CC BY
199
УДК 621.391.037.37 ББК З811.3
НА. ГАЛАНИНА, Н.Н. ИВАНОВА
ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ АСПЕКТЫ БЫСТРОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ И ВОПРОСЫ ЕГО РЕАЛИЗАЦИИ НА ПЛИС*
Ключевые слова: цифровая обработка сигналов (ЦОС), дискретное преобразование Фурье (ДПФ), быстрое преобразование Фурье (БПФ), алгоритм Кули - Тьюки, алгоритм Гуда - Томаса, алгоритм Рейдера, алгоритм Винограда, алгоритм поразрядного ДПФ (ПДПФ), программируемые логические интегральные схемы (ПЛИС), язык описания аппаратуры Verilog HDL, система счисления в остаточных классах (СОК).
Аппаратная реализация ДПФ на ПЛИС, сводящаяся традиционно к вычислению БПФ, является в ряде практических применений непростой задачей. Для разработчиков современных цифровых устройств (ЦУ) представляют интерес результаты моделирования известных методов вычисления БПФ на языке описания аппаратуры Verilog HDL и их сравнительный анализ по таким критериям, как скорость обработки сигналов, площадь, занимаемая кристаллом, максимальная тактовая частота и др., а также выработка практических рекомендаций по их использованию. Программирование ПЛИС, выбранных в качестве аппаратурной реализации моделируемых алгоритмов анализа спектра ЦУ, проводилось в среде Xilinx ISE WebPACK 14.3 на языке описания аппаратуры Verilog HDL с использованием системы моделирования цифровых схем ModelSim Xilinx edition (MXE III). В качестве методов спектрального анализа были апробированы алгоритмы БПФ по основанию 2, Кули - Тьюки, Гуда -Томаса и Рейдера.
Постановка проблемы. Известно, что дискретное преобразование Фурье является основной операцией ряда алгоритмов ЦОС, а поэтому эффективность его реализации оказывает существенное влияние на такую характеристику вычислительного устройства, как быстродействие, вопрос о котором стоит очень остро в связи с обработкой цифровых сигналов в реальном времени. Значительную роль быстрые алгоритмы спектрального анализа играют при обработке многомерных дискретных периодических сигналов. Наиболее популярным и по-прежнему востребованным является быстрое преобразование Фурье.
Сегодня вопросы практического синтеза методов цифровой обработки сигналов на базе программируемых логических интегральных схем и сигнальных процессоров (СП) представляют большой интерес для разработчиков радиоэлектронных устройств. Анализ результатов синтеза ЦУ на ПЛИС и СП показал, что семейства ПЛИС превосходят по производительности СП, при этом ПЛИС имеют меньшую стоимость и энергопотребление. Благодаря новым методам проектирования устройств на базе ПЛИС время разработки цифровых устройств на их основе стало сравнимо со временем разработки устройств на базе СП. Та-
* Исследование выполнено при финансовой поддержке РФФИ и Кабинета министров Чувашской Республики в рамках научного проекта № 17-47-210790 р_а.
ким образом, использование ПЛИС для разработки сложных устройств ЦОС выглядит предпочтительнее [3]. Для решения же задач ЦОС, не требующих большой вычислительной мощности, как показывает практика, более целесообразным будет использование СП.
Представляет практический интерес выбор оптимальной структуры алгоритма спектрального анализа для длины обрабатываемой последовательности N на основе известных БПФ-алгоритмов. С точки зрения оценки вычислительной сложности используемого алгоритма спектрального анализа, а также последующего выбора и оценки варианта его аппаратной реализации не менее интересными являются моделирование известных быстрых алгоритмов вычисления ДПФ, последующая реализация разработанных моделей на ПЛИС возможностями языка описания аппаратуры Verilog HDL с использованием программного пакета Xilinx ISE WebPACK 14.3 и системы моделирования цифровых схем ModelSim, проведение сравнительного анализа полученных результатов по таким критериям, как скорость обработки сигналов, площадь, занимаемая кристаллом, максимальная тактовая частота и др., а также выработка практических рекомендаций по их использованию.
