2-дистанционная (∆+2) раскраска разреженных плоских графов с ∆=3 Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.946

КРАЕВАЯ ЗАДАЧА С ИНТЕГРОДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ ГРАНИЧНЫМ УСЛОВИЕМ ДЛЯ ЛИНЕЙНЫХ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ*)

А. И, Кожанов

Пусть Л — ограниченная область пространства Кп с гладкой (для простоты — бесконечно дифференцируемой) границей Г, ф — цилиндр П х (0,Т), 0 < Т < + то, 5 = Г х (0,Т) — боковая граница ф, ак(х), к = 1,... ,п, ао(х), с(ж, £), К(х,Ь), /(ж,£), ид(х) — заданные при ж € О, у £ П, 1 е [0, Г] функции, А — оператор Лапласа по переменным хо,... , хп, Ь и I — дифференциальные операторы, действие которых определяется равенствами

Ьи = щ — А и + с(х, £)и, 1и = ак( х)иХк + «о(х)и (здесь и далее подразумевается, что по повторяющимся индексам ведется суммирование в пределах от 1 до и).

Краевая задача. Найти функцию и(х, являющуюся в цилиндре ф решением уравнения

Ьи = !(х,1) (1)

и такую, что для нее выполняются условия

и(х,0) = ио(х), х еП, (2)

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (код проекта 09-01-00422а) и аналитической ведомственной целевой программы «Развитие научного потенциала» (код проекта АХ-23/11 пр. от 12 декабря 2008 г.).

© 2009 Кожанов А. И.

1и(х,г)|(х,г)ее = ! К(х,у)и(у,г) ¿у\(х,г). (3)

п

Краевая задача (1)-(3) относится к классу задач с нелокальным граничным условием. Подобные задачи активно изучаются в последнее время; достаточно полное представление о состоянии дел в данной проблематике можно найти в монографиях [1,2]. Кроме указанных монографий как близкие по постановке и методам исследования отметим статьи [3-7]. Вместе с тем заметим, что рассматриваемая автором задача с граничным условием (3), сочетающим в себе условия задачи с «косой» производной и задачи с интегральным оператором, ранее не изучалась.

Для доказательства основной теоремы нам понадобятся вспомогательные сведения о разрешимости и свойствах решений некоторых интегродифференциальных уравнений.

В области Q рассмотрим уравнение

1и = V, (4)

в котором есть заданная функция из пространства Ж? (П). Пусть выполняются условия

ак(х) е С2(П), а0(х) е С2(П); (5)

ао(х) ~ 77ажДж) ^ «О > 0, х £ Л; (6)

2 к

а0(х) - ^акк(х)

£ + > «1|£12, «1 > О, х е п, е е к™; (7)

п

а0(х) - ^акХк{х) + акх.{х)^ц + акХ]{х)£ы^ > а2 ^ . ,

^ ¿,¿=1 (8)

«2 > 0, х £ Л, ей, г,3 = 1, . .. , п;

ак{х)1Ук < О, х 6Г (9)

(у = ... , ип) — вектор внутренней нормали к Г). Покажем, что при выполнении этих условий уравнение (4) имеет единственное решение

и(х), принадлежащее пространству причем для этого решения

выполняются оценки

1М1ь2(п) < то1м1ь2(п), ЬН^чп) < тЦ^У^п), ^^ Ни11ж|(п) < т1М1^|(п)

т т т ак(х), к = 1,... , п, а(х), а также областью П.

Пусть £ — положительное число. Рассмотрим краевую задачу: их

—£Аи+1и = ь (11)

н такую, что для нее выполняется условие

ди

= <12>

Как следует из [8], при выполнении условий (5) и (6) данная краевая задача имеет решение ие(х), принадлежащее пространству ^|(П). Последовательно рассматривая равенства

J\—£Аие + 1ие)Vе ¿х = ! те ¿х, (13)

п п

J(—£Auе + 1ие)Аие ¿х = J уАие ¿х, (14)

п п

преобразуя пх с помощью интегрирования по частям, используя условия (5)—(7), (9) и применяя неравенства Юнга, нетрудно установить, что имеют место априорные оценки

+ \\и£\\ь2(П) < то1М1ь2(пъ

л/Ё||Дие||Ь2(П) + \\ие\\Ш1{П) < т^уЦууг^.

Используя далее стандартную процедуру выбора слабо сходящихся подпоследовательностей и переходя к пределу по параметру регуляриза-

их

надлежащая пространству ^21(П) и являющаяся решением уравнения

(4). Для предельной функции будут справедливы первые два неравенства (10); из первого из этих неравенств следует, в частности, что решение уравнения (4) определяется единственным образом.

