CC BY
52
Scientific journal PHYSICAL AND MATHEMATICAL EDUCATION
Has been issued since 2013.
Науковий журнал Ф1ЗИКО-МАТЕМАТИЧНА ОСВ1ТА
Видасться з 2013.
http://fmo-journal.fizmatsspu.sumy.ua/
Трунова О.В. Застосування апарату теорП' неперервних Марк'!вських ланцюгiв при визначенн зм'ши cmaHie виробничих систем //Ф'вико-математична осв'та. Науковий журнал. - 2016. - Випуск 1(7). - С. 167-176.
Trunova H. Application of the theory of continuous Markov chains in determining changes in the status of production systems // Physics and Mathematics Education. Scientific journal. - 2016. - Issue 1 (7). - Р. 167-176.
УДК 378.016:519.21
О.В. Трунова
Черн1г1вський нацюнальний технолог1чний ун1верситет, Укра/'на
ЗАСТОСУВАННЯ АПАРАТУ ТЕОРП НЕПЕРЕРВНИХ МАРК1ВСЬКИХ ЛАНЦЮГ1В ПРИ ВИЗНАЧЕНН1 ЗМ1НИ СТАН1В ВИРОБНИЧИХ СИСТЕМ
Постановка проблеми. В останш роки в зв'язку з кардинальними со^ально-економiчними змшами, що вщбулися в Укра'ш, виникла об'ективна необхщшсть внесення суттевих коректив у в^чизняну систему вищоУ освiти.
На сьогодш науково-дослiдна дiяльнiсть математизуеться, при цьому ^piM^ зростае роль стохастичних методiв у всiх сферах людсько' дiяльностi.
Метою навчання стохастики у вузi стае формування стохастично''' компетентност майбутнiх фахiвцiв як складово' професшно' компетентностi. Пiдготовка висококвалiфiкованого фахiвця в галузi економiки i упpавлiння неможлива без формування необхщних пpофесiйних компетенцш, зокрема, в аналiзi, пpогнозуваннi та прийнятт piшень в економiчнiй дiяльностi пiдпpиемств [7].
Процеси змiни сташв виробничих систем або |'х частин, зокрема, робочих мiсць, вiдбуваються в умовах невизначеносл, що вимагае впровадження методiв ïï урахування у практику моделювання таких пpоцесiв i вщкривае шиpокi можливостi для створення адекватних баз виробничих знань на пщприемствах [1].
Саме тому проблеми методики навчання студенев економiчних та управлшських спецiальностей методам i моделям визначення змши станiв системи (пiдпpиемства, цеха, вщдтення, лiнiï) за допомогою яких можна зробити бтьш виважений вибip, який буде об^рунтований як математично, так i економiчно, е актуальними.
Аналiз актуальних дослiджень. 3i всiх iснуючих piзновидiв Маpкiвських пpоцесiв в задачах моделювання змши сташв виробничих систем або |'х частин знайшли застосування процеси з дискретними станами. Марювсью процеси з дискретними станами i дискретним часом використовуються для моделювання динамти сташв виробничих систем в умовах, коли неможливо вести неперервш спостереження за piзними станами об'еклв i таю спостереження виконуються етзодично з фiксацiею станiв.
ISSN 2413-158X (online) ISSN 2413-1571 (print)
Теоретичш основи цих процеав обфунтував видатний росiйський математик Андрм Андрiйович Марков (1856 - 1922), завдяки роботам якого можна устшно виршувати багато статистичних задач у рiзних галузях, особливо актуальним е застосування стохастичних матриць у розв'язанш проблем в галузi економiки та управлшня пiдприемствами.
До вивчення дано!' проблеми долучалося багато вщомих зарубiжних та вiтчизняних вчених, зокрема В.В. В^лшський, Г.1. Великоiваненко, С.М. Клименко, Ю.А. Мiшура, С.1. Наконечний, М.О. Перестюк та багато iнших. Доцтьшсть й ефективнiсть застосування теорií Марювських ланцюгiв при моделюваннi процесiв, як вiдбуваються у виробничих системах, доведена у низц робiт [1-3, 5, 7, 8].
