Моделирование динамических нагрузок в бурильной колонне при посадке на забой Текст научной статьи по специальности «Физика»

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Тимошенко С.П., Войновский-Кригср С. Пластинки и оболочки. М.: Наука, 1966. 636 с.

2. Даль Ю.М. Об изгибе упругой консольной пластины переменной толщины // Расчет пространственных конструкций. 1974. № 16. С. 169— 178.

3. Прокопов В.К., Сухотерин М.В. Вариационный метод решения задачи об изгибе консольной пластины // Прикл. механика. 1978. Т. 14, № 5. С. 122-127.

4. Варвак U.M. 1>берман И.О., Мирошниченко М.М. и др. Таблицы для расчета прямоугольных плит. Киев: Изд-во АН УССР, 1959. 419 с.

5. Bauer F., Reiss E.L. Stresses in cantilever plates // Comput. and Struct. 1972. Vol. 2, № 4. P. 675-691.

6. Leissa A.W., Niederfuhr F.W. A study of the cantilevered plate subjected to a uniform loading // J. Aero. Sci. 1962. Vol. 29, № 2.

7. Dalley J.W. Experimental values of deflections stresses, and influence coefficients for a thin square plate fixed along one edge // Defense Res. Lab. Rept. № 189. Texas, 1948.

8. Сухотерин М.В. Изгиб прямоугольной консольной пластины с учетом деформации поперечного сдвига // Вестник Самарского государственного аэрокосмического ун-та им. акад. С.П. Королева. 2008. № 1 (14). С. 174-180.

9. Reissner Е. The effect of transverse shear deformation on the bending of elastic plates//J. Appl-Mech. 1945. № 12. P. A69-A77.

УДК 622.24

В.Г. Чередниченко, A.A. Цуприков

МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИЧЕСКИХ НАГРУЗОК В БУРИЛЬНОЙ КОЛОННЕ ПРИ ПОСАДКЕ НА ЗАБОЙ

Математическое моделирование посадки бурильной колонны на забой произведено для исследования переходных процессов, возникающих при этом в скважине. Физически бурильная колонна представляет собой инерционный упругий элемент с распределенными по глубине параметрами, т. е. пружину длиной до 5—6 км со многими степенями свободы. Она может одновременно сжиматься-разжиматься, скручи-ваться-раскручиваться, изгибаться в произвольных направлениях и пр. Поэтому осевая нагрузка на долото (?, заданная на поверхности скважины, не мгновенно устанавливается на забое, а через некоторый переходный процесс (ПП) со свободной и вынужденной составляющими.

Для системы управления процессом бурения необходимо определять частоту считывания режимных параметров управления, которая существенно зависит от времени ПП, протекающих в объекте. Интервал времени между двумя контрольными измерениями включает две соста&тя-ющие: время ПП и время для сбора и обработки информации, полученной при бурении для расчета новых значений параметров управления.

Основные ПП возникают в бурильной колонне при ее посадке на забой и при регулировании осевой нагрузки в ходе бурения.

Для математического моделирования и анализа выбран самый тяжелый вариант ПП — не изменение осевой нагрузки на небольшую величину в ходе ее регулирования в процессе управления (обычно до 15-20 % от веса колонны на крюке), а полная посадка всей колонны на забой. При таком воздействии продолжительность переходного процесса и размах пиковых колебаний напряжений в сечениях колонны и нагрузки на забой будут максимальными.

В отечественной литературе описаны многочисленные исследования процессов, происходящих на забое и в колонне труб при бурении скважины. В работах P.M. Эйгелеса. Р.В. Стре-каловой, В.В. Симонова, Е.К. Юнина, В.Г. Гри-гулецкого, З.Г. Керимова, H.A. Кильчевского, Г. Герца, Б.Я. Веремейкина, В.Я. Симкина и других процесс бурения моделируется с учетом различных видов колебаний колонны труб (продольных, крутильных и др.), исследована устойчивость форм равновесия бурильной колонны при действии различных факторов, определяет-

ся количество полуволн изгиба колонны и т. п. Модели этих процессов описывают деформацию колонны дифференциальными уравнениями второго — четвертого порядка и предназначены в основном для изучения и исследования процессов, происходящих в самой колонне, а не для оперативного управления бурением.

