Типовые многомерные динамические звенья Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 681.5.03.035

ТИПОВЫЕ МНОГОМЕРНЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ ЗВЕНЬЯ

В.И. ЛУКОВНИКОВ, А.В. КОЗЛОВ

Гомельский государственный технический университет имени П.О. Сухого, Республика Беларусь

В работе [1] был предложен многомерный операторный метод анализа систем автоматического управления (САУ), работающих на несущей переменного тока, использующих модуляцию-демодуляцию, имеющих нелинейности типа «степень» или «произведение», которые объединяет то, что их сигналы представляются в виде произведения, по меньшей мере, двух временных функций.

В отличие от традиционных методов анализа таких систем, базирующихся на представлении произведений функций с помощью одномерного преобразования Лапласа, в этой работе используется многомерное преобразование Лапласа [2] и его модификация по Луковникову [3], что позволяет устранить необходимость определения интеграла свертки и связанные с этим неудобства.

Далее в настоящей статье будет развиваться метод типовых многомерных динамических звеньев, основы которого были заложены в [1].

1. Передаточные функции типовых пассивных многомерных звеньев

Под пассивным многомерным звеном понимается звено, входной и выходной сигналы которого имеют одинаковую размерность. Например, если на входе многомерного пассивного звена имеется двумерный сигнал Хвх (рх, Р2) , то на его выходе будет тоже

двумерный сигнал ХвЫх (Р1, Р2 ) .

На примере форсирующего звена первого порядка покажем, как, используя свойства многомерного преобразования Лапласа [2,3], можно получить передаточные функции типовых пассивных многомерных динамических звеньев.

Известно, что форсирующее звено первого порядка описывается дифференциальным уравнением

dX (I)

Хвых (I) = Т • —— + Хвх (I), где Т - постоянная времени. (1)

Если входной сигнал представлен в многомерном временном виде

П

Хх (I) = П Хвхк (I, ), то уравнение (1) можно записать в многомерном операторном виде,

k=1

П П П

следуя [ 1,3] как Хвых (Ръ P2, ■■■ • Рп ) = Т • Е Pk • П Xвхk (Pk ) + П Xвхk (Pk ) ,

k=1 k=1 k=1

где Р1, Р2, — , рП - операторы.

Отсюда видно, что передаточная функция форсирующего звена первого порядка будет определяться следующим соотношением:

Щр 1, Р2...Рп ) = Х°Ы‘('Р''Р2'- •Р)) = Т •¿р, + 1. (2)

Х вх (р1, р2 • ••• • рп ) ,=1

Полученные подобным (2) образом передаточные функции типовых пассивных звеньев сведены в таблицу 1, где через К обозначен коэффициент передачи, а через ^ - коэффициент затухания.

2. Передаточные функции типовых активных многомерных звеньев

Под активным многомерным звеном понимается звено, входной и выходной сигналы которого имеют разную размерность. Например, если на входе многомерного активного звена имеется одномерный сигнал Хвх (р1), то на выходе его сигнал будет по меньшей

мере двумерным Хвых (р!, Р2).

Таблица 1

Передаточные функции типовых пассивных многомерных звеньев

№ п/ п "'''---.Размерность ^'''''•-.звеньев Тип звеньев^^^^ Одномерные Многомерные

Двумерные п - мерные

1 Безинерционное к к к

2 Идеальное дифференцирую щее Т • р Т ^р1 + р2) р1 Т

3 Форсирующее первого порядка Т • р +1 Т ^р1 + р2) +1 п т •Х рк +1 к=1

4 Форсирующее второго порядка Т 2 • р 2 + + 2 Т • р +1 Т 2 •(р1 + Р 2 ) 2 + + 2 •£•Т •(р1 + р2)+1 Т 2 + 2 • ґ п Л Ё рк V к=1 у п #•Т •Ё к=1 2 + рк +1

5 Идеальное интегрирующее (т • р)-1 [т •(р\ + р2)]_1 ^ п Т • Ё рк V к=1 Ї“1

6 Апериодическое первого порядка (Т • р +1)“1 [т •(р\ + р2) +1]_1 V N “1 п 1 Т •Ё рк +1 к=1 у

7 Апериодическое второго порядка (Т 2 • р 2 + + 2 •£• Т • р +1)“1 [Т 2 •(р1 + р2 ) 2 + + 2 ^ Т •(р1 + р2 )+1]“1 / Т 2 • V + 2 •# п V Ё рк к=1 у п •Т •Ё р к=1 1 + п-1 к +1

Такими звеньями в системах автоматического регулирования на несущей переменного тока являются модуляторы, демодуляторы и их последовательное соединение через пассивные четырехполюсники [4].

