О существовании нулей решений линейной дифференциальной системы на конечном промежутке Текст научной статьи по специальности «Математика»

МАТЕМАТИКА

MATHEMATICS

УДК 517.956 ББК 22.161.616 С 92

Схаляхо Ч.А.

- ,

высшего военного училища (военный институт) имени СМ. Штеменко, Краснодар, e-mail: scha1@mail.ru

Тугуз Н.С.

Кандидат педагогических наук, доцент кафедры общих математических и естественно-ночных дисциплин филиала Майкопского государственного технологического университета в п. Яблонов-ском, тел. (8771) 98-1-63, e-mail: tuguzns@mail.ru

О существовании нулей решений линейной дифференциальной системы на конечном промежутке

(Рецензирована)

Аннотация

Рассматриваются колеблющиеся решения системы двух линейных дифференциальных уравнений, коэффициенты которых являются знакопеременными функциями. При этом вопросы колеблемости изучаются по компонентам. Приводятся достаточные условия существования одной из компонент систем дифференциальных уравнений на заданном конечном промежутке. Рассмотрены нетривиальные решения данной системы.

Ключевые слова: колеблемость, система двух линейных дифференциальных уравнений, знакопе-, .

Skhalyakho Ch.A.

Candidate of Physics and Mathematics, Associate Professor of Mathematics and Physics Department, Krasnodar Military Higher Institution (Military Institute) named after S.M. Shtemenko, Krasnodar, email: scha1@mail.ru

Tuguz N.S.

Candidate of Pedagogy, Associate Professor of Department of General Mathematics and Natural Science Disciplines, Branch of Maikop State University of Technology in the settlement of Yablonovsky, ph. (8771) 98-1-63, e-mail: tuguzns@mail.ru

On existence of zeroes to solutions of the linear differential system in a final interval

Abstract

The paper sheds light on fluctuating solutions of system of two linear differential equations the factors of which are sign-variable functions. Questions related to fluctuation are studied by components. The authors show the sufficient conditions for existence of one of the system components of the differential equations in the set final interval. Uncommon solutions of this system are considered.

Keywords: fluctuation, system of two linear differential equations, sign-variable factors, sufficient conditions for zero existence.

Рассмотрим систему двух линейных дифференциальных уравнений

щ = a1 (t)u2, u2= a2 (t)u 1, (1)

где функции ai : [ 0, +^) ^ R (i = 1,2) суммируемы на каждом конечном отрезке

промежутка [0, +то).

Непрерывную функцию u, определенную на [0, +~) и тождественно не равную

нулю при больших значениях t, назовем колеблющейся, если она имеет последовательность нулей, стремящуюся к + то .

Легко убедиться, что в случае, когда a1 (t) > 0 при t > 0, из колеблемости компоненты u1 некоторого нетривиального решения (u1, u2) системы (1) следует колеблемость и компоненты u2. Поэтому в случае знакопостоянства функции a1, ненулевое решение (u1, u2) системы (1) естественно назвать колеблющимся, если каждая компонента этого решения является колеблющейся функцией.

Если же функции at (i = 1,2) являются знакопеременными, то система (1) может

иметь решение, для которого компонента u1 колеблется, а u2 не колеблется. Например, система

u = cos t • u2, u2 =- cos t • u1

имеет именно такое решение

u1 (t) = sin (sin t), u2 (t) = cos (sin t) .

Поэтому вопросы колеблемости для систем со знакопеременными коэффициентами, на наш взгляд, целесообразно изучать покомпонентно.

В данной статье приводятся достаточные условия существования нуля компоненты u1 на заданном конечном промежутке. Аналогичные вопросы для нелинейных систем изучаются в [1].

Пусть t * произвольное положительное число. Положим

/ *\ I-1, если для некоторого S> 0 a1(t)< 0 при t* -S< t < t*,

^(;t-)=\ n ^ * (2)

( +1, если для некоторого S > 0 a1 (t) > 0 при t - S < t < t ,

/ *\ I-1, если для некоторого S> 0 a1 (t)< 0 при t* < t < t* + S,

(j(a1; t+ )= < * * (3)

| +1, если для некоторого S > 0 a1 (t) > 0 при t < t < t* + S.

Для простоты изложения будем считать, что функция a1 имеет только изолированные нули.

Пусть (u1, u2) решение системы (1), определенное на некотором отрезке

U; t2 М0, +то).

