CC BY
145
УДК 004.31:517.443:681.5 ББК З811
Н А. ГАЛАНИНА, В А. ПЕСОШИН, Н.Н. ИВАНОВА
РАЗРАБОТКА И АНАЛИЗ ПОРАЗРЯДНЫХ УСТРОЙСТВ ДИСКРЕТНОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ
Ключевые слова: быстродействие, аппаратурные затраты, дискретное преобразование Фурье (ДПФ), метод поразрядного вычисления ДПФ (ПДПФ), быстрое преобразование Фурье (БПФ).
Для повышения быстродействия цифровых устройств спектрального анализа предложено использовать метод поразрядного вычисления ДПФ (ПДПФ). Проведен анализ предложенных поразрядных алгоритмов ДПФ. Разработаны схемы устройств поразрядного вычисления ДПФ. Проведена сравнительная оценка быстродействия устройств ПДПФ и БПФ. Полученные результаты доказывают преимущество предложенных методов и устройств ПДПФ по сравнению с БПФ.
N. GALANINA, V. PESOSHIN, N. IVANOVA DEVELOPMENT AND ANALYSIS OF BITWISE DISCRETE FOURIER TRANSFORM DEVICES
Key words: processing speed, hardware expenses, Discrete Fourier Transform (DFT), bitwise DFT (BDFT) calculation technique, Fast Fourier Transform (FFT).
We propose to use a DFT bitwise calculation technique for increasing the processing speed of digital spectral analysis devices. We carried out the analysis of the proposed bitwise DFT algorithms; worked out schemes of bitwise DFT devices; made a speed comparative assessment of the BDFT and FFT devices. The received results prove the advantage of the proposed BDFT techniques and devices as compared to FFT.
В основе различных технологий спектрального анализа, предназначенных для исследования сигналов, лежит дискретное преобразование Фурье (ДПФ), по возможности определяемое быстрыми методами [11]. Однако проведенные авторами исследования [2, 4, 7, 10] показали, что в ряде случаев лучшим вычислительным алгоритмом, чем быстрое преобразование Фурье (БПФ), является метод поразрядного вычисления ДПФ (ПДПФ). Это обусловлено тем, что в ПДПФ большая часть необходимых операций выполняется на этапе проектирования, а остальные - вычисляются таблично.
Одномерный поразрядный метод вычисления ДПФ. Известно, что k-я гармоника спектра для чисел входной последовательности x(n) вычисляется по формуле:
N-1
Fk = Z WN}kx(n), (1)
n=0
. 2 л
где WN = e N - весовая функция.
Раскрыв формулу (1), получим следующее выражение для NS точек в r-м разряде чисел x(n):
Fks(r) = xr(0)WNS + Xr(1)WkS + Xr(2)WNk +... + Xr(Ns - 1)W^S-1)k, (2)
где тригонометрическая форма весовой функции
Wns = cos(2n/Ns) - jsin(2л/Ns) . (3)
В спецпроцессорах ЦОС обычно используются числа x(n) в дополнительном коде с фиксированной запятой, которые можно представить в виде
R-2 R ^
x(n) = 2 xr (n)2r - хзн(n)2 ,
r=0
где R - число разрядов чисел в последовательности x(n), хЗН(п) - знаковый разряд чисел.
Отсюда получаем следующие выражения для вычисления поразрядного ДПФ в r-м разрядном «срезе» для NS точек:
N-1 , г
Fks(r) = ZW*S[xr(n)-1]2r , (4)
N-1 ... -, ^
Fks (зн) = ZWNk 5[ (n) - 1]2R-1,
n=0 S R-2
Fks = Z Fks (r) - Fks (зн),
(5)
(6)
где 5[0] = 1; г = 0,Я -1; к,п = 0,N -1.
Выражение (4) предоставляет возможность априорного вычисления суммы весов (обозначим ее как СК^Х,)) для всех возможных комбинаций значений в г-м разряде хг(п), которые могут быть записаны в ПЗУ по адресам, соответствующим хг.
Например, если в г-м разряде последовательности из N = 8 выборок наблюдается комбинация 10011010, то
Fкs (г) = Скз (Хг) = Скз (10011010) = ЩК + Щ4К + Щ5К + Щ7К .
