Аддитивная модель временного ряда Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.862.

Физико-математические науки

Летова Марина Сергеевна, студентка Факультет прикладной математики и механики, Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Пермский национальный исследовательский политехнический университет»

АДДИТИВНАЯ МОДЕЛЬ ВРЕМЕННОГО РЯДА

Аннотация: В статье представлен пример анализа временного ряда с построением аддитивной модели в MS Excel.

Ключевые слова: аддитивная модель, временной ряд, сезонная компонента, сезонная вариация, трендовая компонента, тренд.

Abstract: The article presents an example of time series analysis with the construction of an additive model in MS Excel.

Keywords: the additive model, time series, seasonal component, seasonal variation, the trend component, the trend.

Временным рядом называют ряд последовательных наблюдений, проводящихся через равные временные промежутки: год, месяц, неделю, сутки или даже минуты, в зависимости от характера рассматриваемой переменной. Основными компонентами временного ряда являются:

1) Тренд — это общая долгосрочная тенденция изменения временного ряда, от которого зависит динамика ряда;

2)Сезонная вариация — это краткосрочные систематично повторяющиеся колебания значений временного ряда вокруг тренда;

3) Циклические колебания, описывающие цикл деловой активности, или экономический цикл, состоящий из экономического подъема, спада, депрессии и оживления. Этот цикл повторяется регулярно.

Так как параметрами временного ряда могут быть такие показатели как цены на нефть, валюту и т.д., то временные ряды применяются как в математике, так и в экономике. Например, построенными моделями можно описать будущие объемы потребления ресурсов или товаров. Целью статьи является пошаговое построение аддитивной модели и проверка ее адекватности с помощью коэффициента детерминации, для определения возможности использования результатов в экономическом анализе.

В таблице 1 представлены поквартальные показатели прироста цены некоторого товара на рынке за 9 лет.

1 2 3 4 5 6 7 8 9

1 10,993 8,145 3,13 2,889 1,471 -5,5625 -8,45175 -12,0725 -14,3128

2 9,706 6,253 2,074 0,304 -4,15 -6,8605 -10,198 -13,1478 -16,6283

3 6,531 4,475 2,386 -1,364 -7,006 -8,33325 -12,0613 -14,0265 -17,419

4 7,521 2,88 0,549 -4,653 -5,147 -8,32775 -12,5865 -14,472 -18,0405

Таблица - 1. Поквартальные показатели прироста цены некоторого товара на рынке за 9 лет.

В качестве объясняемой переменной при анализе временного ряда возьмем фактические уровни ряда у, а в качестве объясняющей переменной -время (сквозной номер квартала) г = 1,2,...36.

В таблице 2 произведено выравнивание временного ряда за четыре квартала с помощью метода скользящей средней. Применив этот метод, можно устранить случайные колебания и получить значения, соответствующие влиянию лишь главных факторов. Сглаживание скользящей средней основано на погашении случайных отклонений, так как первоначальные уровни динамического ряда заменяются средними арифметическими внутри выбранного интервала. Данные действия исключают сезонную компоненту из временного ряда.

Сквозной номер Прирост цены Скользящая средняя за четыре квартала Центрированная скользящая Оценка сезонной вариации