Определение 1. Будем говорить, что (, u2;[t1, t2 ]) принадлежит множеству K, если (u1, u2): [ t1, t2 ] R2 решение системы (1), для которого выполняются условия

u1 (t1 ) = u1 (t2 ) = 0, u1 (t)^ 0 при 11< t < 12,

arcctg v (t 1+) + arcctg v (t2-) = n,

где

v(t) = ut), v(t1+) = Й1 v(t), v(t2-) = Й?1 v(t)- (4)

u1 ( t) ^1+ t^h-

Определение 2. Будем говорить, что (, u2;[t1, t2 ]) принадлежит множеству K*, если (u1, u2): [ t1, t2 ] R2 решение системы (1) для которого выполняются условия

u1 (t1 ) = u1 (t2 ) = 0, u1 (t)ф 0 при t1 < t < 12,

arcctg v (t1+ ) = arcctg v (t2-),

где v, v (t1+) и v (t2-) заданы равенствами (4).

Имеет место

Лемма 1. Пусть (щ,u2): [ tj, t2 ] ^ R2 решение системы (1), для которого u1 (t1 ) = 0, u1 (t2 ) = 0, u1 (t)ф 0 при t1 <t < t2.

Тогда для того, чтобы (,u2;[ t1,t2]) принадлежало множеству K (множеству K* ), необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие

att2-) = +1, (<r(a1;tl+)^{al;t2-) = -1),

где a (aj, tj+) и a(ax; t2-) определены равенствами (2) и (3).

Отметим, что в случае, когда a1 (t) > 0 при t > 0, множество K* является пустым.

Лемма 2. Если для некоторого решения (щ, u2;[a, b ])е K, то первая компонента любого нетривиального решения системы (1) имеет хотя бы один нуль на отрезке [a, b].

Доказательство. Допустим противное. Пусть ( u2): [a, b] R2 такое решение системы (1), что щ (t) ф 0 при a < t < b. Тогда найдется точка t0 е (a, b), для которой

u2 (t0 ) = u2 (t0 ) u1 (t0 ) u1 (t0 )

Отсюда следует [2] линейная зависимость решений (u1,u2) и (u1,u2), что невозможно. Лемма доказана.

Замечание. Система (1) может иметь два решения (u1, u2) и (u1, u2) такие, что (u 1,u2 : [a,b]) K*, u1 (t)ф 0 при a < t < b .

Например, система

z П f П

u, =— sin t • u2, u2 =-sin t • u,

1 4 2 2 4 1

имеет решения:

u 1 = cos( + -Л-cos t), u 2= sin( + -|cos t) и u1 = cos (cos t), u2 = sin (cos t).

Легко видеть, что ( uj,u2; [ -f-,fn] )e K при этом u1 ( t)ф 0 для всех t > 0. Теорема 1. Пусть g некоторая положительная функция, для которой g(t) = a1(t)

при а < I < Ь . Пусть ( и2) нетривиальное решение системы (1) и / = тш { Ь,т}, где

т - наименьший нуль функции и1 из промежутка (а,+^). Тогда при любом £ > 0 справедливо неравенство

z(a+) 1 V _ / w ^ z(t)

arcctg г- +—j= IG*(s;єps й arcctg

■уіє \ є a л/є

z(a+) 1 */ \ ,

й arcctg +^= IG —^JdS при

<є л/є aa

й

(5)

где

a<t<t

/ \ g (t) u2 (t) 1 , . , .

Z (t) (A -^ Z (a+) = (t),.

u 1(t) 2 tla+

а функции G* и G* заданы соответственно равенствами

G* (t; f) = min { f a (t) g_1 (t); - g (t) a2 (t)- |a1 (t) g_1 (t)} ,

G* (t;f) = max { f a1 (t) g_1 (t); - g (t) a2 (t)- ja1 (t) g_1 (t)} . Доказательство. Непосредственной подстановкой можно убедиться в том, что

z(t ) = g (t) a2 (t)-a 1(t) g- (t )(2 (t)--4) при a <t < Л

Откуда имеем

1 (t)

z'-t) = g—)a2—) + (4 + є) g(t) a 1(t)

g-t)

при a < t < t* .

