CC BY
9
I
BADANIA I ROZWÖJ
dr Anna Zielicza), mt. bryg. dr inz. Tomasz Drzymataa), dr inz. Sylwester Kieliszeka), dr Aneta Lukaszek-Chmielewskaa)
a>Szkota Glowna Sluzby Pozarniczej, Wydzial Inzynierii Bezpieczenstwa Pozarowego / The Main School of Fire Service, Faculty of Fire Safety Engineering
*Autor korespondencyjny/Corresponding author: t. [email protected]
Model matematyczny zmian st^zenia wodoru w atmosferze. Rzeczywista sytuacja obliczeniowa dla obiektu z systemem wentylacji
A Mathematical Model of the Change of Hydrogen Concentration. Sample Computations for a Real-Life Situation in a Ventilated Room
Математическая модель изменения концентрации водорода в атмосфере. Расчёт реальной ситуации для объекта с системой вентиляции
ABSTRAKT
Cel: Celem artykulu jest analiza zmian st?zenia wodoru w atmosferze w duzych pomieszczeniach lub obiektach, w ktorych przewiduje si? cigglg nie-wielkg emisj? tego gazu. Analiz? przeprowadzono w odniesieniu do obiektu z systemem wentylacji, w ktorym znaczna cz?se powietrza wycigganego jest zawracana do pomieszczenia, w celu zapewnienia odzysku ciepla. Swieze powietrze stanowi niewielkg cz?se powietrza nawiewanego. W hali nie wyst?pujg zrodla emisji substancji szkodliwych. Analiza dotyczy calej obj?tosci pomieszczenia, a nie stref w poblizu zrodla emisji. Efektem koncowym jest okreslenie zmian st?zenia wodoru w pomieszczeniu w funkcji czasu i odniesienie uzyskanych wynikow do granic wybuchowosci. W szczegolnosci wyznaczono, po jakim czasie st?zenie wodoru osiggnie poziom krytyczny.
Metody: Artykul napisano w oparciu o opracowany model obliczeniowy. W modelu uwzgl?dniono: wydajnosc zrodla emisji, wydajnosc wentylacji, obj?tose pomieszczenia, udzial powietrza zawracanego w powietrzu nawiewanym. W celu uzyskania wzorow opisujgcych, jak zmienia si? zawartose wodoru (lub innej wydzielanej substancji) w pomieszczeniu, wykorzystano rownania rozniczkowe. Rownania te wyznaczajg zaleznose mi?dzy nieznang funkcjg a jej pochodnymi. Obecnie prowadzi si? szereg badan nad kolejnymi schematami rozwigzywania rownan rozniczkowych, gdyz majg one wiele zastosowan praktycznych.
Wyniki: Po opracowaniu modelu matematycznego dla analizowanego przypadku obliczeniowego sporzgdzono reprezentatywne wykresy. Otrzymane wykresy pozwalajg prognozowae zmiany st?zenia wodoru w pomieszczeniu, w funkcji czasu oraz okreslie, kiedy st?zenie wodoru osiggnie poziom krytyczny. Przedstawiona metodyka moze bye przydatna w ocenie zagrozenia wybuchem, a w wielu przypadkach moze rozwiae wiele wgtpliwosci zwig-zanych z tym tematem. Model matematyczny moze bye stosowany bez ograniczen w odniesieniu do substancji tworzgcych z powietrzem mieszaniny wybuchowe; powietrze zawierajgce substancje szkodliwe nie powinno bye zawracane.
Wnioski: Na podstawie analizy danych obliczeniowych zarysowano wnioski dotyczgce regulacji prawnych. Wskazana jest nowelizacja rozporzgdzenia w sprawie ochrony przeciwpozarowej budynkow, innych obiektow budowlanych i terenow. W oparciu o przedstawiony model, poparty obliczeniami dla rozpatrywanego przykladu, sformulowano wnioski koncowe. Zaproponowany model matematyczny stanowi przydatne narz?dzie inzynierskie. Przy jego pomocy mozna okreslie dla pomieszczenia maksymalng ilose substancji palnej, ktorej g?stose wzgl?dem powietrza < 1 oraz powigzae obj?tose krytyczng Hkr z wydajnoscig wentylacji. Model pozwala rowniez okreslie czas, po ktorym zostanie przekroczona Hkr; ma to znaczenie w przypadku koniecznosci oszacowania czasu reakcji. Przedstawione ilustracje potwierdzajg poprawnose modelu. Stowa kluczowe: zagrozenie wybuchem, wentylacja, ochrona przeciwpozarowa, model matematyczny Typ artykutu: oryginalny artykul naukowy
Przyjçty: 06.02.2018; Zrecenzowany: 22.03.2018; Zatwierdzony: 10.04.2018;
Autorzy wniesli rowny wklad merytoryczny w opracowanie artykulu;
Proszç cytowac: BiTP Vol. 49 Issue 1, 2018, pp. 66-74, doi: 10.12845/bitp.49.1.2018.6;
Artykul udostçpniany na licencji CC BY-SA 4.0 (https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/).
ABSTRACT
Objectives: The aim of this article is to analyse the change of concentration of hydrogen in the atmosphere of large closed spaces with a constant but small emission of hydrogen. The analysis has been conducted for a room equipped with a ventilation system where, in order to retain heat, a significant portion of the exhaust air is recycled and turned back into the room. Thus, fresh air makes up only a part of the air blown into the room. Moreover, it is
assumed that there are no sources of harmful substances in the room. In our analysis, we consider the entire room and not only the spaces near the source of emission. Our investigation allowed us to describe how the concentration of hydrogen changes in time and to relate these results to the explosive limits. In particular, we were able to determine the time after which the hydrogen concentration would reach a critical level.
Methods: A calculation model was developed for the purposes of this paper. This model takes into account the efficiency of the source of emission, the efficiency of the ventilation system, the volume of the room and the portion of the exhaust air which is recycled. In order to obtain formulas describing how the content of hydrogen (or other emitted substance) changes, differential equations were used in the room. These equations determine the relationship between an unknown function and its derivatives. Currently, a number of studies are being conducted to develop further models for solving differential equations, as they have many practical applications.
