CC BY
11
ЛОГИКА И ТЕОРИЯ ПОЗНАНИЯ
2016.04.013. ХУТТЕГГЕР СМ. БАЕСОВСКАЯ СХОДИМОСТЬ К ИСТИНЕ И МЕТАФИЗИКА ВОЗМОЖНЫХ МИРОВ. HUTTEGGER S.M. Bayesian convergence to the truth and the metaphysics of possible worlds // Philosophy of science. - Chicago, 2015. -Vol. 82, N 4. - P. 587-601.
Ключевые слова: философия математики; байесовская вероятность; априорная вероятность; апостериорная вероятность; аппроксимация к истинному значению; мартингал; вероятность возможных миров.
Профессор факультета логики и философии науки Калифорнийского университета Саймон Хуттеггер рассуждает о критичности для теории вероятности аппроксимации конечных (эмпирических) вероятностных процессов бесконечными (идеальными), анализирует современные интерпретации байесовской вероятности1 и ее связь с «возможными мирами» (элементарными событиями канторова пространства).
1 Формула Байеса вытекает из определения условной вероятности. Вероятность совместного события АВ двояко выражается через условные вероятности: Р (АВ) = Р (А1В) Р (В)=Р (В1А) Р (А), откуда Р (А1В) = Р (АВ)/Р (В) = Р (В1А) Р (А)/Р (В).
Физическая интерпретация: формула Байеса позволяет «переставить причину и следствие»: по известному факту события вычислить вероятность того, что оно было вызвано данной причиной. События, отражающие действие «причин», называют гипотезами, они - предполагаемые события, повлекшие данное. Безусловную вероятность справедливости гипотезы называют априорной (насколько вероятна причина вообще), а условную - с учетом факта произошедшего события -апостериорной (насколько вероятна причина оказалась с учетом данных о событии).
Пример: событие А - в баке нет бензина, событие В - машина не заводится. Вероятность Р (В1А) того, что машина не заведется, если в баке нет бензина,
Во введении (первом разделе) автор пишет, что теория вероятности часто имеет дело с бесконечностью. Например, такое событие, как бесконечная последовательность подбрасываний монеты, логически возможна, но в эмпирических исследованиях его метафизический статус должен быть соотнесен с эпистемологическим фактом. Мы не можем наблюдать в реальности бесконечное число подбрасываний монеты, нашим наблюдениям доступны только конечные последовательности. Но нельзя сказать, что нет никакого места для бесконечных последовательностей в вероятностных рассуждениях. В ситуациях без принципиальной верхней границы для числа наблюдений бесконечность служит идеализацией, к которой аппроксимируют большие конечные последовательности.
Данные соображения важны для ответа на некоторые критические замечания по байесовской вероятности, которые были недавно выдвинуты Гордоном Белотом1. Автор статьи пишет, что Бе-лот поднимает несколько важных идей, которые заслуживают подробного обсуждения. Прежде всего это проблема априорной предпосылки и отношение между топологией и теорией вероятности (оба случая указывают на определенные слабые места в аргументации Белота). Последняя приводит к повторной проверке теорем сходимости к истинному значению (convergence-to-the-truth theorems) и к новому положительному представлению того, как это понимать. В этих теоремах используется приближение алгебры меры (случай Булевой алгебры), выдвинутой Колмогоровым в 1948 г. для элементарных событий. Но алгебра меры - метафизически ограниченная математическая конструкция, пишет Хуттеггер, поскольку вместо элементарных событий в качестве базиса использует конечное число выделенных итоговых пропозиций (основных положений, предпосылок). Элементарные события в ней могут быть восстановлены только неконструктивным способом. Хуттег-
равняется единице. Тем самым вероятность Р (А) того, что в баке нет бензина, равна произведению вероятности Р (В) того, что машина не заводится, на вероятность Р (А1В) того, что причиной события В стало именно отсутствие бензина А, а не, к примеру, разряженный аккумулятор.
1 Belot G. Bayesian orgulity // Philosophy of science. - Chicago, 2013. -Vol. 80, N 3. - P. 483-503.
гер утверждает, что в этом положении трактовка Белота теряет свою остроту.
Во втором разделе «Мартингалы» автор пишет, что сходимость к истинному значению является следствием теоремы сходимости мартингала. Мартингал - бесконечная последовательность случайных переменных, где для каждого п, условное ожидание п-ой случайной переменной, данной п-1 раз, равно значению (п-1)-ой случайной переменной. Мартингал можно представить как последовательность честных азартных игр. Если значение п-ой случайной переменной будет представлять полный фонд средств игрока в момент времени п, то не ожидается, что игрок выиграет или проиграет1. Теорема сходимости мартингала утверждает, условно говоря, что мартингал, который отвечает некоторым формальным требованиям, сходится с вероятностью 1 (с. 588).
