Влияние эффектов немарковости на характеристики вынужденного ядерного деления Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.173

А. Е. ГЕГЕЧКОРИ

Омский государственный университет им. Ф. М. Достоевского

ВЛИЯНИЕ ЭФФЕКТОВ НЕМАРКОВОСТИ НА ХАРАКТЕРИСТИКИ ВЫНУЖДЕННОГО ЯДЕРНОГО ДЕЛЕНИЯ

Вынужденное ядерное деление описано с помощью обобщенного уравнения Ланжевена, учитывающего немарковский характер процесса. Корреляционная функция случайной силы выбрана в виде экспоненты. Изучена зависимость времени спуска с седла к разрыву и скорости деления от времени корреляции случайной силы. Расчеты скорости деления проведены как с модельными, так и с реальными транспортными коэффициентами.

Введение

В теории атомного ядра одним из наиболее интересных вопросов является вопрос о множественности нейтронов и временах деления, так как различные характеристики предразрывной множественности нейтронов содержат ценную информацию о процессе деления. Так. средняя множественность предраз-рывпых нейтронов играет роль своеобразных часов, измеряющих время деления. Кроме тою, множествен-носги премели-гельных нейтронов совместно с другими наблюдаемыми могут быть использованы для определения такой важной характеристики, как вязкость ядернотовещества [ 11.

Кроме того, при моделировании процесса распада возбужденного ядра очень важно знать вероятность деления. Вероятность деления определяется но делительной ширине, которая, в свою очередь, пропорциональна скорости деления. Поэтому задача расчета скорости деления является одной из наиболее актуальных.

До недавнего времени все работы поданной тематике выполнялись с использованием марковского приближения. По каковы точность и область применения такого приближения? Ответ на этот вопрос могбы дать учет немарковосгн процесса деления. Однако эта проблема мало исследована и число работ но ней невелико [2,3|.

В связи с этим в работе изучалось влияние эффектов немарковости на процесс спуска ядра отседловой точки к точке разрыва и на скорость деления.

1. Модель

В качестве уравнений движения использовалась система обобщенных уравнений Ланжевена, которая для случая одной коллективной координаты имеет вид [41:

♦-*

Термодинамический потенциал свободной энергии имеет вид

^(д,Т)-У(д)-а(д)Тг,

где К(д) — потенциальная энергия ядра при температуре Т=0, а(я) — параметр плотности уровней.

Фрикционное ядро Г(/) связано с корреляционной функцией случайной силы <50(0 посредством флук-туационно-диссинативной теоремы [5]:

{SQ{.^)8Q(t')) = т7Г(/-/г), (2)

при этом

<£0(/)> = О, (3)

где т — инерционный параметр, Т — температура термостата, угловые скобки обозначают усреднение по статистическому ансамблю.

Уравнение (I) описывает движение частицы в так называемой вязко-упругой среде. Отметим, что в [6] приведен вывод (1) из микроскопических соображений. Однако приведенный фрикционный параметр, полученный в рамках такого подхода, может больше чем на порядок превышать феноменологические значения. В данной работе при расчете транспортных коэффициентов использован именно феноменологический подход.

Скажем здесь несколько слов о терминологии. Случайный процесс, удовлетворяющий соотношениям (2) и (3) с Г(0 непропорциональным ^функции Дирака, называется цветным шумом. Если же Г(/) пропорционально £(£), то процесс называется белым шумом. Вязкую силу, выраженную интегралом в правой части (1), часто называют задержанным трением. Наличие этого члена придает уравнениям немарковский характер, т. к. значение р в момент ( определяется всеми предшествующими моментами времени.

В работе фрикционное ядро выбрано в виде [4,6)

где I - время корреляции случайной силы, у — фрикционный параметр.

Легко показать, что при г —> 0 (4) переходит в <£-функцию. Таким образом, данный выбор Г(<) является естест венным обобщением случая дельта-коррелированной случайной силы. При этом, если время корреляции случайной силы много меньше характерного времени коллективной степени свободы д(1) (математически это можно выразить как г-> 0), можно перейти к следующим приближениям (3):

і. /лт(/-ґ)р(г>р(о{лт(/-0;

Значения <7, и определяются из требования непрерывности потенциала и его первой производной:

2. —— »1, в тогда (ЛТ((-/') г * т

</,=——

2Д,

+л>і)

Тогда обобщенное уравнение Лаижевена перехо-дит в обычное марковское:

Р.

