Учет неоднородности проводимости среды ванны круглой одноэлектродной печи Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

УДК 537.311.5:621.365.3 ББК 31.292

АН. ИЛЬГАЧЁВ

УЧЕТ НЕОДНОРОДНОСТИ ПРОВОДИМОСТИ СРЕДЫ ВАННЫ КРУГЛОЙ ОДНОЭЛЕКТРОДНОЙ ПЕЧИ

Ключевые слова: двухслойно-однородная модель, уравнение Лапласа, аналитико-численный метод, метод разделения переменных, метод наименьших квадратов.

С учётом анализа особенностей технологических процессов, происходящих в ваннах рудно-термических печей, обосновано применение двухслойно-однородных моделей по электрической проводимости среды в вертикальном или горизонтальном направлении ванны одноэлектродной круглой печи, используемых при расчете электрического поля в ней. Для рассматриваемых структур получены аналитические решения уравнения Лапласа с применением аналитико-численного метода, основанного на комбинации методов эквивалентных источников, отражений, разделения переменных и наименьших квадратов. Функция, определяющая потенциал электрического поля ванны, находится как сумма трёх гармонических функций: функции распределения потенциала электрического поля ванны, бесконечной в радиальном направлении; функции, учитывающей влияние боковой стенки на электрическое поле ванны с однородной средой; функции, учитывающей неоднородность проводимости среды.

Необходимость интенсификации работы и улучшения энергетической эффективности действующих рудно-термических печей (РТ11), а также совершенствование методов выбора оптимальных параметров и рациональных режимов вновь проектируемых печей сохраняет актуальность исследования электрических полей их ванн. Определенными преимуществами в этих исследованиях обладают методы математического моделирования. В настоящее время все большее распространение получают численные методы моделирования электрических полей и параметров схем замещения ванн электродных печей [4, 8, 9]. Вместе с тем сохраняют свои достоинства аналитические методы моделирования. В данной статье предложены аналитические решения, полученные с помощью аналитико-численного метода [3], для уравнения Лапласа, описывающего электрическое поле в ванне одноэлектродных круглых печей.

При определенных допущениях [2] электрическое поле в ванне одно-электродных шлаковых круглых печей является квазистационарным, потенциальным и описывается уравнением

div (-у grad ф) = 0, (1)

где ф - скалярный потенциал; у - удельная проводимость среды ванны.

В общем случае удельная проводимость у материалов ванны зависит от их электрических свойств, является результатом взаимодействия электромагнитного и теплового полей, поля движения масс и физико-химической кинетики процесса. Эти обстоятельства усложняют решение задачи расчета электрического поля.

Расчет электрического поля в такой среде можно значительно упростить, если рассматривать проводящую среду ванны, раздёленную на области, в пределах каждой из которых электрическая проводимость имеет постоянное значение. При этом уравнение (1) превращается в уравнение Лапласа

V 2ф = 0.

Анализ распределения проводимости среды ванны действующих фосфорных печей [1] показывает, что проводимости зоны твердофазных реакций и зоны плавления на 2-3 порядка ниже проводимостей углеродистой и шлаковой зон. Это позволяет исключить их при построении модели и ограничиться рассмотрением электрического поля в углеродистой и шлаковой зонах, проводимости которых различаются между собой примерно вдвое. Поэтому расчётные модели ванн фосфорных печей можно с достаточной для практики точностью представить в виде двух слоёв (рисунок, а), расположенных один над другим, удельная проводимость в пределах каждого из которых постоянна, а на границе их раздела Г задаётся условие непрерывности линий тока

Ф1 = Ф2,

дф1 дф2 дг дг

В ванне электродных печей удельная объёмная мощность распределяется резко неравномерно. Наибольшие значения удельная мощность имеет в области, расположенной вблизи рабочей поверхности электрода, по мере удаления от которой удельной мощности резко уменьшается [5]. Общие закономерности изменения температуры материалов ванны имеют примерно такой же характер. Известно, что удельная электрическая проводимость расплавленных шлаков увеличивается с ростом температуры [6]. Поэтому наибольшие значения электрическая проводимость среды ванны будет иметь в «горячей» зоне вблизи рабочей поверхности электрода, а по мере удаления от электрода в радиальном направлении значения электрической проводимости материалов среды резко уменьшаются. С учетом этих особенностей расчётная модель может быть представлена двумя слоями в виде соосных сплошного и полого цилиндров (рисунок, б), на границе раздела Г которых задано условие непрерывности линий тока.

