Модификации дифференциального уравнения модели Солоу и их анализ Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.86

МОДИФИКАЦИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ МОДЕЛИ СОЛОУ И ИХ АНАЛИЗ

© 2006 г. С.В. Жак, А.И. Задорожный

The Solow differential equation of economic dynamics is considered in nonautonomous variant with quasihomogeneous Cobb- Douglas production function in the case of modification of labour resources under the generalized Malthus law and logistics law. For large values of planning time-frame the qualitative research of a behaviour of a solution is conducted, it's asymptotic expansion by a method of a regulari-zation of singular perturbations is constructed..

В последние годы интерес к макроэкономической модели Солоу резко возрос, несмотря на существенность упрощающих предположений, заложенных в её формировании, и значительный «возраст» модели. Это может быть объяснено её простотой, допускающей качественное и количественное исследование, возможностью различных приложений и модификаций.

Модификации связаны с изменением (усложнением) производственной функции, уточнением описания демографического роста (роста трудовых ресурсов) и изменением структуры системных связей, определяющих модель.

Существование для основной модели и её модификаций единственной устойчивой точки равновесия позволяет эффективно проводить второй этап анализа- обоснование доли инвестиций в ВВП.

Естественным шагом в направлении развития базовой одномерной агрегированной модели Солоу является использование вместо линейно однородных производственных функций постоянной эластичности

замещения (ПФ ПЭЗ) Y = F (Ж,Щ = № (К, ~), Л> 0, где Y ^), К(t) - размерные величины (потока) выпуска продукта и основных фондов (капитала) в денежном выражении; 1 ^) - текущая численность

трудоспособного населения, занятого в производственном процессе сектора, в зависимости от размерного времени t , положительно обобщенно однородных функций (квазиоднородных) степени т в смысле

определения [1], а именно: F(№к,ЛКЬ) = ЛmF(к,1), где к = 1 и £ - веса, характеризующие при к Ф £ неравномерность растяжения по факторам; т - в экономическом аспекте - отдача на масштаб. Внимание к практической целесообразности применения указанного класса ПФ ПЭЗ привлечено в [2]. Квазиоднородная функция Кобба-Дугласа задается выражением

F(K, L) = YnK L

а т m-la

к

в котором введены безразмерные переменные K =-;

Kn

L

1 =— ; кп, Ьп, Yn - некоторые характерные (норма-

Ьп

тивные) значения записанных величин; 0 < а < 1 - эластичность функции (1) по капиталу; в = т - £а, 0 < в < 1 - эластичность по труду, причем неравенства выполняются в силу закона убывания предельных про-

изводительностей по факторам:

d 2 F dK 2

< 0,

д 2 F dL2

< 0.

Для функции (1) имеет место обобщенное тождество

обладающее впол-

Эйлера mF(K, L) = l—K +—L

dK dL

не определенным экономическим смыслом.

Обобщенно однородная ПФ Кобба-Дугласа (1) очевидным образом переписывается в следующей форме

F (к, 1) = YnЬmf (и), (2)

a K

где f (u) = u , с автомодельной переменной u = —,

L

которую естественно назвать обобщенной фондово-

K

оруженностью, поскольку при 1 = 1 u = к = -j ■ Приведенная функция Кобба-Дугласа f (u) = ua, являющаяся однородной нулевой степени, удовлетворяет выведенному в [3] нелинейному обыкновенному дифференциальному уравнению (ОДУ) второго порядка с переменными коэффициентами, определяющему класс всех (0< г < œ) квазиоднородных ПФ ПЭЗ степени m,

гш uf (u) f "(u) + mf (u) f '(u) -

-(am - l(a-1)) uf ' 2(u) = 0 (3)

(1) при значении эластичности замещения г = 1, в чем можно удостовериться непосредственной подстановкой.

В случае произвольного а решение ОДУ (3) представляется обобщенно однородной ПФ ПЭЗ Солоу,

Fs (K, L) = YnLm

au

(1 -a)

l P

P-L -1,

a

из которой ПФ Кобба-Дугласа и Леонтьева получаются предельным переходом при а ^ 1 и а ^ 0, соответственно, равно, как и случай полной взаимозаменяемости ресурсов а ^ ж. Заметим, что ОДУ (3) в частном случае m = 1 = 1 получено и решено в монографии [4].

