Учет влияния боковых стенок и неоднородности проводимости среды ванны многоэлектродных прямоугольных печей Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

УДК 537.311.5:621.365.3 ББК 31.292

АН. ИЛЬГАЧЁВ

УЧЕТ ВЛИЯНИЯ БОКОВЫХ СТЕНОК И НЕОДНОРОДНОСТИ ПРОВОДИМОСТИ СРЕДЫ ВАННЫ МНОГОЭЛЕКТРОДНЫХ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ПЕЧЕЙ

Ключевые слова: прямоугольная ванна печи, двухслойно-однородная модель, уравнение Лапласа, аналитико-численный метод, метод разделения переменных, метод наименьших квадратов.

В статье с учетом анализа особенности распределения электрической проводимости обосновывается применение моделей со слоисто-однородной структурой в вертикальном или горизонтальном направлении по проводимости среды ванны многоэлектродных прямоугольных печей различных технологических процессов при расчете её электрического поля. Для предложенных структур среды ванны получены аналитические решения уравнения Лапласа с применением аналитико-численного метода, основанного на комбинации методов эквивалентных источников, зеркальных отражений, суперпозиции, разделения переменных и наименьших квадратов. Функция, определяющая потенциал электрического поля ванны, находится как сумма гармонических функций. Часть из них определяет распределение потенциала электрического поля источников в однородной по проводимости и бесконечной в радиальном направлении ванне. Другая часть учитывает влияние боковой стенки на электрическое поле источников в ванне с однородной по проводимости средой, а третья - неоднородность проводимости среды ванны.

В [5] рассмотрен подход, обеспечивающий учёт неоднородности проводимости среды в ванне одноэлектродных круглых печей при расчёте её электрического поля. Такой подход может быть распространён на многоэлектродные печи с прямоугольной ванной.

При допущениях отсутствия дуг и пренебрежении поверхностным эффектом электрическое поле в ванне многоэлектродных шлаковых прямоугольных печей является квазистационарным, потенциальным и описывается уравнением

div (-у grad ф) = 0, (1)

где ф - скалярный потенциал в комплексной форме; у - удельная проводимость среды ванны, зависящая от ряда факторов и являющаяся функцией пространственных координат.

В общем случае удельная проводимость у материалов ванны зависит не только от их электрических свойств, но и от взаимодействия электромагнитного и теплового полей, поля движения масс и происходящих в ней физико-химических процессов. С учётом упомянутых обстоятельств расчет электрического поля затруднителен.

Этот расчет можно значительно упростить, если аппроксимировать электрическую проводимость так, чтобы среда ванны была представлена областями, в пределах каждой из которых проводимость имеет постоянное значение. При этом в каждой из них электрическое поле описывается уравнением Лапласа [8]

V 2ф = 0.

В ванне многих рудно-термических печей наибольшее изменение удельной проводимости материалов происходит в вертикальном направлении и (или) в горизонтальном направлении от оси печи. Проводимости материалов

разных областей ванны могут отличаться друг от друга на несколько порядков. Поэтому принимается допущение о том, что границы между зонами ванны выражены достаточно чётко и с хорошим приближением к её реальным структурам. Учет изменения удельной проводимости может быть произведён разбиением среды ванн на зоны (слои), в пределах каждой из которых удельная проводимость сохраняет свое значение.

В ваннах печей цветной металлургии над слоем расплавленного шлака расположены твёрдые шихтовые материалы, проводимость которых ниже проводимости шлака. Результаты экспериментальных исследований [1] свидетельствуют о том, что в расплавленном шлаке имеет место интенсивное конвективное движение, которое значительно выравнивает температурное поле. При существующих в промышленных печах перепадах температур в объеме жидкого шлака изменение его удельной проводимости не превышает 5-20%. Расчётная модель в этом случае может быть представлена двумя слоями (рисунок, а), расположенными один над другим, на границе раздела Г которых задаётся условие непрерывности линий тока:

По данным [2], расчётные модели ванн многоэлектродных печей производства фосфора и карбида кальция также можно с достаточной для практики точностью представить в виде двух слоёв, расположенных один над другим, удельная проводимость в пределах каждого из которых постоянна. При этом на поверхности раздела этих слоёв задаётся граничное условие непрерывности линий тока (2).

