CC BY
23
УДК 519.216.8
С. Ю. Кашаева1
УПРОЩЕННОЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ ДУБА-МЕЙЕРА
ДЛЯ НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫХ СУБМАРТИНГАЛОВ
В статье предлагается элементарное доказательство представления положительного субмартингала в виде условного математического ожидания от возрастающего случайного процесса. С помощью этого разложения дается упрощенное доказательство разложения положительного субмартингала в виде суммы мартингала и возрастающего натурального процесса.
Ключевые слова: субмартингал, натуральный процесс, разложение Дуба-Мейера.
1. Введение. Пусть даны полное вероятностное пространство (П, Т, Р) и расширенная непрерывная справа фильтрация Р = : Тг ^ Т, £ € Ж+ = [0, сю]}. Напомним, что случайный процесс X = {Х4, £ € Ж_|_} называется субмартингалом (мартингалом) относительно фильтрации Р, если для любого £ € Ж_|_ случайная величина Хг измерима относительно сигма-алгебры Тг, математическое ожидание Е|Х^| конечно и для любых 0 ^ 5 < £ ^ сю, выполняется субмартингальное (мартин-гальное) условие Х8 ^ E,(Xt\Jгs) (Х3 = Е(Х4 !.?>)) почти всюду (п. в.) относительно вероятности Р. Символ E,(Xt\Jгs) обозначает условное математическое ожидание случайной величины Хг относительно сигма-алгебры Тв. Свойство измеримости Хг относительно Тг для любого £ € Ж+ называется согласованностью субмартингала X и фильтрации Р.
В своей статье [1] Н. В. Крылов доказал следующую теорему.
Теорема 1. Для любого неотрицательного Р-су6мартингала X = {Х4, £ € Ж+} существует неотрицательный случайный процесс £ = £ € Ж+}, < сю, с неубывающими траекториями, такой, что для любого I € Ж+ выполняется равенство
Хг = Е&\ Ъ)п.в. (1)
Если субмартингал X непрерывен справа, то случайный процесс £ можно выбрать таким образом, что будет выполняться равенство
Хг(Ш)=Е&\Ъ)(Ш) (2)
для всех I € Ж_|_ и для всех ш из некоторого множества П' € Т единичной вероятности.
Теорема 1 для ограниченных субмартингалов была доказана ранее С.Н. Смирновым и М.Ю. Сверчковым [2]. В упомянутой статье [1] равенство (1) используется для доказательства следующего варианта теоремы Дуба-Мейера о разложении субмартингала.
Теорема 2. Любой неотрицательный непрерывный справа Р-субмартингал X = {Х4, £ € Ж+} можно представить в виде суммы
X = Х0 + М + А п. в. (3)
начального значения Х0, непрерывного справа ¥-мартингала М = {Мг, I € Ж+}, М0 = 0, ы возрастающего натурального процесса А = {Аг, I € Ж+}, Аа = 0.
Равенство (3) означает, что существует множество П' € Т единичной вероятности, такое, что для любых £ € Ж+ ишеИ' выполняется равенство Х^ш) = М^ш) + А^ш). Известно, что разложение (3) единственно в том смысле, что мартингал М и натуральный процесс А определяются по субмартингалу X однозначным образом с точностью до неотличимости.
В предлагаемой статье мы приводим упрощенное доказательство равенства (1) и подробное доказательство теоремы 2. Доказательство теоремы 2, предложенное Н. В. Крыловым, представляет собой скорее схему доказательства, чем само доказательство. В нем опущены многие детали, без которых читателю трудно понять доказательство. Главное новшество состоит в замене слабой сходимости случайных величин сходимостью в среднем, что, по нашему мнению, заметно упрощает доказательство.
1 Факультет ВМК МГУ, асп., е-таП: svetlana.kashayevaQgmail.com
2. Доказательства. В этом разделе мы приведем доказательства сформулированных выше утверждений.