Схема устройства одномерного ПДПФ представлена на рис. 1. Входы параллельно-последовательных регистров Я01 являются Я-разрядными, а выходы - одноразрядными, регистр Я02 - параллельный. На выходах Я01 последовательно появляются числа от нулевого до (Я-1)-го (знакового) разрядов: Х1(п), х2(п), ..., хЯ(п) для всех п = 0, Ns -1 в каждом разряде одновременно. ПЗУ имеет ^-разрядный адрес. При изменении N необходимо перепрограммировать ПЗУ в соответствии с формулами (2) и (3). Объем памяти ПЗУ для N точек входной последовательности йшм = Я^ 2^ , где Яд -разрядность Таким образом, через Я тактов на выходе устройства формируется отсчет ¥к, а полное время преобразования 7пдпф составит NЯ тактов.
Rсдвигов
Рис. 1. Схема устройства одномерного поразрядного вычисления ДПФ
S
С целью сокращения аппаратурных затрат вопрос выбора требуемого количества m корпусов ПЗУ предлагается решать следующим образом. Если Ns >> разрядности Z дешифратора ПЗУ, то возможна следующая схема: log 2 NS разрядов ПЗУ выделяется на код частоты (обозначим эту величину через к - код номера страницы ПЗУ), а оставшиеся (Z - к) отдаются под часть выборки сигнала (x = Z- к). Тогда m = 1 NS/ x Г, где 1 Г - операция округления в сторону большего целого. Например, если N = 64, то к = log2 NS = 6; при использовании БИС 556РТ6 с 11-разрядным дешифратором (Z = 11) x = Z -к = 5. В этом случае m =1 64 / 5 Г = 13. При R = 8, N =64 ГПДПФ = 3072^л; Тбпф = 4800^; при R = 8, N = 256 ТПдпф = 12288^; ТБпф = 25600tCT (сл - время, затраченное на операцию сложения). Таким образом, устройство одномерного ПДПФ имеет быстродействие в два раза выше, чем БПФ.
В работах [2, 4, 7, 10] показано, что возможен переход к параллельной структуре, которая лежит в основе устройства ПДПФ, содержащего R каналов. Для вышерассмотренного случая ПЗУ будет содержать 13R корпусов БИС 556РТ6; время преобразования Гцдпф « 2N ■ ?сл независимо от разрядности R. Сравнительная оценка быстродействия ПДПФ параллельной структуры и БПФ представлена в табл. 1.
Таблица 1
Сравнительная оценка быстродействия ПДПФ и БПФ
N (количество точек входной последовательности) ?БПФ Ссл) ТлДПФ (¿сл) ТБпф/ТПДПФ
32 2000 64 31,25
64 4800 128 37,5
128 11200 256 43,75
256 25600 512 50
Проведённые исследования показали [6, 4, 7, 10], что в связи с возрастанием аппаратурных затрат одномерный метод вычисления ПДПФ целесообразно использовать в тех случаях, когда количество точек входной последовательности NS принимает значения от 64 до 256. При N > 512 необходимо перейти к многомерному методу вычисления ПДПФ.
Многомерный поразрядный метод вычисления ДПФ. Пусть
V
N = ПNs , все NS - взаимно простые числа. Тогда от одномерного N-то-
s=1
чечного ПДПФ можно перейти к многомерному ПДПФ через Ns-точечные в соответствии с алгоритмом Гуда [8]. Метод многомерного ПДПФ содержит v
шагов по Ns точек для всех S = 1, v . Такое преобразование включает следующие этапы:
1. Переиндексация (реконфигурация) данных x
X (n)-> X (nu П2,..., ns ,...nv),
n =< £ nSN / Ns > mod N . (7)
s=1
Для двухмерного случая X (n) ^ X (n1, n2), n =< Nxn2 + N2 n > mod N .