Results: Once the mathematical model was developed, a set of representative diagrams has been plotted using data from a real-life situation. The graphs which we obtained make it possible to predict how hydrogen concentration changes as a function of time, and to determine when the concentration reaches a critical level. The methods presented here can be useful in assessing the explosion hazard, and in many cases could clarify many doubts related to this issue. The mathematical model is applicable without restrictions for substances that form explosive mixtures with air; air containing harmful substances should not be recycled.
Conclusion: Based on the analysis of the obtained data, we drew conclusions regarding current legal regulations in Poland. We recommend that the existing regulation regarding the fire protection of buildings and other structures and areas. Based on the presented model, supported by calculations for the example under consideration, the final conclusions were formulated. The proposed mathematical model is a useful engineering tool and can be useful in determining the maximum amount of substance with air density < 1 in room atmosphere and allows the critical volume Hkr to be linked to ventilation efficiency. The model can also be used to determine the time after which Hkr will be exceeded; this is important for the estimation of the response time. The presented figures confirm that the model is correct. Keywords: explosion hazard, ventilation, fire protection, mathematical model Type of article: original scientific article
Received: 06.02.2018; Reviewed: 22.03.2018; Accepted: 10.04.2018; The authors contributed equally to this article;
Please cite as: BiTP Vol. 49 Issue 1, 2018, pp. 66-74, doi: 10.12845/bitp.49.1.2018.6;
This is an open access article under the CC BY-SA 4.0 (https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/).
АННОТАЦИЯ
Цель: Цель статьи - анализ изменения концентрации водорода в атмосфере в больших помещениях или на объектах, где предусматривается постоянный небольшой выброс этого газа. Анализ проводился относительно объекта с системой вентиляции, в котором значительная часть отработанного воздуха возвращается в помещение для обеспечения рекуперации тепла. Свежий воздух составляет незначительную часть подаваемого воздуха. В помещении отсутствуют источники выброса вредных веществ. Анализ применяется ко всему объему помещения, а не к зонам, находящимся вблизи источника выброса. Конечным результатом является определение изменений концентрации водорода в помещении, в зависимости от времени, и сравнение полученных результатов со шкалой взрывоопасности. В частности, было определено сколько времени понадобиться, чтобы концентрация водорода достигла критического уровня.
Методы: Статья была разработана на основе подготовленной расчетной модели. Модель включает: эффективность источника выбросов, мощность вентиляции, объем помещения и количество рециркулируемого воздуха в подаваемом воздухе. Для определения формул, описывающих изменение содержания в помещении водорода (или другого выделяемого вещества), использовались дифференциальные уравнения. Эти уравнения определяют связь между неизвестной функцией и ее производными. В настоящее время проводится ряд исследований по последовательным схемам решения дифференциальных уравнений, так как их можно активно использовать на практике.
Результаты: После подготовки математической модели для анализируемой расчётной ситуации были подготовлены репрезентативные диаграммы. Они позволяют предсказать изменения концентрации водорода в помещении в зависимости от времени и определить, когда концентрация водорода достигнет критического уровня. Представленная методология может применяться при оценке взрывоопасности, а во многих случаях помочь рассеять многочисленные сомнения, связанные с этой темой. Математическая модель может использоваться без ограничений для веществ, образующих вместе с воздухом взрывоопасные смеси; воздух, содержащий вредные вещества, не должен возвращаться в помещение.
Выводы: На основе анализа расчётных данных были представлены выводы относительно действующих правовых норм. Рекомендуется ввести поправку в Распоряжение о противопожарной защите зданий, других строительных объектов и зон. На основе представленной модели, подтвержденной расчетами, были сформулированы окончательные выводы для рассматриваемого примера. Предлагаемая математическая модель является действенным инженерным инструментом и может быть использована при определении максимального количества вещества в атмосфере помещения, имеющего плотность по отношению к воздуху < 1. Кроме того, позволяет соотнести критический объем Нг к эффективности вентиляции. Модель также позволяет указать время, по истечении которого превышается значение Нкг; это важно, если необходимо определить время реакции. Представленные иллюстрации подтверждают правильность модели.
Принята: 06.02.2018; Рецензирована: 22.03.2018; Одобрена: 10.04.2018; Авторы внесли одинаковый вклад в создание статьи;
Просим ссылаться на статью следующим образом: BiTP Vol. 49 Issue 1, 2018, pp. 66-74, doi: 10.12845/bitp.49.1.2018.6;
Настоящая статья находится в открытом доступе и распространяется в соответствии с лицензией CC BY-SA 4.0 (https://creativecommons.org/ licenses/by-sa/4.0/).
Wprowadzenie
Podstawowe zasady dotyczqce wentylacji pomieszczen sq okreslone w rozporzqdzeniu Ministra Infrastruktury z dnia 12 czerwca 2002 r. w sprawie warunków technicznych, jakim powinny odpowiadac budynki i ich usytuowanie [1]. Zgodnie z § 147 ust. 1 tego rozporzqdzenia wentylacja powinna zapew-nic „odpowiedniq jakosc srodowiska wewn?trznego, w tym wielkosc wymiany powietrza, jego czystosc, temperature, wil-gotnosc wzgl?dnq, pr?dkosc ruchu w pomieszczeniu przy za-chowaniu przepisów odr?bnych i wymagan Polskich Norm dotyczqcych wentylacji, a takze warunków bezpieczenstwa pozarowego i wymagan akustycznych okreslonych w rozporzqdzeniu". Paragraf 151. ust. 1 dokumentu stanowi, „ze w urzqdzeniach wentylacji ogólnej nawiewno-wywiewnej lub klimatyzacji komfortowej o wydajnosci powyzej 500 m3/h nalezy stosowac urzqdzenia do odzyskiwania ciepta z powietrza wywiewanego w ilosci co najmniej 50% lub recyrkulacj?, gdy jest to dopuszczalne". Stosujqc recyrkulacj? powietrza, nalezy tez przestrzegac przepisów ochrony przeciwpozarowej. W po -mieszczeniach zagrozonych wybuchem powinny znajdowac si? urzqdzenia wstrzymujqce automatycznie prac? wentyla-torów w razie powstania pozaru i sygnalizujqce ich wytqcze-nie, jezeli dziatanie wentylatorów mogtoby przyczynic sie do rozprzestrzeniania pozaru. W kazdym pomieszczeniu zagro-zonym wybuchem nalezy stosowac oddzielnq instalacj? wy-ciqgowq (§ 269 ust. 1 i 2 rozporzqdzenia [1]). Zgodnie z § 35 ust. 4 rozporzqdzenia MSWiA z 7.06.2010 r. [2] w systemach ogrzewczych lub wentylacyjnych recyrkulacja powietrza nie jest dopuszczalna, jezeli mogtaby powodowac wzrost zagrozenia wybuchem.