2.1. Доказательство теоремы 1. По известной теореме [3, теорема 3.2.4] субмартингальное условие эквивалентно интегральному неравенству
XsdF^ JE(Xt\Fs)<№>
в в
для любого В € Тв. Так как ЕХ^ < оо для любого I € Ж+, то функции
fi{B} = J Xs dP, y{B] = J E(Xt \F„) dP = J Xt dP, В € T8,
в в в
являются конечными мерами на сигма-алгебре Ts- В силу неравенства /х{В} ^ v{B} для любого Befs мера /х абсолютно непрерывна относительно меры v. По теореме Радона-Никодима существует ^-измеримая функция К_|_, такая, что
/i{B} = Jfsdv, B£TS. в
Это равенство можно переписать в следующем виде:
XsdF = J fsE(Xt \TS) dP = JE(fsXt\Ts) dP,
A A A
По известной теореме [3, теорема 1.5.13] равенство первого и последнего интегралов для любого А € Ts эквивалентно равенству
Xs=E(fsXt\Ts) п. в. (4)
Так как 0 ^ Xs ^ E(Xt \TS) п. в., то можно считать, что 0 ^ /s ^ 1 п. в.
Применим равенство (4) для доказательства равенства (1). Так как EXS ^ EE(Xt jj^) = EXt для любых s, t, 0 ^ s < t ^ оо, то функция EXt, 0 ^ t ^ оо, не убывает. Она может иметь не более счетного числа точек разрыва. Возьмем произвольное счетное множество S С К+, всюду плотное в К_|_ и содержащее все точки разрыва функции EXt, 0 ^ t < оо. Занумеруем точки множества
ос
S = {t\, ¿2, • • •} и представим его в виде объединения S = |J Sn конечных множеств Sn = {t\,..., tn}.
п=1
Запишем числа из множества Sn в возрастающем порядке: Sn = {tn,i-, ■ ■ ■ tn,n}-, tn, l < ••• < tn,n-По равенству (4) для любых к, п € N = {1, 2,...,}, п ^ 2, 1 ^ к < п, существует Ttn к-измеримая функция fntk : tt ^ Ш+ = [0, оо), такая, что 0 < /n,fc < 1 п. в. и Xtnk = E(fn^Xtn k+1\Ttn^) п. в. Последовательно применяя приведенные рассуждения, мы получим равенство
Хи,к = 4fn ,к fn,n — 1
Равенство (4), в частности, справедливо для любого 0^s<ooHi = oo. По доказанному выше существует J7tn п-измеримая функция /П)П : П К_|_, такая, что 0 ^ /П)П ( 1 п.в. и
Xtn,n =Щ1п,пХ0o\Ftn:n) П-В-
Отсюда и из предыдущего равенства следует, что
Xtn,k = Щ1п,к ■ ■ ■ fn,nXoo\ftnyk) п.в. (5)
ос
Фиксируем любую точку s €. S. Так как S = |J Sn и Sn С Sn+i, то найдется индекс n(s), такой,
п= 1
что s G Sn для всех п ^ n(s). Для любого п ^ n(s) найдется кп G {1,...,п}, такое, что s = tn,kn-Обозначим = fn,к ''' fn,nX0о, к = 1,..., п. Из равенства (5) следует, что EXS = EXtn кп = Щп,кп и, следовательно, sup Щп,кп = < оо. По теореме Комлоша [4], существует строго возрастающая
n^n(s)
последовательность {тг^-}^!, п\ ^ тг(«), натуральных чисел и неотрицательная случайная величина С®, < сю, такие, что
1
lim = С
то—>оо тп
3 = 1
s п. в.
(6)
Последовательность {nj}j^l зависит от в. Упомянутая теорема Комлоша утверждает, что последовательность {п^}^ 1 можно выбрать таким образом, что (6) выполняется для любой подпоследовательности последовательности Другими словами, для любой подпоследовательности {п:п}1^ 1 последовательности выполняется утверждение
lim —У" Сщ.,кП1 =С®п.в.
г—von т г J Ji 31
гп—> ос Til
(7)
i=i
Все случайные величины Сп,ь к = 1 ,...,п, п € М, ограничены интегрируемой случайной величи-
то
ной Хж- Поэтому суммы т~1 ^ (п, , т € М, также ограничены случайной величиной Х^. Мы
i=i
видим, что применима теорема об ограниченной сходимости, по которой
то
lim ]
то—^оо
1
т
с,
i=i
= 0.
