Абсолютная устойчивость двумерных систем с гистерезисной функцией релейного типа Текст научной статьи по специальности «Математика»

С. М. Евдокимов

АБСОЛЮТНАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ ДВУМЕРНЫХ СИСТЕМ С ГИСТЕРЕЗИСНОЙ ФУНКЦИЕЙ РЕЛЕЙНОГО ТИПА

К изучению релейных систем автоматического управления приводит широкий круг задач современной техники. Исследованию таких систем посвящена обширная литература и целый ряд монографий. Как правило, к системе предъявляются требования отсутствия автоколебаний и устойчивости положений равновесия или стационарных множеств системы.

Понятие абсолютной устойчивости системы автоматического регулирования с нелинейностью, удовлетворяющей секторному условию, было впервые введено в работе [1]. Исследование устойчивости таких систем проводилось с помощью построения функций Ляпунова или с помощью частотных методов (например, [2-4]), доставляющих лишь достаточные условия абсолютной устойчивости. Как показано в работе [5], применение метода систем сравнения позволяет получить необходимые и достаточные условия абсолютной устойчивости таких систем.

Системы с неединственным состоянием равновесия и с нелинейностью, не удовлетворяющей секторному условию, также достаточно широко изучены (например, [6, 7]), но понятие абсолютной устойчивости для таких систем не сформулировано, хотя и используется в литературе [7, 8].

В данной работе дано определение абсолютной устойчивости двумерных систем с релейно-гистерезисной нелинейностью и сформулированы необходимые и достаточные условия абсолютной устойчивости, которые получены с помощью метода систем сравнения.

Рассмотрим систему автоматического регулирования

Х = у, (1)

у = —ау — рх — у>(£, а),

где а = ау + Ьх, а > 0, в > 0 (т. е. при 1р(Ь,а) = 0 система (1) является асимптотически устойчивой), и Ь2 — ааЬ + а2в = 0 (передаточная функция системы (1) является

невырожденной).

Пусть <р — релейно-гистерезисная функция, состоящая из двух ветвей однозначных функций ^\(1,а) и у>2(£, а):

, ^1(г,а), если а >—6, ,0.

^( ,а') \ р2(г,а), если а < 6 (6 > 0), (2)

Б < ¥1(1, а) < М, —М < ф2($, а) < —Б (Б > 0, М > 0).

Фазовая поверхность системы (1) с нелинейностью вида (2) состоит из двух листов Р1 = {(х,у) : а > —6} и Р2 = {(х,у) : а < 6}, перекрывающих друг друга в «зоне неоднозначности» —6 < а < 6.

Переход фазовой точки с первого листа на второй происходит по лучу Ь1 = {(х, у) : а = —6, а|<т^-<5+о < 0}, переход со второго листа на первый — по лучу Ь2 = {(х,у) : а = 6, а|т^.<5-о > 0} (рис. 1).

© С.Ы.Евдокимов, 2008

Решением системы (1) с нелинейностью (2) на листе Р1 является решение системы

( ж = У, (3)

\ у = -ау - вж - <1(£,7),

на листе Р2 — решение системы

| у (4)

[ у = -ау - вх - <2 (£,7).

Пусть функции <*(£, 7) (г = 1, 2) таковы, что в каждой точке Ж х Р1 выполнены условия существования и единственности решения системы (3), а в каждой точке Жх Р2 выполнены условия существования и единственности решения системы (4).

Решение системы (3) на листе Р1, достигающее в момент времени £ = тх луча Ь в некоторой точке (х1,ух), продолжается при £ > тх на лист Р2 и является решением системы (4) с начальными данными (т1,Ж1,ух).

Аналогично, решение (4) на листе Р2, достигающее в момент £ = Т2 луча Ь в

точке (х2, У2), продолжается при £ > Т2 на лист Р1 и является решением системы (3) с

начальными условиями (т2, ж2, У2).

Определение 1. Будем говорить, что гистерезисная функция <(£, 7), удовлетворяющая описанным выше условиям, является функцией класса .

Не умаляя общности рассуждений, можно считать, что а > 0. Для доказательства

этого факта в системе достаточно сделать замену ж ^ -ж, у ^ -у и заметить, что

функция - <(£, -7) тоже принадлежит классу К^м.

Рассмотрим случай а > 0 (случай а = 0 рассматривается аналогично).

Введем в рассмотрение два отрезка: = {(ж, у) : -М/в < ж < -й/в, у = 0} и

^2 = {(ж, у) : й/в < ж < М/в, у = 0}.

Заметим, что если при ж = жо, у = уо и некотором £ = £о правые части системы

(3) обращаются в ноль, то точка (жо,уо) принадлежит множеству Р[. И каждая точка отрезка является особой точкой системы (3) при <ч(£, 7) = с =ооп81, где Б < с < М.

Аналогично, если при ж = жо, у = уо и некотором £ = £о правые части системы

(4) обращаются в ноль, то (жо,уо) € ^. И каждая точка ^ является особой точкой системы (4) при <2(£, 7) = с =ооп81, где -М < с < -Б.

Если выполнено неравенство 5в - Мб > 0, то отрезок ^ целиком содержится в Р1, а отрезок ^2 содержится в Р2.

Определение 2. Множество 0 = ^ и J2 назовем сингулярным множеством для системы (1) с функцией <(£,7) класса К^м.