Але, проблемi методики навчання методам i моделям визначення змши станiв виробничо'! системи iз застосуванням апарату теорп неперервних Марювських ланцюгiв студентiв економiчних та управлшських спецiальностей в науковiй та методичшй лiтературi належна увага не придтена.
Мета написання статтi - адапта^я iснуючих математичних методiв до сучасно! практики управлiння, зокрема визначення змши сташв виробничо!' системи iз застосуванням апарату теорп неперервних Маркiвських ланцюпв. Придбання навичок розв'язання таких завдань на ЕОМ в зв'язку з великим обсягом обчислювальних процедур (обчислення визначника, перетворення матриць, множення матриць, знаходження власних векторiв i власних чисел i т. д.) [4, 6].
В якост програмного забезпечення дослiдження статистичних процеав на основi Маркiвських ланцюпв з неперервним часом використаемо пакет MathCAD, де додатково можна дослщжувати стшюсть розв'язку системи диференцiальних рiвнянь Колмогорова.
Розглянемо особливостi введення, виведення даних та штерпретацп результатiв, що становить значний штерес для користувачiв в умовах застосування англшських версiй програмного забезпечення.
При моделюванш за схемами ланцюпв Маркова одшею з основних задач е визначення елеменлв матриц перехiдних ймовiрностей. Вирiшення дано! проблеми для такого виробництва, в якому налагоджений збiр i обробка статистичних даних про стани елеменлв системи, е нескладним завданням.
Виклад основного матерiалу. Змши або переходи економiчних систем найчастше носять випадковий характер. Ланцюг таких переходiв з одного стану в шший може бути описаний за допомогою стохастичних (iмовiрнiсних) матриць, що мають вiдповiднi властивостк Теорiя Маркiвських ланцюгiв е шструментом для аналiзу таких процесiв, каскадiв, систем, в яких перехiд з одного стану в шший залежить ттьки вщ и стану в даний час i не залежить вщ того, коли i яким чином система прийшла в цей стан.
При розглядi таких систем необхщш певнi навички у виршенш наступних питань:
• математична постановка задачi i представлення розмiченого графа системи;
• оцшка станiв системи на ктька крокiв вперед, включаючи випадок заданого вектору початкового стану;
• оцiнка граничних сташв при наближенш системи до стацюнарного стану, включаючи випадок «живучих» систем (блукаючих процесiв) з вщтворенням станiв;
• оцiнка «живучостЬ> (тривалост функцiонування) систем, що мiстять стан поглинання;
• прогноз стану системи, виходячи з штенсивност потоку.
Неперервш MapKiBCKi ланцюги. Маркiвський випадковий процес з дискретними станами i неперервним часом називають «неперервний ланцюг Маркова». Для такого процесу ймовiрнiсть переходу 3i стану, ег до е. для будь-якого моменту часу дорiвнюe
нулю. Замiсть ймовiрностi переходу ptj в цьому випадку розглядають щiльнiсть
ймовiрностi переходу Я, яка визначаеться як границя вщношення ймовiрностi
Ч
переходу зi стану е. до стану е. за промiжок часу At (At ^ 0). Щiльнiсть ймовiрностi
' J
переходу може бути як сталою (Я, = const), так i залежною вщ часу (Я,. = Я,,(t) ). У
першому випадку Маркiвський випадковий процес з дискретними станами i неперервним часом називаеться однорщним.
ЩЦтьносл ймовiрностей переходiв розглядаються як штенсивносл Я, найпростiших потокiв подiй, пщ впливом яких вiдбуваеться перехiд системи зi стану
е до ста ну е j.
Потоком подш прийнято називати послщовшсть однорщних подiй, що з'являються одна за шшою в випадковий момент часу t (потiк автомашин, що проходять через митний пост; потiк виклиюв на станцií швидкоУ допомоги; полк ктенлв, що знiмають кошти з рахунку в банку). На практик зазвичай розглядають найпростш потоки подш, якi характеризуються властивостями стацiонарностi, ординарносл i вiдсутностi наслiдкiв.
Потiк подш називаеться стацiонарним, якщо ймовiрнiсть влучення того чи шшого числа подш на будь-який iнтервал часу залежить лльки вiд довжини г цього штервалу i не залежить вщ того, де саме на ос часу вiн розташований.