Z cytowanych przepisów wynika, ze recyrkulacja powietrza jest dopuszczalna przy spetnieniu dwóch warunków: 1) swieze powietrze stanowi co najmniej 10% powietrza nawiewanego recyrkulacja powietrza nie jest dopuszczalna; 2) recyrkulacja nie powoduje wzrostu zagrozenia wybuchem. Pierwszy warunek jest tatwy do zachowania. Problemem jest interpretacja zapisu „nie powoduje wzrostu zagrozenia wybuchem". Jezeli w zawracanym powietrzu znajduje sie pewna ilosc substancji tworzqcej z powie -trzem mieszanin? wybuchowq, jest oczywiste, ze w atmosferze pomieszczenia koncentracja tej substancji b?dzie wi?ksza niz w przypadku zastosowania wentylacji bez recyrkulacji. W anali-zie jako krytyczne st?zenie przyj?to st?zenie odpowiadajqce 10% dolnej granicy wybuchowosci, które powszechnie uwazane jest za bezpieczne. Prezentowana w artykule analiza dotyczy zmian st?zenia w czasie substancji tworzqcej mieszanin? wybuchowq z powietrzem. Zaktada si? przy tym, ze niewielka emisja zacho-dzi w sposób ciqgty oraz w warunkach panujqcych w wentylowa -nym pomieszczeniu. Recyrkulacja nie dotyczy substancji o g?-stosci wzgl?dem powietrza > 1. Substancje o g?stosci wzgl?dnej < 1 tworzq z powietrzem mieszaniny prawie jednorodne (róznica st?zen w odniesieniu do wysokosci pomieszczenia jest pomijal-na) [3]. W analizie autorzy zaktadajq wi?c, ze emitowana substan-cja ma g?stosc wzgl?dnq < 1. Oczywiscie recyrkulacja moze doty -czyc substancji, które nie sq szkodliwe dla zdrowia, ztowonne itp.
W zwiqzku z powyzszymi uwarunkowaniami przeprowa-dzana analiza moze dotyczyc tylko substancji oboj?tnych dla
srodowiska [3]. Za takq substancj? uwazany jest wodór. Do analizy wybrano ten gaz tym bardziej, ze w wielu zaktadach jest on okresowo emitowany przez eksploatowane urzqdzenia. Przyktadem sq wózki akumulatorowe stosowane w transpo-rcie wewn?trznym. Bardzo rzadko baterie ich akumulatorów tadowane sq w wyznaczonych pomieszczeniach. Cz?sto od-bywa si? to na wydzielonych stanowiskach w hali produkcyj-nej lub magazynowej. Podczas tadowania akumulatorów wy-st?puje emisja niewielkiej ilosci wodoru. Nalezy zaznaczyc, ze z reguty jest to emisja z kilku lub kilkunastu zródet rozpro -szonych. Stanowiska tadowania zwykle nie sq wyposazone w odr?bne wyciqgi, co powoduje, ze wydzielajqcy si? wodór miesza si? z atmosferq pomieszczenia. Przedstawiona me-todyka moze byc przydatna w ocenie zagrozenia wybuchem, a w wielu przypadkach moze rozwiac wszelkie zwiqzane z nim wqtpliwosci.
Szeroko stosowane obecnie narz?dzia informatyczne do modelowania zjawisk oraz procesów fizyko-chemicz-nych oparte o numerycznq mechanik? ptynów, sq w wi?k-szosci bardzo skomplikowane i dosc trudne do zastosowania w analizowanym przypadku. Dost?pne modele numeryczne dajq mozliwosc przeprowadzenia skomplikowanych symula-cji uwzgl?dniajqcych wptyw róznych czynników oddziatujq-cych na bezpieczenstwo np. projektowanie wentylacji w prze -strzeniach zagrozonych wybuchem. Programy te pozwalajq na wykonywanie szerokich analiz obejmujqcych duzq liczb? procesów fizycznych i chemicznych. Takie programy komputerowe sq równiez przydatne w celu rozwiqzania waznych pro -blemów projektowych [4]. Niestety wymagajq duzych mocy obliczeniowych oraz specjalistycznego oprogramowania, na które wi?kszosc uzytkowników nie moze sobie pozwolic. Za-proponowany model matematyczny cechuje si? stosunko-wo duzq prostotq. Autorzy wykorzystujq uproszczonq me-todyk? w oparciu o stacjonarne i niestacjonarne równania rózniczkowe. Dodatkowo jednym z gtównych celów autorów byto udowodnienie na podstawie zaprezentowanej sytuacji obliczeniowej i analizy otrzymanych wyników, ze w zatozo-nych warunkach nigdy nie zaistnieje zagrozenie wybuchem w wentylacji, a st?zenia wodoru w powietrzu wentylacyjnym b?dq bezpieczne (ponizej 10% DGW). Zamieszczone w dal-szej cz?sci artykutu wykresy potwierdzajq poprawnosc mo-delu. Wszystkie rozwiqzania sq jakosciowo zgodne z ocenq intuicyjnq.
Zastosowane zatozenia i uproszczenia uzasadnia si? ch?ciq stworzenia praktycznego i szybkiego narz?dzia do przeprowadzenia tego typu obliczen i symulacji.
Przedmiot i cel opracowania
Przedmiotem opracowania jest ocena zagrozenia wybuchem w pomieszczeniu, w którym moze wyst?powac stata emisja gazu tworzqcego z powietrzem mieszanin? wybu-chowq (w tym wypadku wodoru). Jednym ze sposobów za-bezpieczenia przed wybuchem jest niedopuszczenie do powstania st?zenia wybuchowego (tzn. pomi?dzy dolnq i górnq granicq wybuchowosci). Stan taki mozna osiqgnqc poprzez
hermetyzacjç procesu, czyli ograniczenie emisji lub zastoso-wanie odpowiednio wydajnej wentylacji. Wentylacja pozwala na ograniczenie objçtosci zalegania atmosfery wybuchowej. Najlepsze efekty uzyskuje siç poprzez wentylowanie fizycznie ograniczonej przestrzeni, w ktorej wystçpuje emisja (np. po -przez umieszczenie instalacji stanowiqcej zrodto emisji np. w dygestorium lub poprzez umieszczenie instalacji w przestrzeni zewnçtrznej).