Следовательно,

j^(-[ g t* )a2 t ) + (- + є )ai (' ) • g_1 t* )] + + £ai - ) g_1 t* )) й

й

z(£)'

-ft у

2

z

+ 1

й

-^([8(ґ)а2 (ґ) + ( + є)а (ґ) • 8_1 (ґ)]- + єі (ґ)8_1 (ґ

при а < ґ < ґ*. Из последнего неравенства, учитывая, что выражение, стоящее в скобках в левой части (в правой части), равно G^i(t';є) (*(;є)), получим неравенство (5). Теорема і доказана.

Аналогично может быть доказана и

[х (?)]+ = max j0, х (t)], [х (?)] = max j0, - x (t)].

Теорема 2. Пусть И некоторая положительная функция, для которой И(^) = -а^) при а < ^ < Ь . Пусть (и1, и2) нетривиальное решение системы (1), а /* = тт{Ь,т}, где т - наименьший нуль функции и1 из промежутка (а, + ^).

Тогда при любом £ > 0 справедливо неравенство

w(a+) 1 V / \ . w(t) „

arcctg —J+- + —j= IH*(s; єps й arcctg-^- й

л/є л/є a л/є

w(a+) 1 V */ ч

й arcctg —+ —;= IH (s; є ps при

уіє <є a

(б)

где

+ 2, w (a+) = lim w(t),

u 1 (t) 2 tla+

а функции H* и H * заданы соответственно равенствами

H* (t;e) = min {ea1 (t) h_1 (t); -h (t) a2 (t)-1a1 (t) h_1 (t)},

H* (t; e) = max { ea1 (t) h_1 (t); - h (t) a2 (t) -1 a1 (t) h_1 (t) } .

Теорема 3. Пусть (u1, u2) нетривиальное решение системы (1), t* = min { b,T}, где

т - наименьший нуль функции u1 из промежутка (a, + ^). Тогда при любом c > 0

справедливо неравенство

v(a+)+ \л У

v a+ v t

arcctg + I A* (s; cps й arcctg й

c * c

a t (7)

v(a+) V .*/ \ ^

й arcctg + IA (s; c )ds при a < t < t Z'1 J

a

где

v (')= v(a+) = !im v(').

а функции Л* и Л* заданы равенствами

A* (t;c) = min {ca1 (t); -c_1a2 (t) }, A* (t;c) = max {ca1 (t); -c_1a2 (t) }.

Доказательство. Нетрудно проверить, что

v'(t) = a2 (t)- ar (t)• v2 (t) при a < t < t*.

Отсюда имеем

v'(t) a2 (t) + c2ax (t)

it \ it \ 2 -ai(t), (В)

v (t) + c v (t) + c '

где c = const > 0 .

Из (8) следует, что

<

а2 () / ч

- + са1 (I)

а2 () / ч

- + са1 (I)

(у (I)/с)

+ са, (I) < / V <

(V (| Vе) + 1

+ са1 (I) при а < I < I*.

Учитывая, что

а2(I) , ч

+ са1 (I)

+ са^) = А «(I; с),

а2(I) . ч

+ сах (I)

+ сах(1) = А* (I;с),

после интегрирования (9) от а до I, получим неравенство (7). Теорема 3 доказана. Теорема 4. Пусть для некоторого £ > 0

Ь

|О* (I;£) Л >4£л'

(10)

Тогда найдется отрезок [ ц, ^ ] с [а, Ь] и решение (и1, и2): [ ^, !2 ] ^ Я2 системы (1) тaкие, что (,u2;[l1,I2])е ^.

Доказательство. В силу (10), найдется число ^ е [а, Ь), для которого

|О* (^;£)Лу = 0, |О* (^;£)Лу > 0 при ^ < I < Ь,а(а1;!1+) = +1. (11)

а а

Рассмотрим решение (и1, и2) системы (1), удовлетворяющее начальным условиям

и1 (l1 ) = 0, и2 (l1 0. (12)

Учитывая, что а1 (I )> 0 в некоторой правой полуокрестности точки ^, имеем, что

(13)

. и2 (I)

11т = +сю.

Покажем теперь, что для некоторой точки !2 е (^, Ь]

и1 (I) 0 при ^ < I < ^, и1 (12) = 0,

причем

Пт

■2 -

Допустим противное. Тогда либо

и1 (I)* 0 при ^ < I < Ь,

либо для некоторой точки ^ е Ь) соблюдаются условия (14), но

1- и? (I)

11т = +с».

I^12- )

(14)

(15)

(16) (17)

а

со

В случае (16) из теоремы 1 с учетом (11) и (13) будем иметь

0 <-^|*G* (s;e) ds =-^|*G* (s;e) ds < arcctg—( <п при t1 <t < b,

Vf a tj "vf

где

— (t ) = g (t )u 2 (t )/u 1(t)-^. (18)

Последнее неравенство, очевидно, противоречит условию (10).

