Научная статья на тему 'Абелевы группы как артиновы или нетеровы модули над кольцами эндоморфизмов. Ч. 2'

Абелевы группы как артиновы или нетеровы модули над кольцами эндоморфизмов. Ч. 2 Текст научной статьи по специальности «Группы»

CC BY
541
26
Поделиться

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Крылов П. А., Подберезина Е. И.

Описаны абелевы группы A и B такие, что группа гомоморфизмов Hom(A,B) является артиновым модулем над кольцом эндоморфизмов группы B. Описание групп A и B, для которых группа Hom(A,B) является артиновым модулем над кольцом эндоморфизмов группы A, сведена к случаю, когда группа A не имеет кручения, а группа B либо квазициклическая группа, либо делимая группа без кручения. Охарактеризованы абелевы группы A и B, для которых группа Hom(A,B) есть нётеров модуль над кольцом E(A) или E(B). Исследование произвольной абелевой группы с нётеровым слева кольцом эндоморфизмов сведено к исследованию группы без кручения с нётеровым слева кольцом эндоморфизмов. Исследование группы с нётеровым справа кольцом эндоморфизмов осталось незавершённым. Описаны сепарабельные абелевы группы без кручения с нётеровыми слева или справа кольцами эндоморфизмов.

Abelian groups as Artinian or Noetherian modules above endomorphism rings. Part 2

The A and B Abellian groups, such that the Hom(A, B) homomorphism group is the Artin module over the ring of the B group endomorphism, are described. Description of the A and B group for which the Hom(A,B) group is the Artin module over the ring of the A group endomorphism is reduced to the case when the A group has no torsion and the B group is either a quasi-cyclic group or a divisible group without torsion. The A and B Abellian groups for which the Hom(A,B) group is the Neter module over the E(A) or E(B) ring are characterized. The research of arbitrary Abellian group with the link Neter ring of endomorphisms is reduced to the research of the group without torsion with the link Neter ring of endomorphisms. The research of the right Neter ring of endomorphisms remained uncompleted. The separable Abellian groups without torsion with the link and right Neter rings of endomorphisms are described.

Текст научной работы на тему «Абелевы группы как артиновы или нетеровы модули над кольцами эндоморфизмов. Ч. 2»

Естественные науки

УДК 512.541

АБЕЛЕВЫ ГРУППЫ КАК АРТИНОВЫ ИЛИ НЕТЕРОВЫ МОДУЛИ НАД КОЛЬЦАМИ ЭНДОМОРФИЗМОВ. Ч. 2

П.А. Крылов*, Е.И. Подберезина

*Томский государственный университет

Томский политехнический университет E-mail: hggh45de@mail2000.ru

Описаны абелевы группы A и B такие, что группа гомоморфизмов Hom(A,B) является артиновым модулем над кольцом эндоморфизмов группы B. Описание групп A и B, для которых группа Hom(A,B) является артиновым модулем над кольцом эндоморфизмов группы A, сведена к случаю, когда группа A не имеет кручения, а группа B - либо квазициклическая группа, либо делимая группа без кручения. Охарактеризованы абелевы группы A и B, для которых группа Hom(A,B) есть нётеров модуль над кольцом E(A) или E(B). Исследование произвольной абелевой группы с нётеровым слева кольцом эндоморфизмов сведено к исследованию группы без кручения с нётеровым слева кольцом эндоморфизмов. Исследование группы с нётеровым справа кольцом эндоморфизмов осталось незавершённым. Описаны сепарабельные абелевы группы без кручения с нётеровыми слева или справа кольцами эндоморфизмов.

Полностью решена проблема описания абелевых групп А и В таких, что левый Е(В)-модуль Иош(А,В) артинов (теорема 3 [1. С. 178]). Ключом к решению этой проблемы служат следующие два предложения.

Предложение 1. Предположим, что А и В - такие группы, что Иош(А,В) - артинов Е(В)-модуль или артинов Е(А)-модуль. Тогда для некоторого теЫ имеет место разложение

Иош(А,В)=тИош(А,В)©К, где тИош(А,В) - делимая группа, К - ограниченная группа.