Подстановка выражений (2) в эволюционное

dK ~

уравнение Солоу —~ = sF (K ^), L(t)) -'/лК ^) дает

dt

Y

dt

K

а+1 L( }<~>.

(4)

du dt

= sq(t)ua -v(t)u , u(0) = u0,

L (( ).

(5)

. Замена u(t) = y(t)1 a приводит (5) к линейному

турах.

неоднородному уравнению

^ -(1 -a)(t) = (1 -a)sq(t), y(o)= u0"a . (6) dt

Решение задачи Коши (6) имеет вид

y(t) = exp -(1 -a)\v(e)de

(

u0 a +(l - a )q($)expl (1 -а)\у(в)в

3

\

d3

(7)

о V о

Окончательная формула для обобщенной фондовооруженности будет, очевидно, следующей

С г Л

(() = exp -\v(e)de

o

где s = const, 0 < s < 1 - норма накопления; ц , с -коэффициент амортизации основных фондов;

= zn , с-1 - «нормативная» фондоотдача;

Kn

• /~\def dL

) = ~if' Завершим процедуру перехода к безразмерным переменным, введя безразмерное время t = znt . Окончательно уравнение (4) перепишется следующим образом:

(

u0 a +(1 -a )sJq(3)expl (1 -a)\v(e)d6

3

\

d3

(8) 1

1-a

0 V 0 Проблема дальнейшего исследования состоит в том, берутся ли квадратуры в элементарных (специальных) функциях или, по крайней мере, допускают проведение достаточно информативного качественного анализа.

Обратимся к собственно квазиоднородному случаю m Ф l для простейшей формы закона Мальтуса

П = const, когда L(t) = L0ent. Из (8) получается, что

At )=

Ii0~a е~(~а)а+

где q(t) = Lm-l ((); v(t)= ц + 1Щ ; ц=И- - безраз-

L(t) zn

мерный коэффициент амортизации; U0 - заданное значение обобщенной фондовооруженности в начальном условии задачи Коши (5).

В известных по публикациям случаях при решении уравнения (5) производится его автономизация либо для случая постоянства численности трудящихся L = const [5], либо принимается гипотеза m = l = 1 (т. е. линейной однородности ПФ) с простейшим вариантом закона Мальтуса (что вызывает наибольшие возражения - экспоненциальный рост трудовых ресурсов легко опровергается практикой и приводит к абсурдным футурологическим выводам) о постоянст-

L (t)

ве темпа роста трудовых ресурсов —-р- = п , п = const,

L(t)

П > 0 . Перечисление источников в последнем случае заняло бы неоправданно много места, укажем только на [6] и исследованную в [7] модель с квазиоднородной ПФ Кобба-Дугласа с ограничением m = l Ф1. При любой из только что перечисленных постановок автономной задачи устанавливается теорема об устойчивой магистрали и золотое правило накопления Солоу: s* = а .

Доминирующая роль, которую играет функция Кобба-Дугласа в математическом анализе неоклассической модели, объясняется главным образом тем, что (5), представляющее собой неавтономное в общем случае уравнение Бернулли, интегрируется в квадра-

I (1 -а)^о 1 (е(т-г) - е-(1-«Х"+. (9)

(т - 1а) + (1 - а)

Следствием (9) является то, что: а) в «классическом» случае т = 1 = 1 при t ^ ж происходит выход

1

1-a

на магистраль имг =

1

1-a

оптимальное по-

требление на которой имеет место при я* = а , причём совокупное потребление С(() возрастает с постоянным темпом п, а индивидуальное с(() остается постоянным [6, 8]; б) обобщение т = 1 Ф1 приводит к изменению положения магистрали на

(

1

1-a

оптимальная норма накопления

И+ П,

остается неизменной (я* = а), темп изменения душевого потребления становится при этом постоянным:

— = п(1 -1) с «оптимистическим» выводом при 1 > 1

с

и «пессимистическим» - в противном случае. Детальное изложение варианта (б) приведено в [7]; в) если, наконец, т Ф1, то при т > 1 будет происходить неограниченный экспоненциальный рост и(() при t ^ +ж, а в случае т < 1 имеет место стремление

х

X

u

X

X

u

s

s

u

решения к единственному асимптотически устойчивому в целом тривиальному положению равновесия.

