CC BY
26
УДК 621.313.333
В. И. Луковников, д-р техн. наук, проф., А. В. Козлов
АДЕКВАТНОСТЬ МОДЕЛЕЙ АСИНХРОННОГО ДВУХФАЗНОГО ЭЛЕКТРОДВИГАТЕЛЯ ВО ВРЕМЕННОЙ, ОДНОМЕРНО-ОПЕРАТОРНОЙ И МНОГОМЕРНО-ВРЕМЕННОЙ ОПЕРАТОРНОЙ ОБЛАСТЯХ
В статье приводится анализ моделей двухфазного асинхронного электродвигателя, представленных в идее системы дифференциальных уравнений, традиционном операторном и новом многомерно-временном видах.
Введение
В технике автоматического управления широко распространены системы, элементы которых имеют нелинейности типа «произведения», которые возникают в соответствии с законами Ампера (электрический ток х магнитная индукция), Фарадея (скорость перемещения х х магнитная индукция), Максвелла (магнитная индукция х магнитная индукция), сохранения энергии (электрическое напряжение х электрический ток и сила х х перемещение). Произведения различных переменных (координат) имеются в самонастраивающихся, инвариантных, нелинейных и других системах автоматического управления, использующих модуляцию или имеющие периодические параметры. Произведения переменных сигналов появляются и в безредукторных электроприводах, создающих шаговое, колебательное, шагово-колебательное и другие виды периодического движения.
В такого рода системах сигналы представляются в виде произведения по меньшей мере двух временных функций, причем по меньшей мере одна из них является периодической.
Наиболее распространенным методом анализа подобных систем является одномерное интегральное преобразование Лапласа. Такое преобразование широко используется при представлении
математических моделей электромеханических преобразователей передаточной функцией в составе систем автоматического управления. Широко распространено также использование математической теории дифференциальных уравнений.
Недостатки традиционных метод о в анализа, базирующихся на одномерном преобразовании Лапласа, где произведения функций представляются в виде интегралов свертки, очевидны и общепризнаны (громоздкость аналитических преобразований, в большинстве случаев получение приближенного конечного результата).
Использование многомерного преобразования Лапласа функций многих переменных дает возможность уйти от необходимости вычисления интеграла свертки, тем самым упростить анализ систем автоматического управления, где имеются нелинейности типа «произведения», а также различные модуляции сигналов.
Уравнение и структурная схема двухфазного асинхронного электродвигателя во временной области
В [1, 2] получено уравнение движения ротора двухфазного асинхронного электродвигателя (АД) в следующем
виде:
J • — — — • |ив ■ Г и • Аї—и • Г ив • А — А Я 1 в Г а а Г в
— ш
• (Г ир • А)
(1)
где иа, и в — напряжения на обмотках
управления и возбуждения; ш - скорость вращения двигателя; J — момент инерции двигателя; Я - приведенное сопротивление обмотки ротора.
По уравнению (1) построим структурную схему двухфазного асинхронного
электродвигателя во временной области (рис. 1) при амплитудной модуляции напряжения
и а = т• иу = °. г • иут • С08(ш о • о
и напряжении возбуждения
ив = ивт • г).
На структурной схеме через
^ = —1— обозначен коэффициент пе-Я • J
редачи электродвигателя.
т
X
и,
и,
хр
-г-Н
_Г V
І р4хрі<2И;гЧ2Н к Н г
X
■У ВХ 2
У ВХ 2
уос
X
X
ш
х.
и
І
х
в
І
Рис. 1. Структурная схема двухфазного асинхронного электродвигателя во временной области
Определение скорости вращения двухфазного асинхронного электродвигателя во временной области
По структурной схеме входной сигнал уВХ будет определяться из выражения
у ВХ у ВХ 1 у ВХ 2 ■
(2)
где
(
УВХ1 —
| |иут -О-і• соз(ш0 • і)Аі
УВХ 2
Хивт - 51П(шо - І),
іивт - - І)АІ
V
Х иут І • СОз((Ш0 • І).
(3)
Х
х
Интегрируя интеграл в выражении (3) по частям, получим
ха =
|и ут О-X- соб(ш0
Г и,.
■ зт(шО • X) + Сх • О • X -
п.Ц
и,,
ш,
■зт(шО 'X) + С1 dX =
Г и ут
V ш
иут ут О
шО
Л
зт(шО -X) + Сх -О-X +
у
соб(Шо - X) — С - О - X + С2
+
Зададим начальные условия таким образом, чтобы постоянная интегрирования получилась равной нулю:
и О и -О.
ха (0) = ^^- = -^- + С ,
шо
шо
откуда С2 = 0.