Предложение 2. Если тИош(А,В) - делимая группа для некоторого те N то и ш8 - делимая группа.

Эти предложения раскрывают строение следа группы А в группе В при условии, что модуль Иош(А,В) артинов. Нужно подчеркнуть, что это относится как к Е(В)-модулю Иош(А,В), так и к Е(А)-модулю Иош(А,В). Дело в том, что в основе доказательства предложений 1 и 2 лежит рассмотрение цепи Е(В)-подмодулей модуля Иош(А,В), которая является также и цепью Е(А)-подмодулей этого модуля. Поэтому эти предложения важны и для изучения Иош(А,В) как артинова модуля над кольцом Е(А).

Предложения -, 4 и лемма 2 уточняют строение следа £ и коследа А в предположении, что Е(В)-мо-дуль Иош(А,В) артинов.

Предложение 3. Если Иош(А,В) - артинов Е(В)-модуль или Е(А)-модуль, то число делимых р-компонент следа £ конечно.

Лемма 2. Подмодуль Иош(7(р“),$р) Е(В)-модуля Иош(А,В) не является артиновым.

Предложение 4. Если Е(В)-модуль Иош(А,В) артинов, то _

А = Н ©Х®б ©

т

где Н - конечная группа, О - редуцированная группа без кручения и теЫ.

Предложение 5. Пусть Иош(А,В) является артиновым Е(В)-модулем. Тогда для всякого р, относящегося к группе С, редуцированная р-компонента группы В ограничена. Группа В=й(В)®Е®У, где й(В) - делимая часть группы В; Е - ограниченная группа и всякое р, относящееся к Е, относится и к С; V - некоторая группа, причём Иош(А,В)=0. След £ - артинов Е(В)-модуль.

Предложение 5 интересно тем, что в нём полностью описано строение группы В такой, что Е(В)-модуль Иош(А,В) артинов. Кроме того, это предложение утверждает, что след группы А в группе В является в этом случае артиновым Е(В)-моду-лем. Последний факт использован в доказательстве достаточности теоремы 3.

Теорема 3. Пусть А и В - некоторые группы. Левый Е(В)-модуль Иош(А,В) артинов тогда и только тогда, когда

£ = В ©Х®б © с,

п

где Б - делимая периодическая группа с конечным числом р-компонент; С - ограниченная группа; П - некоторый кардинал, а

А = н ®Y©Q © °,

т

где Н - конечная группа, О - редуцированная группа без кручения; теЫ и для всякого р, относящегося к группе С, редуцированная р-компонента группы В ограничена.

Причём:

• если Бф0, то -=Н®О, г(О)<<» и г(О)=гр(О) для

всех р, относящихся к группе Б;

• если Б=0, но £®0^О, то г(О)<ж>;

• -сли £ - ограниченная группа, то есть £=С, то

А=Н®О и для любого р, относящегося к £,

Гр(О)<ж.

Теорема 3 относится к основным результатам исследования группы Иош(А,В) как артинова Е(В)-модуля. Она даёт полное описание абелевых групп А и В таких, что Е(В)-модуль Иош(А,В) арти-нов. Понятно, что предложения, о которых выше шла речь, являются существенной частью доказательства её необходимости. Как доказательство утверждений теоремы 3 о ранге (р-р-нге) редуцированной части без кручения группы А, так и доказательство её достаточности основано на построении индуцированных точных последовательностей Е(В)-модулей и теореме 1. В процессе доказательства необходимости теоремы 3 установлено, в частности, что Е(В)-модуль Иош(0,Бр) не артинов.

Приведём несколько следствий теоремы 3 и записанных выше предложений.

Следствие 1. Пусть А и В - группы, причём В

- редуцированная группа. Левый Е(В)-модуль Иош(А,В) артинов тогда и только тогда, когда £ - ограниченная группа и для всякого р, относящегося к £, р-компонента группы В ограничена, а группа А=Н®О, где Н - конечная группа, О - редуцированная группа без кручения и для каждого р, относящегося к £, гр(О)<<».