(8)
С помощью равенства (5) и неравенства Иенсена для условных математических ожиданий мы получим
J то
т
i=i
*Cnjt,knji\Fa)-4Cs\Fs)
€
Cnj. ,к„. Csl-?7s
1=1
i=i
Cs\Fs
/ , Cnj, ,k
m z—' 1
Cs
1=1
В силу (8) величина справа стремится к нулю при т ^ сю. Поэтому выполняется равенство
п. в. (9)
Возьмем любые два числа е 5, « < 1 Так как в = У ¿>п, то найдется индекс та-
п=1
кой, что € <5П для всех п ^ Для любого п ^ п(«,£) найдутся числа кп,гп € {1,...,п},
кп < гт такие, что я = 1*4 = ¿П)Гп. Наряду с равенством (5) имеет место аналогичное равенство Хи = Е(/П)Гп • • • /п,пХ0гп) п- в- Так как все функции /„^ ограничены единицей п. в., то
сп,кп — fn,kn ' ' ' fn,n-^-oo ^ fn,rn ' ' ' fn,n-^-OQ — сп,гп п. в.
(10)
следовательно, множество = Р| {Сп,/гп ^ Сп,гп} € Т имеет единичную вероятность.
п=1
По доказанному выше существуют последовательность {nj}j^^l, п^ = %(«), и случайная величина Се, для которых выполняются утверждения (6)—(9). Теорему Комлоша можно применить к случайным величинам Сп,,гп., 3 € N. Найдутся последовательность {31)1^1 и неотрицательная случайная величина (г, такие, что
lim ]
то—^оо
III
/ , Сп<, ,г т ^ '
Сt
= 0
(Н)
и выполняется равенство Хг = п. в. Так как {п:п }1^ 1 С {п^}, то выполняются (8) и (9). Схо-
димость в среднем в (8) и (11) влечет сходимость по вероятности. По теореме Рисса найдется после-
то то
довательность индексов {ть}ь> 1, такая, что случайные величины т-1 У (п, и т-1 У) (п, г
1=1 '' 31 1=1 '' 31
при т = ть сходятся п. в. при и оо к и (¡. Можно считать, что сами последовательности
т
-1
X) Сп,,кп 1=1 1 J т>1
и < т
-1
X Спи,гп 1=1 1 J т>1
сходятся п. в. к (s и Обозначим fis и fit множества,
на которых сходятся указанные последовательности. Множества fis и fit являются событиями единичной вероятности. Отсюда и из (10) следует, что на множестве Q's t = fis П fit П fiS)t выполняется неравенство Cs ^ Ct ^ -^ос- Так как s,t €. S = {ii, • • •}, то s и i являются членами последовательности {¿1,^2; • • •}• Пусть, например, s = t\ < t,2 = t. Имеется три возможных расположения числа и =
ос
по отношению к числам s и t. Предположим, например, что s < t < и. Так как s,t,u €. S = |J Sn,
п= 1
то найдется n(s,t,u), такое, что s,t,u G Sn для всех п ^ n(s,t,u) и s = tn,kn-, t = tn,rn-, и = tn,pn для некоторых 1 ^ кп < rn < рп ^ п. Будет выполняться аналог неравенства (10), а именно Сп,кп ^ Сn,rn ^ Сп,рп ^ ^ос п. в. Рассуждая, как выше, можно доказать, что существует подпоследовательность {n'j^i^i последовательности i и неотрицательные случайные величины (s, (t, (и,
rn ( т ( т
-IV/ I L.-1 V/ I „J™-1
такие, что последовательности 1 т Сп' ,к, > , < т 1 Сп' ,г, > и 1 т Сп' ,Рп
I 1=1 31 h J m^i I 1=1 31 h J m^i I 1=1 31 h )
сходятся к (s, (t и (u на некотором множестве Q's t u С Q's t, Q's t u G J7, единичной вероятности и на этом множестве выполняются неравенства Cs ^ Ct ^ Си ^ ^оо ■ Подобные рассуждения применимы к любому конечному числу точек из S = {t\-,t2-,...}, и последовательности индексов вида построенные
для последовательных наборов {ii}, {ii, ¿2}, {ti-, h, {ti-, h, H-, ¿4}; • • будут упорядочены по вложению: последовательность для большего набора точек из S является подпоследовательностью последовательности для меньшего набора точек из S. Поэтому можно применить диагональный метод Кантора и построить последовательность индексов, которую мы обозначим и множество fi' G Т
т
единичной вероятности, такие, что для любых s,t G S, s < t, случайные величины т~1 У)Cni к„
i=i '' 31
т
и т~1 У2 Сп.- г при т = mv сходятся п. в. при v -х к С и G на множестве fi', и на этом множестве 1=1 '' 31
выполняются неравенства Cs ^ Ct ^ ^оо и равенство (9).