В настоящий момент трудно назвать область науки и техники, где при использовании методов ЦОС в той или иной степени не применялся бы спектральный анализ сигналов. Так, например, в области передачи данных широкое развитие получили беспроводные сети. Одним из наиболее перспективных методов их построения является применение сигналов OFDM. На практике сигналы OFDM получаются путём использования БПФ. Цифровой спектральный анализ позволяет охарактеризовать частотный состав измеряемого сигнала.
Известно [1], что математической основой спектрального анализа цифровых сигналов является дискретное преобразование Фурье
N-1
X(k) = X x(n)Wnk ,
n=0
где X(k)- k-я гармоника спектра для чисел входной последовательности
x(n); W = e-1 {2л1 N) - весовая функция (поворачивающий множитель); N -размер входной последовательности.
Таким образом, вычисление всего ДПФ, содержащего N коэффициентов, требует N2 пар операций «умножение - сложение».
На практике при спектральном анализе, как правило, используется быстрое преобразование Фурье [8]. Алгоритмы быстрого преобразования Фурье - это способы быстрого вычисления ДПФ, которые устраняют вычислительную избыточность, свойственную ДПФ, за счет свойств комплексной экспоненты, ее симметрии и периодичности.
Сегодня актуальным является применение алгоритмических методов улучшения качества вычислительных процедур и в первую очередь - теоретико-числовых алгоритмов (ТЧА). Основная идея, заложенная в ТЧА - переиндексация чисел во временной последовательности, в результате которой
появляется возможность перехода к многомерным процедурам на укороченных выборках данных.
Следует отметить, что в современных устройствах цифрового спектрального анализа наибольшее распространение получили следующие варианты реконфигурации данных для вычисления Л-точечных ДПФ, приводящие к синтезу быстрых алгоритмов преобразования:
1. л = рt, где р = 2к, t - целое число, к = 0, 1, 2;
2. N = pt, где р = 2к +1;
V
3. Л = пN.
я=1
В первом случае чаще других применяется БПФ как частный случай алгоритма Кули - Тьюки. Во втором случае для реализации ДПФ используется алгоритм Рейдера. В третьем случае - наиболее распространено использование алгоритма Гуда - Томаса, преобразующего одномерный массив в многомерный в соответствии с китайской теоремой об остатках. В ней утверждается, что можно однозначно восстановить целое число по множеству его остатков от деления на числа из некоторого набора попарно взаимно простых чисел.
Алгоритмы БПФ
Алгоритм Кули - Тьюки. Выбор используемого алгоритма БПФ зависит от арифметических свойств длины периода сигнала. Если эта длина число составное, то применим алгоритм Кули - Тьюки [6]. Как известно, наиболее популярным алгоритмом БПФ Кули - Тьюки является его частный случай для последовательностей, длина которых равна целой степени двойки. В его основе, как и в других известных быстрых алгоритмах, лежит принцип разбиения анализируемого набора отсчетов на части, а также вычисление их ДПФ и объединение результатов. Различие алгоритмов заключается в способах вычисления мало-точечных ДПФ и последующего объединения этих частичных результатов. При этом размер преобразования не обязательно равен степени двух, т.е. становится возможным вычисление БПФ произвольной длины, что очень важно для ряда практических задач. Так, в технике связи при цифровом преобразовании многоканальных сигналов размер БПФ определяется числом объединяемых каналов.
1. Обобщенный алгоритм Кули - Тьюки с произвольным основанием. При построении алгоритма предполагается, что N = NN2, где N и Л2 - положительные целые числа. В этом случае вычисление исходного Л-точечного ДПФ можно свести к вычислению Л1Л2-точечных и Л2Л1-точечных ДПФ и Л умножениям на поворотные множители [8]. ДПФ по алгоритму Кули - Тьюки требует не более NN + Л2 + 1) комплексных умножений и NN + Л2 - 2) комплексных сложений. Переупорядочиваемые входные индексы п определяются из соотношения п = <Л2 хщ + п2>Л , а выходные индексы к получаются из выражения к = <к + Л\х к2>Л, где < , > - операция вычета. Структурная схема этого метода для N = 15 показана на рис. 1.