W praktyce zdarzajq siç niewielkie zrodta emisji, do ktorych nie stosuje siç wentylacji lokalnej. Wentylacja pomieszczenia ma charakter wentylacji ogolnej. Nie przewiduje siç row -niez wentylacji awaryjnej, poniewaz emisja nie moze wzrosnqc skokowo.
Szczegolnym przypadkiem jest system wentylacji ogolnej, w ktorym tylko czçsc wycigganego powietrza jest usuwana na zewnqtrz. Pozostata czçsc jest zawracana do hali w celu zapewnienia odzysku ciepta. Powietrze zawracane zostaje uzupetnione swiezym powietrzem. Zatem swieze powietrze naptywajqce do pomieszczenia stanowi tylko czçsc powietrza nawiewanego. Czçsc powietrza, ktora jest zawracana do pomieszczenia, zawiera pewne ilosci substancji palnej emito-wanej do atmosfery wewnqtrz pomieszczenia. Powstaje zatem pytanie: Po jakim czasie w atmosferze pomieszczenia, a wtasciwie w powietrzu wywiewanym, moze powstac stçze-nie w granicach wybuchowosci?
Zaktadamy, ze substancja emitowana do atmosfery (np. wodor, gaz ziemny) jest lzejsza od powietrza, co oznacza, ze bçdzie tworzyta z powietrzem mieszaninç jednorodnq (przy nieskonczonym czasie mieszania dyfuzyjnego; wowczas roznice stçzen wzdtuz wysokosci pomieszczenia sq pomi-jalne przy wysokosciach tego rzçdu). Waznym zatozeniem jest przyjçcie, ze objçtosc zalegania atmosfery wybuchowej w otoczeniu zrodta emisji jest mata w stosunku do objçtosci pomieszczenia.
Ponizej wyszczegolniono wielkosci state i regulowane przy-jçte do modelu oraz wielkosc poszukiwanq:
Wielkosci state: objçtosc pomieszczenia, w ktorym wystç -puje emisja V[m3], wydajnosc zrodta emisji q [kg/s],
Wielkosci regulowane: wydajnosc wentylacji Q [m3/s], wspotczynnik okreslajqcy udziat powietrza zawracanego do pomieszczenia k, wspotczynnik okreslajqcy udziat powietrza swiezego w powietrzu nawiewanym 1-k.
Wielkosci poszukiwane: czas, po ktorym stçzenie substancji palnej (wybuchowej) w wyciqganym powietrzu prze-kroczy poziom uwazany za bezpieczny, tzn. 10% DGW (DGW - dolna granica wybuchowosci, ang. LEL - Lower Explosive Limit) Tkr [s].
Przyktadowa sytuacja obliczeniowa
W magazynie o objçtosci 26 500 m3 zastosowano wenty-lacjç mechanicznq, o wydajnosci 40 000 m3/h. W porze noc-nej i w dni wolne od pracy wydajnosc wentylacji jest ograni-czona do 40%, co oznacza pracç z wydajnoscig 16 000 m3/h. W celu odzyskania ciepta 90% powietrza jest zawracane po -nownie do hali; swieze powietrze z zewnqtrz stanowi 10% powietrza nawiewanego do magazynu. Emisja wodoru wy-nosi ok. 0,5 m3/h.
Model matematyczny Modelowanie za pomocq rownania rozniczkowego
W celu uzyskania wzorow opisujgcych, jak zmienia siç za-wartosc wodoru (lub innej wydzielanej substancji) w pomieszczeniu, zaczçto od zbudowania nastçpujqcego rownania roz-niczkowego.
dH Q ,
— = -<pH + q gdzie: ф = — х(1 - k) (1)
Rownania rozniczkowe wyznaczajg zaleznosc miçdzy nieznang funkcjq a jej pochodnymi. Obecnie prowadzi siç szereg badan nad kolejnymi schematami rozwigzywania rownan rozniczkowych, gdyz majq one wiele zastosowan praktycznych [5-8].
Przyjçte oznaczenia:
H = H(t) - ilosc wodoru (lub innej wydzielanej substancji), ktora znajduje siç w pomieszczeniu o czasie t [m3]; S = S(t) - stçzenie wodoru (lub innej wydzielanej substancji) w pomieszczeniu o czasie t; t - czas [s];
q = q(t) - wydajnosc zrodta emisji wodoru (lub innej wydzielanej substancji) [m3/s];
Ф - wspotczynnik opisujqcy jak tempo odprowadzania wodoru przez wentylacjç o czasie t, zalezny od ilosci wodoru znajdujq-cego siç w pomieszczeniu o czasie t; Q - wydajnosc wentylacji [m3/s]; V - objçtosc pomieszczenia [m3];
k - wspotczynnik okreslajqcy udziat powietrza zawracanego do pomieszczenia w powietrzu nawiewanym; 1-k - wspotczynnik okreslajqcy udziat powietrza swiezego w po -wietrzu nawiewanym.
Rownanie rozniczkowe (1) opisuje, w jaki sposob zmienia siç ilosc wodoru (lub innej wydzielanej substancji) w pomieszcze -niu. Na zmianç ilosci gazu w pomieszczeniu sktadajq siç dwa procesy. Z jednej strony obserwujemy ubytek gazu spowodo-wany procesem wentylacji. Ubytek gazu jest proporcjonalny do ilosci gazu, jaka w danym momencie znajduje siç w pomieszcze -niu. Ten komponent zmiany ilosci gazu jest opisany jako w rownaniu rozniczkowym (1). Z drugiej strony obserwujemy naptyw gazu pochodzqcego ze zrodta emisji. Ilosc naptywa-jqcego gazu jest rowna wydajnosci zrodta emisji q. Ten drugi komponent zmiany ilosci gazu jest opisany jako +q w rownaniu rozniczkowym (1). Gaz w powietrzu zawracanym nie jest zaliczany do gazu naptywajqcego. Zawracanie czçsci powietrza powoduje zmniejszenie ubytku gazu. Wptyw tego procesu zostat uwzglçdniony we wspotczynniku ф.