В ванне многоэлектродных печей удельная объёмная мощность распределяется резко неравномерно. Наибольшие значения удельная мощность имеет в областях, расположенных вблизи рабочих поверхностей электродов [6]. Для расстояний между соседними электродами, характерных для действующих печей и определяемых их распадом в областях между электродами, удельная мощность изменяется незначительно. По мере удаления от электродов к боковым стенкам значения удельной объёмной мощности резко уменьшаются. Общие закономерности изменения температуры материалов ванны имеют подобный характер. Известно, что удельная электрическая проводимость расплавленных шлаков увеличивается с ростом температуры [7]. Поэтому наибольшие значения электрическая проводимость среды ванны будет иметь в «горячей» области, в которой располагаются электроды. По мере удаления от неё в направлениях к боковым стенкам значения проводимости материалов резко уменьшаются. С учетом этих особенностей расчётная модель может быть представлена двумя слоями в виде соосных сплошного прямоугольного параллелепипеда высотой I, с основанием, имеющем длину 2х0 и ширину 2у0, и полого прямоугольного параллелепипеда с внешними размерами, совпадающими с размерами ванны (рисунок, б). На поверхностях границы их раздела Г1-Г4 задано условие непрерывности линий тока

Ф1 =ф 2 ,

'2

(2)

Ф1 =Ф 2 ,

2

2Ь

а

21

■ б Основные обозначения, система координат двухслойно-однородных моделей по проводимости среды ванны в горизонтальном (а) и вертикальном (б) направлениях

На верхней границе верхнего слоя или слоёв среды ванны задается условие второго рода = 0. Электрическая проводимость материалов элек-

& |г =0

трода и расплава (металла) РТП значительно превосходит проводимость шлака и шихты. Это позволяет электрическое поле в средах с невысокой проводимостью рассчитывать независимо от электрического поля внутри электродов и расплава. В этом случае на поверхностях электродов и расплава за-

даются граничные условия для скалярного потенциала фэ1. = const,

i = 1, 2, ..., m, ф(х,y,l) = 0.

Материал, из которого выполнена боковая стенка ванны, определяет вид граничных условий на ее поверхности в расчётной модели. Если боковая стенка выполнена из материала с высокой проводимостью, то на её поверхностях задаются граничные условия первого рода ф = 0 . На поверхностях боковой стенки, выполненной из материалов с низкой проводимостью, зада-

дф 0

ются граничные условия второго рода— = 0.

дп

Распределение потенциала электрического поля в слоях среды ванны многоэлектродной печи может быть представлено с использованием распределений потенциала электрического поля ванны в расчетных режимах холостого хода [4]

1 m

ф (х, y, z) = —X4Fi«(x\ y*, z*), (4)

Yil i=i

1 m

Ф2 (х,y,z) = —X4-Fi (х*,y*,z*), (5)

Y2l i=1

где m - количество электродов; I. - ток i-го электрода в комплексной форме; Fxl (х*, y*, z*), F^)х (х*, y*, z*) - вещественные обобщенные функции, характеризующие распределение потенциала электрического поля ванны в расчетном режиме холостого хода для i-го электрода в первом и втором слое, соответственно.

Для того, чтобы расчет электрического поля ванны печей с различным числом и расположением электродов производить по одному и тому алгоритму в аналитико-численном методе, обобщенные функции распределения потенциала F^ (х*, y*, z*), F^ (х*, y*, z*) представляются в виде сумм функций

N„eI

F1 (х*,y*,z*) = XjF, (х*,y*,z*) , (6)

j=1

N„„

я£Цх*,y*,z*) = XK^F2j (х*,y*,z*), (6')

j=1

где F1 j (х*, y*, z*) , F1 j (х*, y*, z*) - обобщенные функции распределения потенциала электрического поля j-го источника с координатами х}- и yj в первом и вто-

гИО

ром слоях ванны, соответственно; Kj х'х - ток j-го источника в режиме холосто-

t ^

го хода ванны для i-го электрода; Ыис1 = mX(m -1) - общее количество источ-

k=1

ников тока, создающих электрическое поле в ванне [3]; t - количество отражений основного источника тока одного электрода при многократном решении вспомогательной задачи взаимного учета электродов друг на друга.

1. Двухслойно-однородная модель по проводимости среды ванны в горизонтальном направлении (рисунок, а). В соответствии с аналитико-численным методом [3] функции Р ¿(х , у , 2*) и Р2j(x , у , 2 ) для этого случая (рис. 1, а) могут быть представлены

Ру (у\2*) = V (y*,2*) + ист] (x*,у\2*) + и1] (x*,у\2*) =

= WJ (х*,у*,2*) + иу (х*,у*,2*) , (7)

Р2j ((y*,2*) = Vj (x*,у*,2*) + истj (x*,у*,2*) + и2j (x*,у*,2*) =

= Wj (х, у*, 2*) + и 2 j (x*, у*, 2* ) , (8)

где V'(x*, у*, 2*) - функция распределения потенциала электрического поля ¿-го источника тока в однородной по проводимости ванне и бесконечной в горизонтальном направлении; ист¿(г , у , 2 ) - функция, учитывающая влияние боковой стенки на электрическое поле ¿-го источника тока в однородной по проводимости среде ванны; и1 j(x , у , 2 ), и2j(x , у , 2 ) - функции, учитывающие влияние неоднородности проводимости слоёв ванны на электрическое поле ¿-го источника тока.