Следствие 2. Пусть А и В - периодические группы. Левый Е(В)-модуль Иош(А,В) артинов в том и только в том случае, если £ - ограниченная группа, причём для любого р, относящегося к £, редуцированная р-компонента группы В ограничена, а А - конечная группа.

Следствие 3. Если А и В - группы без кручения, Е(В)-модуль Иош(А,В) артинов тогда и только тогда, когда £ - делимая группа, а А - группа конечного ранга.

Укажем более точные соотношения между следом £, коследом А и группами А и В в случае, когда Е(В)-модуль Иош(А,В) артинов. По предложению 5 имеем равенство B=d(B)®E®V, где d(B) - делимая часть группы В; Е - ограниченная группа и всякое р, относящееся к Е, относится и к С, причём Иош(А, Р)=0. Из

доказательства этого предложения [1. С. 177] заключаем, что S=d(B)®E[k], если -^Ни S=d(B)[t]®E[k], если А=Н для каких-то к, tеN. В первом случае, d(B)=D®I®Q, С=Е[к], во втором - C=S=d(B)[t]®E[k]. Можно также привести некоторые общие условия, при которых S=d(B)®E или £=Е, то есть след выделяется прямым слагаемым в группе В.

Следствие 4. 1) Пусть А и В - такие группы, как в следствии 1. Тогда имеем В=Е®Ж и £=Е[к] для некоторого кеЫ.

-) Если А и В - группы из следствия 2, то А=А©V для -какой-то группы V, причём Иош(А, Р)=0, а А - конечная группа.

Следствие 5. Пусть А - группа без кручения, В -периодическая группа. Левый Е(В)-модуль Иош(А,В) артинов тогда и только тогда, когда £=Б® С, где Б - делимая периодическая группа с конечным_числом р-компонент, С - ограниченная группа, а A=Z0Q® О, где теЫ, О - редуцированная группа без кручения и для любого р, относящегося к группе С, редуцированная р-компонента группы В ограничена, причём: а) если Б^0, то А=О, г(О)<<» и г(О)=гр(О) для всех р, относящихся к Б; б) если Б=0, то есть если £=С, то А=О и для любого р, относящегося к группе £, гр(О)<(х>.

Следствие 6. Пусть А - произвольная, а В - делимая группы. Е(В)-модуль Иош(А,В) артинов тогда и только тогда, когда

£=б®:>;^,

п

где Б - делимая периодическая группа с конечным числом р-компонент, п - некоторый кардинал, а

^н®: ®о®о,

где Н - конечная группа, те И, О - редуцированная группа без кручения, причём: а) если Б^0, то А=Н®О, г(О)<(х> и г(О)=гр(О) для всех р, относящихся к группе Б; б) если Б=0, то есть еслислед £

- делимая группа без кручения, то группа А тоже не имеет кручения и г(О)<х>.

Следствие 7. Пусть А и В - делимые группы. Е(В)-модуль Hom-A,B) артинов тогда и только тогда, когда группы А и £ являются группами без кручения, причём ранг группы А конечен.

Проблема описания групп А и В, для которых Иош(А,В) - артинов Е(А)-модуль, сведена по существу к случаю, когда группа А не имеет кручения, а группа В является одной из следующих групп: 1(р), Хр), Q (теорема 20 [2. С. 197]).

Договоримся через Бр (соответственно Лр) обозначать делимую (соответственно редуцированную) р-компоненту группы А. Затем Тр - вся р-компо-нента группы А, то есть Tt=Бp®Rt.

Пусть группы А и В таковы, что правый Е(А)-модуль Иош(А,В) артинов. Из предложений 1-3 следует, что в таком случае след £ есть прямая сумма делимой группы и ограниченной группы. Поскольку Иош(А,^ есть подмодуль Е(А)-модуля Иош(А,В) для любой подгруппы 1РЬВ, то понятно, что группа £ не может иметь бесконечных прямых разложений. Таким образом, если Иош(А,В) - ар-

тинов Е(А)-модуль, то след £ является прямой суммой делимой группы конечного ранга и конечной группы. Пример модуля Иош(ДХ(р")) показывает, что при этом в следе действительно может присутствовать группа Х(р”).

