Возникновение крутильных автоколебаний в бурильной колонне Текст научной статьи по специальности «Физика»

4

Математическое моделирование: методы, алгоритмы, технологии

Рассчитаны характеристики относительной погрешности предложенных методов.

Согласно результатам расчета цветовых искажений кадра тестовой видеопоследовательности, для реализации вычислений в реальном времени целесообразно использовать приближенный метод 4 с усреднением параметров эллипсов цвето-различения, или методы на его основе.

В приложениях с менее жесткими требованиями к скорости вычисления рекомендуется использовать метод по формуле (6), который является оптимальным по соотношению точности и объема вычислений.

Необходимо дальнейшее исследование влияния анизотропии пространства МКО ХУ2 на измерение цветовых различий.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Малыхина, Г.Ф Разработка новых моделей цве-товосприятия зрительной системой человека[Текст]/ Г.Ф. Малыхина, И.А. Со//Научно-технические ведомости СПбГПУ. Сер. Информатика. Телекоммуникации.

Управление.-2007.-№ 5.-С. 145-151.

2. Мешков, В.В. Основы светотехники. Ч. 2. Физиологическая оптика и колориметрия [Текст]/В.В. Мешков, А.Б. Матвеев.-М.: Энергоатомиздат, 1989.

УДК 681.3

В.Г. Чередниченко, А.А. Цуприков

возникновение крутильных автоколебаний в бурильной колонне

Как показывает практика, при бурении скважин в определенных случаях возникает вибрация бурильной колонны, которая отрицательно сказывается на износе бурильного оборудования. Самоподдерживающийся тип вибрации указывает на автоколебательный характер этого процесса, при котором потери энергии крутильных колебаний на диссипацию восполняются за счет взаимодействия долота с забоем скважины.

Представим колонну как однородный вращающийся полый стержень, верхний конец которого х = L вращается с постоянной угловой скоростью г0, а нижний конец (х = 0) взаимодействует с забоем посредством массивного долота. В результате этого взаимодействия в колонне возникают крутильные деформации, носящие колебательный характер. В дальнейшем колонну удобно рассматривать в системе отсчета неподвижной относительно ее верхнего конца. В этой системе верхний конец колонны неподвижен, а на нижний конец (долото) действует вращающая сила со скоростью у0 в направлении, обратном поверхности контакта (забой). Момент силы взаимодействия долота с горной породой имеет сложный характер, зависящий от

V - у0 - относительной скорости скольжения долота по забою. Качественно эту зависимость можно считать аналогичной сухому трению (рис. 1). Наибольшего по модулю значения / силы трения достигают при относительной скорости равной нулю. С началом скольжения силы трения убывают до постоянного значения / Это убывание, играющее в описываемом явлении главную роль, можно объяснить разрыхлением породы при увеличении относительной скорости скольжения зубьев долота по забою. В момент, когда относительная скорость V - V меняет знак, сила

у]

/о Л

Г

—4 —2 0 2 4

Относительная угловая скорость

Рис. 1. Зависимость момента силы от относительной скорости

Научно-технические ведомости СПбГПУ 1' 2011 ^ Информатика. Телекоммуникации. Управление

трения также изменяет направление, что отражено в разрыве графика. Левая ветвь в окрестности разрыва соответствует стадии, когда зубья долота догоняют поверхность. В момент, когда их скорости уравниваются, поверхность «подхватывает» долото, сообщая ему дополнительную порцию кинетической энергии. Правая ветвь соответствует стадии, когда зубья долота обгоняют поверхность контакта. В этом случае сила трения противодействует движению, приводя к диссипации избыточной энергии. Сочетание инерции и упругости колонны на скручивание обеспечивает колебательный характер деформации колонны, а описанный характер трения приводит к дозированному подводу энергии, который регулируется самой системой. Поступающая в систему энергия компенсирует потери за счет диссипации в системе, приводя к установлению самоподдерживающихся автоколебаний.