П1 кг
Рис. 1. Вычисление 15-точечного ДПФ по обобщенному алгоритму Кули - Тьюки
2. Алгоритм Кули - Тьюки для случая N = 2т. Если N = 2, а N = 2т-1, то алгоритм называют алгоритмом Кули - Тьюки по основанию два с прореживанием по времени. Если N = 2т-1, а N = 2, то алгоритм называют алгоритмом Кули - Тьюки по основанию два с прореживанием по частоте. Известно, что число требуемых пар вычислительных операций «умножение - сложение», затрачиваемых при реализации БПФ по основанию 2, составляет N log2(N) [6]. Чаще всего поворотные множители вычисляются заранее и хранятся в специальном массиве.
Известно, что вычислительное ядро алгоритма составляют операции «бабочка», сводящиеся к вычислению суммы двух комплексных чисел, а также к вычислению их разности с последующим умножением на комплексное число. Их количество - (1/2)nlog2n, при этом в («/2) из них умножение не выполняется. Макроструктура алгоритма лучше всего описывается рекурсивно как п/2 преобразований Фурье порядка 2, умножение п/2 пар комплексных чисел и затем 2 БПФ порядка п/2. Блок-схема алгоритма ДПФ по алгоритму Кули - Тьюки по основанию 2 для N = 16 представлена на рис. 2.
Несмотря на то, что эффективные алгоритмы БПФ разработаны практически для произвольного периода, длина, равная степени 2, является самой популярной: ДПФ достаточно просто синтезируется, а реализация основного вычислительного модуля «бабочка» имеет тривиальное решение. Хотя, ради справедливости, заметим, что простой алгоритм Кули - Тьюки не является оптимальным даже для векторов размером, равным степени двойки: он проигрывает другим алгоритмам Кули - Тьюки, которые используют специфику, например, чётных степеней двойки и потому являются более экономичными.
Применяемый метод дополнения нулевыми отсчетами обрабатываемой выборки до степени 2 также приводит к ухудшению спектрального разрешения сигналов и другим негативным последствиям.
х(0) х(8) х(4) х(12) х(2) х(10) х(6) х(14) х(1) х(9) х(5) х(13) х(3) х(11) х(7) х(15)
Рис. 2. Вычисление ДПФ по алгоритму Кули - Тьюки по основанию 2 для N = 16
Известны другие эффективные алгоритмы вычисления ДПФ произвольной длины. Одним из таких алгоритмов является алгоритм Винограда [1], который позволяет значительно (до 80%) сократить число умножений по сравнению с алгоритмом Кули - Тьюки по основанию 2. Однако данный алгоритм обладает исключительно сложной нерегулярной структурой, вследствие чего редко применяется на практике. Наиболее приемлемым с этой точки является алгоритм вычисления БПФ Гуда - Томаса. Его применение позволяет сократить вычислительные затраты по сравнению с алгоритмом Кули - Тьюки.
Алгоритм Гуда - Томаса. Для случая длины сигнала, представленной в виде произведения попарно взаимно простых чисел N1 и N , применим алгоритм Гуда - Томаса [6]. С вычислительной точки зрения он проще алгоритма Кули - Тьюки. Алгоритм Гуда - Томаса представляет собой способ отображения линейной последовательности из N = N1 целых чисел в двухмерную таблицу N^N2 одномерное преобразование Фурье таким образом преобразуется в двухмерное. При этом способ переупорядочивания входной и выходной последовательностей определяется на основе известной китайской теоремы об остатках [6]. Опыт практической реализации показал, что с точки зрения повышения быстродействия для вычисления ДПФ по строкам и столбцам наиболее целесообразным является использование алгоритма Винограда. Структурная схема алгоритма Гуда - Томаса для N = 15 (^ и N2 равняются 3 и 5, соответственно) показана на рис. 3.
