Интегральные условия колеблемости решений многомерных дифференциальных систем общего вида Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.913 ББК 22.161.61 С 92

Схаляхо Ч.А.

Кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математических основ криптологии и криптографической защиты информации Краснодарского высшего военного училища им. С.М. Штеменко, Краснодар, e-mail: scha1@mail.ru

Тугуз Н.С.

Кандидат педагогических наук, доцент кафедры высшей математики Кубанского государственного аграрного университета им. И. Т. Трубилина, Краснодар, e-mail: tugusns@mail.ru

Интегральные условия колеблемости решений многомерных дифференциальных систем общего вида

(Рецензирована)

Аннотация. Сформулированы условия и обоснованы утверждения колеблемлости любого правильного решения многомерной системы дифференциальных уравнений.

Ключевые слова: многомерная система дифференциальных уравнений, правильное решение, условия Ка-ратеодори, M -решение.

Skhalyakho Ch.A.

Candidate of Physics and Mathematics, Associate Professor of Department of Mathematical Fundamentals of Cryptology and Cryptographic Information Security, the Krasnodar Higher Military College named after S.M. Shtemenko, Krasnodar, e-mail: scha1@mail.ru

Tuguz N.S.

Candidate of Pedagogy, Associate Professor of Department of the Higher Mathematics, the Kuban State Agricultural University named after I.T. Trubilin, Krasnodar, e-mail: tugusns@mail.ru

Integrated conditions of the fluctuating solutions for the multidimensional differential systems of general view

Abstract. Conditions are formulated and the statements on fluctuation of any correct solution of multidimensional system of the differential equations are proved.

Keywords: the multidimensional system of the differential equations, the correct solution, the Caratheodory condition, M-solution.

В статье рассматривается многомерная система дифференциальных уравнений вида

u't= f (t, щ, щ,..., un) (i = 1,..., n), (1)

где n > 2 - натуральное число, функции f :[0,+го) хRn i R (i = 1,...,n) удовлетворяют локальным условиям Каратеодори и

f (t,0,...,0) = 0 (i = 1,...,n) при t > 0.

Следуя [1] и [2], введем следующие определения.

Определение 1. Правильное решение (м1,u2,...,un) системы (1) назовем M-решением,

если при больших значениях t соблюдаются неравенства

ui(t)• ux(t)> 0 (i = 1,...,n).

Определение 2. Будем говорить, что система (1) обладает свойством A , если каждое ее правильное решение (ux,u2,...,un) при четном n является колеблющимся, а при нечетном

n является либо колеблющимся, либо удовлетворяющим условию

(-1) • ui ()• u1 (t)> 0, lim щ (t) = 0 (i = 1,...,n). (2)

Определение 3. Будем говорить, что система (1) обладает свойством B* (свойством B ), если ее каждое правильное решение при нечетном n является либо колеблющимся, либо M-решением (либо удовлетворяющим условию lim ui(t) I =(i = 1,...,n)), а при

четном n - либо колеблющимся, либо M -решением (либо удовлетворяющим условию

lim ui(t) I = (i = 1,...,n)), либо удовлетворяющим условию (2)).

t i+<»' 1

В работе приведены достаточные условия колеблемости правильных решений системы (1), охватывающие случай, когда при любых фиксированных t, x1v.., xi xi+1,..., xn

lim mf| f X1,...,xn)| = 0 (/ = 1,...,n).

Теорема 1. Пусть n > 4 - четное число и на множестве [0, + <х>)х Rn выполняются неравенства

f (xn>a())+|x I ya'\x1+i Г ( = 1,.>n-(3)

fn Xi,..., Xn )signxi <-an (t)(l + | Xn I ya"\Xi Г, (4) где ai = const > 0, Xi = const > 0 (i = 1,...,n), функции ai: [0,+ro) ^ [0,+ro) (i = 1,...,n) локально суммируемы, причем

Г < 1 (i = 1,2,...n - 2), Г-1 Г < 1 + ai, (5)

j a, (s) ds = +да (i = 1,...,n -1). (6)

0

Пусть далее при любом четном £ е {2,..., n} соблюдается условие

|[Ф„-1 (£)]1+ai ■ a„(?) dt = +^, (7)

0

где

Ч-к-1

H0(() = 1, Hr(i;£) = | ja£-r(s)Hr-i(s;£)ds (r = 1,...,£ - 2), (8)

V 0

t

ф£-i((; £) = j ai (r)H-2 (r; £)dr, £ е{2,..., n - 2}, (9)