Для поставленной задачи — определение характеристик ПГ1 при посадке колонны на забой — основными являются не диссипативные процессы в колонне, а поведения самой колонны в скважине, поэтому получения таких сложных исследовательских моделей не требуется, достаточно получить оценочные характеристики ПП — вид ПП, его максимальные амплитудные значения и длительность.

В данной статье рассмотрен процесс посадки колонны на забой с учетом действия силы тяжести, сил реакции крюка и забоя, а также с учетом распространения возмущения вдоль колонны. Сложность постановки такой задачи заключается в том, что в зависимости от начальных условий (скорость опускания колонны, ее масса, модуль упругости и др.) в различные моменты времени колонна может находиться в контакте с крюком (состояние подвешенности), с забоем (состояние опертости), в другие же моменты один или оба контакта могут отсутствовать. Момент наступления (или прекращения) контакта и его интенсивность определяются самим процессом. Таким образом, необходимо решить совместную задачу движения колонны как целого под действием указанных сил и задачу распространения неоднородной деформации колонны как сплошной среды. В такой постановке подобная задача еще не решалась.

Как показано в статье, задача имеет известные априори начальные и конечные состояния, соединенные ПП. Длительность ПП ювиситот характера диссипации, на который оказывают влияние вязкое трение между колонной и буровым раствором, а также внутреннее трение, обусловленное пластичностью материала колонны.

В работе не ставилась цель детального изучения ПП, поэтому в качестве закона диссипации рассматривается лишь модельный закон вязкого трения в ньютоновской жидкости, диссипация же внутри колонны не учитывается ввиду ее незначительности. При этом авторы руко-водствовалисьследуюшимисоображениями:

1. Как показывают натурные наблюдения, внутренним трением стали можно пренебречь по сравнению с трением колонны в буровом растворе. Полученные при таком приближении результаты аналогичны выводам других авторов, приведенным в[1].

2. В настоящее время отсутствует общепринятая и экспериментально обоснованная исчерпывающая модель внутреннего трения. При ее наличии учет всех факторов диссипации не вызовет затруднений, так как задача уже носит нелинейный характер.

Алгоритм решения задачи, общепринятый для научных исследований, — получение общего решения в безразмерном виде и его исследование для практических приложений.

Постановка задачи. Буровая колона массы т опускается на тали со скоростью ук В процессе спуска колонна обладает статической деформаци -ей и силой реакции крюка =т£. Здесь£ — ускорение свободного падения с учетом выталкива-

ющей силы буровой жидкости g = g0

1_Р*

Р .

, где

Крюк

#0= 9,8 м/с , рж — плотность буровой жидкости, с — плотность материала колонны, т — масса колонны. В момент касания на колонну действуют сила реакции на долото (7, сила реакции крюка (7К, которые изменяются с течением времени, и сила тяжести mg (рис. 1).

V

Равнодействующая этих сил вызывает ускорение центра масс колонны ас:

тас = С + (7К - . В определенные моменты времени верхний и нижний концы находятся в контакте с подвесом и опорой (состояние нагруженности соответствующих точек). В другие же моменты времени эти концы находятся в свободном состоянии (при упругом отражении от забоя нижнего конца и прослаб-ленности подвеса на верхнем конце). При касании забоя долотом в нижней части колонны возникает импульс деформации, который

^ 777 I ^

Забой

Рис. 1. Распределение сил в бурильной колонне при посадке на забой

распространяется вверх по колонне. Относительная деформация (¡и/ёх — это изменение длины элемента колонны по отношению к его первоначальному размеру, т. е. (1и — это приращение длины элемента, а ¿х- первоначальный размер элемента.

В качестве начальных условий принято, что колонна находится в свободном подвешенном состоянии и все элементы колонны находятся под действием только естественных сил упругости.

Локальная деформация и механическое напряжение в каждом сечении колонны определяется динамикой процесса и условиями на обоих концах колонны, а также смещением центра масс. Как будет показано ниже, эти величины могут быть найдены путем решения сложной нелинейной системы, состоящей из задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения (ОДУ) второго порядка, описывающего смещение центра масс и краевой задачи для гиперболического уравнения в частных производных и характеризующего процесс распространения деформации по колонне. Цель настоящего исследования — построение математической модели процесса, составление алгоритма и нахождение соответствующих величин, характеризующих переходный процесс осевого нагружения бурильной колонны на забой.