Ф1 = Ф2,

дф1 дф2 ^ дг ^2 дг

гв

1 Г 20 71 Г

72

г

го гв

1 7 Г 72 Г

г

а б

Основные обозначения, система координат слоисто-однородных моделей по проводимости среды ванны в радиальном (а) и вертикальном (б) направлениях

На верхней границе верхнего слоя или слоёв (z = 0) задается условие второго рода — = 0. Электрическая проводимость материалов электрода

& |z =0

и расплава (металла) РТП значительно превосходит проводимость шлака и шихты. Это позволяет рассчитывать электрическое поле в средах с невысокой проводимостью независимо от электрического поля внутри электродов и расплава. В этом случае на поверхностях электродов и расплава задаются граничные условия для скалярного потенциала фэ = const, ф(г, 7) = 0.

Материал, из которого выполнена боковая стенка ванны, определяет вид граничных условий на ее поверхности в расчётных моделях электрического поля. Если боковая стенка выполнена из материала с высокой проводимостью, то на её поверхности задаются граничные условия первого рода ф = 0. На поверхностях боковых стенок, выполненных из материалов с низкой про-

дФ 0

водимостью, задаются граничные условия второго рода — = 0.

дп

1. Двухслойно-однородная модель по проводимости среды ванны в радиальном направлении. Распределение потенциала электрического поля в слоях ванны (рисунок, а) в этом случае представляется

ф (r,z) = [V (r*,z*) + Uст (r*,z*) + Ui (r*

z* )) =

Y1/i

= 1_ [> (r *, z *) + U1 (r \ z*)] , ф2 (r,z) = A-[V(r*,z*) + Uст (r*,z*) + U2 (r*,z*)

(2)

= 727 (r ^ z *) + U 2 (r *, z * )] ,

(3)

где 1э - действующее значение тока электрода; I - высота проводящей среды ванны; г = г/1, z = zll - относительные координаты; уь у2 - проводимости слоёв среды; У(г , z ) - обобщенная функция распределения потенциала электрического поля источника тока, создающего эквипотенциальную поверхность, совпадающую по форме, размерам и расположению с рабочей поверхностью электрода в однородной и бесконечной в радиальном направлении среде ванны [3]; ист(г , z ) - функция, учитывающая влияние боковой стенки в однородной среде; их(г , z ), и2(г , z ) - функции, учитывающие влияние неоднородности проводимости среды в первом и втором слое, соответственно.

Будем искать функции ист(г , z ), и(г , z ), и2(г , z ) в виде сумм частных решений уравнения Лапласа, полученных методом разделения переменных в цилиндрической системе координат [7]:

Uс

да

:(*, z* ) = ! A

cos

(2i+О—

(+1)-

да

Ui (*,z*) = £V0 (*)ch[kqz*] ,

(4)

(5)

q = 1

1=0

да

и2 (г*,г*) = ЕСч30 (к,г*))[к, (1 - г*)], ?=1

(6)

где 10(х) - модифицированная функция Бесселя первого рода нулевого порядка; Мх) - функция Бесселя первого рода нулевого порядка; к = —*т; Я, - ,-й

положительный корень среди корней, расположенных в порядке возрастания, уравнения:

а) для проводящей стенки ^(х) = 0;

б) для непроводящей стенки ^1(х) = 0.

Исходя из выбранных представлений функций ист(г , г), и1(г , г) и и2(г , г ) граничное условие на поверхности боковой стенки ванны:

а) для проводящей стенки ист (гв, г ) = -V (гв, г ) ;

аист (г*,г*) 8V(г*, г*)

б) для непроводящей стенки -

или с учетом (4):

а) для проводящей стенки

(+^

Е А С0!з

1=0

б) для непроводящей стенки

да

Е 4С0!3

8г

(21 +^

8г

(21 +1)^

( +1)11

(21 +1)^

V (*, г*); (7)

8V (г *, г *)

8г

,(8)

где ^(х) - модифицированная функция Бесселя первого рода первого порядка.

8и сТ ( г *, г*)

Разложим в ряды Фурье функции ист (гв*, г *) и

8г*

на интер-

вале изменения переменной 0 < г* < 1 в системе ортогональных функций

С08

(2'' +1)^-

, (' = 0,1,...)

да

V (( г* ) = Е Ц С0§

1=0

8V ( г *, г*)

(21 +

8г

= Е А'

С08

г =гв 1=0

(21 +1)^

11

где Ц =

Ц = 2 ÍV ( г* )

(21 + 1)^

* 11 8V (г*, г*)

^ Ц'=2 ¡- 1 ;

8г

С08

(2 +1)|.

