CC BY
14
или редукционистский взгляд на законы природы, нет причин, по которым статичный мир мог бы содержать индетерминистические законы. Возможно, этернализм согласуется с индетерминизмом, независимо от того, принимает ли он примитивизм законов («реалистический» взгляд) или юманизм. Статичный мир не может содержать индетерминистические законы силы. Такой «реалистический» взгляд на законы природы несовместим со статичным миром, но требует концепции растущего блока или презентизма. Причем для данной точки зрения неважно, являются ли законы природы вероятностными или детерминированными. Продуктивность метафизики силы возникает не из своих собственных законов (не говоря уже о недетерминированных законах), а из динамического существования диспозиций и их проявлений (с. 88).
Р. С. Гранин
2019.01.012. ВАЙНБЕРГ С. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБЪЯСНЕНИЕ И НЕУСТРАНИМОСТЬ.
VINEBERG S. Mathematical explanation and indispensability // Theoria: An international joumal for theory, history and foundations of science. - San Sebastián, 2018. - Vol. 33, N 2. - P. 233-247.
Ключевые слова: неустранимость; объяснение; реализм; структурализм.
В статье обсуждается Бейкеровский1 вариант расширенного аргумента о неустранимости (Baker's Enhanced Indispensability Argument) в рамках математического реализма роли математики в научных объяснениях физических фактов. Сьюзан Винеберг утверждает, что существует аналог каузального объяснения математики, который из нескольких основных типов объяснений наиболее перспективен для использования в аргументе Бейкера. Она считает правдоподобным такое положение, что математика играет объясняющую роль, но утверждает, что это не означает реализма математических объектов.
Автор пишет, что так называемый аргумент Куайна - Пат-нема о неустранимости математики полвека служил основным
1 Алан Бейкер (1939-2018) - английский математик. Известен своей работой по эффективным методам в теории чисел. Среди его научных интересов были теория чисел, диофантов анализ, диофантова геометрия.
препятствием для математического антиреализма. Аргументы Ку-айна и Патнема часто рассматриваются вместе, как единое целое, несмотря на то что они значительно отличаются друг от друга. Ку-айн руководствуется идеями холизма, что приводит его к выводу, что с помощью использования математики в наших лучших и хорошо подтвержденных теориях мы должны признать онтологическую реальность существования математических объектов1. В отличие от этого Патнем подчеркивает незаменимость использования математики при формулировании физических теорий, которые, как он считает (в соответствии с научным реализмом), у нас есть все основания считать истинными. Утверждение Патнема о неустранимости математики при формулировании физических теорий часто интерпретировалось как утверждение о необходимости существования математических объектов в смысле Куайна, поэтому, по крайней мере в общих чертах, аргументы Куайна и Патнема были приняты как нечто общее2. Тем не менее Патнем ясно заявляет, что рассматривает свой аргумент о неустранимости как один из истинных математических тезисов, но не в смысле традиционного платонизма.
Совсем недавно Бейкер представил и защитил тезис, который он назвал «усиленной» неустранимостью для существования математических объектов, которая проистекает из незаменимости математики для физических теорий. Аргумент Бейкера аналогичен аргументу Куайна и Патнема, но, намереваясь дополнить их, он сосредоточил внимание на объяснительной роли математики в науке. Он писал: «Мы должны рационально верить в существование каких-либо сущностей, которые играют неустранимую объяснительную роль в наших лучших научных теориях. Математиче-
1 «Лучшие» теории - наиболее фундаментальные - теория относительности и квантовая механика.
Как поясняет один из исследователей данного вопроса А.Н. Кричевец: «Хотя участники дискуссий вокруг аргумента в большинстве своем не разделяют наивной веры в существование какого-то референта у всякого элемента физической теории - об этом свидетельствует, например, формулировка: "неустраним из лучших физических теорий", однако пиетет перед объектами физических теорий сохраняется - иначе не имело бы смысла сводить одно существование к другому» (Кричевец А.Н. Аргумент неустранимости Куайна - Патнема, непостижимая эффективность математики и жизненный мир // Математика и реальность: Труды Московского семинара по философии математики. - М.: МГУ, 2014. - С. 164).