Пусть Н — положительное число, х) и Vh{х) — усреднения по Соболеву [9] функций и(х) и ^х). Имеет место равенство

= {¡и)к+ ! х,у)и{у)3у, (15)

п

в котором функция х, у) определяется ядром усреднения х — у) и функциями ак(х), к = 1,... ,п, «о(х). Поскольку функция и(х) является решением уравнения (4), то (15) преобразуется в равенство

Кии) = vh + J х,у)и(у)йу. п

Дифференцируя данное равенство по переменным x¿ и х^, что возможно, умножая на функцию ии^хл интегрируя по частям, используя условия (8), (9) и (5), установленные ранее две первые оценки (10) и применяя неравенство Юнга, получаем, что выполняется неравенство

1Кхгх3 ||ь2(п) < с1 Ькхъх, ||ь2(п) + с2 У^ь^п) (16)

с постоянными С и С, определяемыми лишь функциями ак(х), к = 1,... ,п, ао(х), а также областью П. Из этого неравенства и из свойств

их

рого порядка и что выполняется третье неравенство (10) с постоянной Ш2, определяемой лишь функциями ак(х), к = 1,... ,п, ао(х), а также областью П.

Рассмотрим теперь интегродифференциальное уравнение

1и = V + J К(х,у)и(у) ¿у. (4')

п

Покажем, что для этого уравнения имеет место утверждение о разрешимости, аналогичное вышеприведенному утверждению о разрешимости уравнения (4). Поскольку данное утверждение имеет и самостоятельное значение, оформим его в виде теоремы.

Положим

К0 = тах ^У К2(х,у)3у^ тев^ П. п

Теорема 1. Пусть выполняются условия

ак(х) е С2(Щ, к = 1,... ,п, ао(х) € С2(П), К(х,у) £ С2(П хЩ, 1 (5')

ао(ж) — 2°-кхк{х) ~ Ко ^ "о > 0, х е О, (6')

а также условия (7)-(9), и пусть у(х) — заданная функция из пространства (П). Тогда уравнение (4') имеет единственное решение, принадлежащее пространству (О), причем для этого решения будут выполняться оценки

1М1ь2(п) < то 1м1ь2(п), < т1

1М1ж|(п) < т2 1М1^|(п)

с постоянными ш'0> ш[, ш'2, определяемыми лишь функциями К(х,у), ай(х), к = 1,... ,п, а(х), а также областью П.

Доказательство. Рассмотрим краевую задачу: найти функцию и{х), являющуюся в области П решением уравнения

—еАи+1и = ь + J К(х,у)и(у) Зу (11')

п

и такую, что для нее выполняется условие (12). Разрешимость этой задачи легко устанавливается с помощью метода продолжения по параметру. Именно, рассмотрим семейство краевых задач: найти функцию их

-еДи + 1и = v + ^У К{х,у)и{у) Зу, X е [О,1], (11^)

п

н такую, что для нее выполняется условие (12). Для X = 0 и для функции ^(х) из пространства Ь2(П) эта задача имеет решение и(х),

принадлежащее пространству ^^^^ Равномерные по е априорные оценки, получаемые с помощью анализа равенств (13) и (14), а также теорема о разрешимости уравнений с параметром [10, с. 153] дают разрешимость в пространстве задачи (Пд), (12) при всех Л из

отрезка [0,1], в частности, и при Л = 1. Повторяя теперь все рассуждения, касающиеся разрешимости в пространстве Ж|(П) уравнения (4), нетрудно установить аналогичные утверждения и для уравнения (4').

Теорема доказана.

Вернемся к краевой задаче (1)-(3).

Определим функциональные пространства Уо и Wo:

у0 = ь (о ,Т-Ж:(П)) п ьто(о )), Wo = {и{х,г) : v{x,t) е У0, Vt{x,t) е ь2(Я)};

нормы в этих пространствах определим естественным образом:

!Мк0 = У^к + ЬЛыя).

Далее, пусть МиФ суть операторы, ставящие в соответствие функции и(х^) из пространства ^^ ^^ции (Ми)(х,-Ь) и (Фи)(х^), определенные равенствами

(Ми)(х, = (1и)(х, ^ — J К(х, у)и(у, ^ ¿у,

п

(Фи)(х^) = —2 акх.{ х)их,хк{ х) — [А а\х) + 2а0 х,( х)]их,{ х)

+ [ак{х)схк{х) — Аа0(х)]и(х,^ — J К(х,у)Ауи{у^) ¿у

п

+ J{К(х,у)[с(у^) — с{х,Щ + АхК(х,у)}и{у^) ¿у. п

Положим то(х) = (Миа)(х) и рассмотрим первую краевую задачу для оператора Ь: найти функцию являющуюся в цилиндре Q

решением уравнения

Ью = Р(х,^ (17)

н такую, что выполняются условия

= 0, ад(х,0) = то(х), х £П. (18)

Хорошо известно, что при выполнении условия

с(х,*)еС(0), -шо(х) £ \vKtt)

краевая задача (17), (18) разрешима в пространстве для любой функции Щх, ¿) го пространства Ь2^), причем для решения т{х,Ь) этой задачи выполняется априорная оценка

Нк0 < Д№\\ь2ю + ДКЦ(п(19)

постоянные К\ и в которой определяются лишь функцией с(х,~Ь), числом Т и областью П (см. [8]).

