CC BY
50
ФИЗИКА
Вестн. Ом. ун-та. 2015. № 3. С. 29-35.
УДК 533
А.В. Чередов, П.Н. Надточий, Г.Д. Адеев
ДИНАМИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ОСНОВНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК ДЕЛЕНИЯ ВЫСОКОВОЗБУЖДЕННЫХ ЯДЕР В ЧЕТЫРЕХМЕРНОЙ ЛАНЖЕВЕНОВСКОЙ МОДЕЛИ*
Четырехмерная динамическая модель, основанная на ланжевеновских уравнениях, применена для вычисления широкого набора экспериментально наблюдаемых характеристик деления компаунд-ядер. Данная модель получена добавлением к трехмерной ланжевеновской модели ориентационной степени свободы ядра (K-координаты), эволюция которой описывается уравнением Ланжевена в режиме сверхзатухания с использованием фрикционного параметра К-координаты ук. Однотельный механизм ядерной вязкости с коэффициентом редукции формулы стены ks был использован для описания диссипации энергии коллективного движения. Исследовано влияние различных деформационных зависимостей фрикционного параметра ук при разных значениях коэффициента редукции ks для большой совокупности экспериментально наблюдаемых величин.
Ключевые слова: многомерные ланжевеновские модели, процессы слияния-деления, ориентационная степень свободы, вязкость по координатам формы, фрикционный параметр, массово-энергетическое распределение, сечение остатков испарения, спиновое распределение остатков испарения, анизотропия углового распределения.
Ведение
Несмотря на то что процесс деления ядер открыт уже более семи десятилетий назад [1], физика процесса деления до сих пор остается предметом интенсивных экспериментальных и теоретических исследований. В настоящей работе изучаются реакции слияния-деления, индуцированные
16^ г 199,200 -Л1
ионами U , с образованием составных ядер Pb .
Отличительной особенностью деления, индуцированного тяжелыми ионами, является образование составных ядер с высокими энергиями возбуждения и большими значениями углового момента. Данная особенность указывает как на незначительность оболочечных эффектов и эффектов парных корреляций, так и на необходимость явного учета ориентации ядра (проекции полного углового момента на ось симметрии ядра) при моделировании процесса. В настоящее время рассмотрение ориентационной степени свободы ядра (K-координаты) в качестве отдельной коллективной координаты не включено в большинство теоретических моделей, что приводит к невозможности динамического рассмотрения процесса формирования углового распределения. Также могут быть неверно оценены характеристики массово-энергетического распределения (МЭР) осколков деления, средние множественности предразрывных частиц и средние времена деления. В своей работе [2] Лестоун указал на необходимость учета ориентационной степени свободы ядра при статистическом моделировании деления. Позднее он же [3] предложил рассматривать динамическую эволюцию K-координаты уравнением Ланжевена в режиме сверхзатухания. В работах Лестоуна расчеты были выполнены в одномерной модели с учетом K-координаты. Уравнение Ланжевена, записанное в режиме сверхзатухания, использовалось для оценки влияния K-координаты на делительную ширину.
Отметим, что альтернативный способ рассмотрения эволюции К-коор-динаты методом Монте-Карло предложил и реализовал Еременко с соавто-
*Работа выполнена при частичной поддержке РФФИ (проект № 13-02-00168).
© А.В. Чередов, П.Н. Надточий, Г.Д. Адеев, 2015
30
А.В. Чередов, П.Н. Надточий, Г.Д. Адеев
рами [4; 5]. Величиной, характеризующей эволюцию К-координаты в данном подходе, является время релаксации K-координаты тк. В качестве коллективной координаты формы авторы выбрали расстояние между центрами масс нарождающихся осколков. Деление является сложным многомерным процессом, для описания которого необходимо использовать по меньшей мере три коллективные координаты, описывающие форму ядра [6]. Поэтому в работах [7; 8] моделирование эволюции К-координаты было объединено с динамическим описанием трех коллективных координат формы ядра. В рамках этого подхода удалось хорошо описать экспериментальные данные по анизотропии угловых распределений, параметрам МЭР осколков деленияи средней множественности предразрывных нейтронов для ряда реакций слияния-деления.