Если соблюдаются (14) и (17), то, в силу теоремы 1, получим

1 * 1 * —tt)

—-j= [G* (s;e) ds = -^ [G* (s;e) ds < arcctg —W- при t1 <t < t2,

Vf a ve f ve

где — - функция, заданная равенством (18). Отсюда, с учетом (11), находим

— (t2-) arcctg > 0,

vf

где — (t2-)= lim — (t).

f ^?2-

С другой стороны из (17) вытекает, что

— (t2-) arcctg .— = 0.

Vf

Получили противоречие. Следовательно, существует точка t2 е (t1, b], для которой соблюдаются условия (14) и (15). Тогда с учетом (12) и (13) легко видеть, что

(u2;[ ^t2])е K.

Теорема 4 доказана.

Аналогично, используя теоремы 2 и 3, можно доказать следующие теоремы 5 и 6. Теорема 5. Пусть для некоторого f > 0

b

JH* (s;f) ds > л/ёл

a

Тогда найдутся отрезок [t1,t2] с [a,b] и решение (щ,u2): [t1,t2 ] ^ R2 системы (1) такие, что

tu2;[tLt2])e K.

Теорема 6. Пусть для некоторого с > 0

b

JA *(s;c) ds > n.

a

Тогда найдутся отрезок [ t1, t2 ] с [a, b] и решение ( u2): [ t1, t2 ] R2 системы

(1) такие, что

либо

(^[^|2])е к.

Из теорем 4, 5, 6 и леммы 2 следует справедливость теорем 7 и 8.

Теорема 7. Пусть для некоторого £ > 0 либо

Ь

|О* (?;£) Л? >^/£;г,

а Ь

|Н* (?;£) Л? >4£л.

а

Тогда первая компонента любого нетривиального решения системы (1) имеет нуль на [а, Ь].

Теорема 8. Пусть для некоторого с > 0

Ь

|А *(?;с) Л? >ж-

а

Тогда первая компонента любого нетривиального решения системы (1) имеет нуль на [а, Ь].

Следствие 1. Пусть для некоторого £ > 0

-а2 (I)>( + £) (I)g~2 (I) при а < < Ь

и

g tb)> g ta) exP (f),

где g : [a, b] (0,+~) и g'(t) = a1 (t) при a < t < b. Тогда первая компонента любого не-

тривиального решения системы (1) имеет нуль на [a, b].

Следствие 2. Пусть для некоторого f > 0

-a2 (t)>( + e)aj (t)h“2 (t) при a < t < b

и

h(a)> h(b) exp(n)

где h : [a,b] (0, +^) и h'(t) = —a1 () при a < t < b . Тогда первая компонента любо-

го нетривиального решения системы (1) имеет нуль на [a, b].

Следствие 3. Пусть для некоторого > 0

-a2 (t)> c a1 (t) при a < t < b

и

b

г П

I)Л >—,=.

л/£

а

Тогда первая компонента любого нетривиального решения системы (1) имеет

нуль на [а, Ь].

Следствия 1, 2, 3 вытекают из теорем 7, 8 и леммы 2.

Теорема 9. Пусть <г((1; а+) = +1 и для некоторого £ > 0

I Ь

|О* (?;£) Л? <л/£т при а <l < Ь, |О * (?;£) Л? < 0. (19)

а а

Пусть, далее, ( и2) решение системы (1), удовлетворяющее условиям

и1 (а) = 0, и2 (а) ^ 0. (20)

Тогда найдется точка I* е (а, Ь) такая, что

(,и2; а,I* )е К*.

Доказательство. Сначала докажем, что и1 имеет нуль на (а, Ь]. Допустим противное, что

и1(l ^ 0 при а < I < Ь.

Тогда в силу теоремы 1 будем иметь

Ь

0 < атссЩг£^<|О* (?;£)Л? < 0,

где г(Ь-) = 11т г(I). Получили противоречие. Следовательно, найдется точка I* е (а, Ь], для которой

и1 (I)* 0 при а < I < I*, щ (I* ) = 0.

Теперь докажем, что

агсс^ V (I-) = 0, где V(I) = и2 (I)и1 (I), V(I-) = 11тV(I).