Wyprowadzenie wzoru na H (t)
Funkcjç H (t), ktora opisuje, jak ilosc wodoru (lub innej wydzielanej substancji) w pomieszczeniu zmienia siç w zalezno-sci od czasu t, uzyskamy poprzez rozwiqzanie rownania rozniczkowego (1). Rozwiqzanie otrzymuje siç szczegolnie prosto przy zatozeniu, ze wydajnosc zrodta emisji q (t) siç nie zmienia - czyli w przypadku, gdy funkcja q (t ) jest funkcjq statq. Jed-nak rowniez dla wielu rodzajow zmiennej emisji wyprowadzenie
wzoru funkcji H(t) nie sprawia problemöw. Rozpocz?to od wy-prowadzenia wzoru dla statej emisji q(t) = q. Nast?pnie opisano, w jaki sposöb mozna uzyskac wzory dla zmiennej emisji q (t ), wskazujqc, dla jakich rodzajöw zmiennej emisji jest to mozliwe.
Emisja stafa
Zatozono, ze wydajnosc zrödta emisji jest stata - to znaczy wartosc funkcji q (t ) = q nie zalezy od czasu t. W tym przypadku röwnanie rözniczkowe (1) mozna rozwiqzac za pomocq czynni -ka catkujqcego G(t) = eSrdt w nast?pujqcy sposöb.
dH
~dt = -VH + q dH „
~dt +ÇH = q
—ept + pHe( = epq dt
d (He*)=e* q
Jd (Hevt )dt = Je9'qdt
He* = + c
H = q + ce-vt V
Jezeli H (0) = H 0, czyli o czasie t = 0 w pomieszczeniu znaj-duje si? H0 gazu
H0 = q + ce-">x0
Pozwala to wyznaczyc statq c.
c = H0-1 V
Otrzymujemy wi?c nast?pujqcy wzör:
H (t ) = q + H0e- qe 9 9
Po przeksztatceniu:
H (t ) = H 0e+ q (l - e^)
(2)
Po podziale obu stron röwnania przez obj?tosc pomieszczenia V mozemy röwniez otrzymac wzör na st?zenie wodoru (lub innej substancji) w pomieszczeniu.
s (t ) = El e~* +-!. (1 - e) = s0e+ ,q ч il - e-* )
W V V* > 0 Q (1 - k ) >
Nalezy pami?tac, ze w powyzszych wzorach <p = Qx (1 - k).
Emisja zmienna
W przypadku, gdy wydajnosc zrödta emisji nie jest stata, czyli wartosc funkcji q (t) zalezy od czasu t, tak jak poprzed-nio mozna uzyc czynnika catkujqcego G {t ) = eirdt, otrzymujqc:
Hevt =\evtqdt
Wyprowadzenie wzoru funkcji H (t ) sprowadza si? do obli-czenia catki Je¥qdt. Dla pewnych typöw funkcji q(t) b?dzie to w miar? tatwe, na przyktad dla funkcji postaci q (t ) = e", a e M.
Stosujqc metod? catkowania wielokrotnie, uzyskamy wzör dla wielu innych typöw funkcji q (t ). Wystarczy, ze dla jakiegos
n e N jestesmy w stanie obliczyc catk? postaci — Je^—^dt
çn dtn
(np. q (t) = anx" + an_1x"^1 +... + a1x + a0 ) lub ze dla jakiegos
n e N catka — J e^—^dt jest wielokrotnosciq catki J ev'qdt pn dt"
(np. q (t ) = asin(bt ), a, h e M i q (t ) = acos (ht ), a,b e M ).
Rozwiqzanie przyktadowego problemu
Aby zilustrowac, w jaki sposöb wzör (2) mozna wykorzystac w praktyce, uzyto go do rozwiqzania przyktadowego problemu.
Przyktadowy problem
W magazynie o kubaturze 26 500 m3 zastosowano wenty-lacj? mechanicznq o wydajnosci 40 000 m3/h. W porze nocnej i w dni wolne od pracy wydajnosc wentylacji jest ograniczona do 40%, co oznacza prac? z wydajnosciq 16 000 m3/h. W celu odzyskania ciepta 90% powietrza jest zawracane ponownie do hali; natomiast swieze powietrze z zewnqtrz stanowi 10% powie -trza nawiewanego do magazynu. Emisja wodoru wynosi okoto 0,5 m3/h. Czy st?zenie wodoru przekroczy uwazany za bezpiecz-ny poziom 10% DGW? Po jakim czasie to nastqpi?
W powyzszym problemie zatozono, ze: q = 0,5 m3/s Q = 40 000 m3/s Q . = 16 000 m3/s V = 26 500 m3 k = 0,9
ф = 4LLLL x 0,1 ri/h ]= -8[i/h]
max 26500 53
16000 r 16 r
Фтш =-x 0,1 [1/h] =-[1/h]
mln 26500 [ J 265
Ilosc wodoru odpowiadajqca 10% DGW (DGW röwne 4%) oznaczamy przez Hkr i obliczamy w nast?pujqcy sposöb.
Hkr = 0,1x 0,04 x V = 0,004 x 26500 m3 = 106 m3
Nalezy zauwazyc, ze w powyzszym problemie wartosci q, Q oraz Q sq podane nie w m3/s tylko m3/h. Mozna uzy-
^max ^min L ' J J
wac wzoru (2) niezaleznie od uzytych jednostek. Przy uzyciu jednostki m3/s czas t we wzorze (2) jest liczony w sekundach natomiast przy uzyciu jednostki m3/h czas t we wzorze (2) jest liczony w godzinach.
Zastosowanie wzoru na H(t) w przykfadowym problemie
Wzör (2) mozna stosowac wtedy, gdy wartosc Q, a tym sa-mym wartosc cp, si? nie zmienia. Dlatego nalezy wprowadzac rozröznienie miçdzy czasem pracy, gdy Q = Qmax i p = ç>mal a cza-sem wolnym od pracy oraz porq nocnq, gdy Q = Qmin i V = q>mi„. W kazdym przedziale czasu, w ktörym wartosc jest stata, mo -zemy stosowac wzör (2), przy czym H0 nalezy interpretowac wtedy jako ilosc wodoru na poczqtku przedziatu.