Потiк подш називаеться ординарним, якщо ймовiрнiсть одночасного надходження двох i бiльше подш дорiвнюе нулю, що означае, що поди в потоц з'являються «поодинцЬ>, а не групами по дв^ по три i т. д.
Полк подш називаеться потоком без наслщюв, якщо число подш, що потрапляють на будь-який штервал часу г, не залежить вщ того, сктьки подш потрапило на будь-який шший штервал, що не перетинаеться з ним. Вщсутшсть тсляди означае, що поди, що утворюють полк, з'являються в л чи iншi моменти часу незалежно одна вщ одноУ.
Ординарний потiк подш без наслщюв називаеться Пуассонiвским. Найпрослший потiк е окремим випадком Пуассошвского потоку, що мае властивiсть стацюнарносл. Випадковий процес X(t) - число подш, що з'явилися до моменту t в найпростiшому потоц^ визначаеться виходячи з закону Пуассона
P(t) = WL.е-Xt, n = 0,1,2,..., k
n!
де n - число станiв системи, Я - штенсившсть потоку.
У раз^ коли система мае кшцеве число станiв, iмовiрностi станiв p(t), p2(t),..., ри(t) в момент часу t знаходяться з системи диферен^альних рiвнянь (рiвнянь Колмогорова), що мають вид
^ = £ Ярр (t) -Рi (t)i Я , i = 0,1,2,..., n
dt J=1 i =1
де добуток Яир it) - полк ймовiрностi переходу зi стану S до стану S, .
iJJ J Ч J
Данi рiвняння зручно складати, користуючись розмiченим графом станiв системи i наступним мнемонiчним правилом: похщна ймовiрностi кожного стану дорiвнюе сумi
вс1х поток1в 1мов1рност1, що переводять з шших стан1в в дании, мшус сума вс1х поток1в 1мов1рност1, що переводять з даного стану в шш1.
Щоб розв'язати дану систему диференц1альних р1внянь потр1бно задати початковиИ розпод1л 1мов1рностеИ р (0), р2 (0),..., рп (0), сума яких дор1внюе одиниц1
п
Ха (<) =1 [3]"
1=1
Приклад. НехаИ задана [1] стохастична система, граф якоУ зображений на рис. 1. Обчислити граничж Имов1рност1 стан1в р, р2, р3, р4, якщо 1нтенсивност1 поток1в под1И дор1внюють \2= 2, \4= 1, = 1, ^ = 3, Л41= 2, Л43 = 2 .
Рис. 1. Граф стохастичною система
Розв'язання. Запишемо р1вняння Колмогорова для Имов1рностеИ стан1в:
= "(^12 +^14) • Р1 +^31 • Рз +^41 • Р 4 '
т
dp.
dp А _
dt dp dt
2 - "^24 'p2 +^12 'pi;
- "^31 'p3 +^43 'p4 ;
dt
- -(Д41 +Д43) • pA +Д14 • pi +Л24 • p2 •
Вважаючи л1в1 частини р1вними нулю, I поставивши значення X., отримаемо
Ч
систему алгебраУчних р1внянь для граничних Имов1рностеИ стан1в:
- 3 р1 + 3 р3 + 2 р 4 = 0,
2 Р1 - Р2 = 0, - 3 р3 + 2 р4 = 0,
Р1 + Р2 - 4Р4 = 0
Розв'язуючи систему р1внянь з урахуванням умови р + р2 + р3 + р4 =1, отримаемо
4 8 2 3
Р1 =—, Р2 =—, Р3 = —, Р4 = — . 17 17 17 17
Це означае, що в граничному сталому режим1 розглянута система буде
4 .8.2. перебувати в стаж е в середньому —частини часу, в стаж е--, в стаж е--1 в
1 17 2 17 3 17
стаж е4 -
3 17
Постановка I розв'язання задач1 для неперервних Марювських ланцюпв. НехаИ нормально працюе виробнича система (стан е0), що вщпов1дае наИпрост1шому потоку вщмов з 1нтенсивн1стю А01, переходячи в новиИ стан е, в якому вона деякиИ час може
170
працювати з невиявленими вщмовами. Як лльки вщмова виявляеться (iнтенсивнiсть виявлення \2), проводиться дiагностика (аналiз, огляд) виробничо!' системи (стан е2). У результатi огляду, виробнича система або потребуе корегування (ремонту) (стан е3) з iнтенсивнiстю Л2Ъ, або оновлюеться (стан е4) з iнтенсивнiстю . Зi стану е3 з штенсившстю А30 i зi стану е4 з iнтенсивнiстю Л40 виробнича система переходить в робочий стан е0. Знайти розподiл ймовiрностей станiв для будь-якого моменту часу i фiнальнi ймовiрностi станiв.
