотношение (9).
Погрешность приближенного решения задачи (6) удовлетворяет аналогичному уравнению.
Решение задачи (10) представляется в виде:
е(г) = Е(а,г)б0 + ! Е(и,г)б(и)йи,
а
где E(u,t) = exp
f fy(i,v(t))dt
Функция e(t), которая собственно нас и интересует,
должна удовлетворять линейному дифференциальному уравнению (10). Для того чтобы знать е(г), нужно знать в2 компонент матрицы Е(и,г). Обычно мы должны довольствоваться такой локальной погрешностью, которую можно оценить без особого труда.
Это поведение наглядно представляется интегральными кривыми дифференциального уравнения. Множество интегральных кривых уравнения у'(г) — / (г, у (г)) = 0 — это множество решений задачи Коши: у'(г) — / (г, у (г)) = 0, где г € [а,Ь], у (а) = уо, для всех значений уо. Влияние возмущения состоит в том, чтобы "столкнуть" решение с одной из этих кривых на соседнюю кривую.
ЛИТЕРАТУРА
1. Протасов Д.Н. Развитие модели кредитно инвестиционных ресурсов промышленного предприятия // Вопросы современной науки и практики. Ун-т им. В.И. Вернадского. 2009. № 1. С. 231238.
Поступила в редакцию 10 ноября 2011 г.
Protasov D.N. Adequacy of a quality improvement model for industrial enterprise credit and investment resources. The paper studies economic and mathematical models that allow to investigate the growth dynamics of industrial enterprise with respect to selected investment strategies. The error of the solution derived is estimated.
Key words: growth dynamics; solution error for differential equation; economic and mathematical models.