Что касается строения коследа группы В в группе А для артинова Е(А)-модуля Иош(А,В), то оно получено в предложениях 6 и 7.

Предложение 6. Если Бр^0 и группа В содержит подгруппу Хр”), то Е(А)-модуль Иош(А,В) не является артиновым.

Предложение 7. Если Иош(А,В) - артинов Е(А)-модуль, то редуцированная р-компонента группы А ограничена для любого р, относящегося к группе В, и таких р-компонент конечное число.

Эти предложения вместе с выводом о строении следа группы А в группе В представляют собой доказательство необходимости теоремы 4, которая относится к основным результатам исследования группы Иош(А,В) как артинова модуля над кольцом Е(А).

Обозначим буквами Т и Б соответственно периодическую и делимую части группы А.

Теорема 4. Пусть А и В - некоторые группы. Е(А)-модуль Иош(А,В) артинов тогда и только тогда, когда след £ равен прямой сумме конечной группы и делимой группы конечного ранга; для каждого р, относящегося к группе В, редуцированная р-компонента группы А ограничена, группы А и В не содержат одновременно групп Х(р”); Е(А)-модуль Иош(А/Т,Х(р)) артинов, если р относится к следу £, Е(А)-модуль Иош(А/Т,Х(р”)) артинов, если в следе £ содержится группа Х(р”) и, наконец, Е(А)-модуль Иош(А/(Т+Б)^) артинов, если в следе £ содержится группа Q.

Доказательство достаточности теоремы 4 опирается на использование индуцированных точных последовательностей Е(А)-модулей, теорему 1 и предложение 8.

Предложение 8. Допустим, что редуцированная р-компонента группы А ограничена. Тогда Е(А)-модуль Иош'(Тр,Х(рк)) артинов для всякого ке И, где Тр - р-компонента группы А.

В [2. С. 194-195] рассмотрены примеры. Напомним, что п - некоторый кардинал.

Примеры 1. 1) Пусть А='£?1(р) или А=£®2. Тогда Е(А)-модуль Иош(А,Х(р)) неприводим.

2. Если A^=^LmQ, то Е(А)-модуль Иош(А, Q) неприводим.

Эти примеры интересны сами по себе. Е(А)-мо-дули, рассматриваемые в них, неприводимы, а значит, артиновы и нётеровы. Неприводимость Е(А)-модуля Иош(А,Хр)), где А=:9Х, означает, что кослед группы В в группе А может содержать редуцированную группу без кручения бесконечного ранга, однако Е(А)-модуль Иош(А,В) будет артино-вым, нётеровым (даже неприводимым). Эти примеры играют важную роль в доказательстве арти-

новости (нётеровости) некоторых подмодулей модуля Hom(A,B). Так, доказательство нётеровости E(A)-модуля Hom(D,Q), где D - делимая часть группы A, свелось в конечном счёте к доказательству нётеровости E^-модуля Hom(A, Q), где A=ZæQ из примера 1 (предложение 19). Доказательство артиновости E(A)-модуля Hom(Tp,Z(pk)), где Tp

- ограниченная p-компонента группы A, также свелось к доказательству артиновости E(A)-модуля Hom(A,Z(p)), где A=ï?Z(p) из примера 1 (предложение 8). Это обстоятельство приобретает тем большее значение, что доказательство предложения 8 основано на построении индуцированных последовательностей E(A)-модулей и обосновании неприводимости последних. Поэтому оно представляет собой доказательство и нётеровости указанного модуля. Эти примеры используются и в доказательстве теоремы 4.

В связи с доказательством теоремы 4 необходимо сделать следующие замечания.

1. Доказательство артиновости модуля Hom(A, Q) показывает, что в теореме 4 вместо артиновости модуля Hom(A/(T+D),Q) можно требовать ар-тиновость модуля Hom(A/D, Q) или модуля Hom(A/r,Q).