Рис. 3. Вычисление 15-точечного ДПФ по алгоритму Гуда - Томаса
Алгоритм Рейдера. Если длина сигнала N является простым числом, то для синтеза алгоритмов с минимальным количеством умножений можно воспользоваться алгоритмом Рейдера [7]. В этом случае задача вычисления ДПФ сводится к эффективному вычислению циклической свёртки длины (N-1). Переход от преобразования Фурье к свертке содержит совокупность операций по переиндексации входных данных и эффективному вычислению циклической свёртки длины (N-1). Циклическая часть алгоритма Рейдера представлена на рис. 4.
/МЦД w7 w7
V
S >с S >с S У S ,
V ^ х(0) и ,(J и V и L и 1 ^выход
Рис. 4. Схема циклической части алгоритма Рейдера
Аппаратная реализация алгоритмов БПФ на ПЛИС. Программирование ПЛИС проводилось в среде Xilinx ISE WebPACK 14.3 с использованием языка описания аппаратных средств VHDL на чипе FPGA Xilinx XC6VLX75T. В качестве средства моделирования алгоритмов БПФ была выбрана система ModelSim Xilinx Edition (MXE III). Получены временные характеристики и оценены погрешности вычислений. Проведен сравнительный анализ площади чипа и максимальной рабочей частоты.
k
Z
Z
Z
Z
х
вход
Результаты использования области микросхемы ПЛИС, включая количество использованных Slices и FlipFlops алгоритмами БПФ, показаны на рис. 5-7.
Количество точек БПФ
БПФ по основанию 2 • • Кули - Тьюки
Гуда - Томаса ————• Рейдера
Рис. 5. Результаты сравнительного анализа алгоритмов БПФ по использованию Slices
Количество точек БПФ
—— БПФ по основанию 2 Гуда - Томаса
• • Кули - Тьюки - Рейдера
Рис. 6. Результаты сравнительного анализа алгоритмов БПФ по использованию FlipFlops
250 200 150 100 50
0
\
10
20
30
40
50
60
Количество точек БПФ
БПФ по основанию 2 Гуда - Томаса
• • Кули - Тьюки •Рейдера
Рис. 7. Результаты сравнительного анализа алгоритмов БПФ по максимальной рабочей частоте
Выводы. В работе представлена методика выбора алгоритма БПФ для его последующей аппаратной реализации на ПЛИС типа БРОЛ по критерию
вычислительной сложности, быстродействию, аппаратурным затратам. Рассмотрены способы формирования эффективных алгоритмов БПФ для различных случаев длин обрабатываемых последовательностей.
Из анализа графиков (см. рис. 6, 7) следует, что наибольшее количество базовых логических элементов Slices используется при синтезе БПФ по алгоритмам Гуда - Томаса и Кули - Тьюки, а минимальное - по методу БПФ по основанию 2. С точностью до наоборот дело обстоит с массивом триггеров Flip-Flop: методы Гуда - Томаса и Кули - Тьюки используют их меньше в отличие от алгоритмов Рейдера и БПФ по основанию 2. Кроме того, для всех методов спектрального анализа использованная площадь кристалла ПЛИС увеличивается при росте количества точек БПФ. Самым быстрым методом вычисления БПФ в тестовых испытаниях оказался БПФ по основанию 2 (см. рис. 7). Метод Гуда - Томаса оказался медленнее его, но быстрее, чем метод Кули -Тьюки. На последнем месте - метод Райдера. Оценка вычислительной сложности алгоритмов позволяет сделать вывод, что программная реализация алгоритма Гуда - Томаса имеет более простую структуру.