2. Вычисление N/NS коротких NS-точечных ПДПФ
а) при v = 2 сначала вычисляются N2 = N/N N-точечных ПДПФ:
FS(ki,П2) и -F™(ki,П2) при k2 = 1,N2;
Nj-1 k N
Fg (kj,Й2) = Z S[x^ (nj,«2) - 1]^NnilklN2 2r(S) ;
1 n1 =0 1
Поразрядное суммирование
r-1
Fkl(k1,«2) = Z Fk1(S)(k1,«2)-Fr(k1,«2);
r=0
S=0
б) затем осуществляется N1 = N/N2 вычислений N2-точечных ПДПФ:
F?2 (k1,k2) = TstFk;( (k1,«2) - ЦИ^2"12r(S5; S «2 = 0 2 Поразрядное ^ n к Л R-1^ r (? ? ) зн
{Fk2(k1, k2) = Z FUh, k2) - F» (k1, k2);
суммирование 2 r=0 2 2
в) F (k1, k2) = ZF (k1, k2).
S=0
3. Наконец, переупорядочиванием выходных значений многомерного массива определяется F(k). Это возможно двумя путями [8]:
v
а) k =< Z N / NS > mod N, где U'S определяется из соотношения
S=1
< US N/Ns>mod Ns = 1, S = 1"V;
v
б) k =< ZUSkS > mod N, где каждое US определяется из группы сравне-
S=1
ний US = Sy mod Nj (знак = означает операцию сравнения, которая заключается в интерактивном поиске всех значений, удовлетворяющих этому условию).
При v = 2 k = <U1k1 + U2k2>mod N; U1 = 1 mod N2; (U1 = 0 mod N1); U2 = N + 1 - U1.
Схема устройства двухмерного ПДПФ, которое при N = 63, N2 = 64 осуществляет 4032-точечное преобразование, представлена на рис. 2.
Работа устройства осуществляется следующим образом. Числовая последовательность X(ri) разрядности R поступает из шины данных ШД на схему прямой переиндексации СПП, которая работает в соответствии с формулой (7) и может быть выполнена на ПЛМ (так же как и схема обратной переиндексации СОП). Далее через ОЗУ-1 к первой ступени преобразования, включающей группу одномерных ПДПФ - N (их общее число равно N2), подключаются данные X(«1, «2) группами по N чисел: сначала все выборки с «2 = 0, далее с «2 = 1, ..., «2 = N2 - 1. Таким образом, при каждом значении «2 значение k1 меняется от 1 до N1, а значения «1, в свою очередь, при каждом значении k1 - от 0 до N1-1. Страницу весов в каждом ПДПФ первой ступени устанавливает команда k1, подключением номера группы выборок управляет команда «2, а номер числа внутри группы определяется командой n1. Размерность дешифратора ППЗУ первой ступени преобразования зависит от количества чисел внутри группы N. Далее числа F(k2, «2) с выхода первой ступени ПДПФ записываются в ОЗУ-2. Оттуда отсчеты в порядке, указанном на схеме, считываются на вторую ступень одномерных ПДПФ, представляющих собой N устройств ПДПФ на N2 точек каждое.
Вход выход
Рис. 2. Схема устройства для вычисления многомерного поразрядного ДПФ (V = 2)
ППЗУ второй ступени преобразования содержит Ы2 страниц (к2 = 1,N2), так как каждый отсчет должен иметь отдельный адрес. Номер ПДПФ второй ступени определяется командой к1 (к1 = 1, Ы1). Номер числа F(k1, п2) в группе устанавливается командой п2 (п2 = 0, Ы2 -1). Команда к2 управляет номером страницы в ППЗУ. С выхода второй ступени снимаются сигналы F(k1,k2): сначала они поступают в ОЗУ-3, а затем - в СОП. Полученные значения Fk поступают в шину данных. По шине управления подаются сигналы к1, к2, п1, п2, назначение которых следует из вышеизложенного.
К примеру, для случая N = 1023 (Ы1 = 31; N = 33) первая ступень устройства осуществляет тридцать три 31-точечных ПДПФ, а вторая - тридцать одно 33-точечных ПДПФ: п = <33п1+31п2>1023. Тогда таблица перестановок для прямого преобразования ПДПФ имеет вид, показанный в табл. 2.
Алгоритм обратной перестановки выглядит следующим образом: к = <528к1 + 496к2>1023.
Тогда F(0,0) ^ F(0), F(1,0) ^ F528, F(2,0) ^ Fзз, F(3,0) ^ F561 и т.д. ПриN=1023
ГШФ = 128 000^, а Т^ пдпф = 33Тдпф-31 + 31Тпдпф-33 = 4092^.
