CC BY
19
УДК 517.925.5 ББК 22.161.61 С 92
Схаляхо Ч.А.
Кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математических основ криптологии и криптографической защиты информации Краснодарского высшего военного училища им. С.М. Штеменко, Краснодар, e-mail: scha1@mail.ru
Тугуз Н.С.
Кандидат педагогических наук, доцент кафедры высшей математики Кубанского государственного аграрного университета им. И. Т. Трубилина, Краснодар, e-mail: tugusns@mail.ru
Теоремы сравнения для многомерных дифференциальных
систем общего вида
(Рецензирована)
Аннотация. Рассматриваются теоремы сравнения для многомерных дифференциальных систем общего вида, позволяющие по свойствам решений одних дифференциальных систем судить о свойствах решений других систем дифференциальных уравнений общего вида.
Ключевые слова: многомерные дифференциальные системы, правильное решение, колеблющиеся решения, условия Каратеодори.
Skhalyakho Ch.A.
Candidate of Physics and Mathematics, Associate Professor of Department of Mathematical Fundamentals of Cryptology and Cryptographic Information Security, the Krasnodar Higher Military College named after S.M. Shtemenko, Krasnodar, e-mail: scha1@mail.ru
Tuguz N.S.
Candidate of Pedagogy, Associate Professor of Department of the Higher Mathematics, the Kuban State Agricultural University named after I.T. Trubilin, Krasnodar, e-mail: tugusns@mail.ru
Comparison theorems for multidimensional differential systems of general view
Abstract. We deal with comparison theorems for the multidimensional differential systems of general view which enable, basing on properties of solutions of one differential systems, predetermination of properties of solutions for other systems of the differential equations of general view.
Keywords: multidimensional differential systems, the correct solution, the fluctuating .solutions, the Caratheo-dory conditions.
Даная работа посвящена обобщению разрешения некоторых вопросов для двумерных дифференциальных систем со степенными нелинейностями [1, 2]. Рассмотрим систему дифференциальных уравнений вида
Щ= f (t, u2,..un ) (i = 1,..., n), (1)
где n > 2 - натуральное число, функции f :[0,+ro) x Rn ^ R (i = 1,...,n) удовлетворяют локальным условиям Каратеодори и
f(t,0,...,0) = 0 (i = 1,...,n) при t > 0.
Определение 1. Решение (u1, u2,..., un) системы (1), заданное на некотором бесконечном промежутке [t0,+ro), называется правильным решением, если
SUP12 К (s) : s > t f > 0 при t > t0.
\и
V ¿=1 J
Определение 2. Правильное решение (и1, и2,..., ип) системы (1) называется колеблющимся, если каждая его компонента имеет последовательность нулей, сходящуюся к + да, и неколеблющимся - в противном случае.
Наряду с системой (1) рассмотрим систему
{и ^ У2,...У„) (/ = 1,..., пК (2)
правые части которой, gf :[0,+го)хRn ^ R (i = 1,...,n) , также удовлетворяют локальным условиям Каратеодори и
gl((0,...0) = 0 (i = 1,...,n) при t > 0. Для формулировки основных теорем сравнения нам потребуется следующее Определение 3. Пусть mt е {0,1} (i = 1,...,n) . Будем говорить, что вектор-функция (f1, f2,..., fn):[0,+го)хRn ^Rn принадлежит классу M(m1,m2,...,mn), если для любых i е{1,...,n} и [t*, t*] е [0,+го) система (1) не имеет решения (u1,u2,...,un), заданного на [t*, t *] и удовлетворяющего хотя бы одному из следующих двух условий:
иг (t.)* 0, иг (t*) = 0, (-1) miut(t.) ui+1 (t)> 0 при t* < t < t* (3)
или
u (t.) = 0, u, (t*)* 0, (-1) miut (t.) ui+1 (t)< 0 при t* < t < t*, (4)
где un+1 = u1.
Теорема 1. Пусть n - четное число, существуют числа mi е {0,1} (i = 1,...,n) такие,
n
что ^ mi - нечетное число,
i=1
(/^ f2,..., fn M (ml, mn ), (gl, g 2 gn M (ml, ^V-mn ), (5)
и для любого i e{l,...,n} выполняются неравенства:
(- 1)mi gi( ^v- xn) sign X+1 > (- 1)mi f(t, y^.., y ^ x, y^.., yn) sign y+1 (6)
при t > 0, Xj ■ yj > 0, |y;| < |x;| (j = 1,...,n; j * i),
(- l)m'f1 (t, Х — Xi-lA X,■+1,..., Xn )sign X+l > 0, (7)
где xn+1 = x, yn+1 = y1. Тогда из колеблемости всех правильных решений системы (1) следует колеблемость всех правильных решений системы (2).