В качестве функции ист¿^ , у , 2 ), учитывающей влияние боковой стенки, используются суммы частных решений уравнения Лапласа в системе декартовых координат, каждое из которых удовлетворяет части граничных условий:

истj (*,у*,2*) = ¿¿((к+ ■Овп

' С¿пкОпк

' ^¿пк Опк ) ,

(9)

где

а„к = сое

О Вк = 81П

Опк = с°э

О ВЛ = яп

п=0 к=0

пш Ь ] сЬ („к/ )с°8 (2к + ' 2

nлx' Ь* ] сЬ (у )с°8 (2к + 1)^" ' 2

пж£ Ь* ] «Ь (куЛу * )с°8 (2к + ' 2

nлx' Ь ] «Ь (купку * (2к + 1)^" ' 2

> ку = ^

В качестве функций и1 ^■(x*, у*, 2*), и2j(x', у*, 2*) также используются суммы частных решений уравнения Лапласа, полученных методом разделения переменных в системе декартовых координат: а) для проводящей стенки

* * *

иу (*,у*,2*) = «1п

п =1 к=1

и2■ (( y*, /) = ¿¿Hjkn зш

п%

(x* + Ь*) 2Ь*

(x* + Ь*)

81П

к%(у* +Н *)

2Ь

81П

2 Н

к%( у* + Н *)

сЬ (д^*) ,(10)

2Н

[дпк(1 -2*)] ; (11)

б) для непроводящей стенки

и. ((у',/сое

п=1 к=1

и2. (х',у\г')=Ё£НМ 008

(х* + £ )

2 £

(х* + £ )

008

к я( у' + Н')

2£

008

2Н кл( у' + Н')

оЬ(д>*), (12)

2Н

8Ь [д^ (1 -г')], (13)

где д:к =^ {1;)+{Нг, *** ***

Исходя из выбранных представлений функций ист .(х , у , г), и1 .(х , у , г ) и и2 .(х , у, г) граничные условия на поверхностях боковой стенке ванны

можно записать следующим образом:

а) для проводящей стенки на поверхности С1: ист. (х*, - Н*, 7*

на поверхности С2: ист. ( х', Н', г *)

на поверхности С3: ист. (-£, у', г *

на поверхности С4: ист. (£, у', г *)

б) для непроводящей стенки

: 8ист. (х', у\г'

на поверхности С1:

на поверхности С2:

на поверхности С3:

на поверхности С4:

су'

8ист . (х', у' , г')

су' |

8и ст. (х\ у' , г')

8х*

8и ст. (х", У' , г')

—V (х*,-Нг*),

---V. ( х\ Н', г *), --V. (-£, у', г *);

■■-V (у', г *);

у =-Н

у =н

8У (х',y',г')

су'

8У (х',У',г') СУ* |

СVj (х*,у',г') 8х*

8^. (х',у',г')

у =-н

у = Н

8х х* = £ Сх |х*=£

Коэффициенты А. к:, В. к:, С. к:, Б. к: в (9) определяются методом наименьших квадратов, в соответствии с которым они должны как можно точнее удовлетворять граничным условиям в интегральном смысле, т.е. чтобы значение интеграла по всем поверхностям боковой стенки ванны

а) для проводящей стенки | [ист.. (х*,у',г') + Vj (х*,у',г'ds' ;

С

Сист. (х', y', г*) (х', y', г*)

б) для непроводящей стенки |

Хс*т

было минимальным.

8:

8:

Ограничим значения индексов членов рядов для функций и1 ^(x', у*, 2*) и

и2 ^(x', у*, 2*):

N\, N2 - максимальные значения индексов членов ряда для функции и1 j(x , у , 2 ) по п и по к, соответственно;

Л^3, N4 - максимальные значения индексов членов ряда для функции и2¿(с , у , 2 ) по п и по к, соответственно.

При таких ограничениях определение вышеупомянутых коэффициентов сводится к решению системы линейных алгебраических уравнений следующего вида:

а) для проводящей стенки

^ N

ЕЕ ■ I оАкор^* + вм | оВкорж* + С]Л | оСко^/

N1 N2

+ВМ |ода/ =-¿¿1V: (x*,у*,2*)

-* 1 п=0 к=0 -*

(14)

б) для непроводящей стенки

N1 N2

^^ г до А до< * ,ао Ак доцр * , до Ак доцр

Е Е А,пк I ^^—^ + в1кк I ^^—+ Спк к пк 1р

¿пк J дп дп ■ 1 дп дп :пк 1

п=0 к=0

дп дп

дп дп

+■ **

дп дп

^ N2

"Е Е |

к=0 п=0 х*

V(x*,у\2*) дОЦ

дп

дп

(15)

где

дор

дп

- производная функции ОЦ по нормальному направлению к по-

верхности боковой стенки; I = 0,1,...,N1, р = 0,1,...,N2, ц = А,В,С,В .