Как показали результаты, алгоритм Гуда - Томаса уступает БПФ по основанию, если вычисляются короткие ДПФ прямым методом. Поэтому на практике используются его разновидности, эффективность реализации которых на ПЛИС в дальнейшем предполагается исследовать: алгоритм простых множителей, объединяющий алгоритм Гуда - Томаса и Рейдера; алгоритм Винограда для ДПФ; алгоритм поразрядного ДПФ. Особый интерес представляют поразрядные алгоритмы ДПФ, число пересылок данных в которых не выше, чем в БПФ, но большинство сложных операций может выполняться на этапе проектирования.
Несмотря на хорошие показатели в области обеспечения высокой скорости обработки сигналов, БПФ характеризуется и рядом недостатков: значительные схемные затраты и погрешности при реализация ортогональных преобразований вследствие конечной длины обрабатываемых операндов и пр. Одним из путей решения этих проблем является использование представления обрабатываемых данных в нетрадиционных непозиционных системах счисления, в частности в системе счисления в остаточных классах (СОК). При предварительном кодировании в СОК целое число представляется в виде упорядоченного набора неотрицательных вычетов по группе взаимно простых оснований (модулей). Арифметические операции сложения, вычитания и умножения в СОК выполняются с этими вычетами меньшей разрядности независимо друг от друга и без межразрядных переносов. Небольшая разрядность оснований системы позволяет реализовать модульные операции табличным способом: появляется возможность повысить быстродействие и точность обработки цифровых сигналов [2, 4, 5].
Литература
1. Блейхут Р. Быстрые алгоритмы цифровой обработки сигналов: пер. с англ. М.: Мир, 1989. 451 с.
2. Галанина Н.А. Синтез функциональных модулей БПФ в СОК // Вестник Чувашского университета. 2005. № 2. С. 124-127.
3. Галанина Н.А., Дмитриев Д.Д. Синтез БПФ на ПЛИС с применением системы остаточных классов // Программные системы и вычислительные методы. 2013. № 1. С. 129-133.
4. Галанина Н.А., Иванова Н.Н., Иванов A.A. Реализация блоков шифрации и дешифрации в непозиционных устройствах ЦОС // Вестник Чувашского университета. 2007. № 2. С. 209-216.
5. Галанина Н.А., Песошин В.А., ИвановаН.Н. Разработка устройств цифровой фильтрации и спектрального анализа с индексированием данных в системе остаточных классов // Вестник Чувашского университета. 2014. № 2. С. 93-97.
6. Макклеллан Дж.Х., Рейдер Ч.М. Применение теории чисел в цифровой обработке сигналов: пер. с англ. М.: Радио и связь, 1983. 263 с.
7. Нуссбаумер Г. Быстрое преобразование Фурье и алгоритмы вычисления свёрток: пер. с англ. М.: Радио и связь, 1985. 248 с.
8. Рабинер Л., Гоулд Б. Теория и применение цифровой обработки сигналов / пер. с англ. под ред. Ю.Н. Александрова. М.: Мир, 1978. 848 с.
ГАЛАНИНА НАТАЛИЯ АНДРЕЕВНА - доктор технических наук, профессор кафедры математического и аппаратного обеспечения информационных систем, Чувашский государственный университет, Россия, Чебоксары (galaninacheb@mail.ru).
ИВАНОВА НАДЕЖДА НИКОЛАЕВНА - кандидат технических наук, доцент кафедры математического и аппаратного обеспечения информационных систем, Чувашский государственный университет, Россия, Чебоксары (naadeezdaa@rambler.ru).
N. GALANINA, N. IVANOVA
COMPUTING ASPECTS OF FAST FOURIER TRANSFORM AND ISSUES OF ITS FPGA REALIZATION Key words: digital signal processing (DSP), discrete Fourier transform (DFT), fast Fourier transform (FFT), Cooley - Tukey method, Good - Thomas algorithm, Rader's algorithm, Vinogradov algorithm, bitwise DFT algorithm, FPGA, Verilog HDL, residual number classes (RNS).