Для доказательства теоремы 1 нам понадобится следующая
Лемма 1. Пусть существуют две абсолютно непрерывные на каждом конечном промежутке вектор-функции (ai1,ai2,...,ain): [t*,+ro)^Rn (i = 1,2) и числа ке{1,...,n} и Aj е {- 1,l} (j = 1,...n; j * к) такие, что
a1t(t)<a2l(t) приt > t* (l = 1,...,n),
и при t > t*, a1l(() < yf<a2f(() (l = 1,..., n) соблюдаются неравенства
(- 1У [((У1,...,Ук-1,alk(t),yk+l,...,Уп)-alk(t)]< 0 (i = 1,2)
и
(-l) A j[ ((, Уl,..., У j-l, aj (() y^... Уп )-aj (t)]< 0 (j = 1,..., n; j * k; i = 1,2).
Тогда для любого числа c e[alK(t*),a2K(t*)] найдется решение (u1,u2,...,un) системы (1), удовлетворяющее условию
uk (0 = С ali (t)< uj (t)< a2i(t) при t >t* (j = п). Лемма 1 следует из теоремы 2.1 работы [3].
Доказательство теоремы 1. Допустим, что теорема неверна, то есть все правильные решения системы (1) являются колеблющимися и, тем не менее, система (2) имеет неколеблющееся решение (,v2,...,vn). Тогда, согласно определения 2, существуют числа j e{l,...,n} и t0 > 0 такие, что
V,+1 {г)* 0 при г > /0*. (8)
Покажем существование числа г1 > г0 такого, что либо
у] {г )* 0 при г > г1,
либо
^ {/) = о при г > г1.
В самом деле, в противном случае нашлись бы числа г' > г0 и г" > г', для которых
V {г") = V, {г")= 0, V, {г)• V,+1 {г)* 0 при г'< г < г". Но это невозможно ввиду второго из условий (5).
Последовательно проводя аналогичные рассуждения, можно показать, что при любом г е{1,...,и} либо
V {г) = 0 при г > г*, (9)
либо
V {г)* 0 при г > г*, (10)
где г* - некоторое достаточно большое число.
Возможны два случая: 1) для некоторого г е {1,...,п} соблюдается условие (9) и 2) для любого г е {1,..., и} соблюдается условие (10).
В первом случае, согласно (8), найдется ке{1,..., и} такое, что
ук{г)*0, {г) = 0 при г >г*.
п
Во втором случае, ввиду нечетности числа ^ Шг, имеем
г =1
и Г 1 и
П[(- 1)4 {{)• V,+1 {г)]=-П V;2 {{)< 0 при г > г*.
] =1 ] =1
Поэтому для некоторого к е {1,...,и} соблюдается неравенство
{- 1)ШК^ Vк{г)• Vк+l {г)> 0 при г > г*. Таким образом, в обоих случаях существует ке{1,..., и} такое, что
ук{г)* 0, {- 1)Ш-Ук{г)• Ук+1 {г)> 0 при г > г*. (11)
Положим
а1} {{) = т1п{0, V,{г)}, а2, {г) = тах{0, V,{г)} {/ = 1,...,п),
Л = [{- 1)Ш §1§п { {г*) •у]+1 при +1 (О* 0,
; [1 при V,{г.) V+1 {0 = 0.
Ввиду (6), (7) и (11), нетрудно проверить, что соблюдаются условия леммы 1. Поэтому система (1) имеет решение {и1, и2,..., ип), удовлетворяющее условиям
ик{г*) = Vк(г*)*0,и]{г>;{г)> 0,| и,{г)|<| V,{г)| при г >г* {у = 1,...,и),
причем
{- 1)Шк ик{г* )• ик+1{г )> 0 при г > г*. Отсюда, согласно первому из условий (5), вытекает, что
ик {г) * 0 при г > г*.
Всюду в ходе доказательства подразумевается, что vn+1 = v1.
Следовательно, система (1) имеет правильное неколеблющееся решение. Но это противоречит нашему предложению о колеблемости всех правильных решений системы (1). Полученное противоречие доказывает теорему 1.