Розв'язання: Марювський процес з дискретними станами зручно тюструвати за допомогою розмiченого графа станiв. Граф станiв для сформульовано!' задачi наведено на рис. 2.
Рис. 2. Розм'1чений граф станв системи
Користуючись розмiченим графом сташв системи, складемо систему диферен^альних рiвнянь Колмогорова:
шр0 = Я40р4 + Яз0р3 - Я01р0, ш
—Т = \\р0 + Л2р1> ш
^ = ^2 р1 -Л„ р22 — ^
ш
7, = ^23р2 — ^30р3,
ш ш
i умова р0 + рх + р2 + рз + р4 =1.
Для визначеностi надамо параметрам, наведеним в системi диферен^альних рiвнянь, наступнi значення: = 0,5 , \2 = 2, = 1,5, = 1,5, = 0,8 , Лло = 2 .
Задамо початковi умови, тобто розподт ймовiрностей станiв в початковий момент часу: р0(0) = 1, р(0) + р2(0) + р(0) + р4(0) = 0 .
В результат отримаемо систему лшшних диференцiальних рiвнянь зi сталими коефiцiентами
^ = 2 р4 + 0,8 рз — 0,5 р0, ш
шрр- = 0,5 р0 + 2 рх, ш
= 2 р— 3 р=-
ш
= 1,5 р2 — 0,8 рз,
^ = 1,5 р2 — 2 р4.
ш
Дану систему лшмних диферен^альних рiвнянь зi сталими коефiцieнтами можна розв'язати анал^ично (методом виключення невщомих, методом Ейлера або за допомогою перетворень Лапласа), але при великш розмiрностi даноУ системи [1], краще отримати УУ чисельний розв'язок на ЕОМ.
Для отримання чисельного розв'язку системи використовуемо програму MathCAD, яка мае необхщш функцiУ для розв'язання диферен^альних рiвнянь рiзними методами. Скористаемося загальноприйнятою процедурою розв'язання на основi методу Рунге-Кутта. В якостi опцГУ, що дозволяе отримати розв'язок, виберемо функ^ю гк/гхвё (р0, , ^, М, Б),
де р0 - початковi умови,
, ?2 - початкова i кшцева точки розрахунку вiдповiдно,
М - число кроюв,
Б = Б(г,р) - матрична форма правих частин системи диферен^альних рiвнянь.
Лiстинг з введеними параметрами i отриманим результатом розв'язання в системi MathCAD [4] представлений на рис. 3.
Рис. 3. Розв'язання системи диферен^альних р'!внянь
З розв'язання (рис. 3) випливае, що через перюд часу Ь=4 настае стабЫза^я випадкового процесу. Фрагмент фазового портрета для рх(?) iр2(?) наведено на рис. 4.
Стшюсть ршення пiдтверджуеться фазовим портретом (рис. 3), узятим для одшеУ з десяти можливих проекцм отриманих ршень.
Додатково для iлюстрацiУ чисельного ршення як функцГУ часу наведемо вщповщш графiки (рис. 5).
Для перевiрки розв'язання системи диференцiальних рiвнянь на стiйкiсть доцiльно скористатися функ^ею вiдшукання власних чисел eigenvals(A), наявною в системi MathCAD. Результати обчислення вектору власних чисел матриц А наведет нижче:
Беручи до уваги теорему про стмшсть розв'язюв системи лiнiйних однорщних диференцiальних рiвнянь першого порядку 3i сталими коефiцieнтами, зауважимо, що кореш характеристичного рiвняння матрицi A не мають додатних дiйсних частин, отже, отриманий розв'язок стмкий.