Представляется целесообразным рассмотрение ещё одного примера с решением, выражающимся в элементарных функциях. Согласно [9], «подкорректированная» модель Мальтуса описывается уравнением L(t)=\p(t)-8(t)]((), где p(t)>0, S(t)>0 - коэффициенты рождаемости (приема) и смертности (увольнения) соответственно. Определим y(t~) = p(t)-8(t) функцией Хэвисайда y(t)=ГЯ(( -1), Г = const, то-

т(л k eTt, 0 < t < ti; гда, очевидно, L(() = <!

[L = L0 ertl, t > t1.

Подобная модель имитирует реакцию системы на увеличение (Г > 0) или сокращение (Г < 0) персонала до директивного значения. Заметим, что (5) становится при этом уравнением с разрывной по независимой переменной t правой частью. В соответствии с концепцией [10] необходимо произвести доопределение решения по непрерывности в точке t = tj.

На отрезке 0 < t < tj решение представляется формулой, вытекающей из (9)

) =

м1-ае-(1-а)С«+1г> +

, (1 -g)sLm-1 (e(m-i)t - e-((-a(+1Г)) (m - 1а)Г + (l -а)И

1

1-а

На луче t > ¿1 следует решать начальную задачу

и&2 (() = -ЦЩ ((), и2 (¿1) = и! (( ) .

В результате получим

U2

(( ) =

U1

1-а((1 )-

sL

1-1Л

И

-(1-а)и(-h)+ Щ

m-1

И

1

1-а

,ч Ги1((), 0 < г < ¿1

Графики функции и мк (() = \ (д для

[и 2 ((), г > ¿1

различных значений безразмерного времени приведены на рис. 1.

Рис. 1. Интегральные кривые uMK(t;t1) уравнения (5) при обобщенном законе Мальтуса изменения трудовых ресурсов L(t;t1): 1) ABE - траектория при t1= 17; 2) АСЕ - траектория при t1= 23; 3) прямая М - «магистраль»; 4) ADE - траектория при t1= 27

Более близкая к реальности модель динамики трудовых ресурсов получится из предыдущей в предположении ß = const и линейной зависимости 8 от L , т. е. 8(l )= OL , где в = const.

Тогда = (ß - OL )l(~). Выбирая в качестве ха-

dt

ß

рактерной численности предельную Ьп = — и завер-

9

шая переход к безразмерным переменным, получим известное логистическое уравнение

1 (г) = п(1 -ь)Ь , (10)

в котором принято обозначение п = ~. Напомним,

что в математических моделях теории научно-технического развития (НТР) уравнение (10) фигурирует как закон Риденура [4], описывающий при условии 1(0) = Ь0 < 1 увеличение численности персонала, занятого в новых наукоемких отраслях производства. Задача Солоу с дифференциальным законом (10) кратко анализировалась в [11]. Запишем явную форму решения уравнения (10):

L(( ) = -

L ent

Le

(11)

(1 - Lo) + Lo en ' Зависимость (11) описывает рост с насыщением в случае Lo < 1 и убывание при Lo > 1, причем

lim L(t) = 1. Вычисление q(t) и v(t)= /и + n(1 - L(t))

t

и последующая подстановка в (8) приводят к неберу-щимся квадратурам, если исключить «вычурные» комбинации параметров, приводящие к интегралам от биномиальных дифференциалов. Тем не менее упомянутая формула полезна для качественного анализа решения.

e

Обратимся сначала к частному случаю т = 1. Тогда q1t) ЕЕ 1, а у(') = л + п--1. 1,0 п •

(1 - Lо)+

Достаточно просто определяется частное решение линейного однородного уравнения

С ' л

Е(()= ехр -(1 -а)\у(в)}в

V о

= [ +(1 - L0)е~п' ] е. (12)

Совершено ясно, что Ит Е(() = 0.