Таблица 2
Варианты перестановок для прямого преобразования ПДПФ
n 0 33 66 99 132 891 924 957 990
0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 27,0 28,0 29,0 30,0
n 992 2 35 68 101 860 893 926 959
nbn2 0,32 1,32 2,32 3,32 4,32 27,32 28,32 29,32 30,32
Результаты сравнительной оценки быстродействия устройств представлены в табл. 3.
Таблица 3
Оценка быстродействия устройств многомерного ПДПФ и БПФ
N (количество точек входной последовательности) Ni N2 ?БПФ ('сл) ТМПДПФ (¿сл) ТБпф/ТМПДПФ
1 056 32 33 145 200 4 224 34,375
4 032 63 64 655 200 16 128 40,625
16 129 127 126 3 000 375 64 008 46,875
64 515 253 255 13 709 437,5 258 060 53,125
Полученные результаты наглядно доказывают преимущество предложенных методов и устройств ПДПФ по сравнению с устройствами БПФ [3, 5, 7, 10]. Кроме того, существенным достоинством ПДПФ является снижение ошибок округления. Такие характеристики обусловлены тем, что до 90% операций вычислительного алгоритма многомерного поразрядного ДПФ (включая и определение свертки) выполняются на этапе проектирования и изготовления (программирования) ПДПФ.
Литература
1. Блейхут Р. Быстрые алгоритмы цифровой обработки сигналов: пер. с англ. М.: Мир, 1989. 448 с.
2. Галанина Н.А., Дмитриев Д.Д. Разработка конфигурационного файла для реализации дискретного преобразования Фурье в системе остаточных классов на ПЛИС // Вестник Чувашского университета. 2011. № 2. С. 119-125.
3. Галанина Н.А., Песошн В.А., Иванова Н.Н. Разработка устройств цифровой фильтрации и спектрального анализа с индексированием данных в системе остаточных классов // Вестник Чувашского университета. 2014. № 2. С. 93-97.
4. Галанина Н.А. Синтез функциональных модулей БПФ в СОК // Вестник Чувашского университета. 2005. № 2. С. 124-127.
5. Галанина Н.А. Сравнительный анализ энергетических характеристик позиционных и непозиционных фильтров // Вестник Чувашского университета. 2006. № 2. С. 335-340.
6. Лебедев Е.К., Галанина Н.А., Иванова Н.Н. Вычисление вероятностей переходов для цепей Маркова, аппроксимирующих сигналы в фазовых системах // Вестник Чувашского университета. 2001. № 3. С. 89-100.
7. Лебедев Е.К., Галанина Н.А., Лапий В.Ю. Методы и устройства поразрядного ДПФ // Известия вузов СССР. Радиоэлектроника. 1985. № 8. С. 32-36.
8. Макклеллан Дж.Х., Рейдер Ч.М. Применение теории чисел в цифровой обработке сигналов / пер. с англ. под ред. Ю.И. Минина. М.: Радио и связь, 1983. 264 с.
9. Пелед А., Лиу Б. Цифровая обработка сигналов / пер. с англ. под ред. А.И. Петренко. Киев: Вища шк., 1979. 264 с.
10. Песошин В.А., Галанина Н.А., Иванова Н.Н. Оценка аппаратурных затрат и быстродействия устройств цифровой обработки марковских сигналов // Вестник Чувашского университета. 2012. № 3. С. 217-221.
11. Рабинер Л., Гоулд Б. Теория и применение цифровой обработки сигналов / пер. с англ. под ред. Ю.Н. Александрова. М.: Мир, 1978. 848 с.
References
1. Blahut R.E. Fast Algorithms for Digital Signal Processing. Addison-Wesley Press, 1985 [Russ. ed.: Blahut R.E. Bystrye algoritmy tsifrovoi obrabotki signalov. Moscow, Mir Publ., 1989, 448 p.].
2. Galanina N.A., Dmitriev D.D. Razrabotka konfiguratsionnogo faila dlya realizatsii diskret-nogo preobrazovaniya Fur'e v sisteme ostatochnykh klassov na PLIS [Development of a configuration file for the implementation discrete fourier transform in residue number system on FPGA]. Vestnik Chuvashskogo universiteta, 2011, no. 2, pp. 119-125.