Прежде чем приступить к рассмотрению указанного процесса в динамике, полезно иметь начальное и конечное состояния, которые соответствуют колонне, свободно висящей на крюке, и колонне, полностью стоящей на забое. Эти состояния получены как решение стационарного варианта (2.1) общего уравнения (1.3) и описываются формулами (2.3), (2.7). Переходный процесс от одного состояния к другому физически соответствует диссипации кинетической энергии колонны за счет внутреннего трения.

Построение математической модели. Будем считать колонну однородным полым стержнем с постоянной площадью сечения 51, поскольку она является колонной с закрытым (долотом) нижним концом. Смещение центра масс 5С описывается уравнением

d\

та. = = С. + G-mg

dt2

(1)

dt

= — v„

/=0

Свяжем с центром масс стержня лагранжеву координату х(х = 0 на нижнем, х = / на верхнем концах). Смешение сечения х стержня от положения равновесия обозначим как и = и(0. В каждом сечении стержня ¿'действуетсила упругости

согласно закону Гука: Е = БЕ — , где £ — модуль

дх

Юнга. Рассмотрим элементарный участок стержня 8х массой 8m = pS8x . На этот участок действуют: сила тяжести -8mg , результирующая

сила

упругости 8F = sí SE—) = SEи

l дх) д x

дис-

сипативная сила сопротивления среды. В приближении медленных скоростей деформации эта сила пропорциональна первой степени скорос-

З(м + 5С)

ти: 6/^ = -р—--Ьх, где р — коэффициент

5/

пропорциональности между скоростью и + зс смещения точки х и вязкой силой упругости Гв в точке х (вязкой силы), т. е. эффективная вязкость бурового раствора в точке х. Масштаб вязкой силы для жидкости можно оценить, используя закон вязкости Ньютона и условие прилипания настенки колонны:

5 Е=-

Цб^бо.

dt

\i2nRd(u + sc)

dt

8х,

где ц — коэффициент вязкости раствора; d — толщина зазора между колонной и стенкой скважины; 856ок — боковая площадь элемента; R — радиуструбы, 85^ = 2nR8x . Согласно второму закону Ньютона 8та = 8F + 8FB -8mg .

d2 и

Учитывая, что ускорение элемента а-а. +—-,

dt2

получаем:

д2и

, д2и ,

с начальными условиями

8 т= ES8х - R с-18x-8m(g +а,.), dt2 дх2 dt V5 L>

Поделив на дт, приходим к окончательному виду:

д2и 2д2и d(u + se)

s?-"^--1(3>

где с = --скорость распространения волны

Р

по стержню; а = —--эффективная вязкость

5р

элементарного сечения 5 колонны труб с плотностью материала труб р.

Начальные условия для уравнения (1) определяются статической деформацией

ы(0,х) = «о(х); |^(0,х) = 0, (4)

о!

граничные условия зависят от стадий процесса:

u(t,0) = uu(0)-sc при наличии контакта вточксО, (а) ди

—(/,0) = 0 в отсутствие контакта в точке 0, (Ь)

дх

и(1,1) = -зс + VК1 при наличии контакта в точке /, (с)

—(/,/) = 0 в отсутствие контакта в точке I. (с))

дх

(5)

Силы реакции со стороны дна скважины и подвеса согласно 111 закону Ньютона противоположны силам упругости на соответствующих концах стержня:

дх

= -SE^(tJ).

дх

(6)

Система (1) - (6) полностью описывает задачу. Следует отметить, что ас в правой части уравнения (3) определяется уравнением (I), в котором, всвоюочередь, присутствуют Си (7К, которые в силу (6) обусловлены решением (3), т. е. ассама определяется решением задачи. То же можно сказать и о смещении центра массив граничных условиях (5). Из этого следует, что задача описывается нелинейными (квазилинейными) уравнениями с нелинейными граничными условиями, что требует выбора адекватного алгоритма численного решения.

Расчет статических деформаций. Статическая деформация ы0(х), присутствующая в начальном условии (4), может быть получена как решение статического варианта уравнения (3)

d2u

_= g_ d_

dx2 "с2 c2Vk

с граничными условиями, соответствующими состоянию подвешенности стержня за верхний конец х = /:

-j^-(0) = 0; ы0(/) = 0. dx

Интегрируя уравнение (7), находим:

(8)

(9)

Конечное состояние "/(х) .соответствующее равновесию посаженной на забой колонны, описывается тем же уравнением (7). Граничное условие для верхнего концах =/соответствуетотсутствию силы:

du

dx

'Ld) = о.