Рассмотрим с учетом (12) второй интеграл в квадратных скобках в (7)

J(() = (1 - а) х

хЯ(1 -1,)+ ^еп] И'"а"НЛ d3.

0

0

j 2.¿а^ с-«) • ;yi+li-an

1 -(1 Г1 + о(-2 ) de.

.1- L

Lo

Обозначив через

F (() = тП- e(~a)t (1 - а)/л

(13)

1 + -

iß

1-L

(1 -а

) e-n

+о

( 2nt)

П-(1 -a)ß Lo первообразную в (13), найдем после подстановки в (8)

Г л т Л(1-а)

Д( ) =

Лют (()

1 + -Ьк e

L

0

х Л11 + iß (1 - а)2 e-n + о(2П) М{ n-(1 -а)М

1

1-а

. (14)

Здесь

ЛЪст (() = "0-а((0 + ( - L0 )e_nt}

a)i e-((-a)ßt

+ J e-(1-a)Mt - (L^l-^F(t0 )e"(1-a)Mt

представляет собой по сути одну из множества форм записи общего решения однородного уравнения, соответствующего (6), а второе слагаемое в (14) - асимптотику при больших временах ' частного решения неоднородного уравнения ураг ((). Совершенно оче-

отрезке 3 е [0 ,'], т. е. в интеграле J2 , введем замену переменной % = еп3 . Производя затем обобщенное разложение в ряд по степеням << 1, получим

еП' -1+(1-а)^

видно, что ЛЬст(t )"

гра 1

М-

t^cc

t

. Соответственно

->0, в свою очередь

м

илог = iim uлог (() _ t

s U-a

м

. Примечательно, что этот

Как отмечалось, в произвольном случае последний может быть взят только численно без особых проблем с использованием соответствующих программ из распространенных систем программирования. В данном контексте нас интересует в первую очередь его поведение для больших значений времени * , иными словами, при ' ^ ж . Воспользуемся при '0 >> 1 пред-

'0 '

ставлением J = J1 + J2 = }{ ^3+ |{ }d3 , далее на

предел совпадает со значением «магистрали» в задаче Солоу с постоянной численностью трудовых ресурсов, равной численности насыщения, т. е. при L(') е 1. Подобный результат надлежит трактовать как свойство «устойчивости модели», введённое Е.С. Вентцель. Отметим, что подобная устойчивость выводов сохраняется и при других модификациях модели Солоу [18, 19] - при учёте научно-технического прогресса в форме дополнительного экспоненциального множителя, введении «человеческого капитала» по Мэнкью [20] и т. д.

Следует, по-видимому, подчеркнуть, что в модели

1

Солоу с L е 1 магистраль и^ = I — I является

особенным решением соответствующего ОДУ, конкретнее - асимптотически устойчивым в целом в естественной области определения и > 0 положением равновесия (для доказательства достаточно взять удовлетворяющую условиям теоремы Барбашина-

Красовского [12] функцию V(и)=(и - и*) и рассмотреть её производную в силу уравнения возмущенного движения). Для этого решения и определяется оптимальная норма накопления, дающая максимум душевого потребления. В задаче с логистическим законом изменения L(') «квазимагистраль» и*ог не есть решение исходного ОДУ. Рассматривая индивидуальное потребление на траектории илог(',и0,Lо,s) при ' >> 1 , можем записать

а

c(s, t ) = Yn (1 - s J^ + 0(n )+ O^1-^ )

где

я |1-а

л

я, в свою очередь, входит в конкретное определение символов Ландау О. Вывод состоит в том, что при я* = а , удовлетворяющем «золотому правилу экономического роста» на магистрали и, на траектории имеет место предельный переход Ит с(*,') = стах =

' ^ж

Дополним качественный анализ

а

= Уя (1 -а)мр

картины ссылкой на лемму Чаплыгина [13], согласно которой траектория будет заключена строго между интегральными кривыми мажорирующего

(У

и^ = яиг - ¡лиг и минорирующего

g

1

t

0

X

+

u

х

иp = su°a - ( +l(1 - Lo))p, Lo < 1 дифференциальных уравнений при одинаковом условии Коши илог (o) = ug (o) = Up (o) = uo. Графики решений приведены на рис. 2а, б, причем второй из них относится к специфическому случаю «сокращения штатов», когда Lo > 1.