The hardware implementation of the DFT on FPGAs, which is traditionally reduced to the calculation of FFT, is not a simple task in a number of practical applications. For the developers of modern digital devices, the results of known methods modeling of the FFT calculation in Verilog HDL description language and their comparative analysis by such criteria as the signal processing speed, the area occupied by the crystal, the maximum clock frequency, etc., as well as the development practical recommendations on their use are their fields of interest . Programming of FPGAs selected as the hardware implementation of the simulated spectrum analysis algorithms for the digital devices was carried out in the Xilinx ISE WebPACK 14.3 environment in Verilog HDL hardware description language using the ModelSim Xilinx edition (MXEIII) digital circuit modeling system. As methods of spectral analysis, algorithms of FFT on base 2, Cooley - Tukey, Hood - Thomas and Rader 's were tested.
References
1. Blahut R. E., Fast Algorithms for Digital Signal Processing, Addison-Wesley, Reading, Massachusetts, 1985 (Russ. ed.: Bystrye algoritmy tsifrovoi obrabotki signalov. Moscow, Mir Publ., 1989, 451 p.).
2. Galanina N.A. Sintez funktsional'nykh modulei BPF v SOK [Synthesis of functional FFT modules in RNS]. Vestnik Chuvashskogo universiteta, 2005, no. 2, pp. 124-127.
3. Galanina N.A., Dmitriev D.D. Sintez BPF na PLIS s primeneniem sistemy ostatochnykh klassov [Synthesis of FFT on FPGA using a system of residual classes]. Programmnye sistemy i vychislitel'nye metody, 2013, no. 1, pp. 129-133.
4. Galanina N.A., Ivanova N.N., Ivanov A.A. Realizatsiya blokov shifratsii i deshifratsii v nepozitsionnykh ustroistvakh TsOS [Implementation of encryption and decryption units in nonposition DSP devices]. Vestnik Chuvashskogo universiteta, 2007, no. 2, pp. 209-216.
5. Galanina N.A., Pesoshin V.A., Ivanova N.N. Razrabotka ustroistv tsifrovoi fil'tratsii i spektral'nogo analiza s indeksirovaniem dannykh v sisteme ostatochnykh klassov [Development of
devices of digital filtration and spectral analysis with the index of the data in residue number system]. Vestnik Chuvashskogo universiteta, 2014, no. 2, pp. 93-97.
6. McClellan J.H., Rader C.M. Number theory in digital signal processing. Englewood Cliffs, New Jersy, 1979 (Russ. ed.: Primenenie teorii chisel v tsifrovoi obrabotke signalov. Moscow, Radio i svyaz' Publ., 1983, 263 p.).
7. Nussbaumer H.J. Fast Fourier Transform and Convolution Algorithms. Springer, 1982, 286 p. (Russ. ed.: Bystroe preobrazovanie Fur'e i algoritmy vychisleniya svertok. Moscow, Radio i svyaz' Publ., 1985, 248 p.).
8. Rabiner L.R., Gold B. Theory and application of digital signal processing. Prentice-Hall Inc, 1975, 772 p. (Russ. ed.: Teoriya i primenenie tsifrovoi obrabotki signalov. Moscow, Mir Publ., 1978, 848 p.).
GALANINA NATALIYA - Doctor of Technical Sciences, Professor, Information Systems Math and Hardware Department, Chuvash State University, Russia, Cheboksary (galaninacheb@mail.ru).
IVANOVA NADEZHDA - Candidate of Technical Sciences, Assistant Professor, Information Systems Math and Hardware Department, Chuvash State University, Russia, Cheboksary (naadeezdaa@rambler.ru).
Формат цитирования: Галанина Н.А., Иванова Н.Н. Вычислительные аспекты быстрого преобразования Фурье и вопросы его реализации на ПЛИС // Вестник Чувашского университета. - 2018. - № 3. - С. 172-181.