Подставляя (9) и (10), соответственно, в (7) и (8), получим: а) для проводящей стенки

Е А С08

1=0

(21 +1)^

(21 + !)*■

=-Е Ц С08

1 = 0

(21 + 1)Т

(9) (10) & .

(11)

г

1=0

б) для непроводящей стенки

Е А

С0Э

(21 +1))|-

(21 +1)) '1

( +1)-^-

=-ЕЦ'

С0Э

(21 +1>=-

. (12)

Из равенств (11) и (12) находим выражения для вычисления коэффициентов А ряда(4)

Ц

А = -

А = -

(21 +1)^

Ц'

(21 +1) '1

(21 +1)^

, (1 = 0,1,.),

, (1 = 0,1,.).

(13)

(14)

Граничные условия непрерывности тока на поверхности Г раздела слоев 1 и 2 (рисунок, а)

Ф ( ^ г0 ) = Ф2 (г, г0 ),

У1

8ф1 (г, г ) = 8ф2 (г, г )

= У 2"

8г |г=г„ 8г |г=г„

С учётом (2) и (3)

у 2и1 (Л г*)- У1и2 (Л г*) = ( - у 2) (г*, ),

8Ц (г*,г*) = 8и2 (г*,г*) 8г* |г*=г; 8z* |г*=г;

Подставим (5), (6) и их производные по г * в (15)

(15)

У 2 Е В,-0 (к,г *) [ к,г* ]-у1 Е С,70 (к,г *) [к, (1 - г*)] = ,=1 ,=1

= (У1 -У 2 ) (г *, ),

да да

Е В,-0 (к,г * )к, (к, г* ) + Е С,-0 (к,г * )к, сЬ [к, (1 - г*)] = 0.

(16)

,=1 ,=1 Из последнего уравнения системы (16) следует

С =-В

, ,

эЬ (к)

г, (, = 1,2,...).

(17)

СЬ [к, (1 - г*)]

Разложим в ряд Фурье - Бесселя функцию W (г *, г0*) на интервале изменения переменной 0 < г * < гв* в системе ортогональных функций 70 (к ,г ) с весовой функцией г*

да

W (г *, г0* ) = Е Е,7 0 (к,г *), (18)

1=0

где а) для проводящей стенки Е, = -

[г' 4 (к, )]2 1

б) для непроводящей стенки Е = —

' [ Гв*40 (к, )] 0

Подставим (17) и (18) в первое уравнение системы (16)

зЬ (к/0)

| г 'Ж (г *, г0*)о ( * ) ';

0

Гв

|Г(г',г')) (к,г')' .

У 2 Е V0 (к,г') сЬ [к,г0 ] + У1Е в,

,=1

,=1

сЬ [ (1 - г0)] 40 (к,г'^ [к'(1 - * )];

да

: (у1 -У 2 )Е Е,40 (к,г').

,=1

Из последнего равенства следует _(У1 -У 2 )

В = Е

1 1

У2СЬ (V ) + у^Ь [к, (1 - г' )] • Л [кц (1 - г')]

, (, =1,2,...). (19)

2. Двухслойно-однородная модель по проводимости среды ванны в вертикальном направлении (рисунок, б). Распределение потенциала электрического поля в слоях ванны, описываемого уравнением Лапласа, в этом случае представляется

Ф1 (г, г) = ^-[V(г', г') + и (Г', г')], (20)

уг

Ф2

(г,г) = -^[V(г',г') + иСТ (г',г') + и2 (г',г')] . У 21

(21)

Будем искать функции ист(г , г ), и(г , г ) и и2(г , г ), так же как и в первом случае, в виде сумм частных решений уравнения Лапласа, полученных методом разделения переменных в цилиндрической системе координат:

кг'

ист (г*,г') = Е А соз (2/ +1)— 10 (2/ +1)^- , (22)

1=0 [ 2

/ \ да кг кг

и, (г*,г') = ЕВ соз (2/ +1)— 10 (2/ +1)— , (23)

/=0 [ 2 ] [ 2 _

да

и 2 ( г', г' ) = Е Сч30 (к,г' )[ Ш (к,) сЬ (к,г')-(к,г')] . (24)

,=1

Исходя из выбранных представлений функций ист(г , г ) и и2(г , г ) граничное условие на боковой стенке:

а) для проводящей стенки ист (гв', г') = -V (гв', г') ;

аист ( г', г') дК ( г', г')

б) для непроводящей стенки

дг

г =гв

дг

Поэтому коэффициенты А, функции ист(г , г ) вычисляются так же, как и в предыдущем случае, по (13) или (14).