от

£/•' /;: Яги г ..

*> = ~~д<і+2т*~дд~'т*>+

Случайная сила имеет следующие статистические свойства:

<г.(О> = 0,

(гМгт(1г))-2Тгб(1,-12).

При противоположных предположениях о величине г, а именно при г-» <», получим:

V I

|ЖТ(1-Ор(г> Г(0)|л>(0 -> 0. (5)

т. е. предел нулевого трения. С помощью замены

от системы |1) с фрикционным ядром (4) можно перейти к системе трех уравнений (6), с которой гораздо удобнее обращаться, особенно при численном моделировании:

от

дР р: дт

р-----------+ г — + 0,

<к] 2/м' дд

тт г г

(6)

где

(4(0) - 0.

Такая замена основана на том, что выбранная нами корреляционная функция описывает процесс Орнштейиа-Уленбека (б), и система дополняется уравнением, определяющим данный процесс.

В данной работе для расчета среднего времени спуска потенциал выбран в виде (7) (рис. 2):

Н<*) =

1 і ,

-та);,(</-<7,. )\ <?£</,. В,-^то)1дг, ?><?,

где И, - высота барьера.

Параметры, использованные при расчетах: В, = 8 МэВ; Ла>,= 1,64 МэВ; йа>*= 1,16 МэВ; т = 60а.е.м.;д|С = 5,37 фм. q>e - координата разрыва.

1 2 В ,(0)1 +<у;,)

от

В данном случае естественным представляется выбран. в качестве меры диссипативной силы безразмерное отношение

г) = у!2то)и.

При этом в расчетах среднего времени спуска транспортные коэффициенты т и ^полагались постоянными.

2. Результаты

В работе вычислялось среднее время спуска ядра с седла к разрыву , непосредственно связанное

со средней множественностью прёдделительных нейтронов.

Для решения системы (6) использовался метод Рунге-Кутгы (8). Шаг интегрирования уравнений по времени = 0,01‘Ю"21 с. Усреднение проводилось по ансамблю из 10'" стохастических траекторий.

Результаты расчета времени спуска представлены на рис. 1. Время корреляции, соотве тствующее каждой кривой, указано на рисунках в единицах 10 с. Из решения уравнения (6) видно, что при близком к нулю г (г = 0.0Ы0"21 с), время спуска для систем с белым и цветным шумом одинаково. При увеличении гвремя спуска уменьшается. Такой результат согла-

х = о.оо------------

т ■ 0.01 -

т = 0.10 ......

х = 0.50 --к— г» 1.00 —«

Рис. 1. Зависимость среднего времени спуска от параметра г/ для разных значений времени корреляции случайной силы г. Т= 1,73 МэВ, <7,=0фм, р4= 10-Ю*" МэВс/фм, Д,=0МэВ/фм

Ч- Фи

Рис. 2. Потенциал, использованный в расчетах среднего времени спуска

суется с (3]. При г = 0,5-10-21 с время спуска уменьшается примерно в 1,3 раза. Таким образом, задержанное трение стремится уменьшить влияние диссипативных процессов, что ведет к уменьшению эффективного трения. Об этом свидетельствует и выражение (5).

Может показаться, что данный результат находится в противоречии с |2j, где утверждается, что при г порядка Ю-2-' с время спуска увеличивается примерно в три раза. Однако стоит принять во внимание то, что подход предложенный в [2] существенно отличен от использованного в данной работе. В частности, фрикционный параметр, полученный в рамках микроскопической модели [21, оказывается зависящим от времени корреляции случайной силы г. При этом вязкость увеличивается с ростом г, что в свою очередь ведет к увеличению времени спуска [3].

С использованием того же формализма была вычислена и скорость деления. Стоит отметить, ч то в настоящее время существует два основных теоретических метода расчета скорости деления. Это метод Крамерса (the Kramers flux over population method) и метод среднего первого времени прохождения (the mean first passage time method — MFPT).