Будем рассматривать амплитудную модуляцию в предположении, что модулятор и демодулятор представляют собой идеальные балансные устройства, перемножающие входные и опорные сигналы. Тогда в одномерной временной области ї выходной сигнал Хых (ї) последовательного соединения «модулятор - четырехполюсник - демодулятор» можно записать через входной сигнал Хх (ї) в виде

Хвых (ї) = Хвх (ї) • Хт (ї) • F(ї) • Ход (ї), (3)

где Хом (^), Ход (^) - опорные временные сигналы модулятора и демодулятора, а Г(^) - временная передаточная функция четырехполюсника.

Введем искусственное трехмерное независимое временное пространство, так что выражение (3) примет вид

Хвых (^1, t2,13 ) = Хвх ^1) ■ Хом (2 ) ■ Г(*\,12 ) ' Ход (13 ) . (4)

Тогда трехмерное изображение выходного сигнала (4) по Лапласу согласно [1] можно представить как

Хвых (Р1, Р2 , Рз ) = Хвх (Р1) ' Хом (Р2 ) ' Г(Р1, Р2 ) ' Ход (Рз ) .

Отсюда легко получить передаточную функцию рассматриваемого последовательного соединения

W (Р1, Р2 , Рз) = ХвЫХР1^ = Хом (Р2)' Г Р Р2)' Ход (Рз) . (5)

Х вх (Р1 )

Полученные подобным (5) образом изображения выходных сигналов и передаточные функции типовых активных многомерных звеньев сведены в таблицу 2, где также представлены их функциональные схемы. Структурные схемы этих звеньев изображены на рис. 1.

Таблица 2

Передаточные функции типовых активных многомерных звеньев

№

п/п

Тип

активного

звена

Функциональная схема

Изображение выходного сигнала и передаточная ______функция звена______

Идеальный

модулятор

(демодулятор)

*.<0 гг1

X

о

хвых ( рь р 2) = хвх ( Р1^ хом (р 2)

W(Р1, р2) = хом(р2)

Модулятор-

демодулятор

Хвых(рь р 2, р3) = х вх(рі) х ххом(Р2^ход(рЗ)

W(Р1, р2, рЗ) = х ом(р2) • ход(рЗ)

х вых (0 = хвх(^) • хом(^) •х од ()

Модулятор-

пассивный

четырехполю

сник

демодулятор

Хвых (*) = Хвх (І)• Хом (І)•

•^ е )• х0д а)

х вых(Р1, р 2, р3) = Хвх(рі) х ххом(Р2^^(Р1,р2)^ход(р3)

W(Р1, Р2, Р3) = хом(Р2) х х ^(Р1, Р 2)^ ход(Р3)

Х (р2)

ом\± 2 /

*еых (Рь Р2)

а)

1

2

3

в)

Рис. і. Структурные схемы идеального модулятора (а), модулятора - демодулятора (б), модулятора - пассивного четырехполюсника - демодулятора (в).

Правила структурных преобразований схем с многомерными звеньями аналогичны правилам преобразования обычных структурных схем с одномерными типовыми звеньями [1]. Исключение составляет лишь учет обратных связей в схемах с активными многомерными типовыми звеньями.

3. Анализ активных многомерных звеньев с обратными связями

В работе [1] интуитивно было высказано предположение, что «...рассматривать многомерную передаточную функцию для соединений с обратными связями имеет смысл только для пассивных четырехполюсников, поскольку в случае активных четырехполюсников число независимых переменных увеличивается бесконечно».

Детальное изучение этой задачи показало, что высказанное предположение неверно. Действительно, рассматривая одиночный модулирующе-демодулирующий четырехполюсник с единичной отрицательной обратной связью (рис. 2а), можно в одномерной временной области записать выражение для выходного сигнала в виде

Хвых (I) = [Хвх (I) - Хвы,х (I)] ' I(I),

I (I)

= хвх 0 )• (Р(1).