Таким образом, уВХ1 будет определяться следующим выражением:
Гиут о
УВХ1
ут
V шо
-•X• 8т(шо -X) +-
Л
ут
х • ивт • 8Ш(СОо •X) =-
шп
иУт О • и
• С08(шо • X)
О
х| шо -X-8т2(шо -X) +
8т(2- шо -X) 2
(5)
Интегрируя выражение (4), получим
увх 2 = ХР • иа
и в,
V шо
■ • соб(ш0 -X) + С
х иут 0- X• С0»(шо ^).
Учитывая начальные условия х р (0) = — , получим
шО
у ВХ 2
и в,
шг
- • С°8(шо ^) ' иут 0-X• х
х соб(ш0 -X) = —
ивт • иут • О
вт ут
шг
хшо -X-С0Б2(шо -X).
(6)
Таким образом, согласно (2), (5), (6), входной сигнал уВХ (X) будет определяться следующим образом:
иут 0- ивт
увх =-----------------------:-х
О
о
х| шо - X-б1п2(о0 -X) +
б1п(2- шо -X) 2
+
+ ивт иут 0 , 2 /
+-----------г--------ш0 - X- С0Б (шо -X) =
шо
и -О-и Г
ут вт
шО
Ш о -X +
б1п(2- шо • X) 2
Асинхронный двухфазный электродвигатель как фильтр низких частот не пропускает частоты, выше несущей, поэтому колебания бш(2 • ш о • X) или
соб(2 • ш о • X) не будут пропущены на выход, и тогда, учитывая это, можно записать
иут ' 0 ' и вт ^
увх =-----------------------X .
шо
(7)
Согласно структурной схеме (см. рис. 1) определим опорный сигнал х^:
ХР = ([ивЛ)2 = ([ивт ' X)dX^ =
V Шо
-• соб(ш0 -X) + С
С учетом начальных условий
х в (0) = — получим С = 0 и тогда
шо
х
х
х
х
2 и 2
Хв — ~СО® (Ш0 •І) — шо
и2 (11 ^
——г•! _ + _^08(2 •ш0 •і) I.
ш2 V 2 2 ' 0 ’)
и
Отбрасывая член —^•со®^ш0 •і)
получим
2 • ш°
и2 х 2 _ вт
Р _ о „2-
2^ ш
(8)
0
Используя структурную схему (см. рис. 1), выражения (7) и (8), составим дифференциальное уравнение, описывающее двухфазный асинхронный электродвигатель:
АШ , и 1т 'К ш К ^ и вт * и ут О і
■ +--------—• ш —----------------------------і.
сі 2 ш 02
Решая это неоднородное линейное уравнение первого порядка, и имея в виду, что ш(О) = О , получим
+ 4-
и вт
и-О^ш
!• і — 4^ иут;Ош0 +
и 1т-К
ут
и ГК
ив3т К
ш0
Уравнение и структурная схема двухфазного асинхронного электродвигателя в одномерно-операторной области
Запишем уравнение (1) в операторной форме и по нему построим структурную схему двухфазного асинхронного электродвигателя для одномерной операторной области (рис. 2).
е
иу(Р)
М(р)
1 Г и„(р) 1
X р X а к
и в(р)
—►
1_
р
X Р(Р)
X
Увх 1(р)-^ У ( р)
X
УВХ 2 ( р)
УВХ 2( р )
X в(р)
1
к -►
р
Ж(р)
Уос(р)
X
Ж(р)
X Р(р)
Рис. 2. Структурная схема двухфазного асинхронного электродвигателя для одномерной операторной области
р^(р) + КУос(р) — КУвх(р), (10) Уос(р) -1
где
УВХ(р) — 1 К -К • А — иа • Іив •Аі};
ш(Г
Используя (9) и учитывая, что
б1п(ш0 • 1) — соб(ш0 Л + —), найдем уВХ :
г и
увх — ивт • 81п(ш0 • і) • І иаА + иа • “^ • С08К • і) — ■' ш0
— —ивт ■ С08К • і + П) • і иаА + иа-------------- • С08К • іУ
9 -1 ш0
Определение скорости вращения двухфазного асинхронного электродвигателя в одномерно-операторной области
иа ( р ± ]• ш0) —■
2
•М(р). (13)
Подставив (13) в (11), найдем
Используя (1о) и переходя к изображениям, получим
УВХ (р) —
— Л иа (р — ]• ®0) + ~ Ха (0)
+
р — ] ^0
+----------иа ( р — ]• ®0)
+
[ • ]
ив.
2^ шп
(р — ]• 2 ш0 )—а ( р — ]• ®0) —
]• ®0
•Ха (0)
- +
р — ] ^0
+
[ ГІ
и • О
где Ха (0) — ут
— начальные условия,
а [ ]* — операторное выражение, сопряженное с первым слагаемым.