Интегралы в левых частях систем (14) и (15) вычисляются аналитически. Анализ показывает, что матрицы коэффициентов систем (14) и (15) имеют блочно-диагональную структуру с расположением блоков, содержащих ненулевые элементы, на главной диагонали. Это позволяет разделить исходные системы уравнений на ряд подсистем:

а) для проводящей стенки (I = 0, 1, ..., N1, к = 0, 1, ..., N2):

Е Апк I ода/ = -1 V: ((у*,2*)<О>\

п=0 -С "С

N1

ЕВ}пк | ОВпкОВкй*' = -1 V: (*,у*,2*)>*,

п=0 я*, я*

N1

ЕС:пк | ОпкОСЖ' = -1 V: ((у*,2*)/,

п=0 "С "С

ЕВ:пк I ода/ = -1 V: (x',у*,2*)>*,

(16)

п=0

б) для непроводящей стенки (I = 0, 1, ..., Ы\, к = 0, 1, ..., Ы2):

^ л г 8ОА 8ОАк , * г 8Vj (х',У*,г') 8оАк , * XА.:к Г-—--ds = -Г—^-'-—kds

J С: С:

:=0

X В.:к |

:=0 N

СОВ СоВк

С: С:

С:

С:

X СI

:=0 N1

СоСк СоСк

С: С:

8у (х', y', г*) СОВ С: С:

(х', У*,г*) СоСк

(18)

X Б.:к |

:=0

СОБк СОБк

С: С:

■I

С: С:

8Vj (х',у',г') СО

С:

С:

(19)

которые решаются независимо друг от друга.

В ряде подсистем коэффициенты определяются непосредственно. В частности,

а) для проводящей стенки

В. 0к = 0.

. 0,к

(20)

В.:к =

1 1

(Н}П [V. (х',Н',г') + V. (-Н',г')]х

х0081 :-

лх

£

' л

008

(2к +1)

лг

dх dz

Б 0к = 0,

. 0,к

(20') (21)

1 1

^^ ) ^ Н г'- Нг' )]х

( лх I

X 0081 :-— 1008

I Н 1

(2к +1)

лг

dх dz

(21')

б) для непроводящей стенки

а. 0,к ="

0 - £

2£ду,к8Ь (Ж)

8Vj (х*,У*,г') 8Vj (х',у',г')

СУ

У = Н

8у

У =-Н

008

(2к +1^)2-

dх'dz', (22)

а.:к

£дук 8Ь (Н

II

8Vj (х*,у',г') 8Vj (х*,у',г')

8у*

У = Н

Су'

у =-н

лх

X0081 :-* 1008

(2к +

dх dz

(22')

1

С =-

0,к

0 - ь*

2Ь'д1,ксЬ (Ж)

дVj ( x*, у*, 2* ) дVj ( X, у*, 2 * )

ду*

у = Н

ду*

у =-Н

(2к +1))2-

dx*dz*, (23)

с3пк

ЬдусЬ («¿Н*)

0 - Ь*

дVj (x*,у*,2* ) дVj (X,у*, 2* )

Xс°Э1 пьт Iс°Э

ду* (2к +1)

|у =Н К2

ду *

у =-Н

(23')

Граничные условия непрерывности тока на поверхности Г, разделяющей слои 1 и 2 (рисунок, а):

ф 1 ( Л; у, ^ ) = Ф2 ( X, у, 20 ),

У1

дф1 (x, у, 2) = дф2 (x, у, 2)

= У 2-

^ = 20 ^ = 20

С учётом (4)-(6), (6'), (7) и (8)

У 2и13 ( x', y', ) -У1и23 ( x', y', ) = (У1 - У 2 ) (^ y', ) , ди13 (x',у*, 2*) ди2■ (x',у*,2*) (24)

д2

д2

= 0.

Подставим (10)—(11) или (12)-(13) и их производные по 2* в (24). Тогда а) для проводящей стенки

У 2 ЦЕ3пк Э1п

-У1 ЕЕНпк з1п

пк^* + Ь*) 2 Ь*

(* + Ь*)

Э1п

п =1 к =1

пк

2Ь

Э1п

кк(у* +Н *) 2Н *

кк(у* + Н *) 2Н *

сЬ «2* ]-«Ь « (1 - 2*))

(У1 -У 2) (\ 2**), « пкС + Ь*)

ЕЕЕ - 1 ;

(25)

££Нм «1п

п=1 к=1

пк

2 Ь

(x* + Ь*) 2 Ь*

Э1п

к к(у* + Н *) 2Н *

к к (у* + Н *)

2Н

«л эь [ «'пк2'* ] +

[д«к (1 -2 )] = 0;

1

б) для непроводящей стенки к л( х* + £ )

У 2 XXе.к:00 8

-У1 XXHjkn008

2 £ к л(х* + £ )

00 8

2£

00 8

:л( у' + Н') 2Н'

(У* + Н')

:л

2 Н

0Ь [ ч1г'о]" * Ь [дк ( г*))

(У1 -У 2 ) (г', ) « :л (х' + £ )

XXе 008 ^ '

(26)

: =1 к =1

1:к

00 8

^н.

00 8

:л

2£

(х* + £) 2£

00 8

00 8

к л (у' + Н') 2 Н'

к л (у' + Н *)

2 Н

д*8Ь [ д*г1 ] + д^ь [д (1- г* )] = 0.