В классической работе Крамерса [10] для стационарного значения скорости деления было получено следующее выражение:

Л =Я*=^!Схр (~В,/Т), 2ла),_,

(7)

ПЛЄ т„ • о>с -^1 + р'' М -04.

Р=Укііп,.і — приведенный фрикционный параметр; значения транспортных коэффициентов берутся в основном состоянии (д.ч) и в седле («><*).

В работе расчеты скорости деления были проведены как для модельного, так и для реального случаев. В модельных расчетах транспортные коэффициенты полагались постоянными: /п = 50-1<Г°МэВ-с2,

у = 100 • IО'*’1 МэВ • с - Потенциал выбран в виде

F(</) =

2q\ q<, 2/3,

-q* + 4</-4/3, с/>2/3.

что примерно соответствует 2Д*СГ •

Зависимость скорости деления от времени представлена на рис. 3. При расчетах было выявлено увеличение стационарного значения скорости деления в случае наличия в системе задержанного трения. Эффект проявляется тем ярче, чем больше время корреляции г. При г = 10~2" с для немарковского случая

примерно в 1,2 раза больше марковского значения. Однако при т порядка 1021 с, отличие в стационарных значениях для марковского и немарковского случаев практически отсутствует (на рис. 3. графики зависимости скорости деления от времени для г = 0 и г = 10'Jlc расположены очень близко, так же как и соответствующие им стационарные значения). Этот результат находится в согласии с [11]. где получено аналитическое выражение для немарковской системы:

«,,=■^-“1Ч-Я,/П.

2яа>ы

в котором л, может быть найдено из уравнения

Аг+ ПЛ,)

(8)

(9)

Здесь Г(р) — преобразованиеЛанласа ядра памя ти Г(0-ВслучаеГ(0 = [у/п\)8Ц) (8) переходит в результат Крамерса (7). Если Г(0 имеет вид (4), то (9) переходит в

=о. (Ю)

г m г г

Уравнение (10) имеет единственный положительный корень.

При расчете скорости деления в случае реальных транспортных коэффициентов потенциальная энергия вычислялась в рамках модели жидкой капли, учитывающей конечный радиус действия ядерных сил и диффузность поверхности ядра [ 12,131, с параметрами Снрка (13). Параметр плотности уровней рассчитан с коэффициентами Игнапока [14]. Массовый тензор рассчитан в приближении Вернера-Уилера [15], а фрикционный тензор — в предположении однотельного механизма вязкости с коэффициентом редукции формулы стены к, =0,25 116). Стационарное значение скорости деления в марковском случае рассчитано по формуле Крамерса с использованием энтропии вместо потенциальной энергии [ 171. В немарковском случае использована аналогичная модификация формулы (8).

На рис. 4 и 5 представлена зависимость скорости деления от времени для ядер }|,А1 при энергии возбуждения Е* = 150 МэВ и 2№СТ при энергии возбуждения Е‘ = 30 МэВ соответствешю. При расчетах вновь было выявлено увеличение стационарного значения скорости деления в случае наличия в системе задержанного трения. С увеличением времени корреляции случайной силы возрастает и стационарный уровень. При

Рис. 4. Зависимость скорости делении от времени для ядра 311Д1 при энергии возбуждения £’ =200МоВ и однотельном механизме вязкости с к, = 0.25

0.003 0.0025 0.002 0.0015 0.001 0.0005 0

0 100 200 300 400

t, 1021 с

Рнс. 3. Зависимость скорости деления от времени

ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ МСІНИК W2 <И> 2007

ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ МОНИК *2 (56) 2007

Выявлено увеличение стационарного значения скорости деления с ростом г, что согласуется с результатом, полученным для </*,_*>. Этот факт также свидетельствует об уменьшении влияния диссипативных процессов.

Благодарности. Автор выражает глубокую признательность Павлу Николаевичу Надточему за стимулирующие обсуждения и внимание к работе.

Библиографический список

1. Адеев Г. Д. и др. // ЭЧАЯ. 2005. T.36. С.732.

