CC BY
13куррентным построением в U(g- + h) серии весовых элементов 9a,n £ U(g- + h)-na, как в [1], путем индуктивного перехода по подсистеме Д+ с помощью элементов группы Вейля. Сюръективность устанавливается сравнением размерностей только что упомянутых весовых подпространств U(g- + h)-na (с помощью, как и ранее в [1], так называемой "функции Костанта" P(щ) от положительных линейных комбинаций п корней из Д+).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Шаповалов Н.Н. Об одной билинейной форме на универсальной обертывающей алгебре комплексной полупростой алгебры Ли // Функц. анализ и его прил. 1972. 6, № 4. 65-70.
2. Диксмье Ж. Универсальные обертывающие алгебры. М.: Мир, 1978 (P.: Gautier-Villars, 1974).
3. Желобенко Д.П. ¿"-алгебры и модули Хариш-Чандры над редуктивными алгебрами Ли // Докл. АН СССР. 1985. 283, № 6. 1306-1308.
4. Желобенко Д.П. Экстремальные проекторы и обобщенные алгебры Микельсона над редуктивными алгебрами Ли // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1988. 52, № 4. 758-773.
Поступила в редакцию 12.02.2010
УДК 512.55+519.1
АДАМАРОВЫ АЛГЕБРЫ С ЕДИНСТВЕННОЙ НЕКОММУТАТИВНОЙ
ПРОСТОЙ КОМПОНЕНТОЙ
Д. Н. Иванов1
Известную гипотезу о порядках матриц Адамара можно переформулировать так: коммутативная алгебра адамарова тогда и только тогда, когда ее размерность делится на 4. В статье исследуются адамаровы алгебры, близкие к коммутативным, а именно обладающие единственной некоммутативной простой компонентой — матричной алгеброй порядка 2.
Ключевые слова: ортогональные разложения, адамаровы алгебры, матрицы Адамара.
The famous conjecture on the orders of Hadamard matrices may be reformulated as follows: a commutative algebra is Hadamard if and only if its dimension is divisible by 4. This paper investigates the Hadamard algebras closed to commutative ones, namely, the algebras possessing the unique noncommutative simple component — the matrix algebra of order 2.
Key words: orthogonal decompositions, Hadamard algebras, Hadamard matrices.
В [1] доказывается, что размерность адамаровой алгебры делится на 4. Согласно известной гипотезе о порядках матриц Адамара, для коммутативных алгебр справедливо обратное утверждение, т.е. если размерность коммутативной алгебры кратна 4, то алгебра адамарова. В статье исследуются адамаровы алгебры, близкие к коммутативным, а именно обладающие единственной некоммутативной простой компонентой — матричной алгеброй порядка 2. Доказывается, что размерность таких алгебр делится на 8. Кроме того, формулируется теорема о справедливости обратного утверждения.
Напомним основные определения. Термин "алгебра" будет обозначать ассоциативную полупростую алгебру, конечномерную над полем комплексных чисел C. Через Tra будем обозначать след регулярного представления алгебры A.
Определение. Семейство D = {Bi,i = 1,...,r} неединичных собственных подалгебр алгебры A образует ее ортогональное разложение (ОР), если все подалгебры Bi полупросты, содержат единичный элемент 1a алгебры A и выполняется условие ортогональности: алгебра A является прямой суммой попарно ортогональных относительно формы следа Тга xy подпространств: A = <1a> ® BJ ® ... ® B°, где B° = {x е Bi | Тга x = 0}.
1 Иванов Дмитрий Николаевич — доктор физ.-мат. наук, проф. каф. математических методов современного естествознания матем. ф-та Тверского гос. ун-та, e-mail: dni@tvcom.ru.
Если все подалгебры ОР D двумерны, то D называется адамаровым разложением. Алгебра, допускающая адамарово разложение, называется адамаровой. Через kMn будем обозначать прямую сумму k экземпляров алгебры матриц n-го порядка Mn. Таким образом, предметом рассмотрения в данной статье являются алгебры вида M2 ® mMi. Отметим, что матрицы Адамара порядка n (n > 2) эквивалентны адамаровым разложениям коммутативной алгебры nMi.