1

Граничные условия непрерывности тока на поверхности Г раздела слоёв 1 и 2 (рисунок, б)

Ф (^2)_Ф2 (ro,2),

У1

дФ1 (г 2)

дг

_У 2

дФ2 (Г, 2)

дг

С учётом (20) и (21)

У2и1 (Г0* , ) - У1и2 (Г* , ) = (У1 - У2 У (Г0* , ) + У^ст (Г0* , ) , дЦ (г*,2*) _ди2 (г*,2*) дист (г*,2*)

(25)

дг |г* _г0* дг |г* _г0* дг

Подставим (23), (24) и их производные по г * в (25)

у 2 iв

008

(2/ +1)

%2

(2/ +1))2-

да

-у110((г )[*(ч)оь*)-(кч2*)

г=1

= (у1 - у2 ) ^ (Г0*, 2* ) + у1ист (Г0*, 2* ) ,

(26)

IВ

008

(2/ +1)

%2

(2/ + 10

(2/ +

да ди (Г 2 )

I Ск^1 (кчг *)[ Л (к )оЬ (к?2 *)-А (к2*)]_ стдг *' ;

о=1 I

'0

Ограничим количества членов рядов для функций и1(г*, 2*) и и2(г*, 2*): N - максимальное значение индекса членов ряда для функции и1(г , 2 ); N - максимальное значение индекса членов ряда для функции и2(г , 2 ). Составим невязки для уравнений системы (26) с ограниченными количествами членов рядов функций и1(г , 2) и и2(г , 2 )

( +

( +1)^

81 _у 2 iВ

/=0

-у11С^ 0 (кчГ0*)[ (ко )оЬ (к/)-А (к/)]

ч_1

(у 1 у2 ((, 2* )-у1и ст (( 2 *),

(27)

82 _1 Вл

(2/ +

(2/ +1) 10

(2/ +1)^

ч_1

СЧкЧ^ (V )[^ (кЧ )оь (кч2* )-а (кч2* ^-Щг^-

/_0

/_0

/_0

Для определения коэффициентов В7, 7 = 0, 1, ..., N1, СЧ, д = 1, ...,Ы2 применим метод наименьших квадратов, согласно которому значения этих коэффициентов выбираются так, чтобы сумма квадратов невязок (27) в интегральном смысле по высоте боковой стенки ванны была минимальной

я = 1(52 +52 ))*

• тт.

Условием минимума суммы квадратов невязок является равенство нулю их частных производных по искомым коэффициентам

£ = ^ + 52 ^2 ^ пИ пи

дЯ дВ

дБ

дСр

дВ 01 дВ дВ у

• = 2

Л 51 + 5

дСр

д52 дСр

= 0, ] = 0,1,., N1, = 0, р =1,2,...,N2.

' р 0 V р р у

Подставив в эти уравнения выражения для невязок из (27) и их производных по искомым коэффициентам, получим систему линейных алгебраических уравнений порядка N1 + N2 + 1 со следующей структурой

а0,0 В0 + •• •+ a0,N1 BN1 + Ь0,1С1 + • + Ь0, Щ CN2 е0,

а^,0Ь0 + • • + ,N1 BN1 + bN1,1С1 + • + bN1,N2 CN2 = ^ ,

С1,0 В0 + •• •+ С1, N1BN1 + С1,1С1 + • • • *"С1, N2 CN2 = §1,

с В + + С В + С^,1С1 + '••• + ,N2 СЩ =

(28)

где ап =

0, если у Ф 7 , [

у 2102

(2 j +1)^

(2 j +

(2 j +1)^

К =

У1У 210

(2.1 +1)^

(2 j +О*-

если у = 7

(/0*)

Jo (к/* ) + (2 j +1) 11

х/ (, К); с* =-ьуч;

{у? J0 (крГ0 ) -0 (к/о ) + крк/1 (крГ0* ) -Л ()} /2 (кр , кд ), Р Ф Ч

{ -0 (крГ* )]2 + [кр-1 (крГ0*)]2 } (кр),

Л ^ **)

С =

рч

р = ч;

^ =У2 (У1 -У2 )10

(2 j + !>*•

008

(2 У +

У1У 210

(2 у +1)^

(2У +1)