Полученный в результате рассмотрения вышеизложенных примеров вывод о стремлении решения задачи Коши (5) к горизонтальной асимптоте 1

u*=| —I1 а (для закона Мальтуса с кусочно-

постоянным темпом можно принять L = Ln) является следствием вполне очевидного и, по-видимому, по этой причине не приводимого в литературе, обобщения результата Перрона для линейного неавтономного ОДУ первого порядка [14, 15]. Итак, имеет место следующая

Теорема. Пусть функции q((), v(() непрерывны в промежутке [o, + , lim q(t) = х > o, lim v(t) = ф > o .

Тогда для любого решения u(t) уравнения Бер-нулли (5) выполняется 1

тт -П

= —. Тогда L(r) = -

L0e:

ПТ

■. Уравнение (5)

t

„(,) = [ ф\1-а .

(15)

1—а

замены у = и переходим от (5) к (6), а решение последней начальной задачи переписываем в форме

y(( )=-

ul~a + s(l -a)) q(3)efl d3

в,

е (1 -10)+V'

станет ОДУ с малым параметром при старшей производной

е— = я1т-£(г)иа-у(т)и(г), и(0)= и0 . (16) йт

0.43 0 4 0.3S 0.35 0.33 0 3 0.28 0.23 0.23 0 2 0.18 0.15 0 13

Доказательство состоит в том, что с помощью

а

ъ_

/

f- 2

Ж \

4

О 1 2 3 4 5 6 7

9 1Ü 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

f (5) = |(1 -а)(9)й9 = ^ 0

Применим к этому выражению правило Лопиталя,

/ \ „ яа (() ЯХ получим £т у(()= £т —= —.

1

Остается вспомнить, что и = у1-а , и теорема доказана.

Непосредственным следствием является установление факта «устойчивости модели» и в общем случае

т Ф £ , когда д(() = 1т-£ (() и, следовательно, х = 1, а ф = ц , как и ранее.

Интерес представляет более детальное аналитическое изучение поведения решения задачи, в том числе и при г ^ ж . Использование для этой цели квадратур оказывается излишне громоздким, естественным представляется применение асимптотического метода непосредственного интегрирования исходного ОДУ. С этой целью введем в рассмотрение «медленное»

т

безразмерное время т по формуле г = —, где

е

0 < е << 1 - малый безразмерный параметр. Пусть

т _ __

б

/

/ *

s /

/ /

t

\

\ \

V

\

2_ > \ 1

3 - — Sí ЭД

0.77 075 0 73 0.7 0 68 0 65 0 63 06 0 58 0 55 0 53 0.5 0.48 0.45 0 43 0.4

0 0.75 1.5 2.25 3 3.75 4.5 5.25 6 6.75 7.5 8.25 9 9.75 10.5 11.25 12 12.75 13.5 14.25 15

Рис. 2. Интегральные кривые при логистическом законе изменения L(t) в частном случае т = l и иллюстрация леммы Чаплыгина: а: 1 - траектория при l0 = 0,25; 2 - мажорирующая траектория (L(t) = l); 3 - «магистраль»; 4 - минори-рующая траектория (L(t) = L0); б: 1 - траектория при l0= 1,3; 2 - мажорирующая кривая; 3 - «магистраль»; 4 - минори-рующая кривая

В данном случае эффективным оказывается использование метода регуляризации сингулярных возмущений С. А. Ломова [16]. Последний целесообраз-

но применить не непосредственно к (16), а к «приведенному» линейному уравнению:

+ (1-а)у{т)у{т) = (1-аУт-1 (г), у(о) = ы]-а. (17)

dт

В полном соответствии с фундаментальной теоремой А.Н. Тихонова [17] процедура метода предусматривает выделение решения вырожденной (то есть

1оо-1 Т)

при е = 0 ) задачи 1//(г) =-и переход к новой

у(г)

неизвестной функции путем замены у(т) = ^(г)+ z(г). Приходим к уравнению

е^ + (l-а)v(г)z(г) = -еdV , 2(о) = м0-а-^(о). (18)

dг dг

Далее вводим так называемую регуляризирующую переменную

1 т

#(т £) = -(( -a)jV()d6>, #(0) = 0:

0

удовлетворяющую соотношению

£^0

(19)

(1 -a)v(r)

(

dz_

Л

- + z

д z dw

+ £-= -£—?—

дт dт

(20)

регулярной теории возмущений

z = S £z, (т,#).

j=0

—0 + z0 = 0, z0(0,0) = u0 a-w(0), откуда следует.