1+1 (I)

Теперь видно, что введение обратной связи просто преобразует исходный блок перемножения в новый блок перемножения без обратной связи, но с другой опорной

I ^)

временной функцией (р^) = 1 + I ^) .

По аналогии с вышеизложенным этот выходной сигнал в искусственной временной области можно записать через две, а не бесконечное число различных независимых временных переменных, как предполагалось в [1].

Итак,

а)

Хвых (t) •-----------►

б)

Хвых (Pb Р2)

в)

Рис. 2. Разновидности структурных схем активных четырехполюсников с обратными связями: в мгновенных значениях (а, б), в операторном виде (в).

Хвых (t1,t2 ) = Хвх (t1)- P(t2 ) •

В двумерной операторной области это соотношение запишется обычным образом: Хвых (Ph Р2) = Хвх (Pl) •^(Р2). (6)

где (р(p2) = l\ 2 ^ I - одномерное операторное изображение функции

[ 1 + f (t2 ) \

P(t2) = 1 ^f ) Чере3 оператор Р2 •

Выражение (6) соответствует структурной схеме на рис. 2в, где активный (перемножающий временные функции) четырехполюсник заменен на пассивный с передаточной функцией р(р2) .

Выражение (6) можно использовать и для других схем активных многомерных типовых звеньев, определяя соответствующим образом аналитическое выражение временной функции p(t) •

Так, например, для схемы, представленной на рис. 2б,

) = Wi(t) • f (t) • W2(t)

1+w?(t) • Wi(t) • f (t) • W2 (t) u

Определение функции р (t) представляет определенные трудности, так как в общем случае приходится решать получаемое из (7) дифференциальное уравнение с переменными параметрами

[р(< W (t) • Wi(t) • f (t) • W2 (t)]. p(t) + p(t) = W (t) • f (t) • W2 (t),

порядок которого определяется порядками временных передаточных функций

Wi(t), W2(t), W3(t )•

4. Примеры использования передаточных функций типовых многомерных динамических звеньев

4.1. Пассивное форсирующее звено первого порядка

Пусть входной сигнал пассивного форсирующего звена первого порядка

Хвх У) = t• этО ^) . (8)

Запишем его в двумерном временном виде:

Хвх , t2) = Хвх1 (t1) • Хвх 2 (t 2 ) = V ^п(° • t2 ) •

Входной сигнал в двумерной операторной области будет определяться выражением

1 О

Хвх (р1, р2 ) = Хвх1 (р1) • Х вх 2 (р2 ) = 2 2 2 •

р1 р2 + О

Выходной сигнал в соответствии с таблицей 1 запишется следующим образом в двумерном операторном виде:

-•[Г- (Р1 + Р2) +1] = —-2' Ю - +

(рЬР2) = 4-^-

Р1 Р2 + га

р1 р| + га2

1 Т-га -р2 1

+----------------------1-----

2 2 , 2 2

(9)

га

22 Р1 Р2 + га

Р1 Р2 + и

По правилам обратного многомерного преобразования по Лапласу [1,2] найдем по (9) выходной сигнал в двумерном временном виде:

Хвых 12 ) = Т• ^п(° •12 ) + Т• Ч О • соэ(о •12 ) + ^ • ^п(° •12 ) •

Перейдем в одномерную временную область, приравняв t1 = 12 = t, и получим:

Хвых^) = Т• эт(ю • t) + Т-1 о • соэО • t) +1 • этО • t) . (10)

В правильности полученного результата (10) можно убедиться прямой подстановкой сигнала (8) в дифференциальное уравнение (1).

4.2. Активное апериодическое звено первого порядка

Пусть входной сигнал последовательного соединения «модулятор - пассивное апериодическое звено первого порядка - демодулятор»

Хвх ^) = t ,

а опорные сигналы

Хом 0) = Хой (t) = sin(t).

Тогда в соответствии с таблицей 2 выходной сигнал в трехмерном операторном виде запишется как

Хвых (Ръ Р2> Рз) = <

где Р(Ръ Р2) =

і

і

і

р2 р2 + і [(рі + р2 ) + і]

і

р3 + і

(11)

і

- передаточная функция двумерного пассивного

(р1 + р2 ) +1

апериодического звена первого порядка при К = 1, Т = 1с.