Определим неубывающий случайный процесс £ = t G [0, 00]}, положив ^ = Х^, = £s для всех s G S и £t(w) = inf Cs(w) для t ^ S, ш G О' и £t(w) = 0 для t ^ S, ш ^ fi'. Докажем
равенство (1). Оно справедливо для всех s G S и s = 00. Для любого t ^ 0, t ^ 5, найдется последовательность {sn}n>i чисел из 5, которая убывает и сходится к t. Так как lim £s О и £s ^
п. в. и EXqo < оо, то применима теорема об ограниченной сходимости, по которой lim E|£s — £t| = 0.
п—>оо
По неравенству Иенсена для условных математических ожиданий мы получим
E|E(Ct|^t) ^ E(CSn \Tt)\ С E|Ct "С8пИ0припч оо. (12)
По неравенству Чебышева мы получим, что
eP{|E(Ct|^t) ^ E(CSn \Tt)\ E|Ct ^ С«„| Для любого е > 0.
Величина справа стремится к нулю в силу (12). Поэтому последовательность {E(£Sn \Tt)}n^i сходится по вероятности к E(£t\Tt)- По теореме Рисса [2, теорема 1.4.14] найдется некоторая подпоследовательность, которая сходится п. в. Чтобы не усложнять обозначений, мы будем считать, что сама последовательность {E(CSn \Tt)}n^i сходится п. в. к E(£t \Tt)- В силу субмартингального свойства и свойств условных математических ожиданий выполняются следующие соотношения:
ii E(XSn\Tt) = E(E(£Sn \TSn)\Tt) = E(CSn \Tt) п. в.
Полагая n 00, мы получим неравенство Xt ^ E(^t \Tt) п. в. В силу (9) выполняется равенство EXSn = ЕЕ(С sn 13~Sn)- Напомним, что S содержит все скачки функции ЕХ^, t ^ 0, и, следовательно,
EXt = lim EXS = lim IHE(^Sn \Tt) =ЕЕ(^|^).
n—>00 n—о
Так как E(E(^t|J7t) — Xt) = 0 и Xt ^ E(^t \Tt) п.в., то Xt = E(^t \Tt) п. в. Равенство (1) доказано.
Предположим, что субмартингал X непрерывен справа. Пусть £ обозначает неубывающий случайный процесс, о котором идет речь в равенстве (1). Определим случайный процесс г] = {щ, t G Ж+}, положив щ = inf ^s для t G K-l и r]0Q = Xqq- Случайный процесс г] не убывает, так как этим свой-
s>t
ством обладает случайный процесс По известной теореме [3, теорема 2.4.4] случайный процесс г] непрерывен справа. Нам осталось доказать равенство (2). Для любого числа t ^ 0 мы имеем,
что tn = t + 1/n 4- t и £tn 4- Vt, 0 ^ £tn «C £tl, E£tl < oo. Поэтому применима теорема о монотонной сходимости для условных математических ожиданий [3, теорема 3.1.10, (i)], по которой Щг)ЛТЛ = lim E(£t IТЛ п. в. В силу (1) выполняется равенство Xt = E(£t \Ftn) п-в- Так как
п—>со
Tt С Ttn, ТО E(Xtn \Ft) = E(E(£tn \Ttn)\Tt) = E(£tn\Ft) п. в. и, следовательно,
Щгн\Ъ) = Hm 4Xtn\Ft) п. в. (13)
п—>оо
Так как 0 ^ Xtn ^ E(Xtl \Ttn) п. в., то (см. [3, замечание 3.3.3 и теорема 3.3.8]) последовательность {Xtn}n^i равномерно интегрируема. По предположению, субмартингал X непрерывен справа. Поэтому lim X* = Xt. Мы видим, что выполнены условия известной теоремы ГЗ, теорема 3.3.101,
n—too