Из последних уравнений систем (28) и (29) следует

8Ь (д^г*)

н =-е

11 .:к .:к

(27)

0Ь [д! (1 - г* )]'

Разложим в двойные ряды Фурье функции Wj (х',у',г*) и

(х', У\)

8г*

на интервалах изменения переменных - £ < х < £ и

-Н' < у' < Н*, соответственно, в системах ортогональных функций

81П

:л

(х* + £)

2 £

81П

к л( у' + Н')

2 Н

и 008

:л

(х* + £ )

2£

008

кл( у' + Н')

:=1 к =1

Wj (х', y', ) = XX °.:к 81П

8Wj (х*,у',г')

:л( х' + £ )

2£

81П

2Н

кл( у' + Н')

2Н

8г

= XXG'jk: 008

(х* + £) 2£*

008

к л( у' + Н')

2Н

(28)

, (29)

где

а) для проводящей стенки

Gj:k =■

1 Н £

Н | | ^ (х*,У*,)81П

ЬН

:л

(х' + £ )

2£

81П

кл( у' + Н')

2Н

dх dy ,

б) для непроводящей стенки

Н* £ 8Wj (х',у',г*)

1 п .ь

^0,0 = Но -[о

- Н - £

^ 0,к =•

21*Н

= 2£ Н

, н0 £

Ы I

и J J

Н

н0 £

G'■n° =■

1 п

Н 1 1

н 0 - £

-Н0 £

¿Н

1 —Н £

[ [

и' J J

8г

8Wj (х',у',г') 8г* |

г

8Wj (х',у',г') 8г* |;

Щ (х', y', )

8г* и

008

008

008

dх dy ,

к л( у' + Н') 2 Н*

:л( х* + £*) 2£

:л( х' + £*)

dхdy,

2£

008

кл( у' + Н')

2Н

Подставим (28) и (29) в первое уравнение, соответственно, систем (25) и (26)

У 2 XXEjk: 81п

к=1 :=1

-У1XX XX е

к л( х' + £ ) 21*

8Ь (дкл)

81П

81П

:л

(У* + Н')

2Н' кл(х* + £)

У2 XXEjk:008

к=1 :=1

-У1 XXEjkn-

ы 0Ь [ дк: ( - г0*)

= (У1 -У 2 )XXIGj:k 81п

:=1 к=1

к л( х' + £ )

0Ь [д1г *]-

(у* + н')

2£

:л( х' + £ )

:л

2 £ 8Ь (д1г0)

00 8

00 8

ил

2£

(У* + Н')

2Н' к л(х* + £ )

81п

2Н

к л( у' + Н') 2Н'

2£*

0Ь [ды (7 -

[д': (7 -)] = ( -У2)XXG'j:k 81п

0Ь [ дд 0* ]-

(у ' + н *)

00 8

ял

2Н'

(х* + £ )

~2£

Из последних соотношений следуют равенства а) для проводящей стенки

(У1 -У2 )

81п

кл(у' +Н')

2Н

е.: = Gjk:-

у 20Ь (дк:г°)+У18Ь [дк: (7 - г* )] • [ дк: ( - )]'

б) для непроводящей стенки

Е = G' _(У1 -У2 )_

. У20Ь (д^*) + У18Ь [дк: ( - )] • Л [дгы ( - )0 )]

(30)

2. Двухслойно-однородная модель по проводимости среды ванны в вертикальном направлении (рисунок, б). Распределение потенциала электрического поля ¿-го источника тока в слоях ванны в этом случае представляется

(X*,у*, 2* ) = Vj (X*, у*,2* ) + и^ (X*, у*, 2* ) , (31)

Р23 (X*, у*,2*) = V: (X*,у*, 2*) + J (X*,у*, 2*) + и23 (X*, у*, 2* ) . (32)

Так же как и в предыдущем случае, будем искать функции ист ¿(X*, у*, 2*), и\ ¿(X , у , 2 ) в виде сумм частных решений уравнения Лапласа (9) и

ич (X*,у*,2*) = ££(А>Ак + В^пк^Вк + Сз0пк®Ск + В^А), (33)

где

гапк = с°э

пт

V Xo

пт

V ^

гапк = с°э

юВк = э1п

пт

V Xo

nкx

V Xo

] сЬ (к/)

)сЬ (кп^у*) ] «Ь (кп^у*)

Ц (кп^у*)

(2к +1)

К2

( 2к + 1) к2 * 2

( 2к +1)

К2

( 2к +1) к2 2

, кк =К

( 2п )

V ^ У

(2к +1)2 4

В качестве функции и2 ¿(X*, у*, 2**) также используются сумма частных решений уравнения Лапласа в системе декартовых координат: а) для проводящей стенки

и23 (( У*, 2* ) = ЕЕЕ% «1п

1К

(X* + Ь*) 2Ь*

Э1п

t к

(у*+Н *)

2 Н *

(34)

х[ & к )сЬ (к*2 )-«Ь (к^* )]; б) для непроводящей стенки

и2■ ((У*,2*) = ЕЕЕ3и С™

,к( X* + Ь*)