Следствие 1. Пусть n - четное число, каждая функция f и gi (i = 1,...,n) допускает представление
f (U Xv-Xn )= f1i (U ^v-Xn )+Pi (xi )' f2i (t, Xn ) , (12)
gi (t, Xn )= g1i (t, Xn )+®i (xi •g 2i (t, Х — Xn ) , (13)
где fK и gK : [û;+œ)x Rn ^ R (к = 1,2) удовлетворяют локальным условиям Каратеодори, а функции tpi и ai : R ^ R непрерывны и
X X
(Рг (x)-x > 0, œt(x)-x > 0, |id!7) = +œ, bf(FI = +œ при X * 0. (14)
0 0
n
Пусть далее существуют mi е {0,1} (i = 1,...,n) такие, что ^mi - нечетное число,
i=1
для любого i е{1,...,n} соблюдается неравенство (6) и
(- 1)m'/i(t,X1,...,Xn)• sign Xi+1 > 0, (- 1)m'g1i(t,X1,...,Xn)• sign Xi+1 > 0, (15)
где xn+1 = x1, _yn+1 = y1. Тогда из колеблемости всех правильных решений системы (1) следует колеблемость всех правильных решений системы (2).
Доказательство. Согласно теореме 1, достаточно показать, что соблюдаются условия (5). Докажем, что ((1,f2,..., fn)е M(m1,m2,...,mn). Допустим противное, то есть
( f2,..., fn ^Hm m2,..., m ).
Тогда найдутся [t,, t *Je[0,+œ) и решение (м1, u2,..., un ) системы (1), заданное на [t,, t *J, такие, что для некоторого i е {l,...,n} соблюдается либо условие (3), либо условие (4). Пусть соблюдается (3). Без ограничения общности можем считать, что
ui (t)* 0 при t* < t < t*. Тогда, согласно (12) и (15), будем иметь
U (( ) ) > - g (t )• \9i (Ui (t )) | при t* < t < t *,
где
g (( )=\ f2 i (t, ui (t •,..., un (t •• .
Деля обе части этого неравенства на (иг (г )) и интегрируя от 4 до получим
и, (г*) г*
№ 4 8((•
0 г*
Но это противоречит условию (14). Таким образом, условие (3) не может иметь место. Также можно показать, что не соблюдается и условие (4). Значит, ((1, Л,-, / )еМ(, т2,., тп )• Аналогично доказывается, что (81,82,..., 8п ) еМЦ, да2,..., тп). Следовательно, вектор-функции ((, /2,..., /п) и (81,82,..., 8п) удовлетворяют условиям (5). Следствие 1 доказано.
Следствие 2. Пусть п - четное число, при любом г е Ц,...,п} соблюдаются условия
(6) и (7), кроме того, существуют (/ ) х и (8, )хг, которые наряду с / и gi удовлетворяют локальным условиям Каратеодори. Тогда из колеблемости всех правильных решений системы (1) следует колеблемость всех правильных решений системы (2).
Доказательство. Чтобы убедиться в справедливости следствия 2, достаточно отметить, что функции / и gi (i = 1,...,п) допускают представления (12) и (13), где
Л ((, Х! — xn )= f (t, Х! — Xi-1А X+1,..., Хп ) ,
gu ((, ^v- Хп ) = gi (t, Xi-1А Хг+1,..., Хп ) ,
1 _
f2i ((, Х1,..., Хп ) = J fi ((, Х1,.", Xi-1, S ' Xi, Xi+1,..., Хп )ds ,
0
fi (t, X1,..., Хп )=(fi (t, X1,..., Xn)b , 1_
g2i (t, Xn ) = Jgi ( Xi-1,0, Xi^V- Xn )ds ,
0
gi (t, Xn )=(gi (( ^v- Xn )) Xi , (х)=& (x)= X .