Analizujqc wzör (2), mozna doktadnie opisac, w jaki sposöb zmienia si? ilosc wodoru H(t) z uwzgl?dnieniem wptywu wartosci poszczegölnych parametröw. Zaobserwujemy dwie
q q q q
asymptoty —— oraz przy czym —. W przedzia-
tymin tymin ^max ^min
le, w ktorym wartosc q = qmax ilosc wodoru bçdzie siç zblizata
q
do wartosci -1—. Natomiast, w przedziale, w ktorym wartosc
tymin q
V = q>min, ilosc wodoru bçdzie siç zblizata do wartosci —. Jesli
tymin
ilosc wodoru na poczqtku przedziatu bçdzie wyzsza niz wartosc asymptoty, to bçdzie ona w tym przedziale malata, a jesli bçdzie nizsza od wartosci asymptoty, to bçdzie w tym przedziale rosta.
Doktadne wyznaczanie czasu krytycznego Tkr
Zaktadamy, ze w przyktadowym problemie pora nocna to czas od 18:00 do 6:00, natomiast czas od 18:00 w piqtek do 6:00 w ponie -dziatek jest czasem wolnym od pracy. Ponadto w badanym okre -sie nie wystçpujq zadne dodatkowe dni wolne od pracy. Jako czas t = 0 wybieramy godzinç 18:00 w piqtek. Zaktadamy rowniez, ze poczqtkowa ilosc wodoru H0 = H(0) = 0 .
Musimy rozpatrywac oddzielnie przedziaty czasu, w kto-rych wartosc <p = q>mx oraz przedziaty czasu, w ktorych wartosc <p = q>min. Obliczenia prowadzimy wiçc przedziat po przedziale, otrzymujqc za kazdym razem ilosc wodoru na koncu danego przedziatu.
Dla n-tego przedziatu oznaczamy przez tn1 czas na poczqtku przedziatu, przez tn czas na koncu przedziatu, a przez Hn = H (tn ) ilosc wodoru na koncu danego przedziatu. Wartosc Hn oblicza-my za pomocq wzoru (2) w nastçpujqcy sposob:
H = H
(1 - e-9t )
W powyzszym wzorze uzywamy t = tn-tn-1, co odpowiada dtugosci rozpatrywanego przez nas przedziatu czasu. Uzywamy tez <p = q>min lub p = q>max w zaleznosci od tego, czy rozpatry-wany przedziat jest czasem pracy czy czasem wolnym od pracy.
Obliczenia kontynuujemy w kolejnych przedziatach do mo-mentu, gdy wartosc stçzenia wodoru Hn przekroczy wartosc Hkr. W tym celu warto uzyc programu komputerowego z pçtlq. Jezeli Hnprzekroczy Hkr, oznacza to, ze ilosc wodoru Hkr zo-stata przekroczona w ostatnim rozpatrywanym przedziale cza -su, czyli w przedziale od tn1 do tn. Mozemy wtedy wyznaczyc doktadny czas Tkr. Czas Tkr bçdzie rowny Tkr = tn1 + tkr, gdzie tkr wyprowadza siç z ponizszego rownania.
Hkr = Hn_
Л (i-
W rownaniu uzywamy (p = tymin lub (p = qmux w zaleznosci od tego, czy rozpatrywany przedziat od tn1 do tn jest czasem pracy czy czasem wolnym od pracy. Otrzymamy:
Tkr = n
-I In
H
H ,
Gdyz H0 = 0 oraz 0 < e Vm,nt < 1. Otrzymamy wiçc:
H it )< — = 0,5 x —m3 < 106 m3 = H, w m . 16 kr
Tmi n
Dlatego kontynuujqc obliczenia Hn, nigdy nie otrzymaliby-smy wartosci Hn przekraczajqcej Hkr.
Wyznaczanie przyblizonej wartosci czasu krytycznego Tkr
W zaprezentowanym powyzej rozwiqzaniu przyktadowego problemu wyznaczanie kolejnych wartosci Hn jest dosc pra-cochtonne. Komplikacje wynikajq z faktu, ze wartosc parame-tru Q jest inna dla czasu pracy i dla czasu wolnego od pracy. Zauwazmy, ze tak naprawdç interesujqce sq nie same wartosci H (t), a jedynie informacja o tym, czy i kiedy wartosc H (t ) moze przekroczyc wartosc krytycznq Hkr. W zwiqzku z tym w praktyce o wiele efektywniejsze bçdzie oszacowanie czasu Tkr. Zamiast wyznaczac doktadnq wartosc Tkr, okreslimy jedynie zakres czasu, w ktorym ilosc wodoru H (t) przekroczytaby poziom krytyczny Hkr.
W ponizszych rozwazaniach zaktadamy, ze poczqtkowa ilosc wodoru H0 nie przekracza wartosci krytycznej Hkr. Wartosc czasu krytycznego Tkr oszacujemy, wyznaczajqc czasy T . oraz T takie, ze T . < T < T . Dolna granica T . be-
mm max ' min kr max 3 mm ^
dzie okreslona z zatozeniem minimalnej wartosci dla parame-tru Q, czyli Q = Qmjn, natomiast gorna granica Tmax przy zato-zeniu maksymalnej wartosc parametru Q - czyli Q = Qmax. Dla kazdego t wartosc H(t) jest ograniczona od dotu i od gory w nastçpujqcy sposob:
(1 - e) (1 _ e)
H0e-9-axt + q V-L < h (t )< H+ q--'$max tymin
T. oraz T wyznaczamy poprzez rozwiazanie ponizszych
min max 1 1 ~ ~ " ~ 1
min max
rownan
Hkr = H 0e-«-T- (1 - ) m . }
m n
H, = H e
kr 0
+ (1 _ e~v~xT-x )
(pmax x '
Otrzymamy ponizsze wzory:
T . =
mm
1
^Pmin
In
H,..
q m
Tmm
H
mm
Tmx =--In
Ф
' max
Hkr - -q-1
Vmax
H __
&max y
W tym miejscu nalezy zwrocic uwage, ze w przypadku ogol -nym Tkr nie zawsze istnieje. Zostanie to doktadniej omowione w kolejnej sekcji. W przyktadowym problemie wartosc H (t) jest zawsze ograniczona w nastçpujqcy sposob:
H (t )< H0e-*-f (1 - e) <
m m 'm .