квартала средняя

1 10,993 - - -

2 9,706 8,68775 - -

3 6,531 7,97575 8,33175 -1,80075

4 7,521 7,1125 7,544125 -0,02312

5 8,145 6,5985 6,8555 1,2895

6 6,253 5,43825 6,018375 0,234625

7 4,475 4,1845 4,811375 -0,33638

8 2,88 3,13975 3,662125 -0,78213

9 3,13 2,6175 2,878625 0,251375

10 2,074 2,03475 2,326125 -0,25213

11 2,386 1,9745 2,004625 0,381375

12 0,549 1,532 1,75325 -1,20425

13 2,889 0,5945 1,06325 1,82575

14 0,304 -0,706 -0,05575 0,35975

15 -1,364 -1,0605 -0,88325 -0,48075

16 -4,653 -2,174 -1,61725 -3,03575

17 1,471 -3,5845 -2,87925 4,35025

18 -4,15 -3,708 -3,64625 -0,50375

19 -7,006 -5,46638 -4,58719 -2,41881

20 -5,147 -6,144 -5,80519 0,658188

21 -5,5625 -6,47581 -6,30991 0,747406

22 -6,8605 -7,271 -6,87341 0,012906

23 -8,33325 -7,99331 -7,63216 -0,70109

24 -8,32775 -8,82769 -8,4105 0,08275

25 -8,45175 -9,7597 -9,29369 0,841944

26 -10,198 -10,8244 -10,292 0,094044

27 -12,0613 -11,7296 -11,277 -0,78432

28 -12,5865 -12,467 -12,0983 -0,4882

29 -12,0725 -12,9583 -12,7127 0,640175

30 -13,1478 -13,4297 -13,194 0,046212

31 -14,0265 -13,9898 -13,7097 -0,31676

32 -14,472 -14,8599 -14,4248 -0,04716

33 -14,3128 -15,708 -15,284 0,971163

34 -16,6283 -16,6002 -16,1541 -0,47421

35 -17,419 - - -

36 -18,0405 - - -

Таблица - 2. Выравнивание временного ряда за четыре квартала с помощью метода скользящей средней.

Оценка сезонной вариации находится как разность между фактическими уровнями ряда у и центрированными скользящими средними. Вычисление сезонной компоненты приведено в таблице 3:

Показатели Год Номер квартала в году

1 - - -1,80075 -0,02312

2 1,2895 0,234625 -0,33638 -0,78213

3 0,251375 -0,25213 0,381375 -1,20425

4 1,82575 0,35975 -0,48075 -3,03575

5 4,35025 -0,50375 -2,41881 0,658188

6 0,747406 0,012906 -0,70109 0,08275

7 0,841944 0,094044 -0,78432 -0,4882

8 0,640175 0,046212 -0,31676 -0,04716

9 0,971163 -0,47421 - -

Итого 10,91756 -0,48255 -6,45749 -4,83968 Сумма

СРЕДНЕЕ 1,364695 -0,06032 -0,80719 -0,60496 -0,10777

СКОРРЕКТИРОВАННОЕ

8, 1,391638 -0,03338 -0,78024 -0,57802 0

Таблица - 3. Вычисление сезонной компоненты.

В строке СРЕДНЕЕ рассчитаны средние сезонной вариации по годам за каждый квартал и их сумма, равная - 0,10777.

В аддитивной модели сумма всех сезонных компонент должна быть равна нулю (условие взаимопогашаемости сезонных воздействий) [1].

Так как это условие не выполняется, значения сезонных компонент необходимо скорректировать.

В строке СКОРРЕКТИРОВАННОЕ ^ рассчитаны значения сезонных компонент £г как разность между средней сезонной вариацией и корректирующим коэффициентом.

В таблице 4 приведен расчет трендовой компоненты и ошибок.