по которой lim EIX+ — Xt\ = 0. Отсюда, в силу известной теоремы ГЗ, теорема 3.1.10, (iv)], сле-
п—<гОО
дует, что предел в (13) равен п. в. E(Xt\Tt). Так как случайная величина Xt измерима относительно сигма-алгебры Tt, то Xt = E(Xt|Tt) п. в. С учетом (13) мы получим равенство Xt = E{r)t\Tt) п. в., и, следовательно, множество fi" = Р| {Xs = E(r^s|Jrs)} П {X^ = E(r^00|Jr00)} является событи-
tes
ем единичной вероятности. Для любого ш G О" и для всех s G <5 и s = оо выполняется равенство Х3(ш) = Щт]3 |Jrs)(o;). Для любого числа t ^ 0 найдется последовательность {sn}n^i чисел из S, которая убывает и сходится к t. Для любого ш G О' в силу непрерывности справа субмартингала X мы имеем, что Xt{u) = lim Xs (ш) = lim E(r?s \TS„)(<*>)•
n—>oo n—о
Обозначим Zt((jü) = lim E(r?s \TS„ )(w), если ш G О", и Zt{u) = 0, если ш ^ fi". Докажем, что функ-
п—>со
ция Zt(u}), ш G О, является некоторым вариантом условного математического ожидания Е(т^|jFt)(o;),
ш G О. Сначала мы убедимся, что Zt измерима относительно сигма-алгебры Tt- Для любого и G (t, оо)
условное математическое ожидание E(r^Sn|JrSn), sn < и, измерима относительно сигма-алгебры Ти.
Так как функция Zt является поточечным пределом ^„-измеримых функций Е(r]Sn \TSn) при п оо,
то она измерима относительно Ти в силу известной теоремы [3, теорема 1.4.7]. Это верно для любого
и G (t, оо). Поэтому функция Zt измерима относительно пересечения f| В силу непрерывности
u>t
справа фильтрации Е выполняется равенство f] Ти = Далее, так как 0 ^ r]Sn ^ г]а0 = X^ п. в.,
u>t
EXqo < оо и T]Sn 1 щ, то по неравенству Иенсена для условных математических ожиданий и по теореме об ограниченной сходимости мы получим, что
lim ЩЩгн\Твп) -Щчвп\Ъп)\ < Hm ЕЕ(|% - VsJ^sJ = Hm %t - щп\ = 0.
n—^oo n—^oo n—>oо
Отсюда следует, что для любого А G Tt
ZtdF= lim / Е(т\Т3п) dF = Hm / m P= / щ cflP.
n—>oo J n—о J J
А А А А
По определению условного математического ожидания равенство первого и последнего интегралов для любого А G Tt означает, что Zt можно взять в качестве условного математического ожидания случайной величины r]t относительно сигма-алгебры Tt- Теорема 1 доказана.
2.2. Доказательство теоремы 2. Предлагаемое доказательство представляет собой более детальное и слегка модернизированное доказательство Крылова [1].
По теореме 1 существует возрастающий непрерывный справа случайный процесс £ = ¿С М+}, для которого выполняется равенство Хг(ш) = Е(£4 \Тг)(ш) для всех £ С К+ и для всех ш из некоторого события П' С Т единичной вероятности. Без ограничения общности рассуждений можно считать, что равенство выполняется для всех I С К+ и ш С О. Можно предположить, что Xо = 0. В противном случае вместо X = {Xt, £ С К+} можно взять {Xt — Х0, ¿С М+}. Возьмем произвольное счетное множество Б С М+, всюду плотное в К_|_.