Роль эффектов диссипации в делении была выявлена более 30 лет назад [9]. Однако выяснение механизма ядерной вязкости и получение надежной оценки её значения до сих пор являются открытыми вопросами. В связи с этим в рамках четырехмерной лан-жевеновской модели нами были исследованы реакции 16O + 183,184 W ^ 199,200Pb, для которых имеются экспериментальные данные по МЭР осколков деления [10], средней множественности предразрывных нейтронов [10], вероятности деления и анизотропии углового распределения осколков деления [11]. Целью работы является исследование влияния различных деформационных зависимостей фрикционного параметра ук(ч) и различных значениях коэффициента редукции ks вклада от формулы «стены» на рассчитываемые характеристики и их сравнение с наблюдаемыми величинами.
Модель
В настоящей работе была использована четырехмерная (4D) динамическая ланжеве-новская модель, подробно описанная в работах нашей группы [12; 13]. Данная модель получена добавлением к трехмерной ланже-веновской модели [14-17] ориентационной степени свободы ядра (K-координаты), эволюция которой описывается уравнением Ланжевена в режиме сверхзатухания с использованием фрикционного параметра К-координаты ук. Эволюция формы делящегося ядра от основного состояния до конфигурации разделенных осколков описывается с использованием известной в теории деления {е,Ь,а}-параметризации [18]. При моделировании динамики деления вместо параметров формы {c,h,a} используются коллективные координаты q = (q1,q2,q3). Связь коллективных координат q = (q1 ,q2 ,q3) с параметрами формы {c,h,a} и преимущество использова-
ния коллективных координат q вместо пара-
метров формы {c,h,a} подробно обсуждаются в [14; 15]. Выбор начальных условий по коллективным координатам и сопряженным им импульсам соответствует компаунд-ядру, находящемуся в основном состоянии, которое определяется минимумом потенциальной энергии для каждой пары спина I и его проекции K. Распределение по импульсам полагается статистически равновесным. Выбор начальных условий по I и K подробно описан в [15-17; 19]. Завершающие условия эволюции делящегося ядра полагались такими же, как в [15-17; 19], и соответствовали либо событиям деления, либо событиям образования остатка испарения. Потенциальная энергия ядра рассчитывалась в модели жидкой капли, учитывающей конечный радиус действия ядерных сил и диффузность поверхности ядра [20; 21] с параметрами Сирка [21]. В рамках модели ферми-газа плотность уровней ядра с энергией возбуждения Eint, спином I и его проекцией на ось симметрии K имеет вид:
pph(Eint ’ q) =
л/д(д)
12
2 J
ex
Р12л/ a(q) Eint ]
(1)
1 J
где Eint - энергия возбуждения внутренних степеней свободы составного ядра, a(q) - параметр плотности уровней, явный вид кото-
int
рого взят из [22], J1 - твердотельный момент
инерции ядра относительно оси, перпендикулярной оси симметрии ядра.
Важной частью динамических моделей являются транспортные коэффициенты -массовый (инерционный) и фрикционный тензоры. Определение транспортных коэффициентов является крайне важным при проведении динамического исследования, поскольку они в значительной степени определяют характер системы и непосредственно влияют как на параметры МЭР осколков деления, так и на времена деления и множественности пред- и постразрывных частиц. Фрикционный тензор был вычислен в рамках модифицированного варианта однотель-ного механизма ядерной вязкости [9], использующего коэффициент редукции ks формулы стены [23]. Массовый тензор mtJ рассчитан в рамках приближения Вернера Уилера [24; 25].
Святецким с соавторами [9] были получены простые формулы для однотельного механизма вязкости (формулы «стены» и «стены + окно»). Квантовое рассмотрение однотель-ной диссипации показало [26], что оценки ядерной вязкости по этим формулам приводят к чрезмерно большим ее значениям и ядра при этом механизме оказываются сильновязкими (хотя формула «стены» правильно описывает зависимость однотельной диссипации от формы делящегося ядра). Поэтому
Динамическое описание основных характеристик деления высоковозбужденных ядер...