(2 У +1)^-

i

"Yi (Yi -У2 )jо (kpro* )jV (ro, z* )[th (kp )ch (kpZ* )-5h (kpz* )] dz*

да /

-Z A y2 Jо (kpro*))

1=0 ^ xf ( kq);

i

fi (j,) = icos

0

(21 + Of

" kqJ1 (fyb)

(21 +1)

(21 + i)5o

(2. j + i)f-

[ th (kq )ch (kqZ* )- 5h (kqz ' )] dz '

k„

k2

q

(2,+ч§

f2 (kp ■ kq ) = } [ th (kp )ch (kpz' )-sh (kpz' )][ th (kq )ch (k/ )-5h (k/ )]]'

0

= sh (kp + kq )[ th (kp )th (kq ) + i] + sh (kp - kq )[ th (kp ) th (kq )- i] -

= 2 (kp + К) + 2 (kp - к) -

[ch (kp + kq )- i][th (kp ) + th (kq )] [ch (kp - kq ) i] [th (kp ) - th ( )] _

2 (kp + К)

f3 (kp ) = } [ th (kp )ch (kpz *) - sh (kpz*)]2 dz *

0

[th2 (kp)-i] ch(2kp)th(kp)

2 (kp - К )

sh ( 2kp )[th2 (kp ) + i]

4k

2 2k

p

Таким образом, решение задачи расчета электрического поля в ванне с двухслойно-однородной структурой по проводимости среды в радиальном направлении одноэлектродной круглой печи и с боковой стенкой, выполненной из проводящих материалов, представляется комбинациями функций V(r , z ), ист(г , z ), Ui(r , z ), U2(r , z ), три последние из которых описываются рядами (4)-(6), где коэффициенты A,, B,, Cq определяются формулами (i3), (i7), (i9). В случае выполнения боковой стенки из непроводящих материалов функции ист(г*, z*), Ui(r*, z*), U2(r*, z*) также даются рядами (4)-(5), где коэффициенты A, B,, Cq определяются формулами (i4), (i7), (i9).

Решение задачи расчета электрического поля в ванне с двухслойно-однородной структурой по проводимости среды в вертикальном направлении одноэлектродной круглой печи и с боковой стенкой, выполненной из проводящих материалов, представляется комбинациями функций V(r*, z*), UCT(r , z ), Ui(r , z ), U2(r , z ), три последние из которых представлены рядами (22)-(24), где коэффициенты A, определяются формулой (i3), а коэффициен-

ты Б, Cq - решением системы линейных алгебраических уравнений (28). В случае выполнения боковой стенки из непроводящих материалов функции UCT(r , z ), U\(r , z ), U2(r , z ) также представлены рядами (22)-(24), в которых коэффициенты A, определяются формулой (14), а коэффициенты Б, Cq - решением системы линейных алгебраических уравнений (28).

Литература

1. Ершов В.А., Данцис Я.Б., Жилов Г.М. Теоретические основы химической электротермии. Л.: Химия, 1978. 184 с.

2. Ильгачёв А.Н. Исследование разностно-потенциальных коэффициентов ванн многоэлектродных печей резистивного нагрева // Региональная энергетика и электротехника: проблемы и решения: сб. науч. тр. Вып. 7. Чебоксары: Изд-во Чуваш. ун-та, 2011. С. 196-209.

3. Ильгачёв А.Н. Аналитико-численный метод расчета характеристик электрического поля ванны многоэлектродных печей // Вестник Чувашского университета. 2016. № 3. С. 37-50.

4. Плетнев, A.A., Русаков М.Р., Талалов В.А. Численное моделирование электрического поля и сопротивления ванны многошлаковой руднотермической печи // Компьютерное моделирование при оптимизации технологических процессов электротермических производств: сб. тр. науч.-техн. совещания «Электротермия - 2000». СПб.: Изд-во СПбГТИ, 2000. С. 317-323.

5. Миронов Ю.М., Тарасов В.А. Аналитический расчёт электрических полей и сопротивлений ванн электрических печей // Известия вузов. Электромеханика. 1975. № 11. С. 1174-1189.

6. ФренкельЯ.И. Кинетика теории жидкостей. М.: Изд-во АН СССР, 1945. 424 с.

7. Шимони К. Теоретическая электротехника. М.: Мир, 1964. 773 с.

8. Lehner G. Electromagnetic field theory for engineers and physicists. 1st ed. Springer, 2008.

659 p.

9. Zhu Yu, Cangellaris A.C. Multigrid finite element methods for electromagnetic field modeling. Wiley-IEEE Press, 2006. 408 p.