ские объекты играют незаменимую объяснительную роль в науке. Следовательно, мы должны рационально верить в существование математических объектов» (с. 234). Аргумент Бейкера включает в себя идею того, что математические объекты играют важную роль в лучших объяснениях некоторых физических фактов и что это заставляет, по крайней мере научных реалистов, принять реальность таких объектов. Но подобное умозаключение, отмечает Вайнберг, остается неясным и спорным. Трудность заключается в том, что объяснение само по себе неясно. Многие научные объяснения ссылаются на законы, которые излагаются с помощью математики, но это не делает такие объяснения математическими (с. 237).
Для иллюстрации положения математики в физическом мире Бейкер обратился к знаменитой задаче о мостах Кенигсберга. Это старинная математическая задача, в которой спрашивается, как можно пройти по всем семи мостам города, не проходя ни по одному из них дважды. Впервые была решена в 1736 г. математиком Леонардом Эйлером, доказавшим, что это невозможно, и изобретшим таким образом эйлеровы циклы. Эйлер представил упрощенную схему города (граф), где мостам соответствуют линии (ребра графа), а частям города - точки соединения линий (вершины графа). В ходе рассуждений математик пришел к следующим выводам: число нечетных вершин (вершин, к которым ведет нечетное число ребер) графа должно быть четно, не может существовать граф, который имел бы нечетное число нечетных вершин; граф с более чем двумя нечетными вершинами невозможно начертить одним росчерком. Граф кенигсбергских мостов имел четыре нечетные вершины (т.е. все) - следовательно, невозможно пройти по всем мостам, не проходя ни по одному из них дважды. Для Бейке-ра граф в решении Эйлера является примером лучшего объяснения физического факта.
Далее автор пишет о структуралистском понимании математики, когда «семь мостов» являются структурным отношением вершин и ребер. Роль этих объектов заключается в образовании структуры - графа. Функция графа - сформировать математическую структуру. Граф отражает структурные особенности физического расположения мостов, которые делают непрерывную прогулку невозможной. Эйлер выявил общую структуру, которая
делала прогулку возможной или невозможной. Не какое-либо свойство вершин или ребер приводит к невозможности непрерывного пути по ним, невозможность проистекает из-за особенностей их конфигурации, т.е. структуры самого графа. Соответственно, тот факт, что нет возможного непрерывного пути через граф, зависит не от физического существования графа, но только от отношений между его вершинами и ребрами. Сам граф играет лишь объяснительную роль, которая отражает физические факты на основе структурных зависимостей, что не приводит с неизбежностью к онтологическому существованию математического объекта - графа (с. 244).
Как отмечает автор, существует множество структуралистских пониманий математики, которые наделяют структуры реальной онтологией. Другие придерживаются антиреалистической версии, согласно которой математика касается лишь гипотетически возможных структур. Последняя позиция позволяет ссылаться на вероятностные математические структуры, дающие математическое объяснение физических фактов без того, чтобы допускать реальность математических объектов. Таким образом, заключает автор, можно сказать, что Бейкеровская версия аргумента о незаменимости математики подчеркивает объясняющую роль математики. Причем для математических положений она требует только их истинности, а не онтологического существования, что тесно вписывается в Пут-нэмское понимание аргумента незаменимости (с. 246).
Р. С. Гранин
2019.01.013. ПЛЕБАНИ М. АРГУМЕНТ НЕУСТРАНИМОСТИ И ПРИРОДА МАТЕМАТИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ. PLEBANI М. The indispensability argument and the nature of mathematical objects // Theoria: An international journal for theory, history and foundations of science. - San Sebastián, 2018. - Vol. 33, N 2. -P. 249-263.
Ключевые слова: аргумент неустранимости; усиленный платонизм; метафизическое заземление; фундаментальная метафизика.
В своей статье Маттео Плебани пишет, что недавно в философии математики проходили оживленные дебаты между сторон-