Обозначим 1 в индикаторную функцию события В С Т. Случайный процесс t С К+}
является Е-мартингалом. По известной теореме [3, теорема 3.7.3] существует множество П_в С Т единичной вероятности, такое, что для любых ш С 0_в и I > 0 существует конечный предел НтЕ(1в ) = Е(1^ |Положим Е(1в|^го-) = Е(1^ |^о) и Е(1^ \^-)(ш) = НтЕ(1^ |^)(а;), если
ш € £ > 0, и Е(1д= 0, если ш ^ П_в, 0. По известной теореме [3, теорема 2.4.4] все траектории случайного процесса {Е(1 Ь € Ж+} непрерывны слева. Нетрудно видеть, что
случайный процесс {Е(1 £ € К+} согласован с фильтрацией Е и измерим. Для любого £ € Ж+
определим функцию
г
щ{В}=Е I БеЯ
о
Так как 1п = 1, то = < оо. Функция (ц конечно-аддитивна, так как для любых попарно
непересекающихся множеств И\.....Н„ € Тг выполняются равенства
п п
1и 1=1вк = ^ 1 /.,',. ■ Е(1и£=1вк= п-в-
к=1 /г=1
и, следовательно, в силу линейного свойства интеграла и математического ожидания
С п \ п г. п
Ht\(jBk\=E 4lu2=1Bk\Fu-)d!iu = J2E / 4Uk\Fu-) diu = Y,ßt{Bk}.
Убедимся, что функция ßt является конечной мерой. Достаточно доказать, что она непрерывна
ос
сверху на пустом множестве. Пусть Вп € J7, Bn+i С И„ для всех п € N и f] ßn = Так как
П=1
1бп+1 ^ 1 вп и lim In = 0, то 1 ^ E(ln \FU~) 4- 0 п. в. при п f оо для любого и ^ 0 в силу известных
п—>со
свойств условных математических ожиданий. По теореме об ограниченной сходимости, примененной последовательно к внутреннему интегралу и к математическому ожиданию, мы получим, что
г
lim ßt{Bn\ = lim Е / E(ln l^7«-) = 0.
п—<гСО П—^OG J
Нетрудно видеть, что мера абсолютно непрерывна относительно вероятности Р. По теореме Радона-Никодима существует ^-измеримая, интегрируемая по мере Р конечная функция : П К_|_, такая, что
щ{В} = I В€Ъ.
в
Докажем, что для любых в, 0 ^ в < I ^ оо, выполняется неравенство А'3 ^ А'г п. в. Действительно, для любого В € Тг мы имеем, что
г г в
0 ^Е J Щ1в\Ги_)<%и=Е I Щ1в\Ги_)<%и^Е I Е{1в\Ти-) = «оо
= щ{В} - ца{В} = I <Г - I .Г. /К ^ <Ш-
в в в
Последний интеграл принимает неотрицательные значения для любого В По известной теореме
[3, теорема 1.5.16] выполняется неравенство 0 ^ А'г — А'3 п. в. Множество = ^ € ^ С является событием единичной вероятности. Поэтому пересечение П' = Р| П {А[ ^ Д^} счет-
ного числа таких множеств также является событием единичной вероятности. Для любого ш € О' функция А'г(ш), £ е 5, не убывает. Определим случайный процесс А = {Аг, I ^ 0}, положив
А^ш) = т£ А'3(ш), если ш € О', А^ш) = 0, если ш ^ П', А^ = А'^. По известной теореме [3, ЯЭв^
теорема 2.4.4] случайный процесс А = {At, £ ^ 0} непрерывен справа. Так как мера ¿¿о тождественно равна нулю, то А'0 = 0 и, следовательно, А0 = А'01п> = 0 п. в. Можно считать, что А0 = 0. В противном случае вместо П' можно взять множество П' и {А0 = 0} € Т.
Докажем, что случайный процесс А = {Аг, I ^ 0} согласован с фильтрацией Е. Так как фильтрация Е расширена, то множество П' принадлежит всем сигма-алгебрам Т^ Ь ^ 0, и, следовательно, произведение А\ 1п' измеримо относительно Т- Фиксируем £ ^ 0. Если I £ Б, то случайная величина Аг = А\ 1п' измерима относительно Т- Пусть I ^ Б. Для любого V > I случайные величины А[ч 1п', 5 € и], измеримы относительно и, следовательно, относительно пересечения сигма-алгебр Р| = Тг- Последнее равенство выполняется в силу непрерывности справа фильтрации Е. Тогда
по известному свойству [3, теорема 1.4.5] функция Аг = т£ А'31п> измерима относительно Т-
Докажем, что случайный процесс М = {М£ ^ 0}, ДУ/ .V/ - является мартингалом относительно фильтрации Е. Выше было доказано равенство
¡{¿1-А!8)<№ = 1н{В}-118{В}
в
для любых 0 О < ^ и В е В частности, оно справедливо для любого В е Так как Е(1б|^ги_) = 1 в п. в. для всех и > 5, то
г г
I (А'г - А'8) (ЛР = ^{В} -ц8{В} = е! Е(1в\Ти-) 1 в = I 6) <Ш.