2 Ь

t к ( у* + Н *) 2Н*

(35)

х[ Ш (к,2 )сЬ *)-«Ь (к*2 )],

где К =

2 \

. \2 / \ 2 Ь)+(Н

Исходя из выбранных представлений функций ист ¿(X*, у*, 2**) и и2¿(X , у , 2 ) граничные условия на поверхностях боковой стенки:

а) для проводящей стенки

исТ■ (X*,-Н*,2*) = -^ (X*,-Н*,2*) ,

и ст ■ ( X *, Н *, 2 * ) = -Г, ( X *, Н *, 2 * ) , ист3 ("^2* ) (-Ь\У*, 2* ) ,

ист■ (Ь,У*,2*) = -*, (Ь\у*,2*); б) для непроводящей стенки

дист3 (X*, У*, 2* ) = (X*, У*, 2* )

у =-Ь

ду |у*=- ь ^У

дист■ (x*,У*,2*) = ду (x*,y*,г)

^У* |у* =ь* дУ* |у* =Ь*

дист■ (x*, у*, 2*) (x*, у*, 2*)

аx* x*=-ь* аx* x*=-

дист■ (x*, у*, 2*) = (x*, у*, 2*)

дx

дx

Поэтому коэффициенты А, кп, В, кп, С, кп, В, кп функции ист¿(X*, у*, 2*) вычисляются по (22)-(26') аналогично предыдущему случаю.

Граничные условия непрерывности тока на поверхностях Г1-Г4 раздела слоёв 1 и 2 (рисунок, б) с учетом (34) и (35) а) на поверхностях Г1 и Г2

У 2и1 ■ (x*, - У^ 2 *)- У1и 2 ■ (x*, - У^ 2*) =

= (У1- у2) V (x*, - у0 , 2*) + У1ист■ ((■- у**, 2*), (36)

ди1 ■ (X*, У', 2' ) =ди2■ (X*, У*, 2* ) дист■ (X*, У*, 2* )

ду

ду | • • ду | • •

|у =-У0 ' |у =-У0

У2и1, (X*,У¡,2*)-У1и2, (X*,У¡,2*) = = (У1 - У 2) V (x*, У^ 2*) + У1ист ■ (Л У^ 2*),

ди1, (X*,У*, 2* ) _ ди 2 ■ (X*,У*, * ) дист ■ (X*,У*, 2 * )

(36')

ду | • •

|у = У0

б) на поверхностях Г3 и Г4

ду

ду

У2и1, (-x!,У*,2*)-У1и2, (-X0,У*,2*) =

= (У1 -У 2 ) (-X0,У, 2* )+У1ист, (x0,y*, 2*),

ди1, (X*,У*,2*) =ди2, (X*,У*,2*) . дист 3 (X*,У*, 2 *)

дx

дк

дx

У2и1. (х0, У*, г*)- У1и2. (х0, y', г*) =

= (У1 У 2) (( y', г* ) + У1ист. (( y', г*), (36''')

8и1. (х',y', г*) _8и2. (х', y', г* ) 8ист ]

8х |х* = х* 8х |х°=х0 8х |х*=х0

Подставим (34), (35) и их производные по х', у* в (36)-(36''') и ограничим количества членов рядов для функций и7.(х , у , г ) и и2.(х , у , г ):

- N1, N2 - максимальные значения индексов членов ряда для функции и1 .(х , у , г ) по : и по к, соответственно;

- N - максимальные значения индексов членов ряда для функции и2.(х , у , г ) по : и по к, соответственно;

С учётом этих ограничений составляем невязки для уравнений систем (36)-(36'''). Применим метод наименьших квадратов для определения коэффициентов ., В°.пк, С, . , и Е]и в (33), (34) и (35), согласно которому

значения этих коэффициентов выбираются так, чтобы сумма квадратов невязок в интегральном смысле по площадям поверхностей Г1-Г4 границы, разделяющей слои 1 и 2, была минимальной:

4 2 *

5 _XX I *д-гЖ ^ т1п.

г=7 д-1 50-

Условием минимума суммы квадратов невязок является равенство нулю частных производных

85 42 85

-г ■AJ-ds' = 0, Р = 0,1,-, N1,' = 0,1,-, N 2,

8А0 ^^ J и~г СА0

8А.р1 г_7 и _7 5. с.

0

Р1 г _1 и _1 х

50-г

85 4 2 88

-^7- = 2УУ Г 5 —u--ds* = 0,р = 0,1,-,К,I = 0,1,-,N2,

8В0 . и и ! и-г 8В0,

. Р' ги50-г . Р'

85 42 85

^ = 2XX|5u-г C-ds* = 0, Р = 0,1,-, N1,' = 0,1,-, N 2,

8С.р1 г-1 и-1 5*г 8С.р,

85 42 85

^ = 2XX|5u-г^ds' = 0 р = ОД...,N1,1 = 0,1,-,2,

8Б.Р' г=1 и = 1 5*г 8.