(Ю)

Для получения второго условия представим, что колонна опускается в статическом режиме и колебания в ней не возникают. Конечное состояние этого процесса, соответствующее условию (10), совпадаете конечным состоянием динамического процесса, когда колебания полностью релаксируют за счет внутреннего трения. При этом относительное перемещение (изменение деформации) верхнего конца равно относительному перемещению нижнего конца со знаком "—":

мо-«/и=«/~Ч=о- (п)

Соответствующее решение имеет вид

2с

(12)

Переход к безразмерному виду. Для того чтобы должным образом учитывать совокупное вли-яние размерных параметров, содержащихся в приведенных уравнениях и краевых условиях, перейдем к безразмерным величинам, обозначая их значком Для этого выберем следующие масштабы соотнесения:

I 8'

хт=1' '«=-; *т=ат'т= — ''

С С

gl2 С

Выразим размерные параметры как произведения соответствующих масштабов на безразмерные величины:

х = хтх; г = хт1; ас = атас; у = Ут у;

(? = £„(?; и=итй.

Подставляя эти выражения в приведенные уравнения и сокращая на масштабные множители, приходим к безразмерной формулировке задачи.

Уравнение, описывающее движение центра масс колонны, и его начальные условия

с!25с дйей,-.. ,

= (/,0)-—(М)-1, (13) сИ1 дх дх

(14)

1=0

гиперболическое уравнение, описывающее деформацию колонны,

д2й д2й . дй _ ч . а/ ....

—г=—Т-а—-(] +ас), где а = —; (15) дг2 дх2 д1 " с

его начальные условия

¿(0,х)Л(х2-1), |^(0,х) = 0 (16) 2 от

и фаничные условия в зависимости от стадий

процесса (а) и (с) соответствуют закрепленным,

(Ь) и (¿0 — свободным концам:

«(/, 0) = -

I +— с 2

дх

¿(/,1) = -<5с +УКГ),

|1(М)=о.

ох

(a)

(b)

(c) (<1)

(17)

Конечное состояние в безразмерном виде, соответствующее выражению (12), имеет вид

~ч 1-2 -

и(Г/,х)=-х -х.

(18)

Дискретизация и переход к системе ОДУ. Поскольку в дальнейшем будем иметь дело только с безразмерными выражениями, значок для удобства чтения опускаем.

Как отмечалось, рассматриваемая задача описывается нелинейной системой обыкновенного уравнения (13) и гиперболического уравнения (15). Сегодня существует хорошо разработанный и гибкий аппарат численного решения систем ОДУ, втом числе и нелинейных. Воспользуемся методом линий и сведем уравнение в частных производных к ОДУ. Исходное уравнение в новых обозначениях примет вид

д2и д2и ди \

—г =—--(1 + ).

д(2 дх2 д( К с)

(19)

Умножая (19) на произвольную тестовую функцию у(х), интегрируя по хе[0,1] и понижая порядок производной первого члена правой части с помощью интегрирования по частям, получаем так называемую ослабленную (вариационную) формулировку этого уравнения:

^-гг \uvdx = - \——с1х - а — \uvdx -J ] дх дх ^ J

Л

-(1 + аг)|уаЬс-

Ёа.,

дх

А(,

х=0

(20)

Разобьем отрезок оси хе[0,1] на N точек

х/(1 = х, + И,,, 1 = 1,..., N -1, где А, — шаг дискретизации. Разложим функцию и(Г,х) по кусочно-линейному базису оси х:

N

ы(/,х) = ]>>,.(»Я,(х),

]=I

(21)

где £/,(/) — узловыезначения; [/¡(I) =

Таким образом, все многообразное влияние исходных параметров сводится к зависимости от двух безразмерных параметров: безразмерной ско-

УС

рости опускания колонны у.. =— и параметра.

. а/

характеризующего скорость затухания а = —.

х-х

У-1

V.

Х-Х:

1--1

(22)

0, х<ху, х>х

7+1

— базисные функции линейного сплайна. Подставляя разложение (21) в (20) и выбирая в качс-

стве тестовых функций В^х), приходим к следующему векторному ОДУ:

М

й1 и

= -Ки-И — + (23)

Л1 Л

которое по виду совпадаете уравнением колебаний /Усвязанных осцилляторов. Здесь

'1

3

Ь. 6

3 3

1 6

<У-1

— матрица масс;

(1х с1х

А

1 1 1 2.