В в в в
Это равенство сохранится после замены А' на А, где А-1 = А[ 1п', А8 = А[ч 1п', € 5, так как Р{П'} = 1. Напомним, что множество 5 всюду плотно на К_|_. Поэтому для любых я, 0 ^ я < найдутся € 5, 5 ^ < £ ^ п € М, такие, что 4- 5 и ¿п 4- ^ ПРИ и t оо. В силу непрерывности справа случайных процессов А и £ мы имеем, что —> А-^ А8п —> Л*. —> —> ^ при п | оо.
Мы видим, что применима теорема об ограниченной сходимости, по которой
¡{А^А8)<№ = Ит [{Аи-А8п)йР= Ит [~ Ьп) <№ =
/ п—^оо / п—^оо / /
В В В В
Отсюда и из определения условного математического ожидания следует, что
IЕ(А, - Л, <Ш = I(Д - Ав) <Ш = I& - 6) <№ = IЕ& - <ЛР, В б
в в в в
По известной теореме [3, теорема 1.5.16] равенство первого и последнего интегралов для любого В равносильно равенству Е(А4 — = — п. в. Привлекая теорему 1, мы получим
Е(Д - А8\Т8) = Е(Е(А* - А8\Т8)\Т8) = Е(Хг - Х8\Т8) п. в. Равенство Е(Д - А8\Т8) = Е(Хг - Х8\Т8) п. в. можно переписать в следующем виде: Е= — А-1 \Т8) = Е(Х8 — А8\Т8) = Х8 — А8 = М8 п. в. Тем самым доказано, что случайный процесс М удовлетворяет мартингальному условию и, следовательно, является Е-мартингалом.
Докажем, что случайный процесс А = {At, £ € Ж+} является натуральным. Требуется доказать равенство
г г
2"'!-4" = Е/2-<м" (14)
о о
для любого ограниченного непрерывного справа мартингала Z = £ € Ж+} относительно фильтрации Е. Напомним, что Zo- = И0 и '/.„ = \\mZg. Известно [3, теорема 3.7.3], что существует множество
О^ € Т единичной вероятности, такое, что существует предел Нт Z8(ш) для всех ш € О^ и и > 0.
з^и
В качестве можно взять Ит Z8lQz. Обратим внимание, что случайный процесс и € К+}
непрерывен слева. Можно считать, что Z принимает неотрицательные значения. В противном случае вместо Z можно взять с — Z = {с — Zt, £ € где с > 0 — число со свойством \Zt \ < с, 1 £ Ж+.
Интегралы типа интегралов (14) под знаком математического ожидания следует понимать как интегралы Лебега по мере Лебега-Стилтьеса, порождаемой неубывающей функцией Аи(ш), и ^ О, для каждого ш € О. Эта мера определена на борелевской сигма-алгебре <В(М+) на неотрицательной
полупрямой К_|_ и каждому отрезку вида (а,Ц приписывает меру Аь(ш) — Аа(ш). По традиции теории вероятностей мы не будем указывать аргумент ш.
Фиксируем число £ > 0 и разобьем сегмент [0, точками = к2~гЧ, к = О,...,2П. Так как мартингал Z непрерывен справа, то
г 2п
{ к=О
По условию мартингал Z ограничен некоторым числом с > 0. Случайный процесс £ интегрируем. Поэтому применима теорема об ограниченной сходимости, согласно которой
г 2п
; [zu-dtu = lim J п—юо z—4
к=1
По теореме 1 и по известным свойствам условных математических ожиданий мы получим
= nztuk_x _E(6n,k \Ttnj) - щгил_г \ТгпЛ_г)) = nztuk_x _xtntk) - Щгил_г .хил_г) =
= ^(Ztt,k-l-(Xtn,k -Xt^)).