)())- 0,

т. е. z.

= w )тУ#, а w (0) = u0-a-w(0).

(

(1 - a)v())

д Z1

Л

+ Z1

dWLe-t=-W , ?1(0,0)= 0. (21)

dт

dт

Ясно, что условием отсутствия резонансного члена

типа будет dw0 = 0, из которого следует,

dr

что w0(г) = const, а конкретно w0(т) = Ufa-^(0). Тем самым завершено построение нулевого приближения и главного члена асимптотики:

У0 (т) = у(т) + р0 a +w(0)

Легко видеть, что Z1 (т) = -

w

'(т)

(22) где символ

(1 -а)(г)

«штрих» означает производную по г . Теперь можем записать: ) (г,%) = ^ (г)+м>1 (г) е~% , причем

W1(0)=- Z1 (0) =

(1 -a)v(0)

что вытекает из краевого

условия в (21). Для определения ^(г) составляется уравнение второго приближения:

(1 -a»

при фиксированном г > го > 0 , и «расширенную» искомую функцию двух независимых переменных г и %, обозначаемую как г(г,%,е) и совпадающую с z(г,е) в смысле сужения при % = %(г,е) в согласии с формулой (19). Вычислим производную:

dz д Z д Z д% д Z Ц \ / \д Z

— = — +--— = —+—(1 -а)у(г)—- .

dг дг д% дг дг е д%

Подстановка в (18) приводит к уравнению в частных производных

dZ2

+ Z2

1 dw1 + —1+-1 е 5 =

dz1 dт

dт

=0.

Понятно, что условие принадлежности пространству В безрезонансных решений состоит в том, что

м>{(г) = 0 . Таким образом, и'1(г) = . ^ ((0) ч .

(1 -а)У(0)

Построение первого приближения завершено.

Ограничимся точностью до членов порядка е включительно. Окончательный результат представится следующим образом:

i(r,s) =

W) W0 е

Порядок уравнения (20) уже не понижается при е= 0 и его решение может разыскиваться в виде ряда

+ £

(( (т) + wе-#(т£))+0 (

1

1-a

(23)

При этом представление Zj(г,%) = Zj(г)+ Wj(г)е

обеспечивает принадлежность Z введенному в [16] пространству В безрезонансных решений и однозначную разрешимость в нем последовательных итерационных задач.

В нулевом приближении будем, очевидно, иметь

д Z|

Заметим, что интеграл (19), определяющий явную форму %(г,е), вычислен нами ранее, а строгость

оценки о(е2) в (23) устанавливается соответствующей теоремой из [16]. Выражение (23), уже пригодное для численных расчетов, удобнее представить в «привычном» виде отрезка асимптотического ряда:

1

что

ч(т,£) = ()+ w0 е i^)) +

+_£((т)+ w0 е-#М))х

1 -a

х( Z1(т)+о£2 ).

(24)

Для функции ^о (г) в рамках данного приближения

получено только начальное условие, сама же она определяется из условия отсутствия резонансных членов в решении задачи первого приближения.

Сформулируем задачу для первого приближения:

Кроме того, в [16] показано, что решение (24)

представимо сходящимся рядом по степеням е при не очень стеснительных ограничениях на начальные условия (принадлежит классу 2 в терминологии первоисточника). Кстати, именно такое представление асимптотики было бы получено в результате применения формализма метода С.А. Ломова непосредственно к уравнению Бернулли (17) без использования нелинейной замены, сводящей его к линейному неоднородному ОДУ. Во избежание громоздкости приведем простейшую формулу, вытекающую из (24):

+

z

+

I(t,S) =

р + sp zi

Р

а

Р2а 1 wo1 zl

е +

-w0l + s\( w11 +-—

1-а ^ 1 1 -а

+ o(s2 )+ (25)

где через р(т) = ^1(1-а)(г) обозначено решение вырожденной задачи (16).