Следуя за Белотом, автор статьи исследует все такие специальные ситуации, которые могут быть сведены к бесконечным двоичным последовательностям. Для простоты репрезентации он выбирает эксперимент с подбрасыванием монеты бесконечное число раз (или любое другое событие подобного рода). Набор всех бесконечных двоичных последовательностей может быть представлен топологически - сходимостью точек, также известной, как Канто-рово пространство (топологическая абстракция Канторова множества). Автор, рассматривает некоторое предшествующее Р вне Канторова пространства. Условная вероятность Рп (А) для измеримого множества А, данного в первых п актах наблюдения, является случайной переменной, т.е. измеримой функцией от Канторова пространства, в которое оно вложено. Известно, что бесконечная последовательность условных вероятностей Р1(А), Р2(А)... является мартингалом, поэтому последовательность будет сходиться к Рп (А)
1 Поясним: мартингал - в теории вероятности такой случайный процесс, что наилучшим (в смысле среднеквадратичного) предсказанием поведения процесса в будущем является его настоящее состояние. Например, если в игре с подбрасыванием монеты при выпадении «орла» игрок выигрывает очко, а при выпадении «решки» проигрывает, то если монета уравновешена, состояние игрока как функция количества игр является мартингалом. Если более вероятно выпадение «орла», то состояние игрока - субмартингал; если выпадение «решки» более вероятно, то состояние игрока - супермартингал. Случайный процесс является мартингалом тогда и только тогда, когда он является одновременно субмартингалом и супермартингалом.
с вероятностью 1. Кроме того, предел с вероятностью 1 будет равняться показателю А, т.е. случайная переменная принимает значение 1 в бесконечных последовательностях, относящихся к А, и значение 0 во всех остальных. Показатель А может считаться истинным значением последовательности.
Следует обратить внимание, что предел равняется показателю А только тогда, когда вероятность равняется 1. Данное положение явилось отправным пунктом для доводов Белота. В общем, существует непустое «исключительное» множество бесконечных последовательностей, где условные вероятности для А не сходятся к ее показателю. Автор предлагает назвать набор бесконечных двоичных последовательностей, у которых последовательность условных вероятностей сходится к показателю А, «множеством успеха» (вероятность Р = 1), а его дополнение - «множеством неудачи» (Р = 0).
Теорема сходимости мартингала предполагает, что мера исчисления вероятности аддитивна. Существует теорема сходимости мартингала для определенных видов конечных аддитивных мер вероятности, которая релевантна теореме сходимости к истинности, хотя теорема сходимости мартингала не содержит в общем меры для вероятности, которая является только конечно аддитивной. Кроме того, следует подчеркнуть, что теорема сходимости к истине верна только при особых условиях, изложенных выше. Например, если истинное значение пропозиции не детерминируется наблюдениями (даже бесконечно большими), то сходимость к истинному значению не гарантируется; в то время как теорема сходимости мартингала гарантирует, что условные вероятности сходятся. Только в этом случае они не должны сходиться к 0 или 1 (с. 589).
В третьем разделе «Самонадеянность байесовского подхода?» Хуттеггер пишет, что его сторонники действительно склонны думать о теореме сходимости мартингала как о чем-то обнадеживающем. Однако Белот предлагает рассмотреть ее как ахиллесову пяту байесовского метода. Его аргументация начинается с наблюдения того факта, что «множество неудачи» для любого А обычно непустое. Агент (приверженец байесовского метода) может просто назначить нулевую вероятность на частные открытые наборы двоичных последовательностей. Этот вид консервативности (замкнутости) считается возможным или нет в зависимости от того, есть ли
у агента убедительные доказательства того, чтобы думать, что истинная последовательность не находится в некотором открытом множестве. Но агент, а также кто-либо еще могут отклонить этот вид консервативности каждый раз, когда это неоправданно.
Белот хочет показать, что есть «множества неудачи», которые являются примерами глубокого и неизбежного типа консервативности, которая относится к байесовскому типу, даже если представляется, что она имеет объективные предпосылки. Предположим, пишет Хуттеггер, что R - исчисляемое плотное подмножество Канторова пространства, рассмотрим теперь априорную предпосылку в отношении R. Белот развивает искусный аргумент, который показывает, что «множество неудачи» априорной вероятности является остаточным множеством (первой категории) (meagerset) в пространстве бесконечных двоичных последовательностей. А его дополнение - «множество успеха» - является остаточным множеством (второй категории) (residualset)1. Таким образом, относительно топологии Канторова пространства «множество неудачи» топологически значительно, а «множество успеха», топологически незначительно. Но, несмотря на это, априорная вероятность для первого из упомянутых множеств равны 0, а для второго - 1. То есть «множество неудачи» не должно игнорироваться по топологическим соображениям. Но оно фактически игнорируется при байесовском подходе, не касающемся топологически значительной части пространства последовательностей. Что еще хуже, представитель байесовской методологии вынужден иметь подобные предположения о формальном аппарате теории вероятности. Даже если бы он хотел, у него не может быть согласующейся априорной предпосылки, где «множество неудачи» есть положительная вероятность.