2. Kolomielz V, М., Radlonov S. V., Shlomo S. // Phys. Rev. С. 2001. V.64. P.054302.

3. BoiUey D.. Lallouet Y. //J. Stat. Phys. 2006. V.125. P.477.

•». Boilley D.. Suraud E.. Abe Y. and Ayik S. // Nucl. Phys. A. 1993. V.556. P.67.

5. Kubo R // Rep. Prog. Phys. 1966. V.29. P.255.

6. Abe Y. el al. // Phys. Rep. 1996. V.275. P.49.

7. Nix J.R. etal // Nucl. Phys. A. 1984. V.424. P.239.

8. Wilkie J. // Phys. Rev. E. 2004. V.70. P.017701.

9. Drozdov A. N. //J.Chem. Phys. 1999. V.l 11. P.6481.

10. Kramers H. A. // Physica. 1940. V.7. P.284

11 GroteR.F., IiynesJ.T.//J.Chem. Phys. 1980. V.73. P.2715.

12. Krappe H. J.. Nix J. R, Sierk A. J. // Phys. Rev. C. 1979. V.20. P.992.

13. Sierk A. J. // Phys. Rev. C. 1986. V.33. P.2039.

14. Игнатюк, А. В. и др. // ЯФ. 1975. T.21. С. 1185.

15. Davies K. T. R.. Sierk A J., Nix J. R. // Phys. Rev. C. 1976. V.13. P.2385.

16. Blocki J. et al. // Ann. Phys. (N. Y.). 1978. V. 113. P.330.

17. Frobnch P., Gonlchar 1.1. // Nucl. Phys. A. I993.V.563. P.326.

ГЕГЕЧКОРИ Александр Евгеньевич, магистрант второго года обучения кафедры теоретической физики физического факультета.

Статья поступила и редакцию 15.07.07 г.

® А. Е. Гегечкори

Книжная полка

Казаков, О. Л.

Экономико-математическое моделирование: учебно-метод. пособие/ О. Л. Казаков, С. Н. Миненко, Г. Б. Смирнов. - М.: МГИУ, 2006. - 136 е. - ISBN 5-276-00927-9.

Изложены основные положения курса «Экономико-математическое моделирование (в производственном менеджменте, систем управления)», приведены краткие сведения изтеории различных методов моделирования. Пособие включает вопросы, примеры решения задач, позволяющие студентам выполнить задания самостоятельно.

Миненко, С. Н.

^ Экономико-математическое моделирование производственных систем: учеб. пособие для вузов /

5 С. Н. Миненко. - М.: МГИУ, 2006. - 140 с. - 15ВЫ 5-276-00818-3.

5 Изложены основные положения курса «Экономико-математическое моделирование (в производственном

| менеджменте, систем управления)». Приведены краткие сведения изтеории различных методов моделиро-

2 вания: матричного моделирования, сетевого планирования и управления, регрессионного анализа, теории

| массового обслуживания, теории игр и статистических решений. Пособие включает вопросы, примеры ре-

? шения задач, позволяющие студентам выполнить задания самостоятельно,

х Пособие предназначено для студентов экономических специальностей.

I Рекомендовано УМО по образованию в области прикладной информатики.

t. 10'SI с

Рис. 5. Зависимость скорости деления от иремени для ядра :4*СГ при энергии возбуждения £' =30М’)В и однотельном механизме вязкости с А, = 0.25

этом отличие стационарных значений при г = 0 и г = 10°' с составляет примерно 35 — 40 %. Как видно из рисунков, теоретическое предсказание для стационарного значения скорости деления хорошо согласуется с результатами моделирования — с точностью до пяти процен тов.

3. Заключение и выводы

В работе с использованием обобщенного уравнения Ланжевена изучено влияние эффектов немарко-вости на скорость диффузии через барьер деления и время спуска ядра отседловой точки к точке разрыва.

Выявлено уменьшение времени спуска с ростом времени корреляции случайной силы г. Такой результат обусловлен уменьшением влияния диссипативных процессов. При слабо отличных от нуля значениях времени корреляции случайной силы времена спуска ААЯ марковского и немарковского случаев практически совпадают. При г= 0,5* 10~2,с время спуска для немарковского случая примерно в 1.3 раза меньше, чем для марковского.