0.8
0.6
0.4
0.1
0.2
Рис. 4. Проекщя фазово)' траекторп для p(t) ip2(t)
Рис. 5. Графiки ймов'рностей cmaHie як функцп часу
Проблема стмкост для даного класу задач е актуальною, осктьки передбачаеться знаходження фшальних ймовiрностей для стохастичних систем, описуваних за допомогою диференцiальних рiвнянь Колмогорова.
Для обчислення фшальних ймовiрностей покладемо лiвi частини в системi диферен^альних рiвнянь Колмогорова рiвними нулю, отримаемо однорщну систему лiнiйних алгебраУчних рiвнянь. Беручи до уваги нормувальну умову для ймовiрностей, i вiдкидаючи одне з рiвнянь системи, отримаемо неоднорщну систему лiнiйних рiвнянь. Для розв'язання системи засобами MathCAD скористаемося функ^ею lsolve(A, b). Результати обчислення фшальних iмовiрностей наведенi нижче.
Z
ni
0
Z
n2
При цьому фшальш kiMOBipHOCTi можна тлумачити як середнiй час перебування системи в даному стаж. Дана система в середньому 54% часу буде працювати нормально, 13,5% часу працювати з невиявленою вщмовою, 9% часу буде витрачено на дiагностику, 17% часу на корегування i близько 7% витрачаеться на оновлення.
Знання фшальних ймовipностей можна використовувати для оцшки ефективностi роботи системи. Для цього досить задати вектор вартостей перебування системи в кожному з сташв [3], як можна штерпретувати як дохщ або витрати в одиницю часу. Тодi в граничному, стацiонаpному pежимi середнш дохiд в одиницю часуG буде обчислюватися як скалярний добуток вектору фшальних ймовipностей
n
P = (ру,р2рп) на вектор вартостей C = (c,c2си), тобто G = ^pi ■ ci, де n - число
i=1
станiв системи.
Висновки. Запропоноваш задачi можуть бути викоpистанi для проведення практичних занять з роздту «Випадковi процеси» курсу теоpiУ ймовipностей та математичноУ статистики, а також для моделювання виpобничо-економiчних, бюджетно-фiнансових та шших стохастичних систем в процес виконання курсових i дипломних роб^, що безпосередньо вплине на формування стохастичноУ компетентностi майбутнього економiста.
Список використаних джерел
1. Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Прикладные задачи теории вероятностей. - М.: Радио и связь, 1983. - 416 с., ил
2. Дынкин Е.Б. Управляемые Марковские процессы и их приложения / Е.Б. Дынкин, А.А. Юшкевич. - М.: Наука, 1975. - 339 с.
3. Жлуктенко В.1. Теоpiя ймовipностей i математична статистика: Навч.-метод. поабник: У 2 ч. - Ч. II: Математична статистика / В.1. Жлуктенко, С.1. Наконечний, С.С. Савша. - К.: КНЕУ, 2001. - 336 с.
4. 1глш С. П. Теоpiя ймовipностей та математична статистика на базi MATLAB: Навч. поаб. - Харюв: НТУ "ХП1", 2006. - 612 с. - Рос. мовою.
5. Кемени Дж. Конечные цепи Маркова / Дж. Кемени. - М.: Наука, 1970. - 271 с.
6. Муха В.С., Птичкин В.А. Введение в MATLAB: Метод. пособие для выполнения лаб. работ по курсам «Статистические методы обработки данных» и «Теория автоматического управления» для студ. спец. 53 01 02 «Автоматизированные системы обработки информации». - Мн.: БГУИР, 2002. - 40 с.
7. Таха Хэдми А. Введение в исследование операций [Текст]: научно-популярная литература /Хэмди А. Таха / 6-е изд.- М.: Издательский дом «Вильямс», 2001.- 911 с.
8. Тихонов, В. И. Марковские процессы / В. И. Тихонов, М.А. Миронов. - М.: Советское радио, 1997. - 488 с.