31
вклад в диссипацию от соударения нуклонов с поверхностью ядра уменьшают с помощью коэффициента редукции ks вклада от формулы «стены». Значение ks варьируют от 0,1 до 1, подбирая его таким образом, чтобы получить наилучшее согласие с экспериментальными данными для конкретно измеряемой характеристики.В работе[14] показано, что широкий набор экспериментальных данных удается описать, используя значения ks в интервале 0,2 < ks < 0,5.
В работах [27; 28] введен коэффициент редукции вклада формулы «стены», зависящий от координаты удлинения ks = ks(q) и рассчитываемый на основе общих принципов теории хаоса. Аргументом для выбора такой зависимости является то, что коэффициент редукции вклада формулы «стены» тесно связан с мерой хаотичности одночастичного движения нуклонов внутри ядра при его эволюции от основного состояния до разделенных форм. В связи с этим представляется актуальным использование меры хаотичности в качестве коэффициента редукции вклада формулы «стены» в развиваемой модели. Явный вид зависимости ks(q) был взят из работы [29].
На рис. 1 представлена зависимость редуцированного коэффициента трения
Pq2q2 = Yq2q2 /mq2q2 °т параметра удлинения ядра q1 для различных значений коэффициента редукции вклада формулы «стены» ks. Из рисунка видно, что в среднем координатно-зависимый коэффициент редукции соответствует условию 0,25 < ks(q1) < 0,5.
как функция от коллективной координаты удлинения для однотельного механизма ядерной вязкости с различными значениями коэффициента редукции вклада от формулы «стены»
В конечно-разностной форме уравнение Ланжевена для К-координаты в режиме сверхзатухания имеет вид [3]:
K(n+1) = K(n) -^—f1 t + YkIsIr£n\ (2) 2 ^ dK )
где § - нормально распределенное случайное число с единичной дисперсией, ук - параметр, характеризующий взаимодействие ориентационной степени свободы ядра с тер-
мостатом (фрикционный параметр K-координаты). Верхний индекс в уравнении (2) означает, что соответствующая величина
вычисляется в момент времени tn = пт, где
т - шаг интегрирования уравнений Ланже-вена по времени.
Вопрос о том, как учесть фрикционный параметр K-координаты, является наиболее неопределенным. Основываясь на работах Доссинга [30; 31] и Лестоуна [3; 32], можно сделать вывод о том, что деформационная зависимость ук для форм ядра с шейкой может быть выражена как:
r7k (?)
1 J||(q) \jeff (q)| JR (3)
i 3 j (3)
Rn (q )Rcm (q)42n\ Ji(q)
где Rn - радиус шейки, Rcm - расстояние между центрами масс нарождающихся осколков, n0 - объемный поток в стандартной ядерной материи (0,0263 МэВ зс фм“4), JR = M0R?m /4. Функционалы J и JL представляют собой твердотельные моменты инерции ядра относительно оси симметрии и оси, перпендикулярной ей, соответственно;
Следуя [3], мы выбираем зависящую от деформации ук, определяемую выражением
(3) для вытянутых ядерных форм с шейкой. В то же время, для того чтобы выполнить численное интегрирование уравнения Лан-жевена для К-координаты, необходимо определить значение ук для всех возможных деформаций ядер. Поэтому для компактных форм без шейки мы выбираем два различных описания деформационной зависимости YK(q). Одной из возможностей является экстраполирование выражения (3) для компактных форм ядра в предположении вместо шейки использовать положение максимума профиля ядерной поверхности. В этом случае
RN в (3) становится Rmax = \/Р(Zmax) j где Zmax -
положение максимума функции профиля ■\jp^(z ). Таким образом, уравнение (3) будет выглядеть следующим образом:
Y°^e (q) =-------1--г— х
Rmax (q)Rcm ^Н2П П0
J||(q) Jeff (q) J1
J±(q)
(4)
Rcm в уравнении (4) соответствует расстоянию между центрами масс двух частей ядерной материи, полученной путем расщепления одноядерной формы плоскостью z = zmax . Выражение для zmax в случае {c, h, а}- параметризации может быть найдено в [15]. Эта экстраполяция (3) гарантирует, что ук является гладкой функцией коллективных координат.