2. Представим группу A в виде A=R@D, где R - редуцированная, D - делимая группы. Тогда T+D=t(R)®D (здесь t(R) - периодическая часть группы R). Имеет место изоморфизм A/(T+D)=R/t(R), где на группе без кручения R/t(R) определённым способом может быть задана структура левого E(A)-модуля.

3. Теорема 4 в некотором смысле сводит решение проблемы артиновости E(A)-модуля Hom(A,B) к исследованию артиновости модулей Hom(A,Z(p)), Hom(A,Z(p“)), Hom(A,Q), где группа A является группой без кручения и по существу рассматривается как модуль над некоторым подкольцом кольца E(A). Действительно, если A - произвольная группа, то в силу теоремы 4 возможно придётся исследовать артино-вость E(A)-модуля Hom(A/T,Z(p)). Существует канонический кольцевой гомоморфизм E(A)^E(A/T). Если он является сюръективным, то подмодули E(A)-модуля и E(A/T)-модуля совпадают. Однако, вообще, это не так. Так же обстоит дело и с E(A)-модулями Hom(A/T,Z(p“)) и Hom(A/(T+D),Q).

Рассмотрим подробнее строение следа S и коследа A, а также самих групп A и B, если Hom(A,B)

- артинов E(A)-модуль. Для этого будут нужны следующие три леммы.

Лемма З. Допустим, что делимая группа D содержит одну из групп Z(p“) или Q. Тогда E^-мо-дуль Hom(D,Z(p“)) не является артиновым.

Лемма 4. Предположим, что делимая часть D группы A содержит либо группу Z(p“), либо группу Q. Тогда E^-модуль Hom(A,Z(p“)) не является ар-тиновым.

в

Лемма 5. Если смешанная группа А является р-делимой, то есть А=рА, то Е(А)-модуль Иош(А,Х(р”)) не является артиновым.

Пусть теперь группы А и В обладают тем свойством, что правый Е(А)-модуль Иош(А,В) артинов. На основании предложений 6 и 7 можно написать A=Rp¡ ® ...®Rpk®Бo® V, где Rpl (г=1,...,к) - редуцированные р-компоненты группы А для некоторых р, относящихся к £, являющиеся ограниченными группами, Б0 - делимая группа без кручения, V - некоторая группа. При этом t(V)cKB(A)cVи КВ(А)=КВ(Р) (здесь ^У) - периодическая часть группы V). Разумеется, какие-то слагаемые в записанной сумме могут отсутствовать. Так, ввиду леммы 4-Б0=0, если в £ имеется группа Х(р”). Для коследа А имеем

- =Rpl® ...®Rpl®Бo® V/Kв(A).

Можно проанализировать строение фактор-группы V/KB(У) в зависимости от строения следа £ Не вникая в детали, обратим внимание лишь на несколько основных моментов. Если £ - конечная группа, то - =Rp® ■■■®RPk® V/Kв( V), где V/Kв( V) - ограниченная группа. В случае, когда в £ присутствует группа Q, имеем

- =к®-®^к®Б0)® та V),

где V/KB(V)=0, либо V/KB(V) - группа без кручения. Наконец, если след £ содержит группу Х(р”), то

а=^©...®^,® та V),

где У/KB(У) - редуцированная группа без кручения, причём она не делится на р. Действительно, допустим, что У/Kв( V) - р-делимая группа. Обозначив R=RPl©...©Rpk, найдём, что Е(А)-модуль А/R не имеет1 кручения и не делится на р как группа. Так же как в леммах 4 и 5 можно показать, что не является - артиновым правый Е(А)-модуль

Иош(А/R,Z^“)), чего не может быть.

Обратившись к следу £, на основании имеющейся у нас информации можно записать В=В©Е®Ж, где /

- конечная группа, Е - делимая группа конечного ранга, а Иош(А, Ж)=0. Некоторых из слагаемых Д Е, Жможет не быть. Для следа £ получаем £=¥[т]®Е для какого-то теЫ. Дальнейшим -оиском более точных соотношений между коследом А и следом £ мы занимать не будем. Укажем только, что открыт такой вопрос. Может ли след £ содержать группы Х(р”) и О?