Запишем изображение сигнала иа в одномерной операторной области:
иа (р)=иут • [(р—[ • Шо) + М(р+у • Шо)];
2
и.
иа (Р — 7- ШО) = ^2^-[М(^ — М 2 - ШО) + М(Р)],
иа(р+У • Шо) = . [(р) +М(р+у • 2-Шо)]. (12)
Учитывая сделанные ранее допущения, опустим в выражении (12) изображения М(р ± у • 2 • ШО), и тогда имеем:
УВХ (р) —
и
2^ шг
] ^0
р—]•2 ш0 )—2тм(р)— 2
.(0)
р — ]• ш0
+
О
(11)
УВХ (р) —
2 •ш0
иу
• М(Р)•(2• р2 + 4 ш2) + ш2 • Ха (0)
2 2 р +шо
-г иутр2 + 4ш^) + 2р2 ^ • Ха(0)
2 • ш0
2 • р2 V +ш2)
- — -О 1
вт ут -1-
ш0 р2
Уос (р) —
и в
2 • ш 0
•Ж (р).
+
где М (р) =-----амплитудная модуля-
р2
ция напряжения управления.
Окончательно изображение УВХ(р) запишем следующим образом:
Используя выражения (8) и (9), найдем изображение УОС (р):
Изображение скорости вращения Ж(р) по (9) будет
X
х
Х
2
Х
2
Х
X
2
Х
W (p) = -
ш
1
p іK--v
(14)
p2
V
2 •ш
2
o У
Раскладывая (13) на простейшие дроби, окончательно получим
u • а • ш o 1 W (p) = 2^ -^—-----------^ • —
Um P
— 4 • Uym і
u L-K p
14
Uym ‘ а • Ш0
u i-K
_____________вш
■Л 2
2 ш 20 У
Во временной области
(15)
0 U ym ' а^ ®o t 4 U ym ' а • Ш0 і
ш = 2^—-------------------1 — 4^ —^---------------1
U i-K
3 - 2, • к • t
14 Uym ^ 2-®0
—L-K '
(16)
Структурная схема двухфазного асинхронного электродвигателя в многомерно-временной операторной области
Используя многомерно-временной операторный метод [3], а также принятые допущения, что
—= const, изобразим структур-
Х2 = Лр
2 • шг
ную схему для многомерно-временной операторной области (рис. 3).
^Х 1(Pl Po, Ps)
Рис. 3. Структурная схема двухфазного асинхронного электродвигателя для многомерновременной операторной области
Определение скорости вращения двухфазного асинхронного электродвигателя многомерно-временным операторным методом
Найдем многомерно-временные
изображения сигналов и а, ир согласно [3]
а U • P0
U а (P1, P2) = M (P1) • Uy (P2) = — •-f-Щг
p1 P2 і Ш0
U в (P3) = -
ш
3 / в^ 0 0 '
P30 іш0
В многомерно-временной операторной области входной сигнал
x
x
1
УВХ (р1, р2, р3) будет определяться следующим образом:
¥ВХ (р1> р2. рз) = ¥ВХ 1 (Л> р2. рз) —
— 7ВХ 2 (р2> рз) = иа (р1> р2) х
Po) = Q tl •"
Uy
ym
22 Po ^
— а • 1(t1)
Uy
p0Tp0r+^
і e
-Potі
Uym а
Po4p0r^^'
(17)
-------------U в( P3) — U в( P3) — x
Pl і P 2 P3
— , Л а Uym •Po
X Uа (P^ Po) = “Г • 0 і 2
pl po і шо
2 2 2 2 Pl і P2 P3 P3
l а uym-p o Л
■•-Г J, 2 = A(PlPo) x
P3 Pl Po і Ш0
-вт 'Ш0 2 2 P3
— B (Pз).^.•
а U ym P 2
где
„ Л а Uym * P 0 1
А(Pl Po) = —•—-----------Т---------
Pl Po іШ0 Pl і Po
D( p ) = Uвт ' Ш 0 1
B(p3) = 9 0 •
P3 іШ0 P3
Разложим pj, p2) на простейшие дроби, считая p2 = const [3]:
A( Pl, Po) ^ -ym
а
1> rot 0 0,0
Pl Po іШ0 Pl
Uy
1
uym • а
Po
■ (p0іш0)
Pl і Po Po
' (po0 іш°)
Переходя во временную область по оператору р1, получим
Раскладывая второе и третье слагаемые в выражении (17), считая р 2 = уаг [3], на простейшие дроби, получим
A(t1, Po) = Q t1 •
U
ym
22 poі Шo
— а • l(t1) x
ГUym 1 Uym • Po
0 - --op і
VШo Po Шo\Po -Шo,У
IU ym 1 U ym * P 2 ^
I
і а e
o
2 p ш2 pp 2 і ш2
Шo Po Шo\P2 іШ
o
Во временной двумерной области получим
и О
a(Xl,X2) = ——-X1 • 8ш(шо • X2) — О• 1(X1) х
ш
Г и
ут
U
Л
22 КШо
1(to)-------
ш
і
Uy
іа^ —^l(t 2 —11)—а^
иУ
ш
ш
x COS((X) o • (t2 — tl))
Считая t1 = 10 = t, найдем a(t) :
а—
a(t) = -
ш
Uy
ym t sin^ •t) і
а • иУ„
і-
ш
•cos(шO •t) — -
2
ш
где Х а (0) =
-- начальные усло-
ш
вия.