Выше было доказано, что случайный процесс М = {Ми, и ^ 0}, Ми = Хи — Аи, является Е-мартин-галом. Поэтому выполняется равенство E(Xtn k — Xtn к_г\Ttn к_г) = E(Atn к — Atn к_1 \Ttn к_г) п. в. и, следовательно,
^Vrt^rV.ll^fV.-^-V.IV.)) =
= E((Ztt:k_1.E(Atn:k -Atntk_1\rtntk_J)=^Ztttk_1-(Atntk-Atntk_1)).
В результате мы получим
Е [ Zu_dtu= Hm ЕУЖ lim iV^ (At - At k ) = E [ Zu_ dAu.
I n—>oо L—' ' ' ' n—foo L—' ' /
Q k=0 k=0 Q
Чтобы доказать (14), достаточно убедиться, что
t t
е/«=Е/2„,М„. (15)
о о
Нетрудно доказать [3, теорема 3.10.4] равенство
t
E(ZtAt)=E j ZudAu. (16)
о
По доказанному выше выполняется равенство щ{В} = E(l^ At) для любого В G Tt- Так как щ{В) = = J At dP, то по формуле замены меры интегрирования мы получим в
E(ZtAt) = j ZtAt cflP = j Zt dßt• (17)
п п
Напомним, что Zt является неотрицательной случайной величиной, измеримой относительно сигма-алгебры Tt- По известной теореме [3, теорема 1.4.9] найдется возрастающая последовательность простых функций /п, п G N,
ТОП
In = ^ <»./Д/,•„.,.- c„)fc ^ 0, Вп,к G к= 1
такая, что fn f Zt при п f оо. По теореме о монотонной сходимости и по теореме о монотонной сходимости для условных математических ожиданий мы получим
lim / fn dßt = / Ztdfit, lim E,{fn\Tu-) = E,{Zt\Tu-) п. в.
n—>oo J J n—>oо
fl fl
для любого и € [0, t}. Заметим, что
/71 ТП fi /ъ л
fn dfj-t = Cn,ktH{Bn,k} = c„)fcE / E(lSnJ. \Tu-)diu = E /Е(/п|Tu-) diu. n fc=l fc=l { {
Снова применяя теорему о монотонной сходимости, мы получим
t t I Ztdßt = lim / ,fndßt = lim E [ E,{fn\Tu-)diu =E / E{Zt\Tu_)
I n—>oО I n—>0О I I
fl fl 0 0
Так как случайный процесс Z является мартингалом относительно фильтрации Е, то для любого и € [0, i] выполняется равенство Е (Zt\Tu-) = Z„ п. в. В результате мы получим равенство
t
I ztdßt = mj zu_ d(u. fl 0
Отсюда и из (16) и (17) следует (15). Теорема 2 доказана.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. KrylovN. V. A representation of nonnegative submartingales and its applications // Seminare de Probabilités XXIV 1988/89. Lecture Notes in Math. 1426. Berlin: Springer-Verlag, 1990. P. 473-476.
2. Сверчков М.Ю., Смирнов С.H. Об одном представлении супермартингалов // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 15. Вычисл. матем. и киберн. 1987. № 3. С. 46-50.
3. Круг лов В.М. Случайные процессы. М.: Академия, 2013.
4. К о ml os J. A generalization of a problem of Steinhaus // Acta Math. Acad. Sci. Hungar. 1967. 18. P. 217-229.
Поступила в редакцию 27.02.13
ВЕСТН. МОСК. УН-ТА. СЕР. 15. ВЫЧИСЛ. МАТЕМ. И КИБЕРН. 2013. № 3
A SIMPLIFIED PROOF OF THE DOOB-MEYER THEOREM FOR NONNEGATIVE SUBMARTINGALES
Kashayeva S. Yu.
We provide an elementary proof of a representation of a nonnegative submartingale as a conditional expectation of an increasing stochastic process. Using this representation, we give a detailed proof of a decomposition of nonnegative submartingale into a sum of a martingale and a natural increasing process.
Keywords: submartingale, natural process, Doob-Meyer decomposition.