Лемма. Пусть подалгебры {Bi,...,Br} образуют адамарово разложение алгебры A, dim А = п. Пусть ец,вг2 — примитивные идемпотенты подалгебры В¿,г = 1 ,г. В каждой подалгебре Вj выберем инволюцию Ai : A2 = 1а, Ai = 1a. Тогда
(1) Тга ец = Тга = п/2 для любого г = 1, г, в частности п четно;
(2) Ai = ±(eii — ei2), и инволюции Ai вместе с единичным элементом 1a образуют ортогональный базис алгебры A, в частности r = n — 1;
(3) для любого X £ A
n— 1
n TrA X2 = J](TrA XAi)2 + (TrA X)2. (1)
i=1
Теорема 1. Если алгебра A = M2 ® mMi (m > 0) адамарова, то ее размерность делится на 8.
Доказательство. Так как в силу [1] dim А = п = 4 + т делится на 4, то т = 4mi, т\ £ N. Отождествим алгебры М2 и тШ\ с их каноническими образами в А. Пусть инволюции Ai,i = 1,п—1, и 1а образуют ортогональный базис алгебры А. В частности, это значит, что Тга Ai = 0, г = 1,п — 1. Пусть Ai = Aii + Ai2, 1a = E2 + Jm, где Aii £ M2, Ai2 £ mMi, E2 — единичная матрица 2-го порядка, Jm = (1,..., 1) — единичный элемент алгебры mMi. Для X £ M2 имеем Тга X = 2trX, где tr — след матрицы. Для X = (xi,..., xm) £ mMi имеем Тга X = xi + ... + xm.
Подставляя X = E2 в (1), после преобразований получим
n— i
2
m ^(tr Aii)2. (2)
г=1
Так как Ац — инволюция в М2, то 1;г Ац = 0 или ±2. Таким образом, из (2) следует, что т\ инволюций Ац имеют след, равный ±2. Считаем, что это есть инволюции Ац, г = Отметим, что Ац = =Ы?2
для 1 = 1, ть
Подставляя X = (ж1,... ,хт) £ тМ1 в (1), получим
п— 1
2 л (V Л \\2 , с™ , , „, \2
n(x2 + ... + x2m) = J2(TrA(XAi2)f + (xi + ... + xm )2. (3)
mj / J у ^LA y^*-1 ^2)) 1 y^i 1 — • 1 ^m
i=i
Пусть Ai2 = (ац,. ..,aim). Рассмотрим матрицу N = (nj), г-я строка которой совпадает с Ai2 для г = 1,п — 1, а последняя п-я строка состоит из +1, т.е. совпадает с Jm. Заменяя при необходимости Ai на —Ai, можем считать, что первый столбец матрицы N состоит из +1. Из (3) следует, что столбцы N ортогональны относительно обычного скалярного произведения. Таким образом, все столбцы начиная со 2-го содержат n/2 единиц +1. Значит, общее количество единиц в N равно n + (m — 1)n/2 = 4(mi + 1) + 2(mi + 1)(4mi — 1).
С другой стороны, подсчитаем теперь количество единиц в N по строкам. Так как tr Ац = 0, то Тга.4,2 = 0 для г = т,\ + l,4mi + 3 и в строках с этими номерами содержится по 2т\ единиц. Пусть теперь k инволюций Aii равны +E2, тогда mi — k этих инволюций равны —E2. Соответственно имеем, что k строк в N содержат 2mi — 2 единиц и mi — k строк содержат 2mi + 2 единиц. Наконец, в последней строке содержится 4mi единиц. Приравнивая количества единиц в N, найденные по строкам и столбцам, получаем 2mi(3mi +3) + (2mi — 2)k + (2mi + 2)(mi — k)+ 4mi = 4(mi + 1) + 2(mi + 1)(4mi — 1). Отсюда находим k = (mi + 1)/2. Значит, dim A = 4(mi + 1) делится на 8. Теорема доказана.