1 В математике остаточным называют подмножество в пространстве Бэра, представимое как пересечение счетного числа открытых всюду плотных множеств. Остаточное множество есть дополнение до множества первой категории. В определенном смысле, можно считать, что остаточные множества - «большие» с топологической точки зрения. Понятие остаточности часто применяется для характеристики типичности в бесконечномерных пространствах, не снабженных какой-либо естественной мерой. В частности, многие утверждения в теории динамических систем формулируются для отображений, принадлежащих остаточному (в соответствующей топологии) множеству.
Поэтому Белот приходит к заключению, что байесовская эпистемология некорректна (с. 591).
В разделах «Объективные предпосылки» и «Топология и мера» Хуттеггер рассматривает аргументацию Белота. Он пишет, что, во-первых, она опирается на понятие Белота об объективности или непредвзятости (ореп-т1^е^е88). Более близкий взгляд на это понятие не приводит к однозначному его отвержению, но есть причины сомневаться, является ли этот вид непредвзятости чем-то вообще желательным. Во-вторых, одно из предположений Белота заключается в том, что мера вероятности должна быть ограничена топологией базисного пространства. В этом есть некоторая правда, но недостаточная, чтобы заставить его работать. В-третьих, автор статьи говорит о сходимости к истинному значению произвольно большого, но конечного объема информации.
В разделе «Умеренная метафизика» Хуттеггер пишет, что при байесовском подходе в Канторовом пространстве наблюдается эмпирическая неразличимость между «множеством успеха» и «множеством неудачи». Это происходит по причине того, что в Канторовом пространстве эти множества являются компактными. Таким образом, любая последовательность из «множества неудачи» может быть аппроксимирована сколь угодно близко к последовательности из «множества успеха». То есть для конечной последовательности наблюдений нельзя установить, какому множеству она принадлежит. Следовательно, становится невозможным эмпирически, т. е. за конечное число наблюдений, отличить одно множество от другого.
В разделе «Алгебра мер» Хуттеггер ссылается на Колмогорова, который, используя классическую математику, отстаивает конечность, т.е. возможность аппроксимации конечных последовательностей к истинным значениям. Для Колмогорова, одним из недостатков его теории вероятности является то, что «понятие элементарного события является искусственной надстройкой, наложенной на конкретное понятие события. В действительности события не состоят из элементарных событий, а элементарные события возникают из членения сложных событий»1. Элементарные собы-
1 Kolmogorov A. Complete metric Boolean algebras // Philosophical studies. -Tucson, 1995. - N 77. - P. 61.
тия - это «возможные миры», например, бесконечные двоичные последовательности Канторова пространства. В связи с этим Хут-теггер обращается к Булевой алгебре1. Он пишет, что в метрической Булевой алгебре существуют только результаты (последствия) и никаких возможных миров (бесконечных последовательностей). Для любой метрической Булевой алгебры возможные миры могут быть восстановлены по средством теоремы Стоуна, которая утверждает, что любая Булева алгебра изоморфна Булевой алгебре всех открыто-замкнутых множеств какого-то компактного вполне несвязного хаусдорфова топологического пространства. Благодаря изоморфизму между Булевой алгеброй и наборами множеств по Стоуну, результаты согласовываются с множествами возможных миров, где последствия встречаются.
Возможные миры - это максимально специфические последствия (причин априорной вероятности), они - главные идеализации Булевой алгебры. Так как теорема Стоуна использует аксиому выбора, возможные миры познавательно далеки, представляя собой предельно идеализированное бытие. Алгебра меры, таким образом, справедливо удовлетворяет нашим представлениям о той части пространства вероятности, которое доступно для конечных наблюдений. Теперь возвратимся к изначальному вопросу: что означает сходимость условных вероятностей в новой системе взглядов? Короткий ответ - это то, что в Канторовом множестве у «множества неудачи» существует ноль вероятности; следовательно, это связано с пустым элементом соответствующей метрической Булевой а-алгебры2. «Множеству успеха», с другой стороны, соответствует 1 метрической Булевой а-алгебры, так как ее вероятность единица. Таким образом, сходимость к истине остается неизменной.
В заключении автор говорит, что бесконечные последовательности не необходимы для байесовской вероятности, отталкивающейся от опыта, и что в ее рамках они могут быть рассмотрены как образцы идеализации. Этот результат сглаживает остроту глав-
1 Булева алгебра - алгебра логики, раздел математики, изучающий высказывания, рассматриваемые со стороны их логических значений (истинности или ложности) и логических операций над ними.
2 Сигма-алгебра - алгебра множеств, замкнутая относительно операции счетного объединения. Сигма-алгебры играют важнейшую роль в теории меры и интегралов Лебега, а также в теории вероятностей.
ного довода Белота, однако автор соглашается с ним в том, что ценность теорем о сходимости к истинному значению и результаты объединения оценок не должны переоцениваться. Они просто дают реальные допущения исследуемых состояний. И действительно показывают, что в определенных исследуемых состояниях воздействие отдельных априорных предпосылок исчезает и увеличивающаяся информация по системе может корректно отражаться апостериорной вероятностью (с. 600).
Р. С. Гранин