Выражение а(}) будет выглядеть следующим образом:
х
x
x
x
x
X
x
X
X
X
X
а(і) —---------— 8Іп(шо -і) +
шо
О • и
+ -
ут
ш
соб(ш0 •і).
(18)
Отбрасывая колебания типа 8іп(2• ш0 •і), получим результат:
и О^ и
^ ут ^ вт .
увх ——-----------------------і . (20)
шп
Разложим В(р3) на простейшие дроби:
В(р3) — - -вт 'Ю°
вт о .
Рз ( + ®')
1
- вт’Рз
(Рз +®2 ).
Выражения (7) и (2О) полностью совпали, что подтверждает правильность проведенного расчета.
Многомерное изображение сигнала угловой скорости вращения
Ж(р1, р2, р3), согласно структурной схеме (см. рис. 3), можно определить в виде:
Отсюда оригинал Ь(і):
Ь(і) — —Г — —^ С0Б(шо -і) + хр(0) —
шо шо
шо
•С0Б(шо •і),
(19)
где хр(0)— —
ив
ш
начальные условия.
Вычитая из выражения (19) выражение (20), получим
УВХ (і, Рl, Ро, рэ) —
V шо
■ • і • БІп(шо - і) + -
О •
ш.
•С0Б(шо •і)
-Г -шо ( -
р3 +ш
о V шо
-•С08(шо •і)
О -ут-Рі 2 2 2 ' Р1 Р2 +шо
В результате перейдем во временную область и получим
—ут — вт О ^
увх ------------------------і Х
шо
х(б1п2(шо Р) + С0Б2(шо - і))-
ит— Г О
+-
2^ ш2
-ут- г О (
шо
s1n(2• шо •і) —
s1n(2• шо •і)^
шоР + -
2
Ж (Рl, Ро, Рз) — Увх (Рl, Ро, Рз) Х Х ^(Рl, Ро, Рз), (21)
К-
1
где ^СР1а Р2, Рз) —-
Р1 + Р2 + Рз
1+К^х,
1
в
Р1 + Р2 + Рз
Постепенно переходя по операторам р1, р2, р3 во временную область (21), получаем результат:
ш 2 иут ’О^ш
ш — 2 •
и в,
!• і — 4 -уг 'О^0 +
- Г К
3 —вт к і
+ 4 -ут 'О^0 е
ив3т К
(22)
Выражение (22) совпадает с (9) и (16), что убеждает в адекватности рассмотренных методов.
Заключение
Анализ моделей асинхронного двухфазного электродвигателя во временной, одномерно-операторной и
многомерно-временной операторной
областях подтвердил их адекватность.
Кроме того, выяснилось, что использование многомерно-временного операторного метода анализа имеет следующие преимущества:
1) удобное представление произ-
2
Х
ведений переменных, в связи с чем получается компактное структурное изображение модели;
2) упрощение анализа, поскольку одномерно-операторный и временной методы связаны с применением интегралов свертки для произведений переменных и решением дифференциальных уравнений.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Власов, Н. П. Теория линейных следящих систем, работающих на переменном токе / Н. П. Власов. - М. : Энергия, 1964. -С. 1О3-128.
2. Луковников, В. И. Электропривод колебательного движения / В. И. Луковников. -М. : Энергоатомиздат, 1984. - С. 91-96.
3. Козлов, А. В. Многомерно-временной операторный метод анализа и синтеза элементов САУ / А. В. Козлов // Вестн. ГГТУ им. П. О. Сухого. - 2ОО5. - № 4. - С. 37-48.
Гомельский государственный технический университет им. П. О. Сухого
Материал поступил 25.04.2006
V. I. Lukovnikov, A. V. Kozlov Adequacy of anisochronous two-phase electric-engine models in temporal, monofunctional and multidimensional operational fields
Gomel State Polytechnic University named after P. O. Sykhoi
The present article gives the analysis of two-phase anisochronous electric-engine models shown in the system of differential equation, traditional operational and a new multidimensional form.