32
А.В. Чередов, П.Н. Надточий, Г.Д. Адеев
Второй возможностью является использование константы уК™' для форм ядра без шейки. Эти два режима могут сильно отличаться в области деформаций компаунд-ядра без шейки и сходятся к одной и той же зависимости (3) после появления шейки. В качестве третьего варианта для параметра
уК мы используем постоянный Yк™' коэффициент для всех деформаций.
Итак, мы используем три различных опции для моделирования деформационной зависимости коэффициента YK (q) . Первая:
yK = cons'. Вторая опция определяется сле-
дующим уравнением:
Y<K>(q)
YO™1 — для форм без шейки, Y^°k (q) — для форм с шейкой,
(5)
где YcK°nst - величина, не зависящая от деформации ядра. После появления шейки в профиле ядра значение y£onst плавно сшивается с у£еск.
Третья опция задается уравнением (VW , \YKhape (q) — для форм без шейки,
Y^K>(q) = V Knek, [ V ~ ~ (6)
[ YK (q) — для форм с шейкой.
Все рассмотренные ук(Ч) зависимости представлены на рис. 2.
Рис. 2. Различные деформационные зависимости
параметра YK от удлинения ядра q1
Сплошной прямой воспроизведено постоянное значение параметра YK = 0,077 (МэВ X
х10—21 Xс) 1/2 (первая опция), это значение
было получено из статистического анализа [33] анизотропии углового распределения осколков деления. Данное значение YK позволяет также воспроизвести параметры МЭР осколков деления и анизотропию углового распределения осколков деления для некоторых тяжелых делящихся ядер [12; 13].
Штрихпунктирные кривые (вторая опция) на рис. 2 воспроизводят случай, где Yk = const для форм без шейки и плавный пе-
реход к Укеск. Шейка в ядерной форме появляется вблизи q1 = 1,55. Сплошная кривая (третья опция) на рис. 2 воспроизводит деформационную зависимость YK , заданную
(6). Таким образом, эти три опции позволяют моделировать различные зависимости YK для всевозможных форм ядра, реализующихся при его эволюции от основного состояния до разделения на осколки деления.
Результаты и их обсуждение В ходе выполнения исследования в рамках описанной модели были изучены МЭР осколков деления и средняя множественность предразрывных нейтронов (npre) для
реакции 16O + W 184 ^ 199Pb при энергии налетающего иона Eab = 128 МэВ.
В таблице представлено сравнение рассмотренных характеристик МЭР осколков деления: дисперсии массового распределе-
2 ~
ния ом, средней кинетической энергии осколков (EK) и дисперсии кинетической
2
энергии оЕ , а также средней множественности предразрывных нейтронов (npre) с имеющимися экспериментальными данными [10]. Как видно из представленных данных, для
(npre) согласие с экспериментом достигается при ks = 1 и опциях yK : yK"1, yK°nst = 0,4; 0,6 и yK . Рассчитанные значения ^npre^ оказались
практически не зависящими от опции уK , но в то же время они зависят от выбора ks. Изменение параметра ks и опции уK в существенной степени не повлияло на значения величины (EK) . Рассчитанные значения (EK)
находятся в хорошем согласии с экспериментом. В свою очередь, величины оE , °M существенно зависят от выбора ks, при этом практически не зависят от выбора опции уK.
Наилучшее согласие с экспериментом для оМ достигается при ks = 1 и опциях
Уk : Y(k , yKT* = 0,4 и yK , для оE при ks = 0,25 и опции Yk .
Для сравнения анизотропии углового распределения осколков деления и сечений слияния/деления/образования остатков испарения с экспериментальными данными
[11] была использована реакция O + W ^ Pb при энергии налетающего иона Elab = 107,9 МэВ , поскольку для неё имеются соответствующие экспериментальные данные [11; 34].
Динамическое описание основных характеристик деления высоковозбужденных ядер...