ИЛЬГАЧЁВ АНАТОЛИЙ НИКОЛАЕВИЧ - кандидат технических наук, доцент кафедры автоматизированных электротехнологических установок и систем, Чувашский государственный университет, Россия, Чебоксары (anikil47@mail.ru).

A. ILGACHEV

ACCOUNT OF MEDIUM CONDUCTANCE HETEROGENEITY IN ONE-ELECTRODE ROUND FURNACE BATH Key words: two-layer homogeneous model, Laplace's equation, analytical and numerical method, variables separation method, least-squares method.

Taking into account the analysis of the technology process features occurring in the ore-thermal furnace bath, application of two-layer homogeneous models by electric conductance of medium in the one-electrode round furnace bath in the vertical or horizontal direction used to calculate electric field in it is justified. For structures under consideration Laplace's equation is solved by means of analytical and numerical method based on the combination of methods of equivalent sources, reflection, variable separation method and least-squares method. The function that determines the bath electrical field potential is calculated as a sum of three harmonic functions: the electrical field potential distribution function that is infinite in the bath radial direction; the function taking into account side-wall influence upon the bath electric field with uniform medium; the function taking into account non-uniformity of medium conductance.

References

1. Ershov V.A., Dantsis Ya.B., Zhilov G.M. Teoreticheskie osnovy khimicheskoi elektrotermii [Theoretical Foundations of Chemical electrothermy]. Leningrad, Chimiya Publ., 1978, 184 p.

2. Ilgachev A.N. Issledovanie raznostno-potentsial'nykh koeffitsientov vann mnogoelektrod-nykh pechei rezistivnogo nagreva [Investigation of potential difference-coefficient baths multielec-trode resistance heating furnaces]. Regional'naya energetika i elektrotekhnika: problemy i resheniya: sb. nauch. tr. Vyp. 7 [Collection of scientific papers «Regional Energy & Electrical Engineering: Problems and Solutions», issue 7]. Cheboksary, Chuvash State Univesity Publ., 2011, pp. 196-209.

3. Ilgachev A.N. Analitiko-chislennyi metod rascheta kharakteristik elektricheskogo polya van-ny mnogoelektrodnykh pechei [Analytical numerical method of calculating the multi-electrode furnaces bath electric field characteristics]. Vestnik Chuvashskogo universiteta, 2016, no. 3, pp. 37-50.

4. Pletnev, A.A., Rusakov M.R., Talalov V.A. Chislennoe modelirovanie elektricheskogo polya i soprotivleniya vanny mnogoshlakovoi rudnotermicheskoi pechi [Numerical simulations of the electric field and the resistance of ore-smelting furnace multislag bath]. Komp'yuternoe modelirovaniepri optimizatsii tekhnologicheskikh protsessov elektrotermicheskikh proizvodstv: sb. tr. nauch.-tekhn. soveshchaniya «Elektrotermiya - 2000» [collection of papers of Scientific and Technical Conference «Computer modeling in the optimization of technological processes electrometallurgy Electroheat -2000»]. St. Petersburg, St. Petersburg State Technical Institute Publ., 2000, pp. 317-323.

5. Mironov Yu.M., Tarasov V.A Analiticheskii raschet elektricheskikh polei i soprotivlenii vann elektricheskikh pechei [Analytical calculation of the electric fields and resistances of bathsof electric furnaces]. Izvestiya vuzov. Elektromekhanika [Proceedings of the universities. Electro mechanics], 1975, no. 11, pp. 1174-1189.

6. Frenkel Ya.I. Kinetika teorii zhidkostei [The kinetics of the theory of liquids]. Moscow, AN USSR Publ., 1945, 424 p.

7. Shimoni K. Teoreticheskaya elektrotekhnika [theoretical electrical Engineering]. Moscow, Mir Publ., 1964, 773 p.

8. Lehner G. Electromagnetic field theory for engineers and physicists. 1st ed. Springer, 2008. 659 p.

9. Zhu Yu, Cangellaris A.C. Multigrid finite element methods for electromagnetic field modeling. Wiley-IEEE Press, 2006. 408 p.

ILGACHEV ANATOLII - Candidate of Technical Sciences, Assistant Professor of Automated Technological Installations and Systems Department, Chuvash State University, Russia, Cheboksary (anikil47@mail.ru).

Ссылка на статью: Ильгачёв А.Н. Учет неоднородности проводимости среды ванны круглой одноэлектродной печи // Вестник Чувашского университета. - 2017. - № 3. - С. 62-72.