Теорема 2. Если размерность алгебры A = M2 ® mMi делится на 8 и существует матрица Адамара порядка dim A/2, то алгебра A адамарова.
Таким образом, в предположении справедливости гипотезы о порядках матриц Адамара теоремы 1 и 2 дают полное описание адамаровых алгебр вида M2 ® mMi.
Автор приносит благодарность М.В. Зайцеву и А. В. Михалеву за внимание к работе.
Работа выполнена при поддержке РФФИ (грант № 09-01-00303-а).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Иванов Д.Н. Размерность адамаровой алгебры делится на 4 // Успехи матем. наук. 2005. 60, № 2. 163-164.
2. Иванов Д.Н. Ортогональные разложения ассоциативных алгебр и сбалансированные системы идемпотентов // Матем. сб. 1998. 189, № 12. 83-102.
Поступила в редакцию 10.09.2010
УДК 519.714
О МИНИМАЛЬНЫХ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ПРЕФИКСНЫХ СХЕМАХ
И. С. Сергеев1
Найдено точное значение сложности минимальной префиксной схемы m переменных глубины |4og2 m\ в случае, когда m является степенью двойки. Получены новые верхние оценки сложности префиксных схем при различных ограничениях на глубину и отдельно для случая схем с операцией сложения по модулю 2.
Ключевые слова: префискные схемы, сложность, глубина.
The exact complexity of a minimal prefix circuit of width m and depth [log2 m\ is obtained in the case when m is a power of two. New upper bounds for the complexity of prefix circuits are obtained under various depth restrictions and separately for the circuits of XOR-gates.
Key words: prefix circuits, complexity, depth.
Введение. Пусть о — бинарная ассоциативная операция на некотором множестве. Множество функций
xi о ... о xk, к = 1,...,m, (1)
называется системой префиксов (или префиксных сумм) упорядоченного набора переменных xi,...,xm. Схемы из функциональных элементов над базисом {о}, реализующие систему (1), называют префиксными схемами. Число m (входов схемы) будем называть порядком схемы. В ряде вычислительных и схемотехнических задач (некоторые из них приведены в [1]) возникает необходимость в построении параллельных префиксных схем, т.е. имеющих глубину по порядку log2 m. В настоящей работе рассматривается вопрос минимизации сложности префиксных схем при заданном ограничении на глубину. С понятиями схемы из функциональных элементов, сложности и глубины можно ознакомиться, например, в [2].
Обозначим через L(m) сложность минимальной префиксной схемы порядка m и глубины [log 2 m\ (это наименьшее возможное значение глубины).
В работе [3] доказано, что L(m) ^ (4 — o(1))m. В случае m = 2n указана более точная оценка: L(2n) ^ 4 • 2n — Фп+5 + 1, где Фк — к-е число Фибоначчи. В работе [4] доказана нетривиальная нижняя оценка и уточнена верхняя:
(3| - о(1)) 2™ < L(2n) < (3f§ - о(1)) 2™
Нижняя оценка относится к универсальной префиксной схеме, т.е. не зависящей от вида операции о.
В работах [3, 4] также строилось семейство префиксных схем не минимальной глубины, но таких, в которых максимальный префикс (сумма всех входов) реализуется на наименьшей возможной глубине. Обозначим через Пт^ множество префиксных схем глубины [log2 m\ + к, реализующих максимальный префикс с глубиной [log2 m\, и через L'(m, к) — сложность минимальной схемы из Пт,к. Содержательным является случай к < [log2 m \ — 2, поскольку при больших значениях к известно [4], что L'(m, к) = 2m — [log2 m\ — 2. В работе [3] доказаны оценки
L'(m, к) < (2 + 21-к)m — 2, L'(2n, к) < (2 + 21-к)2n — Фп+5-к — к + 1,
1 Сергеев Игорь Сергеевич — канд. физ.-мат. наук, ст. науч. сотр. каф. дискретной математики мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: isserg@gmail.com.