Определение 3. Множество 0 называется устойчивым множеством системы (1) с функцией <(£,7) класса К^м, если для любого е > 0 найдется такое 5 > 0, что для каждого решения (ж(£),у(£)) системы с начальными условиями (£о,жо,уо) выполнение неравенства р((ж(£о), у(£о)), 0) < 5 влечет за собой выполнение неравенства р((ж(£), у(£)), 0) < е для всех £ > £о.

Определение 4. Множество 0 называется устойчивым в целом множеством системы (1) с функцией <(£, 7) класса К^м, если оно устойчиво и для каждого решения (ж(£), у(£)) системы р((ж(£), у(£)), 0) ^ 0 при £ ^ +то.

Определение 5. Система (1) называется абсолютно устойчивой в классе нелинейностей К^,м, если для любой функции <(£, 7) из этого класса множество 0 является для системы (1) устойчивым в целом.

Сформулированные ниже теоремы 1-3 дают необходимые и достаточные условия абсолютной устойчивости системы (1) в классе нелинейностей К^м через коэффициенты системы.

Обозначим через Л1,Л2 корни характеристического уравнения системы (1) при

Теорема 1. Пусть Ь > 0, ^в — МЬ > 0 и выполнено одно из следующих условий:

ср(і, а) =0: Аі = —а/2 — -у/а2/4 — /3 , А2 = —а/2 + -у/а2/4 — /3 .

1) а2 — 4в > 0, А2 > —Ь/а;

2) а2 — 4в > 0, А2 < —Ь/а и аА2(М + Я) + (^в + ЯЬ) > 0;

3) а2 — 4в > 0, А2 < —Ь/а, аА2(М + Я) + (#в + ЯЬ) < 0 и

(5)

4) а2 — 4в = 0, Аі = А2 = А > —Ь/а;

5) а2 — 4в = 0, А < —Ь/а и аА(М + Я) + (#в + ЯЬ) > 0;

6) а2 — 4в = 0, А < —Ь/а, аА(М + Я) + (#в + ЯЬ) < 0 и

< (6/3 — МЪ) — ехр (— 62) ■ (М - Я)V7а2/3 + 2аЬіУ + Ь2 , (7)

чад /

г^е

0, если £ > 0, Г 0, если av + Ь < 0,

Гі = <( Г2 = \

1, если £< 0; 1 1, если av + Ь> 0;

£ = а(ав + bv )(М + Я) + (^в + ЯЬ)(av + Ь).

Тогда система (1) абсолютно устойчива в классе нелинейностей .

Если ни одно из условий 1-7 не выполнено, то найдется функция у>(£, а) из класса Кв,м такая, что в системе (1) существует предельный цикл.

Теорема 2. А. Если ^в — МЬ < 0, то найдется функция у>(£, а) из класса К^м такая, что в системе (1) существует предельный цикл.

Б. Если ^в — МЬ = 0, то найдется функция у>(£, а) из класса К^м такая, что в системе (1) существует предельный цикл или замкнутый контур, «сшитый»» из кусков траекторий и особых точек системы.

Теорема 3. Пусть Ь < 0 и выполнено одно из следующих условий:

1) а2 — 4в > 0 и аА2(М + Я) + (#в + ЯЬ) > 0;

2) а2 — 4в > 0, аА2(М + Я) + (^в + ЯЬ) < 0 и верно неравенство (5);

3) а2 — 4в = 0 и аА(М + Я) + (#в + ЯЬ) > 0;

4) а2 — 4в = 0, аА(М + Я) + (^в + ЯЬ) < 0 и верно неравенство (6);

5) а2 — 4в < 0 и верно неравенство (7).

Тогда система (1) абсолютно устойчива в классе нелинейностей К^м.

Если ни одно из условий 1-5 не выполняется, то найдется функция у>(£, а) из класса К^,м такая, что в системе (1) существует предельный цикл.

Литература

1. Лурье А. И., Постников В. Н. К теории устойчивости регулируемых систем // Прикладная математика и механика. 1944. Т. 8, №3. С. 246-248.

2. Методы исследования нелинейных систем автоматического управления / Под ред. Р. А. Нелепина. М.: Наука, 1975. 448 с.

3. Якубович В. А. Частотные условия абсолютной устойчивости систем управления с несколькими нелинейными или линейными нестационарными блоками // Автоматика и телемеханика. 1967. №5. С. 5-30.

4. Цыпкин Я. З. Релейные автоматические системы. М.: Наука, 1977. 565 с.

5. Леонов Г. А. Семейства трансверсальных кривых для двумерных систем дифференциальных уравнений // Вестн. С.-Петерб. ун-та. 2006. Сер. 1, вып. 4. С. 48-78.

6. Гелиг А.Х., Леонов Г. А., Якубович В. А. Устойчивость нелинейных систем с неединственным состоянием равновесия. М.: Наука, 1978. 400 с.

7. Барабанов Н. Е., Якубович В. А. Абсолютная устойчивость систем регулирования с одной гистерезисной нелинейностью // Автоматика и телемеханика. 1979. №12. С. 5-11.

8. Афонин С. М. Абсолютная устойчивость системы управления деформацией пьезопреобразователя // Известия РАН. Теория и системы управления. 2005. №2. С. 112-119.

Статья поступила в редакцию 10 февраля 2008 г.