Структура формулы (25) типична для сингулярно возмущенных начальных задач: первое слагаемое в правой части представляет собой так называемое внутреннее разложение или «проникающее решение», не удовлетворяющее, вообще говоря, условию Коши, а второе - внешнее разложение или пограничный слой, компенсирующий невязку, порождаемую проникающим решением. При использовании решения в форме (25) wo для удовлетворения краевому условию в нулевом приближении необходимо заменить на wo1, определяемое из соотношения pa(o)wo1 = (1 -а)ио -р(о)]. -2Е

С учетом экспоненты е ь нахождению будет подлежать wo2, причем как меньший корень некоторого

квадратного уравнения и т.д. В свою очередь w^ определится из условия равенств нулю при т = o члена порядка s в выражении (25). На рис. 3 представлены результаты расчетов, приведены графики «точного» численного решения ОДУ (17), асимптотических решений, построенных по формулам (24) и (25), «вырожденного» решения р(т).

Упомянутые в начале статьи модификации структуры модели - введение отчислений в бюджет, выделение инвестиций в инфраструктуру, применение модели к отдельным отраслям, - кратко описаны в [18, 19] и подробнее составляют предмет отдельной статьи.

Отметим также, что последовательное масштабирование и переход к безразмерным величинам не только сокращают число экзогенных параметров, но и, упрощая модель, существенно облегчают её исследование.

1 8

J

4V э и 'б

/ И

V /■'■'— ч4

/1 V_ 7

Рис. 3. Сравнение результатов численного и асимптотического решения уравнения (16): 1- график «точного» численного решения; 2- решение вырожденной задачи <р((); 3 - главный член асимптотики по формуле (24); 4-асимптотическое решение (24) с учетом слагаемого порядка е; 5 - график главного члена асимптотического разложения по формуле (25); 6 - приближенное решение, построенное по формуле (25) с точностью до е включительно; 7 -минорирующая кривая; 8 - мажорирующая кривая

+

Литература

1. Арнольд В.И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М., 1978.

2. Клейнер Г.Б., Пионтковский Д.И. // Экономика и математические методы. 1999. Т. 35. № 2. С. 124 -137.

3. Задорожный А.И., Ильичева В.В. // Экология. Экономика. Экспертиза. Информатика. Ростов н/Д, 2002.

С. 173 - 175.

4. Кучин Б.Л., Якушева Е.В. Управление развитием экономических систем. М., 1990.

5. Бугаян И.Р. Макроэкономика. Ростов н/Д, 2000.

6. Иванилов Ю.П., Лотов А.В. Математические модели

в экономике. М., 1979.

7. Задорожный А.И., Ильичева В.В. // Вестник РГУПС. 2002. № 3. С. 121 - 126.

8. Горстко А.Б., Угольницкий Г.А. Введение в моделирование эколого-экономических систем. Ростов н/Д, 1990.

9. Самарский А.А., Михайлов А.П. Математическое моделирование.М., 2001.

10. Филиппов А.В. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. М., 1985.

11. Жак С.В. Экономика для инженеров. М., 2004.

12. Барбашин Е.А. Введение в теорию устойчивости. М., 1967.

13. Метод векторных функций Ляпунова в теории устойчивости / Под ред. А. А. Воронова, В.М. Матросова. М., 1987.

14. Сансоне Дж. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Т. II. М., 1954.

15. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М., 1965.

16. Ломов С. А. Введение в общую теорию сингулярных возмущений. М., 1981.

17. Васильева А.Б., Бутузов В.Ф. Асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных уравнений. М., 1973.

18. Жак С.В. // Модели и дискретные структуры. Элиста, 2002. С. 44 - 50.

19. Жак С.В. // Мировая экономика и бизнес - управление. Минск, 2004. С. 56 - 57.

20. Мэнкью Н.Г. Макроэкономика. М., 1994.

Ростовский государственный университет_21 февраля 2006 г.

1.