33
Рассчитанные характеристики массово-энергетического распределения в сравнении с имеющимися экспериментальными данными для реакции 16O + W 183 ^ 199Pb при Elab = 128 МэВ
ks Ук, (МэВзс)-1/2 о M, (а.е.м.)2 ^,(МэВ)2 (np«) (EK), МэВ
0,25 УК = 0,077 325 ± 6 114 ± 2 2,6 147 ± 1
У(к2),УГ‘ = 0,4 320 ± 3 116 ± 1 2,6 147 ± 1
у(к2),уГ = 0,6 320 ± 3 116 ± 1 2,6 147 ± 1
Ук 325 ± 6 119 ± 2 2,6 148 ± 1
ks(q) УК = 0,077 300 ± 7 114 ± 3 2,8 148 ± 1
У(к2),УГ‘ = 0,4 303 ± 3 115 ± 1 2,7 147 ± 1
Ук 298 ± 7 114 ± 3 2,8 147 ± 1
0,5 УК = 0,077 297 ± 5 118 ± 2 2,9 147 ± 1
У(к2),УГ‘ = 0,4 301 ± 4 115 ± 2 2,8 147 ± 1
1 yL yK =0,4 240 ± 3 103 ± 1 3,2 147 ± 1
yL yK =0,6 241 ± 4 104 ± 2 3,2 147 ± 1
yK 236 ± 5 101 ± 2 3,3 147 ± 1
Эксперимент [10] 220 ± 9 133 ± 9 3,4 140 ± 3
На рис. 3 представлено сравнение рассчитанных значений анизотропии углового распределения осколков деления с имеющимися экспериментальными данными [11]. Как видно из рисунка, наилучшее согласие с экспериментом достигается при ks = 1 и у®, уГ = 0,4; 0,6 . Анизотропия углового распределения, в отличие от параметров МЭР осколков деления и средней множественности предразрывных нейтронов, оказывается
зависящей от выбранной опции ук и при этом менее зависит от выбора ks.
7.0 н
6.5
6.0
5.5
5.0
<
4.5
4.0
3.5
3’0 ” ig) -£>=0,077 y^.rlKOnSt,=0.4 /к2,'у(КОП31-°.6
Рис. 3. Анизотропия углового распределения осколков деления в реакции 16O + W 184^ 200Pb при Elab= 107,9 МэВ; рассчитанные значения:
▲ - при ks = 1, ▼ - при ks = 0,5, • - при ks(q),
■ - при ks = 0,25.
Затемненная область - экспериментальные данные с погрешностью [11]
На рис. 4 представлены рассчитанные значения сечений слияния Ofus, деления Ofis, сечение образования остатков испарения
Oer. Прослеживается зависимость указанных сечений от используемой опции ks. Наилучшее согласие с экспериментом, как и для характеристик МЭР осколков деления, также
достигается при ks = 1 и опциях у®,
уГ‘ = 0,4; 0,6 и уК .
Рис. 4. Сечения для реакции 16 O + W 184^ 200 Pb при Elab = 107,9 МэВ; □, Д, о - экспериментальные
данные сечений слияния/деления/остатков испарения соответственно c погрешностями [34];
■, ▲ , • - расчет в настоящей модели сечений слияния/деления/образования остатков испарения соответственно
Для более детального сравнения с экспериментальными данными на рис. 5 мы приводим рассчитанное и экспериментально измеренное спиновое распределение остатков испарения.
Как видно из рис. 5, изменение ks и у к качественно не повлияло на рассчитываемое спиновое распределение. Рассчитанные зна-
34
А.В. Чередов, П.Н. Надточий, Г.Д. Адеев
чения P(I) находятся в согласии с экспериментом, однако на участке I от 32 h до 40 h наблюдается отклонение от экспериментально измеренных значений P(I) в среднем на 30 %.
Рис. 5. Спиновое распределение остатков испарения для реакции 16O + W 184^ 200Pb при энергии
налетающего иона Elab = 107,9 МэВ ■ - экспериментальные данные [34]; •, ▲ , ♦, ▼ - расчет в настоящей модели с ks = 1 и yK ,yK°nst = 0,4 ,
ks=0,5 и уК,тГ=0,4, ks= 0,25 и уК,уГ‘=0,2 , ks (q) и yK, уГ = 0,2 соответственно
Заключение
Расчет характеристик МЭР осколков деления, средней множественности предразрывных нейтронов, сечений слияния/деления/остатков испарения, спинового распределения остатков испарения, а также анизотропии углового распределения осколков деления для двух реакций слияния-деления проведен в рамках четырехмерной ланжеве-новской динамики. Эволюция ориентационной степени свободы K-координаты рассмотрена на основе уравнения Ланжевена (2), предложенного в [3]. Испарение частиц учитывалось на протяжении всего процесса деления.