Теорема 2. Пусть n - нечетное число, существуют mt е {0,1} (i = 1,...,п) такие, что
п
^ mi - четное число, соблюдаются условия (5) и для любого i е{1,..., п} соблюдаются усло-
i=1
вия (6) и (7). Тогда из того, что любое правильное решение (u1,u2,...,un) системы (1) является либо колеблющимся, либо удовлетворяющим условию
limu(t)| = +^ (i=1,...,п), (16)
ti+ro1 1
следует, что любое правильное решение (v1, v2,..., vn) системы (2) является либо колеблющимся, либо удовлетворяющим условию
lim| v(t)| = +ro (i = 1,...,n). (17)
t i+ro1 1
Доказательство. Допустим, что теорема неверна, то есть любое правильное решение системы (1) является либо колеблющимся, либо удовлетворяющим условию (16) и, тем не менее, система (2) имеет такое правильное неколеблющееся решение (v1,v2,...,vn), что для
некоторого m е {1,..., п}
lim inf| Vm(t)|<+ro. (18)
t i+ro 1 1
Как и при доказательстве теоремы 1, можно показать существование решения (u1,и2,...,ип) системы (1) такого, что при некоторых к е{1,...,п} и t* > 0 соблюдаются условия
uK (t*) = 0, u](t)' Vj(t)> a |u;(t)|<| v;(t)|
при t > t* (j = 1,...,n), причем
(- 1)m'' u, (t*) uK+1(t)> 0 при t > t*. Отсюда, согласно первому из условий (5), а также условию (18), вытекает, что u, (() Ф 0 при t > t*, lim inf I u, (t) I < +ro .
* ti +ro
Следовательно, система (1) имеет правильное неколеблющееся решение, не удовлетворяющее условию (16), что противоречит нашему предположению. Полученное противоречие доказывает теорему 2.
Следствие 3. Пусть п - нечетно, каждая функция / и gi (i = 1,...,п) допускает представление (12) и (13), где /, и gM : [0,+ro)xRn i R (к = 1,2) удовлетворяют локальным условиям Каратеодори, а функции cpi и coi : R iR (i = 1,...,n) непрерывны и соблю-
даются условия (14). Пусть далее существуют mi е{0,1} (г = 1,...,п) такие, что ^mi -
2=1
четное число, для любого i е{1,...,п} выполняются неравенства (6) и (15). Тогда из того, что любое правильное решение системы (1) является либо колеблющимся, либо удовлетворяющим условию (16), следует, что любое правильное решение системы (2) является либо колеблющимся, либо удовлетворяющим условию (17).
Следствие 4. Пусть п - нечетно, существуют mi е{0,1} (г = 1,...,п) такие, что
п
^т1 - четное число, и при любом г е {1,..., п} соблюдаются условия (6) и (7), кроме того,
2=1
существуют (/2) хг и (§.) х,, которые наряду с fi и ^ удовлетворяют локальным условиям Каратеодори. Тогда из того, что любое правильное решение системы (1) является либо колеблющимся, либо удовлетворяющим условию (16), следует, что любое правильное решение системы (2) является либо колеблющимся, либо удовлетворяющим условию (17).
Примечания:
1. Схаляхо Ч.А., Тугуз Н.С. Колеблемость решений дифференциальной системы типа Эмдена-Фаулера // Вестник Адыгейского государственного университета. Сер. Естественно-математические и технические науки. 2010. Вып. 3 (67). С. 11-14. URL: http://vestnik.adygnet.ru
2. Схаляхо Ч.А., Тугуз Н.С. О существовании нулей решений линейной дифференциальной системы на конечном промежутке // Вестник Адыгейского государственного университета. Сер. Естественно-математические и технические науки. 2012. Вып. 4 (110). С. 11-21. URL: http://vestnik.adygnet.ru
3. Кигурадзе И.Т., Розов Н.Х. Об абсолютной устойчивости нелинейных нестационарных систем автоматического регулирования // Дифференциальные уравнения. 1980. Т. 16, № 4. С. 755-756.
References:
1. Skhalyakho Ch.A., Tuguz N.S. Variability of solutions of Emden-Fowler type differential system // The Bulletin of the Adyghe State University. Ser. Natural-Mathematical and Technical Sciences. 2010. Iss. 3 (67). P. 11-14. URL: http://vestnik.adygnet.ru
2. Skhalyakho Ch.A., Tuguz N.S. On existence of zeroes to solutions of the linear differential system in a final interval // The Bulletin of the Adyghe State University. Ser. Natural-Mathematical and Technical Sciences. 2012. Iss. 4 (110). P. 11-21. URL: http://vestnik.adygnet.ru
3. Kiguradze I.T., Rozov N.Kh. On the absolute stability of non-linear nonstationary systems of automatic control // Differential Equations. 1980. Vol. 16, No. 4. P. 755-756.