min min
Jezeli Hkr^—!—, to Tmn nie jest zdefiniowane. Podobnie, jesli
q
Hkr^——, to Tmax nie jest zdefiniowane. Nalezy wtedy przyjqc
tymax
odpowiednio Tmjn ^œ oraz Tmax ^œ. Zachodzi wtedy sytuacja, w ktorej przy statej wydajnosci wentylacji Q, rownej odpowied -nio Q lub Q , nigdy nie zostatby przekroczony krytyczny
min ^max -> J j r j j j j
poziom ilosci wodoru Hkr. Jesli Tmin = Tmax =<n to przy wydajnosci wentylacji zmieniajacej si? (w dowolny sposob) w zakre-sie pomiedzy Q a Q , ilosc wodoru Hit) niqdy nie przekro-
i -t j ^mm ^max V / ^ J 1
czytaby poziomu krytyczneqo Hk. Taka sytuacja bedzie miata miejsce w przyktadowym problemie.
q q
Z powyzszej analizy wynika, ze jezeli —— =——5—r jest
yV Q (1 - k)
mniejsze niz 0,04, to stezenie wodoru pozostanie zawsze na bezpiecznym poziomie 10% DGW.
Zaleznosc czasow T i T odwydajnoscizrodia q
mm max 11 T
Wzory na T i T , ktore uzyskalismy pozwalaja na prze-
J mm max J J ' j t i-
analizowanie, w jaki sposob zakres okna czasoweqo, w kto-rym nastapi przekroczenie krytyczneqo poziomu ilosci wodoru Hkrzalezy od wydajnosci zrödta q. Otrzymanewyp rowadzeme nie zalezy od wybranych wortosci pcircmntröw a,Q . Q
' L ^max ^-min
V, k, fmax, fmn i wykorzystuje jedynie zatozenie, ze H0 <Hkr.
Przyjmujac zatem, ze wszystkie wartosci parametrow z wyjat-kiem q sa takie jak w przyktadowym problemie, mozemy spo-rzadzic za pomoca otrzymanych wzorow wykres przedstawia -jacy, jak czasy T i T zmieniaja sie w zaleznosci od wartosci
J 4 J J J min max J 1 ^
wydajnosci zrodta q. Dla poszczeqolnych wartosci q mozemy narysowac pionowa linie przechodzaca rzez dana wartosc q, a wtedy miejsca przeciecia z wykresami dla T i T wyzna-
J 1 ' ^ J min max J
cza okno czasowe, w ktorym zostanie przekroczony krytyczny poziom ilosci wodoru Hkr.
Graficzna ilustracja otrzymanych wynikow
Wyniki obliczen dla okreslonych we wstepie warunkow przedstawiono na rycinach od 1 do 3. Na ryc. 1 przedstawiono zalezncsc cotlcowitot Mosci wodofuwctrcosferze rozpatrywa-npyo pomcesznzeniaw fucyyji czasu pnzy roznej, ale niezmien-nej w czasie wydajnosci wentylacji.
14 12 10
m 8
<
JE 1 6
4
2
0
20
40
60 t [h]
80
100
-Q = 10000 -Q = 20000 Q = 30000 -Q = 40000 -Q = 50000
120
Rycina 1. Catkowita obj?tosc wodoru w atmosferze rozpatrywanego pomieszczenia okreslona przy statej emisji przy roznych wydajnosciach wentylacji w funkcji czasu
Figure 1. Total hydrogen volume in the atmosphere of the room concerned determined at constant emissions at various ventilation capacities as a function of time Zrodto: Opracowanie wtasne. Source: Own elaboration.
Wykres na ryc. 1 potwierdza oczywista teze, ze catkowita ilosc wodoru w atmosferze pomieszczenia zalezy wprost od wydajnosci wentylacji. Z przebiequ przedstawionych zalezno-sci wynika, ze dynamika wzrostu zawartosci wodoru w atmos-ferze pomieszczenia maleje; po pewnym czasie, roznym dla poszczeqolnych wydajnosci wentylacji, praktycznie stabilizuje sie. W rozpatrywanym przypadku nie jest mozliwe, aby objetosc wodoru osiaqneta wartosc krytyczna.
Na ryc. 2 przedstawiono jakosciowo zmiany objetosci wodoru w atmosferze pomieszczenia przy cyklicznie zmiennej wydajnosci wentylacji. Powyzsze odpowiada zmniejszeniu wentylacji w czasie nocnym i podczas dni wolnych oraz wyzszej wydajnosci w dni robocze.
Ilustracj? sposobu okreslenia przedziatu czasowego, w ktorym mozliwe jest osiagni?cie zawartosci wodoru row-nej Hkr w zaleznosci od wydajnosci emisji q przedstawiono na ryc. 3. Dolna granic? Tmjn wyznaczymy, zaktadajac mini-malna wartosc dla parametru Q (wydajnosc wentylacji) czy-li Q = Q™», natomiast gorna granic? Tmax, zaktadajac maksy-malna wartosc parametru Q czyli Q = Qmax. Jezeli znana jest wielkosc emisji wodoru, przedziat czasowy, w ktorym moze byc osiagni?te Hkr, mozna wyznaczyc, prowadzac pionowa li-ni? q = const do przeci?ciaz liniami 7^ = f (q) i T'max = f (q) przedziat ten jest zawarty mi?dzy punktami przeci?cia tych zaleznosci linia q = const.
0
Rycina 2. Zmiany catkowitej objçtosci wodoru w atmosferze pomieszczenia przy cyklicznych zmianach wydajnosci wentylacji Figure 2. Changes inthe totalhydrogenvolumeinroomatmosphereunderperiodicchangesinventilationefficiency Zrodto: Opracowanie wtasne. Source: Own elaboration.
Rycina 3. Sposob wyznaczeniaprzedziatuczasowego,w ktorymmozliwe jestprzekroczenie Hh w zaleznosci odwydajnoscizrodta emisji Figure 3. The methodof determiningthe timeintervalin which Hr canbe exceeded depending on the efficiency of the emission source Zrodto: Opracowanie wtasne. Source: Own elaboration.
Podsumowanie i wnioski
Na podstawie przedstawionego modelu, popartego przykta-dem obliczeniowym, mozna sformutowac nastçpujqce wnioski koncowe:
1. Zaproponowany model matematyczny moze byc przy-datny do okreslenia maksymalnej ilosci substancji pal-nej o gçstosci wzglçdem powietrza < 1 w atmosferze pomieszczenia.