Полученные результаты демонстрируют, что влияние параметров ks и ук на полученные величины может быть разделено. Изменение ks преимущественно влияет на значение <npre> и характеристики МЭР осколков деления, в то же время анизотропия в большей степени зависит от выбранной опции ук. Наилучшее согласие описание основной совокупности экспериментальных данных достигается при ks = 1 и у®, уК°ш4 = 0,4; 0,6 , однако дисперсию кинетической энергии осколков оE удалось описать при ks = 0,25 и
3
опции ук.
ЛИТЕРАТУРА
[1] Hahn O., Strassmannh F. Uber den Nachweis und das Verhalten der bei der Bestrahlung des Urans mittels Neutronen entstehenden Erdalkalimetalle // Die Naturwissenschaften. 1939. Vol. 27. P. 11-15.
[2] Lestone J. P. Calculating fission rates at high spin: Incorporation of rotational degrees of freedom in thermodynamically fluctuating axially symmetric systems // Phys. Rev. C. 1999. Vol. 59. P. 15401544.
[3] Lestone J. P., McCalla S. G. Statistical model of heavy-ion fusion-fission reactions // Phys. Rev. C.
2009. Vol. 79. P. 044611.
[4] Eremenko D. O., Drozdov V. A, Eslamizadex M. H. et al. Stochastic model of tilting mode in nuclear fission // Phys. Atom. Nucl. 2006. Vol. 69. P. 14231427.
[5] Drozdov V. A., Eremenko D. O., Fotina O. V. et al. Stochastic Model of the Tilting Mode in Nuclear Fission // AIP Conf. Proc. 2004. Vol. 704. P. 130138.
[6] Krappe H. J. Achievements and problems in modeling fission of hot nuclei // Proceedings of the XIII Meeting on Physics of Nuclear Fission in Memory of Prof. G. N. Smirenkin (Obninsk, 1995) / ed. by
B. D. Kuzminov. Obninsk : SSCRF-IPPE, 1995. P. 134-144.
[7] Karpov A. V., Hiryanov R. M., Sagdeev A. V., Adeev G. D. Dynamical treatment of fission frag-mentangular distribution // J. Phys. G. 2007. Vol. 34. P. 255-269.
[8] Хирьянов Р.М., Карпов А.В., Адеев Г.Д. Стохастическая модель формирования угловых распределений осколков деления возбужденных компаунд-ядер // Ядерная физика. 2008. Т. 71.
C. 1389-1400.
[9] Blocki J., Boneh Y., Nix J. R. et al. One-body dissipation and the super-viscidity of nuclei // Ann. Phys. 1978. Vol. 113. P. 330-386.
[10] Иткис М. Г. и др. Экспериментальное изучение массовых и энергетических распределений осколков деления возбужденных ядер с
Z2 /А = 33 42 // Ядерная физика. 1990. Т. 52. Вып. 1.
[11] Forster J. S. et. al. Angular momentum dependence of 200Pb fission studied by comparison of 19F on 181Ta with 16O on 184W // Nuclear Physics A. 1987. Vol. 464. P. 497-524.
[12] Nadtochy P. N., Ryabov E. G., Gegechkori A. E., Anischenko Yu. A., Adeev G. D. Four-dimensional Langevin dynamics of heavy-ion-induced fission // Phys. Rev. 2012. Vol. 85. P. 064619.
[13] Nadtochy P. N., Ryabov E. G., Adeev G. D. Incorporation of a tilting coordinate into the multidimensional Langevin dynamics of heavy-ion-induced fission: Analysis of experimental data from fusion-fission reactions // Phys. Rev. C. 2014. Vol. 89. P. 014616
[14] Адеев Г. Д., Карпов А. В., Надточий П. Н., Ванин Д. В. Многомерный стохастический подход к динамике деления возбужденных ядер // ЭЧАЯ. 2005. Т. 36. С. 732-820.
[15] Nadtochy P. N., Adeev G. D. Dynamical interpretation of average fission-fragment kinetic energy sys-tematics and nuclear scission // Phys. Rev. C. 2005. Vol. 72. P. 054608.