г У Б У-Б=Т+е Т е еЛ2

1 10,993 1,391638 9,601363 9,811601 -0,21024 0,0442

2 9,706 -0,03338 9,739377 9,019963 0,719413 0,517555

3 6,531 -0,78024 7,311244 8,228326 -0,91708 0,84104

4 7,521 -0,57802 8,099017 7,436688 0,662329 0,438679

5 8,145 1,391638 6,753363 6,645051 0,108311 0,011731

6 6,253 -0,03338 6,286377 5,853414 0,432963 0,187457

7 4,475 -0,78024 5,255244 5,061776 0,193468 0,03743

8 2,88 -0,57802 3,458017 4,270139 -0,81212 0,659541

9 3,13 1,391638 1,738363 3,478501 -1,74014 3,028083

10 2,074 -0,03338 2,107377 2,686864 -0,57949 0,335806

11 2,386 -0,78024 3,166244 1,895226 1,271017 1,615485

12 0,549 -0,57802 1,127017 1,103589 0,023428 0,000549

13 2,889 1,391638 1,497363 0,311952 1,185411 1,405199

14 0,304 -0,03338 0,337377 -0,47969 0,817062 0,667591

15 -1,364 -0,78024 -0,58376 -1,27132 0,687567 0,472748

16 -4,653 -0,57802 -4,07498 -2,06296 -2,01202 4,048233

17 1,471 1,391638 0,079363 -2,8546 2,933961 8,608124

18 -4,15 -0,03338 -4,11662 -3,64624 -0,47039 0,221265

19 -7,006 -0,78024 -6,22576 -4,43787 -1,78788 3,196527

20 -5,147 -0,57802 -4,56898 -5,22951 0,660527 0,436297

21 -5,5625 1,391638 -6,95414 -6,02115 -0,93299 0,87047

22 -6,8605 -0,03338 -6,82712 -6,81279 -0,01434 0,000206

23 -8,33325 -0,78024 -7,55301 -7,60442 0,051416 0,002644

24 -8,32775 -0,57802 -7,74973 -8,39606 0,646327 0,417739

25 -8,45175 1,391638 -9,84339 -9,1877 -0,65569 0,429929

26 -10,198 -0,03338 -10,1646 -9,97933 -0,18529 0,034332

27 -12,0613 -0,78024 -11,2811 -10,771 -0,51008 0,260186

28 -12,5865 -0,57802 -12,0085 -11,5626 -0,44587 0,198803

29 -12,0725 1,391638 -13,4641 -12,3542 -1,10989 1,231857

30 -13,1478 -0,03338 -13,1144 -13,1459 0,031461 0,00099

31 -14,0265 -0,78024 -13,2463 -13,9375 0,691266 0,477848

32 -14,472 -0,57802 -13,894 -14,7292 0,835177 0,69752

33 -14,3128 1,391638 -15,7044 -15,5208 -0,18364 0,033724

34 -16,6283 -0,03338 -16,5949 -16,3124 -0,28249 0,0798

35 -17,419 -0,78024 -16,6388 -17,1041 0,465315 0,216518

36 -18,0405 -0,57802 -17,4625 -17,8957 0,433226 0,187685

Таблица - 3. Расчет трендовой компоненты и ошибок.

В столбце У-Б=Т+е элиминируется влияние сезонной компоненты [2].

Оценку параметров тренда произведем с помощью Т = ао + , где а0 и а1 характеризуют точку пересечения с осью ординат и наклон линии тренда. Для

определения коэффициентов прямой, наиболее приближенной к тренду, используем MS Excel, в частности, функцию ЛИНЕЙН, которая проводит оценку методом наименьших квадратов параметров уравнения линейной парной (множественной) регрессии.

Синтаксис: ЛИНЕЙН (известные_значения_у; известные_значения_.х; константа; статистика). Полученное уравнение тренда:

T = 10,603 - 0,792t.

В столбце e таблицы 4 записаны теоретические значения трендовой составляющей, а в последнем столбце eA2 остатки модели. Сумма квадратов отклонений равна £ = 31,914.

О'

Коэффициент детерминации (R ) — это доля дисперсии зависимой переменной, объясняемая моделью, то есть объясняющими переменными. Его рассматривают как общезначимую меру зависимости одной случайной величины от множества других.

R2 = 1 -

lei

Ш-уУ

Среднее значения:

-145,514

У = — =-гт-= "4,042

п 36

Я2 = 0,988

Значение коэффициента детерминации находится в интервале от 0 до 1. Чем ближе значение коэффициента к 1, тем сильнее зависимость. При оценке моделей это трактуется как соответствие модели данным. Для значимых моделей предполагается, что коэффициент детерминации не менее 50 %. Модели с коэффициентом детерминации более 80 % можно считать достаточно хорошими. Значение коэффициента детерминации 1 означает функциональную зависимость между переменными.

Следовательно, можно сказать, что аддитивная модель объясняет 98,8% общей вариации уровней временного ряда.

В данном случае аддитивная модель объясняет 98,8% общей вариации уровней исходного временного ряда, это значит, что модель может использоваться для дальнейшей экономической обработки.

Итак, в статье приведен пример построения аддитивной модели временного ряда. Описания к построению данной модели помогут безошибочно воссоздать модель аддитивного ряда, а коэффициент детерминации дает объяснение, насколько полученная модель сопоставима с исходными данными, и возможно ли ее использование для экономических целей.

Библиографический список:

1. Эконометрика. Учебно-методическое пособие [Электронный ресурс]. -Режим доступа: http://uchebnik.biz/book/568-yekommetrika-uchebm-metodicheskoe-posobie/19-43-modelirovaniesezonnyx-kolebanij.html - Заглавие с экрана. - (Дата обращения: 23.07.2017).

2. Эконометрика. А. И. Орлова [Электронный ресурс]. - Режим доступа: http://www.aup.ru/books/m153/6.htm - Заглавие с экрана. - (Дата обращения: 26.07.2017).