От качественного описания перейдем к математической модели процесса. Элемент колонны 5т имеет площадь поперечного сечения 5" и момент инерции 51 = 5тр/5, где р - плотность материала колонны; = - полярный момент

сечения. Здесь ds - площадь элемента сечения, удаленного от оси колонны на расстояние г. Обозначим угол поворота сечения с координатой т в момент времени t как е(т, ?). На сечение со стороны участка, расположенного выше, действует момент упругой силы М е л — GIse, где G - модуль

сдвига; е л--относительная деформация. Ки-

дт

нетическая энергия системы состоит из кинетической энергии, распределенной вдоль колонны и энергии вращения долота [2]:

•2 -2 т , -2

W>

= [^8/ + /Д = Р^(У8;с + /А (1)

J 2 0 2 2 -Ь 0 2 '

где I0 - момент инерции долота; U0 - угловая скорость в точке x = 0.

Получим выражение для потенциальной энергии деформации стержня. При деформации элемента стержня 5x на величину du = debx приращение потенциальной энергии равно dWp =-Меdu = -Medebx = GIsede5x. Потенциальная энергия этого элемента равна 5W =

ie в1

edebx= GIS — 5x,а всего стержня

Wp = ^ f¿ е25x.

p 1 Jo

Подействуем на нижний конец стержня моментом силы, вызывающей деформацию нижнего конца е(0) = е0. Верхний конец будем считать закрепленным е(Ь) = 0.

При условии статической деформации по всей длине стержня выполняются условия:

ди

(3)

Me = const, — = const.

dx

С учетом граничных условий, находим

u(x) = u0 - xe = -Uo .

В дальнейшем будем рассматривать упрощенную модель процесса, которая приводит к системе с одной степенью свободы. Будем считать, что деформация стержня развивается во времени в квазистатическом режиме и условия (3) по-прежнему выполнены, тогда:

u0(t)

и(х,)) = u,(t)-1 1--I, е = -

и = и

1 - ( '.

(4)

Подставив выражения (4) в равенства (1) и (2) и произведя интегрирование, получим полную энергию:

u2

и

ЖлЖк+Жр = + Р-2-. (5)

Здесь I и р, соответственно, эффективный момент инерции и крутильная жесткость системы:

(6)

7 =рLk P=9L

** 3 ' L

Согласно закону сохранения механической энергии, производная по времени от полной энергии равна мощности внешней силы

W = ^эфф"о U0 + Рио "0 = MU0, откуда приходим к уравнению колебаний (индекс «0» у и0 опускаем):

(7)

где

м' + со oK = /(M-V0),

2 3G М PL

(8)

(2)

Уравнение (7) является нелинейным, вследствие нелинейной правой части. Произведем линеаризацию в окрестности значения и л и :

/ = /(и) + 2 В-(и-У0). (9)

В результате получим:

и-2Ви + (й20и = /Б, (10)

4

Математическое моделирование: методы, алгоритмы, технологии^

Рис. 2. Зависимость смещения и скорости от времени в переходном и стационарном режимах

где 5 = 1Ш 2 dy

, fs=f(É)-2Bv0.

У = и - v0

Общее решение линеаризованного уравнения имеет следующий вид:

_ fs , A~Bt

и = -^ + А& cos((Qí + q)0)5

о

(11)

где ю2 = - Б2. Это выражение показывает, что в линейном приближении амплитуда колебаний экспоненциально возрастает благодаря условию Б > 0.

Выражение (9) подсказывает, каким способом можно бороться с нежелательными автоколебаниями. Для этого следует включить в конструкцию демпфирующий элемент, который обеспечивал бы в выражении для момента силы / диссипативные члены вида —2$й; -уи|и| и т. п. В случае первого из них, например, вместо уравнения (10) будет иметь место уравнение й + 2{$ — В}й + ы\и = /5, которое приводит к затуханию колебаний при условии в > Б. В роли демпфирующего элемента может выступать глинистый раствор буровой жидкости, прокачиваемый в достаточном количестве через колонну.