'

с(х,1) £ С1 (О), (20)

имеет место очевидное неравенство

\\фи\\ь2(ч) < Д\\и\\ь2(0,т;ж|(п)), (21)

постоянная Д в котором определяется лишь функциями с(х, ¿), К(х, у), ай(х), к = I,... ,п, ао(х), а также областью П.

''

также условие

ш'2ДД < 1. (22)

Тогда для любых функций ио(х) таких, что / £ I/ £

о

Ь2^), ио £ Ж2(П), чщ £ Ж2(П), краевая задача (1)-(3) имеет ровно одно решение и(х,Ь) такое, что щ £ Жд, 1и £ Жд.

Доказательство. Пусть д(х, ¿) — заданная функция из пространства Ь2^). Рассмотрим краевую задачу: найти функцию и(х,Ь), являющуюся в цилиндре Q решением уравнения

ЬЫи = д+Фи (23)

и такую, что для нее выполняются условия

{Мь){х,Ь)\3 = 0, и(х,0) =щ(х), х еП. (24)

Разрешимость этой задачи установим с помощью метода продолжения

Л е ,

задач: найти функцию и(х^), являющуюся в цилиндре Q решением уравнения

ЬМи = д+ Ми (23а)

и такую, что для нее выполняются условия (24). Прежде всего заметим, что из [8] и из теоремы 1 следует, что краевая задача (23о), (24) имеет решение и(х^), принадлежащее требуемому классу. Далее, оценки (19), (21) и (10'), а также условие (22) дают априорную оценку решений и(х, краевой задачи (23а), (24):

||и|к0 + ||1и|к0 < ^оСЫи^) + Н^о^(п)) (25)

с постоянной N0, определяемой лишь функциями с(х,£), ак(х), к = 1,... ,п, ао(х), К(х,у), отелом Т и областью П. Из разрешимости в требуемом классе краевой задачи (23о), (24) и из оценки (25) следует, что краевая задача (23а), (24) разрешима в требуемом классе для всех

Л, разрешима в требуемом классе.

В уравнении (23) положим д = I/. Поскольку данное уравнение с такой функцией д(х, ^ можно записать в виде

М(Ьи — /) = 0

и имеет место первая оценка (10'), получаем, что для функции и(х,^ будет выполняться уравнение (1). Выполнение условий (2) и (3) для функции и{х, ^ очевидно. Следовательно, найденная как решение краевой задачи (23), (24) функция и(х,^ будет представлять собой решение краевой задачи (1)-(3), причем решение, принадлежащее требуемому классу.

Единственность решений очевидна. Теорема доказана.

Замечание. Условия (6'), (7) и (8) выполняются, если при х £ Л имеет место неравенство

«о(х) ^ a > 0

с достаточно большим числом а. Далее, если при (х, t) £ Q выполняется неравенство

c(x, t) > с0 > 0,

то величину числа R± можно уменьшить (и тем самым сделать условие (22) менее жестким).

ЛИТЕРАТУРА

1. Skubacbevskii A. L. Elliptic functional differential equations and applications. Operator theory, 91. Birkhauser: Verl., 1997.

2. Нахушев A. M. Задачи со смещением для уравнений в частных производных. М.: Наука, 2006.

3. Кожанов А. И. О разрешимости некоторых пространственно нелокальных краевых задач для линейных параболических уравнений // Вестн. Самарск. ун-та. Естественнонаучная серия. 2008. № 3. С. 165-174.

4. Абдрахманов А. М., Кожанов А. И. Задача с нелокальным граничным условием для одного класса уравнений нечетного порядка // Изв. вузов. Математика. 2007. № 5. С. 3-12.

5. Кожанов А. И., Пулькина Л. С. Краевые задачи с интегральным граничным условием для многомерных гиперболических уравнений // Докл. РАН. 2005. Т. 404,№ 5. С. 589-592.

6. Кожанов А. И., Пулькина Л. С. О разрешимости краевой задачи с нелокальным граничным условием интегрального вида для многомерных гиперболических уравнений // Дифференц. уравнения. 2006. Т. 42, № 9. С. 1166-1179.

7. Абдрахманов А. М., Кожанов А. И. Задача с косой производной для (2m + 1)-параболических уравнений // Мат. заметки ЯГУ. 2008. Т. 15, вып. 1. С. 3-11.

8. Ладыженская О. А., Солонннков В. А., Уральцева Н. Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М.: Наука, 1967.

9. Соболев С. Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. М.: Наука, 1988.

10. Треногнн В. А. Функциональный анализ. М.: Наука, 1980.

г. Новосибирск

12 мая 2009 г.