А,_1 Л, Л,

матрица жесткости; Я = аМ — матрица сопротивлений;

Л,_,+Л,

''Л' 1

— вектор внешних сил.

В качестве начальных условий в соответствии с (16) выступают

-(X2 ... 2 Л

и(0) = ^(Х -1); ^-<0) = 0.

(24)

В соответствии с граничными условиями (17) для стадий (Ь) или (с1), когда выполняются так называемые естественные граничные условия, присутствуют соответственно первое или последнее уравнение системы (23). Для стадий (а) или (с), когда выполняются существенные граничные условия, эти уравнения должны быть заменены уравнениями

1Г,(0+5е(/)+1 =0, и„Ц)+яе{0+у^ = 0.

(а) (с)

(25)

К приведенным уравнениям согласно выражениям (13), (14) следует добавить:

Л.

Л

Г = ас,

зс( 0) = 0,4ч0) = -ук. ш

(26)

Уравнения (19) - (26) образуют замкнутую систему дифференциально-алгебраических уравнений второго порядка. Для того чтобы воспользоваться стандартными математическими пакетами, эту систему следует преобразовать в систему первого порядка. С этой целью введем вектор состояния

(27)

тогда приведенная выше система принимает вид . ¿У/

А

где А =

М

, Р =

-Ки-ИУ+С

(28)

(29)

с начальными условиями

W(0) =

0,5(x2-l)

О

о

(30)

Для стадий (Ь) или (с1), соответствующих свободному состоянию нижнего или верхнего концов, естественные граничные условия выполняются автоматически. На стадиях (а) или (с), описывающих состояние контакта, вместо дифференциальных уравнений для и, ИЛИ 1/ууДОЛЖ-ны выполняться алгебраические уравнения (25), описывающие существенные граничные условия. Для этого при наступлении указанных состояний соответствующие строки матрицы А должны обращаться в ноль, а вместо соответствующих элементов векторной функции Р должны стоять левые части выражений (25).

Таким образом, задача свелась к задаче Коши для дифференциальных уравнений первого порядка (28) с начальными условиями (30) и существенными граничными условиями (25).

На основании вышеизложенного можно сделать следующие выводы.

1. Для системы оптимального управления процессом бурения интервал времени между двумя управляющими воздействиями должен состоять из длительности переходных процессов, протекающих в скважине, и времени на считывание и обработку параметров оперативного управления для выработки их новых оптимальных значений.

2. Переходный процесс обусловлен перемещениями импульса сжатия, возникающего в нижнем элементарном сечении колонны труб при ее посадке на забой. В ходе П П он в виде прямой волны распространяется по колонне к устью, отражается от верхнего конца колонны, возвращается к нижнему концу в виде обратной волны, которая накладывается на прямую волну, достигает забоя, вновь отражается от него и т. д. Таким образом, П П является сложным колебательным затухающим процессом, который в каждом сечении бурильной колонны представляет собой сумму прямых и обратных волн деформации, образующихся из-за многократного их прохождения по колонне и отражения от ее концов.

3. Математическая модель ТП — сложная нелинейная система, которая состоит из задачи Коши для ОДУ второго порядка, описывающего смещение центра масс и краевой задачи для гиперболического уравнения в частных производных, характеризующего процесс распространения деформации по колонне. Для численного решения гиперболическое уравнение модели в частных производных сведено к системе ОДУ методом линий.

4. Математическая модель учитывает геометрические размеры бурильной колонны и скважины, плотность колонны и бурового раствора, скорость распространения импульса деформации в материале колонны, сопротивления упругих сил колонны и вязких сил бурового раствора в скважине.

5. Граничные условия модели связаны с наличием и отсутствием контактов концов колонны с забоем и подвесом при ее опускании на забой и "подпрыгиванием" за счет упругих сил деформации и реакции забоя.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Григулецкий В.Г. Оптимальное управление Справочник по физике для инженеров и студсн-при бурении скважин. М.: Недра, 1988. 229 с. тов вузов. 8-е изд. М.: ООО "Иэд-во Оникс"; ООО

2. Яворский Б.М., Детлаф A.A., Лебедев А.К. "Изд-во "Мир и Образование", 2008. 1056 с.

/