Динамическое описание основных характеристик деления высоковозбужденных ядер...
35
[16] Karpov A. V., Nadtochy P. N., Vanin D. V., Adeev G. D. Three-dimensional Langevin calculations of fission fragment mass-energy distribution from excited compound nuclei // Phys. Rev. C. 2001. Vol. 63. P. 054610.
[17] Nadtochy P. N., Adeev G. D., Karpov A. V. More detailed study of fission dynamics in fusion-fission reactions within a stochastic approach // Phys. Rev. C. 2002. Vol. 65. P. 064615.
[18] Brack M., Damgaard J., Jensen A. S. et al. Funny hills: the shell-correction approach to nuclear shell effects and its applications to the fission process // Rev. Mod. Phys. 1972. Vol. 44. P. 320-405.
[19] Nadtochy P. N., Ryabov E. G., Gegechkori A. E., Anischenko Yu. A., Adeev G. D. Incorporation of tilting coordinate into multi-dimensional Langevin dynamics of heavy-ion induced fission: analysis of experimental data from fusion-fission reactions // Phys. Rev. C. 2014. Vol. 89. P. 064616.
[20] Krappe H. J., Nix J. R., Sierk A. J. Unified nuclear potential for heavy-ionelastic scattering, fusion, fission, and ground-state masses and deformations // Phys. Rev. C. 1979. Vol. 20. P. 992-1013.
[21] Sierk A. J. Macroscopic model of rotating nuclei // Phys. Rev. C. 1986. Vol. 33. P. 2039-2053.
[22] Moller P., Sierk A. J., Ichikawa T. et al. Heavy-element fission barriers // Phys. Rev. C. 2009. Vol. 79. P. 064304.
[23] Nix J. R., Sierk A. J. Mechanism of nuclear dissipation in fission and heavy-ion reactions // Proceedings of the International School-Seminar on Heavy Ion Physics. 1986. P. 453-464.
[24] Davies K. T. R., Sierk A. J., Nix J. R. Effect of viscosity on the dynamics of fission // Phys. Rev. C. 1976. Vol. 13. P. 2385-2403.
[25] Kelson I. Dynamic calculations of fission of an axially symmetric liquiddrop // Phys. Rev. 1964. Vol. 136. P. B1667-B1673.
[26] Griffin J. J., Dworzecka M. Classical wall formula and quantal one-body dissipation // Nucl. Phys. A. 1986. Vol. 455. P. 61-99.
[27] Pal S., Mukhopadhyay T. Chaos modified wall formula damping of the surface motion of a cavity undergoing fissionlike shape evolutions // Phys. Rev. C. 1998. Vol. 57. P. 210-216.
[28] Blocki J., Brut F., Srokowski T., Swiatecki W. J. The order to chaos transition in axially symmetric nuclear shapes // Nucl. Phys. A. 1992. Vol. 545. P. 511-522.
[29] Chaudhuri G., Pal S. Fission width of hot nuclei from Langevin dynamics // Phys. Rev. C. 2001. Vol. 63. P. 064603.
[30] Dossing T., Randrup J. Dynamical evolution of angular momentum in damped nuclear reactions: (I). Accumulation of angular momentum by nucleon transfer // Nucl. Phys. 1985. Vol. 433. P. 215-279.
[31] Randrup J. Transport of angular momentum in damped nuclear reactions // Nucl. Phys. 1982. Vol. 383. P. 468-508.
[32] McCalla S. G., Lestone J. P. Fission Decay Widths for Heavy-Ion Fusion-Fission Reactions // Phys. Rev. Lett. 2008 Vol. 101. P. 032702.
[33] Lestone J. P., Sonzogni A. A., Kelly M. P., Vanden-bosch R. Near- and sub-barrier fission fragment anisotropies and the failure of the statistical theory of fission decay rates // Nucl. Part. Phys. 1997. Vol. 23. P. 1349-1357.
[34] Shidling P. D., BadigerN. M. Fission hindrance studies in 200Pb: Evaporation residue cross section and-spin distribution measurements // Phys. Rev. C. 2006. Vol. 74. P. 064603.