Из теорем 3 и 4 легко вытекает известная теорема 111.3 из книги [3].

Теорема. Кольцо эндоморфизмов Е(А) группы А является артиновым слева (или справа) тогда и только тогда, когда А=В®Б, где В - конечная группа, а Б

- делимая группа без кручения конечного ранга.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Крылов П.А., Подберезина Е.И. Группа Иош1(А,В) как артинов

Е(В)-модуль // Абелевы группы и модули. - Томск: Изд-во

Том. ун-та, 1996. - Вып. 13-14. - С. 170-184.

2. Подберезина Е.И. Об артиновости Е(А)-модуля Иош1(А,В) //

Абелевы группы и модули. - Томск: Изд-во Том. ун-та, 1996. -

Вып. 13-14. - С. 190-199.

Отметим, что теорема 2 в части эндоартиново-сти соответствует случаю Е(В)-модуля Иош(ДВ) в теореме 3. Теорема 4 а также результаты заметки [4] вызывают такой вопрос. Для каких групп без кручения А Е(А)-модули Иош(А, Q), Иош(А,Хр)) и Иош(А,Х(р”))являются: неприводимыми, артино-выми, нётеровыми?

Приведём несколько следствий теоремы 4. Следствие 8. Пусть А - произвольная, В - редуцированная группы. Е(А)-модуль Иош(А,В) арти-нов тогда и только тогда, когда след £ есть конечная группа; для каждого р, относящегося к группе В, редуцированная р-компонента группы А ограничена; Е(А)-модуль Иош(А/Т,Хр)) артинов для всякого р, относящегося к следу £.

Следствие 9. Если А и В - периодические группы, то Е(А)-модуль Иош(А,В) артинов в том и только в том случае, когда след £ — конечная группа и для каждого р, относящегося к группе В, редуцированная р-компонента группы А ограничена.

Следствие 10. Пусть А и В - делимые группы. Е(А)-моду-ь Иош(А,В) артинов тогда и только тогда, когда А и £ - делимые группы без кручения и ранг группы £ конечен.

Из теорем 3 и 4 можно вывести условия одновременной артиновости Е(А)-модуля и Е(В)-моду-ля Иош(А,В).

Следствие 11. Пусть А - произвольная, В - редуцированная группы. Группа Иош(А,В) является ар-тиновым Е(А)-модулем и одновременно артиновым Е(В)-модулем тогда и только тогда, когда след £ -конечная группа; для любого р, относящегося к следу £, редуцированная р-компонента группы В ограничена; для каждого р, относящегося к группе В, ре--дуцированная р-компонента группы А ограничена; А=Н® О, где Н- конечная группа, О - редуцированная группа без кручения и для любого р, относящегося к следу £, гр(О)<”; Е(А)-модуль Иош(А/Т,Хр)) артинов для каждого р, относящегося к следу £ Следствие 12. Пусть А и В - периодические группы. Группа Иош(А,В) является артиновым Е(А)-модулем и одновременно артиновым Е(В)-модулем тогда и только тогда, когда группы А и £ конечны; для каждого р, относящегося к группе £, редуцированная р-компонента группы В ограничена; для любого р, относящегося к группе В, редуцированная р-компонента группы А ограничена.

Следствие 13. Пусть А и В - делимые группы. Группа Иош(А,В) является артиновым Е(А)-моду-лем и артиновым-Е(В)-модулем тогда и только тогда, когда группы А и £ являются делимыми группами без кручения конечного ранга.

3. Фукс Л. Бесконечные абелевы группы. - М.: Мир, 1977. - Т. 2. - 416 с.

4. Крылов П.А., Подберезина Е.И. Строение смешанных абелевых групп с нетеровыми кольцами эндоморфизмов // Абелевы группы и модули. - Томск: Изд-во Том. ун-та, 1994. -Вып. 11-12. - С. 121-129.