85 42 85

^ = 2XX|5u-rds' = 0, s =1,2, -,N3,д =1,2, -,N.. 8Е г=1 и=1СЕ

50-г

.Щ

Подставив в последние уравнения выражения для невязок и их производных по искомым коэффициентам, получим систему линейных алгебраических уравнений порядка

4(^ + 1)^2 + 1) + (N3 + ^(N4 + 1) со следующей структурой:

' N N

ЕЕ^р»- + аЬрыВ^р! + аСр!пкС0р! +

п=0 к=0

N3 N4

+^рЫ^-р! } + ЕЕ аерШЕ(°г1 = ^р ,

1=1 (=1

N1 N2

ЕЕ{Ъар»А0 Р1+ььрыкв(°- р1 + Ъ<Ср!пкС0 р! +

п=0 к=0

N3 N4

р1 } + ЕЕЬеРиЕ% = ,

1=1 г=1

N1 N2

ЕЕК-к- + СЪр!пкЩр! + ССр!пкС-р! +

п=0 к=0

N N4

+^р1пкВ°°р! }+ ЕЕ СерШЕ°°и = С§ !р ,

1=1 г=1

N1 N2

ЕЕ{^ар!пкА-0р! + ёЪр!пкВ<- р! + ёСр!пкС^ р! +

п=0 к=0

N3 N

+р1 } + ЕЕаеРшЕ% = dglp,

1=1 (=1

N1 N2

ЕЕ{^ар!пкА-0р! + ¿Ьр1пкВ0р, + ёС р!пкС^ р! +

п=0 к=0

Nз N4

+} + Е Е ^рш^« = ,

р = 0,1,...,N1,! = 0,1,...,^, 1=1,2,...,N3,г =1,2,...,N4, (37)

где коэффициенты аарШ, аЪрЫк, аСр!п^ '^'^рЫ^ аерНЬ Ъaplnk, ЪЪplnk, Ъcplnk, Ъdplnk, ЪерНЬ Сар!пк, СЪр!пк, ССр!пк, СёрЫк, Сер!пк, ёар!пк, ёЪрЫк, ёСрЫ, ёёрЫ, ёерШ матрицы системы определяются аналитически.

Таким образом, распределение потенциала электрического поля в прямоугольной ванне многоэлектродной печи может быть представлено суммой гармонических функций. Часть из них определяет распределение потенциала электрического поля источников тока в однородной по проводимости и бесконечной в радиальном направлении среде. Другая часть учитывает влияние боковой стенки на электрическое поле источников в однородной по проводимости среде ванны, а третья - неоднородность проводимости среды ванны.

Распределение потенциала электрического поля одного источника тока в прямоугольной ванне с двухслойно-однородной структурой по проводимости среды в горизонтальном направлении, имеющей боковые стенки, выполненные из проводящих материалов, представляется комбинациями функций У-(х , у , т ), ист-(х , у , т ), и -(х , у , т ), и2-(х , у , т ), три последние из которых представлены двухмерными рядами (9)-(11), где коэффициенты А-кп, В- кп, С- кп, О- кп, Е- кп, Н-кп определяются формулами (20), (20'), (21), (21'), (27), (30) и решением систем уравнений (16) и (17). В случае выполнения боковой

стенки из непроводящих материалов функции UCTj(x*, y*, z*), U1 j(x*, y*, z*), U2 j(x , y , z ) представлены двухмерными рядами (9), (12), (13), где коэффициенты Ajkn, Bjkn, Cj kn, Djkn, Ejktl, Hj kn определяются формулами (22), (22'), (23), (23'), (27), (30') и решением систем уравнений (18) и (19).

Распределение потенциала электрического поля одного источника тока в прямоугольной ванне с двухслойно-однородной структурой по проводимости в вертикальном направлении, имеющей боковые стенки, выполненные из проводящих материалов, представляется комбинациями функций Vj(x , y , z ), истj(x , y , z), U1 j(x , y , z), U2j(x , y , z), три последние из которых представлены двухмерными рядами (9), (33), (34), где коэффициенты Aj kn j kn j kn Dj kn определяются формулами (20), (20'), (21), (21'), а коэффициенты A°pl, B°pl, C°pi,

D°pl, E0 pl - решением системы уравнений (37). В случае выполнения боковой

стенки из непроводящих материалов функции U^j(x*, y*, z*), Ui j(x*, y*, z*), U2j(x , y , z ) представлены двухмерными рядами (9), (33), (35), где коэффициенты Aj kn, Bj kn, Cj kn, Dj kn определяются формулами (22), (22'), (23), (23'), а коэффи-

A о bo C о D0 E о ■ jpl> jpl> j pl' j pl' j pl

циенты AO pl, B0pl, C0pl, D0pl, E0 pl - решением системы уравнений (37).

Литература

1. Диомидовский Д.А. Металлургические печи цветной металлургии. М.: Металлургиздат, 1961. 728 с.