3. Galanina N.A., Pesoshin V.A., Ivanova N.N. Razrabotka ustroistv tsifrovoi fil'tratsii i spek-tral'nogo analiza s indeksirovaniem dannykh v sisteme ostatochnykh klassov [Development of devices of digital filtration and spectral analysis with the index of the data in Residue Number System]. Vestnik Chuvashskogo universiteta, 2014, no. 2, pp. 93-97.
4. Galanina N.A. Sintez funktsional'nykh modulei BPF v SOK [Synthesis of FFT functional modules in RNS]. Vestnik Chuvashskogo universiteta, 2005, no. 2, pp. 124-127.
5. Galanina N.A. Sravnitel'nyi analiz energeticheskikh kharakteristik pozitsionnykh i nepozit-sionnykh fil'trov [Power characteristics comparative analysis of the positional and non-positional filters]. Vestnik Chuvashskogo universiteta, 2006, no. 2, pp. 335-340.
6. Lebedev E.K., Galanina N.A., Ivanova N.N. Vychislenie veroyatnostei perekhodov dlya tse-pei Markova, approksimiruyushchikh signaly v _ fazovykh sistemakh [The calculation of the transition probabilities for Markov chains approximating signals in phase systems]. Vestnik Chuvashskogo universiteta, 2001, no. 3, pp. 89-100.
7. Lebedev E.K., Galanina N.A., Lapiy V.Yu. Metody i ustroistva porazryadnogo DPF [Methods and devices of digit-by-digit DPF]. Izvestiya vuzov SSSR. Electronics, 1985, no. 8, pp. 32-36.
8. McClellan J.H., Rader C.M. Number Theory in Digital Signal Processing. New Jersy, Prentice-Hall, 1979 [Russ. ed.: McClellan J.H., Rader C.M. Primenenie teorii chisel v tsifrovoi obrabotke signalov. Moscow, Radio i svyaz' Publ., 1983, 264 p.].
9. Peled A., Liu B. Digital Signal Processing. Wiley, 1976, 304 p. [Russ. ed.: Peled A., Liu B. Tsifrovaya obrabotka signalov. Kiev, 1979, 264 p.].
10. Pesoshin V.A., Ivanova N.N., Galanina N.A. Otsenka apparaturnykh zatrat i bystrodeistviya ustroistv tsifrovoi obrabotki markovskikh signalov [Assessment of hardware expenses and speed of digital processing markov signals]. Vestnik Chuvashskogo universiteta, 2012, no. 3, pp. 217-221.
11. Rabiner L.R., Gold B. Theory and Application of Digital Signal Processing. Prentice Hall, 1975, 762 p. [Russ. ed.: Teoriya i primenenie tsifrovoi obrabotki signalov. Moscow, Mir Publ., 1978, 848 p.].
ГАЛАНИНА НАТАЛИЯ АНДРЕЕВНА - доктор технических наук, профессор кафедры математического и аппаратного обеспечения информационных систем, Чувашский государственный университет, Россия, Чебоксары (galaninacheb@mail.ru).
GALANINA NATALIYA - doctor of technical sciences, professor of Math and Hardware Information Systems Chair, Chuvash State University, Russia, Cheboksary.
ПЕСОШИН ВАЛЕРИЙ АНДРЕЕВИЧ - доктор технических наук, профессор кафедры компьютерных систем, Казанский национальный исследовательский технический университет, Россия, Казань (pesoshin@evm.kstu-kai.ru).
PESOSHIN VALERIY - doctor of technical sciences, professor of Computer Systems Chair, Kazan National Research Technical University, Russia, Kazan.
ИВАНОВА НАДЕЖДА НИКОЛАЕВНА - кандидат технических наук, доцент кафедры математического и аппаратного обеспечения информационных систем, Чувашский государственный университет, Россия, Чебоксары (naadeezdaa@rambler.ru).
IVANOVA NADEZHDA - candidate of technical sciences, associate professor of Math and Hardware Information Systems Chair, Chuvash State University, Russia, Cheboksary.