Рассмотрим уравнение (10) с начальным условием и (О) = и0, и (О) = и0<У0 Согласно выражению (10), зависимость и({) представляет собой колебание относительно положения равновесия

<и0

с возрастающей амплитудой. Возрастание будет продолжаться до тех пор, пока не начнет выполняться условие й - у0 = 0 +, когда линеаризация (9) становится неприменимой. В этот момент сила сопротивления изменяет направление (правая часть графика на рис. 1), и переходной режим резко

сменяется стационарным режимом автоколебаний, при котором амплитудное значение скорости поддерживается на постоянном уровне wmax « v0. Из этого равенства получаем оценку амплитуды автоколебаний и ~и0 +A eos (ra0í + (р0); ú ~ -А(й0 sin (co0í + ф0), откуда

(12)

От априорных оценок перейдем к численному моделированию. Перейдем к безразмерным переменным:

~ _ и С0„ Г MCOn _ VnCDn

í=ta0; и = —U=—v0=-^-. (13)

/о /о /о

Уравнение (7) в этих переменных принимает следующий вид:

ü + ü = /(w-v0). (14)

Обобщенную силу зададим в следующем виде:

/(M) = -sign(M)(/0 + (/1-/0)exp(-?i|M|)), (15)

с коэффициентами f = 1, f1 = 0,6, X = 2 (см. рис. 1), безразмерная скорость v0 = 2. Уравнение (12) решалось численно методом Рунге-Кутта 4-5 порядка с автоматическим выбором шага с максимальной относительной погрешностью 10-6 [1]. На рис. 2 показаны зависимости углового отклонения и скорости от времени. Из рисунка, а также в результате обработки полученных данных следует, что качественные соображения на основе линеаризованной модели подтверждаются с хорошей точностью.

На рис. 3 представлена фазовая диаграмма колебаний для двух начальных условий. Цифрой 1 обозначили начальное состояние, при котором долото «догоняет» поверхность контакта, при этом возрастает амплитуда колебаний; 2 - состояние,

Смещение и

Рис. 3. Фазовая траектория автоколебаний

4

Научно-технические ведомости СПбГПУ 1' 2011 Информатика. Телекоммуникации. Управление

Рис. 4. Верхняя часть пиков скорости в установившемся режиме

соответствующее колебаниям с заведомо большой амплитудой скорости, которая, уменьшаясь, стремится достичь скорости контакта. Обе фазовые траектории стремятся к предельному циклу, соответствующему установившимся автоколебаниям. Этот цикл имеет вид эллипса со срезанной верхушкой, что говорит о квазигармоничности колебаний. Плоская верхушка указывает на обрезание скорости на уровне скорости поверхности контакта, что соответствует дозированному подводу энергии, типичному для автоколебаний.

Этот процесс гашения избыточной скорости

Рис. 5. Гашение колебаний демпфирующей силой /в = 2ре ,где Р = 0,05

более подробно показан на рис. 4. Видно, что пики скорости в установившемся режиме имеют плоские вершины, которые при большем увеличении представляются заполненными высокочастотными колебаниями, приводящими к диссипации избыточной энергии. Эти колебания происходят вблизи вертикальной части графика, изображенного на рис. 1, т. е. при ее = г0.

Рис. 5 демонстрирует затухание колебаний системы, в которой наряду с силой (13) действуют демпфирующие элементы, обеспечивающие необходимую диссипацию энергии.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Алексеев, Е.Р. МА^АВ 7 [Текст]/Е.Р. Алексеев, О.В. Чеснокова.-М.: НТ-Пресс, 2006.-44с.

2. Яворский, Б.М. Справочник по физике для инженеров и студентов вузов [Текст]/Б.М. Яворский,

А.А. Детлаф, А.К. Лебедев.-М.: Оникс; Мир и Образование, 2008.-8-е изд., перераб. и испр.-1056 с.

УДК 004.896; 519.876.5

К.А. Аксенов, Ван Кай

задача свертки имитационном модели

мультиагентного процесса преобразования ресурсов

Методы моделирования мультиагентных процессов преобразования ресурсов (МППР) часто сталкиваются с объектами, в которых количество элементов составляет сотни, а то и тысячи. Для моделирования таких объектов требуется все больше вычислительных ресурсов и машинного

времени. В связи с этим актуально выявление и использование новых принципов для построения МППР - их оптимизация с помощью процедур сверток моделей, позволяющих сократить время эксперимента и сделать имитационную модель (ИМ) менее ресурсоемкой.