Если допустить противное, то есть что arccIgvV*_ ) = п, то в силу теоремы (1) получим противоречие с первым неравенством в (19). Следовательно,

(, и2; а, I* )е К*.

Теорема 9 доказана.

Имеют место следующие две теоремы.

Теорема 10. Пусть <г(а1; а+) = +1 и для некоторого £> 0 справедливы нера-

венства

I

| Н * (? ;£) Л? <4ёп при а < I < Ь, |Н * (?;£) Л? < 0. (21)

а

Ь

а

а

Пусть, далее ( и2) решение системы (1), удовлетворяющее условиям (20). Тогда найдется точка I* е (а, Ь] такая, что

(,и2;|^а,I* )е К*.

Теорема 11. Пусть <г(а1; а+) = +1 и для некоторого с > 0

I Ь

|А* (?;с) Л? <п при а < I < Ь, |а* (?;с) Л? < 0. (22)

а а

Пусть, далее (и1, и2) решение системы (1), удовлетворяющее условиям (20). Тогда найдется точка I* е (а, Ь] такая, что

(,и2; а,I* )е К*.

Теорема 12. Пусть для некоторых £ > 0 и Ле (0,п)

і ґ 0 < Л + ^ ІО*(5;є)5 < Л + ^ ІО*(5;є)5 < п (23)

а а

при а < і < Ь. Тогда первая компонента решения системы (і), для которого

^ = 8- (а )(сі8Л + "2), (24) и1 (а)

не обращается в нуль на отрезке [а, Ь].

Доказательство. Пусть (и1,и2) решение системы (і), удовлетворяющее условию (24). Тогда с учетом (23), в силу теоремы 1, будем иметь

0 < атс^^Є < п при а < і < Ь,

где г (і ) = 8(і)и2 (і )и1 (і)-1. Отсюда и следует, что и1 (і ) 0 при а < і < Ь . Теорема 12 доказана.

Теорема 13. Пусть для некоторых є > 0 и Лє (0,п)

0 <Л + -^ [я* (5;£)5 <Л + —^ [Н* (5;^)^5 <п при а<і<Ь . (25)

>/є а лЄ а

Тогда первая компонента решения (и1, и2) системы (1), для которого

112 (а) = И_1 (а ) ((%Л +1) их (а) ' ’

не обращается в нуль на [а, Ь].

Теорема 14. Пусть для некоторых чисел с > 0 и Лє (0,п) выполняются неравенства

і і

0 <Л+ |А* (5; с )5 <Л+ ІА* (5; с <п при а < і < Ь. (26)

а а

Тогда первая компонента решения (и1, и2) системы (1), для которого

и2 (а)

= с • сі8 а

щ (а)

не обращается в нуль на [а, Ь].

Теоремы 13 и 14 вытекают из теорем 2 и 3.

Теорема 15. Пусть ст{а1; а+) = +1 и для некоторого є > 0 и Л є (0,п) выполняются либо условия (19) и (23), либо условия (21) и (25). Тогда система (1) имеет два нетривиальных решения (и1,и2) и (;,и2) такие, что и1 имеет два нуля на [а,Ь], а

щ (і) ф 0 для всех і є [а,Ь].

Теорема 16. Пусть (г[а1; а+) = +1 и для некоторых с > 0 и Л є (0,п) выполняются условия (22) и (26). Тогда система (1) имеет два нетривиальных решения (и1, и2) и

(й1, и2) такие, что и1 имеет два нуля на [а, Ь], а и1 (і) ф 0 для всех і є [а, Ь].

Отметим, что аналоги приведенных выше теорем можно сформулировать и для компоненты и2 . Для этого достаточно везде в условиях теорем поменять местами а1 и а2.

Примечания:

1. Схаляхо Ч.А. О нулях решений одной двумерной дифференциальной системы на конечном промежутке // Дифференциальные уравнения. 1988. Т. 24, № 6. С. 1080-1083.

2. / . . -

носельский, А.И. Перов, АЛ. Поволоцкий, ПЛ. Забрейко. М.: Физматгиз, 1963. 248 с.

References:

1. Skhalyakho Ch.A. On zeros of solutions of one two-dimensional differential system on a finite interval // Differential equations. 1988. Vol. 24, No. 6. P. 1080-1083.

2. Vector fields on a plane / M.A. Kras-noselskiy, A.I. Perov, A.I. Povolotskiy, P.P. Zabreyko. M.: Fizmatgiz, 1963. 248 pp.