2. Zaproponowany model obliczeniowy pozwala powiq-zac objçtosc krytycznq Hkr z wydajnosciq wentylacji, w tym przy uwzglçdnieniu zmiennej wydajnosci wentylacji.
3. Przedstawiony model pozwala stwierdzic, czy w okreslo-nych warunkach mozna na potrzeby odzysku ciepta za-wracac czçsc powietrza wentylacyjnego, nie powodujqc przy tym wzrostu zagrozenia wybuchem. Stanowi zatem przydatne narzçdzie inzynierskie.
4. Model pozwala okreslic czas, po ktorym zostanie prze-kroczona Hkr; ma to znaczenie w przypadku konieczno-sci oszacowania czasu reakcji.
5. Z analizy wynikow otrzymanych dla rozpatrywanego przyktadu wynika, ze w zatozonych warunkach nigdy nie zaistnieje zagrozenie wybuchem w wentylacji; stçze-nia wodoru w powietrzu wentylacyjnym bçdq bezpieczne (ponizej10%DGW).
6. Model moze byc stosowany bez ograniczen w odniesie-niu do substancji tworzacych z powietrzem mieszaniny wybuchowe; powietrze zawierajace substancje szkodli-we nie powinno byc zawracane.
7. Przedstawione ilustracje potwierdzaja poprawnosc mo-delu; wszystkie rozwiazania sa jakosciowo zgodne z oce-na intuicyjna.
8. Model moze byc przydatny w ocenie zagrozenia wybuchem, w szczególnosci do wykazania, ze w wielu przy-padkach zagrozenie wybuchem nie istnieje.
Literatura
[1] Rozporzgdzenie Ministra Infrastruktury z dnia 12 czerwca 2002 r. w sprawie warunków technicznych, jakim powinny odpowiadac bu-dynki i ich usytuowanie (Dz. U. z 2002 r. Nr 75, poz. 690 z pózn. zm.).
[2] Rozporzgdzenia Ministra Spraw Wewn^trznych i Administracji z dnia 7 czerwca 2010 r. w sprawie ochrony przeciwpozarowej bu-dynków, innych obiektów budowlanych i terenów (Dz. U. z 2010 r. Nr 109, poz. 719).
[3] Kieliszek S., Tomasz S., Wrotek J., Kinetyka parowania cieczy z po-wierzchniswobodnych, „Zeszyty Naukowe SGSP", 95(2).
[4] Fliszkiewicz M., Krauze A., Maciak T., Mozliwosci stosowania progra-mów komputerowych w inzynierii bezpieczenstwa pozarowego, BiTP Vol. 29 Issue 1, 2013, pp. 47-60.
[5] Braun M., Differential Equations and Their Applications, "Applied Mathematical Science" 1983, Vol. 15.
[6] Serrano S.E., Differential Equations. Applied Mathematical Modeling, Nonlinear Analysis, and Computer Simulation in Engineering and Science, HydroScience Inc. 2016.
[7] Chicone C., Invitation to Applied Mathematics: Differential Equations, Modeling and Computation, Elsevier Inc. 2017.
[8] Holmes M.H., Introduction to the Foundations of Applied Mathematics, "Texts in Applied Mathematics" 2009, Vol. 56, Springer-Verlag New York Inc.
DR ANNA ZIELICZ - jest absolwentkg studiöw z zakresu matematy-ki teoretycznej na Uniwersytecie sw. Andrzeja w Szkocji. Studiowa-ta röwniez na Wydziale Matematyki Uniwersytetu Fryderyka-Wilhelma w Bonn, a w 2015 roku ukonczyta studia doktoranckie na Uniwersytecie w Bremie. Od 2015 r. pracuje jako adiunkt w Katedrze Nauk Sci-stych w Szkole Gtöwnej Stuzby Pozarniczej w Warszawie, gdzie zaj-muje siç dziatalnoscig dydaktyczng i badawczg. Jej zainteresowania dotyczg teorii systemöw dynamicznych, wykorzystania modeli mate-matycznych w zagadnieniach zwigzanych z bezpieczenstwem.
ML. BRYG. DR INZ. TOMASZ DRZYMALA - jest absolwentem Szkoty Gtöwnej Stuzby Pozarniczej w Warszawie Od 2011 roku zajmuje sta-nowisko kierownika Zaktadu Podstaw Budownictwa i Materiatöw Budowlanych w Katedrze Bezpieczenstwa Budowli i Rozpoznawa-nia Zagrozen. W ramach rozwoju naukowego uczestniczy z referatami w konferencjach krajowych i zagranicznych, publikuje w czasopi-smach fachowych. Jest autorem oraz wspötautorem kilkudziesiçciu artykutöw i publikacji naukowych o tematyce dotyczgcej ochrony przeciwpozarowej oraz budownictwa. Jego gtöwne zainteresowanie skupia siç obecnie na komputerowym modelowaniu procesöw gasze-nia oraz badaniu wptywu wysokich temperatur na zmianç wtasciwo-sci materiatöw kompozytowych.
DR INZ. SYLWESTER KIELISZEK - ukonczyt Wydziat Mechaniczny, Energetyki i Lotnictwa Politechniki Warszawskiej. Posiada uprawnie-nia rzeczoznawcy ds. zabezpieczen przeciwpozarowych. Od ukon-czenia studiöw jest pracownikiem naukowo-dydaktycznym WOSP a nastçpnie SGSP. W latach 1988-1999 oraz 2002-2016 zajmowat stanowisko kierownika Katedry Techniki Pozarniczej. Prowadzi zajç-cia z przedmiotöw: hydromechanika i przeciwpozarowe zaopatrzenie w wodç, termodynamika. W pracy naukowej zajmuje siç gtöwnie ba-daniem wtasnosci przeptywowych sprzçtu pozarniczego. Jest autorem i wspötautorem szeregu artykutöw oraz wielu ekspertyz z zakresu ochrony przeciwpozarowej.
DR ANETA LUKASZEK-CHMIELEWSKA - ukonczyta studia na Wydziale Fizyki Uniwersytetu Warszawskiego. Adiunkt w Zaktadzie Fizyki i Che-mii w Szkole Gtöwnej Stuzby Pozarniczej w Warszawie. Prowadzi ba-dania naukowe zwigzane z palnoscig i dymotwörczoscig materiatöw polimerowych, a takze radioaktywnoscig komponentöw srodowiska.