2. Ершов В.А., Данцис Я.Б., Жилов Г.М. Теоретические основы химической электротермии. Л.: Химия, 1978. 184 с.

3. Ильгачев А.Н. Аналитико-численный метод расчета характеристик электрического поля ванны многоэлектродных печей // Вестник Чувашского университета. 2016. № 3. С. 36-49.

4. Ильгачев А.Н. Математические модели для расчета электрического поля ванн многоэлектродных рудно-термических печей // Электричество. 2017. № 4. С. 62-65.

5. Ильгачев А.Н. Учет неоднородности проводимости среды ванны круглой одноэлек-тродной печи // Вестник Чувашского университета. 2017. № 3. С. 62-72.

6. Миронов Ю.М., Тарасов В.А. Аналитический расчёт электрических полей и сопротивлений ванн электрических печей // Известия вузов. Электромеханика. 1975. № 11. С. 1174-1189.

7. Френкель Я.И. Кинетика теории жидкостей. М.: Изд-во АН СССР, 1945. 424 с.

8. Шимони К. Теоретическая электротехника. М.: Мир, 1964. 773 с.

ИЛЬГАЧЁВ АНАТОЛИЙ НИКОЛАЕВИЧ - кандидат технических наук, доцент кафедры автоматизированных электротехнологических установок и систем, Чувашский государственный университет, Россия, Чебоксары (anikil47@mail.ru).

A. ILGACHEV

ACCOUNT OF SIDEWALLS INFLUENCE AND MEDIUM CONDUCTANCE NON-UNIFORMITY IN THE MULTI-ELECTRODE RECTANGULAR FURNACE BATH Key words: rectangular furnace bath, two-layer homogeneous model, Laplace's equation, analytical numerical method, variables separation method, least-squares method.

Taking into account the analysis of electrical conductance distribution feature, the article gives proof for applying models with layer-homogeneous structure in the vertical or horizontal direction by medium conductance in the multi-electrode rectangular furnace bath for different engineering processes when calculating its electric field. For the offered bath medium structures Laplace's equation analytical solutions were achieved by means

of analytical and numerical method, based on the combination of methods: equivalent source method, mirror reflection method, superposition method, variable separation method and least-squares method. The function that determines the bath electrical field potential is calculated as a sum of harmonic functions. One part of them determines the electrical field potential distribution of the sources in the bath being homogeneous by conductance and infinite in the radial direction. The other part takes into account side-wall influence upon the electric field sources in the bath with uniform medium by conductance, and the third appreciates bath medium conductance non-uniformity.

References

1. Diomidovskii D.A. Metallurgicheskie pechi tsvetnoi metallurgii [Metallurgical furnaces non-ferrous metallurgy]. Moscow, Metallurgizdat Publ., 1961, 728 p.

2. Ershov V.A., Dantsis Ya.B., Zhilov G.M. Teoreticheskie osnovy khimicheskoi elektrotermii [Theoretical Foundations of Chemical electrothermy]. Leningrad, Chimiya Publ., 1978. 184 p.

3. Ilgachev A.N. Analitiko-chislennyi metod rascheta kharakteristik elektricheskogo polya van-ny mnogoelektrodnykh pechei [Analytical numerical method of calculating the multi-electrode furnaces bath electric field characteristics]. Vestnik Chuvashskogo universiteta. 2016, no 3, pp. 36-49.

4. Ilgachev A.N. Matematicheskie modeli dlya rascheta elektricheskogo polya vann mnogoe-lektrodnykh rudno-termicheskikh pechei [The mathematical model for calculating the electric field baths multielectrode ore thermal furnaces]. Elektrichestvo [Electricity], 2017, no 4, pp. 62-65.

5. Ilgachev A.N. Uchet neodnorodnosti provodimosti sredy vanny krugloi odnoelektrodnoi pechi [Accounting of medium conductance non-uniformity in the monoelectrode round furnace bath]. Vestnik Chuvashskogo universiteta, 2017, no 3, pp.

6. Mironov Yu.M., Tarasov V.A. Analiticheskii raschet elektricheskikh polei i soprotivlenii vann elektricheskikh pechei [Analytical calculation of the electric fields and resistances of bathsof electric furnaces]. Izvestiya vuzov. Elektromekhanika, 1975, no. 11, pp. 1174-1189.

7. Frenkel' Ya.I. Kinetika teorii zhidkostei [The kinetics of the theory of liquids]. Moscow, AN USSR Publ., 1945, 424 p.

8. Shimoni K. Teoreticheskaya elektrotekhnika [Theoretical electrical Engineering]. Moscow, MIR Publ., 1964, 773 p.

ILGACHEV ANATOLII - Candidate of Technical Sciences, Assistant Professor of Automated Technological Installations and Systems Department, Chuvash State University, Russia, Cheboksary (anikil47@mail.ru).

Ссылка на статью: Ильгачёв А.Н. Учет влияния боковых стенок и неоднородности проводимости среды ванны многоэлектродных прямоугольных печей // Вестник Чувашского университета. - 2017. - № 3. - С. 73-89.