9. Трунова О.В. Застосування апарату теорп Марювських процеав при визначенш стратеги економiчного розвитку // Науковi записки. - Випуск 141. Ч.1. - Сеpiя: Педагопчш науки. - Мровоград: РВВ КДПУ iм. В. Винниченка, 2015. - С.87-92
Анотац'т. Трунова О.В. Застосування апарату теорп неперервних Марквських ланцюг'в при визначенш змiни сташв виробничих систем
В cmammi запропоноваш шляхи адаптац'И кнуючих математичних Memodie до сучасно) практики управл'>ння, зокрема визначення змiни станв виробничо) системи i3 застосуванням апарату теорп неперервних Марювських ланцюг'в. У зв'язку з великим обсягом обчислювальних процедур при вирiшeннi таких завдань (обчислення
174
визначника, перетворення матриць, множення матриць, знаходження власних вектор'!в i власних чисел i т. д.) розглядаеться методика )'х розв'язання на ЕОМ. В якостi програмного забезпечення використано пакет MathCAD. Зокрема, описанi особливост'1 введення, виведення даних та iнтерпретац'й результат'в, що становить значний iнтерес для користувач'!в в умовах застосування англйських верйй програмного забезпечення. При використаннi пакету MathCAD додатково можна досл'>джувати ст'!йк'!сть розв'язку системи диферен^альних рiвнянь Колмогорова, що надае змогу визначити фiнальнi ймов'рностi - середнiй час перебування системи в в'!дпов'дному станi.
Запропонован задачi можуть бути використан для проведення практичних занять з роздлу «Випадков'1 процеси» курсу теорИ ймов'рностей та математичноi статистики, а також для моделювання виробничо-економ'чних, бюджетно-фiнансовиx та iншиx стохастичних систем в процес виконання курсових i дипломних робiт майбутшми економ'стами.
Ключов'1 слова: неперервнi Маркiвськi ланцюги, стан виробничо)' системи, MathCAD.
Аннотация. Трунова Е.В. Применение аппарата теории непрерывных Марковских цепей при определении изменений состояния производственных систем
В статье предложены пути адаптации существующих математических методов в современной практике управления, в частности определения изменения состояний производственной системы с применением аппарата теории непрерывных Марковских цепей. В связи с большим объемом вычислительных процедур при выполнении таких задач (вычисления определителя, преобразования матриц, умножение матриц, нахождение собственных векторов и собственных чисел и т. д.) рассматривается методика их решения на ЭВМ. В качестве программного обеспечения использован пакет MathCAD. В частности, описаны особенности ввода, вывода данных и интерпретации результатов, что представляет значительный интерес для пользователей в условиях применения английских версий программного обеспечения. При использовании пакета MathCAD дополнительно можно исследовать устойчивость решения системы дифференциальных уравнений Колмогорова, что дает возможность определить финальные вероятности - среднее время пребывания системы в соответствующем состоянии.
Предложенные задачи могут быть использованы для проведения практических занятий по разделу «(Случайные процессы» курса теории вероятностей и математической статистики, а также для моделирования производственно-экономических, бюджетно-финансовых и других стохастических систем в процессе выполнения курсовых и дипломных работ будущими экономистами.
Ключевые слова: непрерывные Марковские цепи, состояние производственной системы, MathCAD.
Abstract. Trunova H. Application of the theory of continuous Markov chains in determining changes in the status of production systems
The paper suggests ways to adapt existing mathematical methods in modern management practices, in particular the determination of changes in the state of the
production system using the apparatus of the theory of continuous Markov chains. Due to the large amount of computational procedures when performing such tasks (calculation of the determinant of transformation matrices, matrix multiplication, finding the eigenvectors and eigenvalues and etc.) the technique to solve them on a computer. As the software used MathCAD package. In particular, it describes the features of the input, the output and the interpretation of results, which is of considerable interest to users under the conditions of use of the English versions of the software. When using of MathCAD can further investigate the stability of the system of differential equations of Kolmogorov, which makes it possible to determine the probability of the final - the average residence time in the appropriate system status.
The proposed tasks can was used for practical training under the heading "Random Processes" course of probability theory and mathematical statistics, as well as to simulate production and economic, fiscal, and other stochastic systems in the implementation of projects and dissertations of future economists.
Key words: continuous Markov chains, the state of the production system, MathCAD.