Сомножитель в фигурных скобках изображения (11) обозначим X2(Р1, Р2) и с помощью разложения на элементарные дроби преобразуем к виду

Х 2 (Рі, Р2) =

Р2 + і

■ + ■

Рі ' (Р2 + і) Рі ' (Р2 + і) (Р2 + і)2 ' (Рі + (Р2 + і))

(12)

і

і

і

і

Перейдем во временную область ^ по величине Р1, используя таблицу одномерных обратных преобразований Лапласа, раскроем скобки и получим по (12)

1

1

1

- + -

1

Р- + 1 (р2 + 1) Р- + 1 (Р- + 1) Р- + 1

1

(Р- + 1)

Вновь используя метод разложения на элементарные дроби, представим (13) в виде

Х 2 (А , Р- ) и1

1

- + —

1

1

. + _•.

1

1 _Р2

2 Р2 + 1 2 Р2 +1 2 Р2 + 1

1

1

2 (Р2 +1)2

11

+ Р^" + А2 (Р2 ) • е УУ2

- (Р2 + 1) • и1

2 Р2 + 1 2 Р2 + 1

По таблице одномерных изображений Лапласа и теореме запаздывания окончательно перейдем в двумерную временную область и получим:

1

1

1

2

1 - и2

------е 2

2

+

,-(и2 - и1 ) + е (и2 - и1 )

- со^(и2 - и1)

(14)

X 2 (и1 ,и 2 ^ = - — • и1 • и 2 ^ + — • и1 • sin( и 2 ^ + — • и1 • е

1 у 1 1 — / \

+ 2• СОЯ(и2 ^ + 2-е • (и 2 - и1 Г

Возвратимся к выражению для выходного сигнала (11) и запишем его как

1

Xвых ^) = X2 (Л , 12 ) • ~2 7,

Pз2 + 1

что в трехмерной временной области дает Хех ) = Х 2(и1> и2)^п(и3 ).

Подставляя сюда выражение (14), заменяя ^ = 12 = 13 = t, окончательно в одномерной временной области получим

1

^ (t) = )•

cos(t) • (1 - t) +1 • ) - в

-1

Точно такой же результат дает непосредственное определение выходного сигнала в одномерной временной области путем решения системы дифференциальноалгебраических уравнений, описывающих активное апериодическое звено первого порядка:

ГХ,ых (и) = Х2 (и)

dX 2 (и)

dt

+ X 2 (и) = ^ sin(t).

4.3. Активное многомерное звено по рисунку 2 в

Пусть в рассматриваемой схеме Xвх(t) = t,

/ (t) = 1(>) , W!(и)

W2(t) =

1

, Wз(t) = К2,

где К1 ,К2 - коэффициенты передачи;

d

Т1,Т2 — постоянные времени; D = — — временной оператор

dt

Прямой подстановкой в (7) найдем

(/) К1Л^ )

Р^ ) = 7-------\-----------------,

(1 + Тг D)• 72 ^ + К2 K1•1(t)

откуда получим дифференциальное уравнение

и

d 2 р dp

Т1 • Т2 • + Т2 • + К1 ^ К2 •1(t^ Р = К1 •1(t) •

В случае Т[ = 0.25с, 7 = 1е, К = К2 = 1 решение этого уравнения при нулевых

начальных условиях будет иметь вид:

р« )=^. в(-2^>‘ +^ЦЗ. в-<2+^>'+1,

2-V3 2 • л/3

что дает изображение

, . 2 + л/3 1 л/3 - 2 1 1

Р(Р2) =----/=---------/=----1-----/=--------/=-----1---•

2 • л/З р2 - (л/3 - 2) 2 • л/3 р2 + (л/3 + 2) р2

Литература

1. Луковников В.И. Многомерный операторный метод анализа систем с модуляцией // Вестник КГТУ, посвящ. 65-летию проф. Соустина Б.П. - Красноярск: КГТУ, 1998.-

С.102-110.

2. Смышляева Л.Г. Преобразование Лапласа функций многих переменных.- Л.: Изд. ЛГУ, 1981.- 132 с.

3. Луковников В.И., Хабибуллин Д.А., Спорик А.Е. Модификация преобразования Лапласа для моделирования систем автоматического управления // Современные проблемы машиноведения. - Гомель: ГПИ, 1998. - Т.2. - С. 68-69.

4. Куракин К.И., Куракин Л.К.. Анализ систем автоматического регулирования на несущей переменного тока. - М.: Машиностроение, 1978. - 238 с.