0

t

Фг((;£) = ja^(s)фг_1(^; £)ds (r = £,..., n -1), £ е{2,...,n - 2}, (10)

0

t

Ф„-i((;n)=jai(s)Hn-2(s;n)ds. (11)

0

Тогда любое правильное решение системы (1) является колеблющимся. Для доказательства теоремы 1 нам понадобится

Лемма 1. Пусть на множестве [0,+го) х Rn соблюдаются неравенства fi(( xl,•••, xn) ■ sign X+i > — (| x |) ■ щ (t, x+i) (i = 1,•••, n -1), щ : [0,+да)хR ^[0,+^) (i = 1,...,n-1), fn(t,Xi,...,Xn)sign Xi < 0, где функции щ : [0,+да) х R ^ [0,+да) (i = 1,..., n -1) удовлетворяют локальным условиям Ка-ратеодори, причем при t > 0 функции coi(t, x) sign X (i = 1,..., n -1) не убывают на R и для любого c Ф 0

j щ (t;c) dt = +<ю (i = 1,...,n -1),

0

а функция — : [0,+ro) ^ (0,+ro) (i = 1,..., n -1) непрерывны и

+x>

f—гг = +да (i = 1,.., n -1)

J —i (s) V '.

0

Тогда для любого правильного колеблющегося решения (и1, и2,..., ип) системы (1) найдутся числа t0 > 0 и £ е{1,...,n} такие, что £ + n четно и

иг(t)•u1(t)> 0 (i = 1,...,£), (- i)£+u(t)■ u1(t)> 0 (i = £ +1,...,n) (12)

при I > t0 .

Лемма 1 доказывается аналогично лемме 14.1 из [1].

Доказательство. В силу теоремы сравнения достаточно показать, что любое правильное решение системы

и' = а, (X1 +1 и, I У" I и,+1 Г и,+1 ('' = ^^ п -1),

и'п = -ап ()(1 + | ип I и1 \Г sign и1 (1 3)

является колеблющимся.

Допустим, что система (13) имеет правильное неколеблющееся решение (м1, и2,..., ип).

Тогда, согласно лемме 1, найдется *С0 > 0 и четное число £ е { 2,...,п] такие, что соблюдаются неравенства (12).

Пусть £Ф п. В силу неравенств (5) и (12) можно подобрать числа с, > 0 (' = £,..., п -1)

таким образом, чтобы выполнялись неравенства:

'

- ф,(у > аг(tу и'+1(() (' = С.п - 2),

- Спк-1 (() > ап-1 ()| ип ^^ при t > to. (14)

Из равенства

ф-1 (i )un (t )Г-1 -Ф -1 fo i )) u ( ^

J«„-1 (s)Ф-2 (s; l)| u„ (s)|ds =

t > 4n-1 J^-1 (s;l)) un (s) | 11 un (s) | ds при t > t

t0

t

с учетом того, что | un (t) < 0 при t > t0, получим

l^n-1 . « /-, Л\ I \ |Л)-1

Фn-1 (t;l) un (t)|^ <Фn-1 (t0;l)) un ( -b-1 (s)Фn-2(s;l)| u„(s) l4«-1 ds.

0)' +

(15)

t t0

Применяя последовательно неравенства (14), находим, что для некоторых с* > 0 и с > 0

г

| а„-1 (* )ф „-2 (*; £) | ип (8) |Л!-1 ж < -си-1Ф п-2 (t; е) ии-1 (t) | + '0

г

+Си-1Фи-2 (to;£) ии-1 (to) + Си-1 |фи-э (8;£)аи-2 (8)| ии-1 (8) < (16)

*0

г

< с* + с* |а1 (^)Н£-2 (8;£)| и£ (8) при t > t0.

«0

Воспользовавшись тем, что функции | и, | (' = 1,..., £ -1) ограничены снизу положительным числом, а | ие | ограничена сверху конечной постоянной и 0 <Л, < 1 (' = 1,...,£ -1), можно подобрать числа ^ > t0 и с > 0, для которых при t > t1

с\ и, () г > фп-1 (to;£) ип (to )\Г+ с* +

t (17)

+с*|ах (8)Н£-2 (8;£)| и£ (8) .

to

Тогда в силу (15) и (16) из (17) будем иметь:

с Ui (Op >Ф n-1 (t; £)| Un (t)|Vi при t > ti. (18)

Если £ = n, легко видеть, что для некоторых c > 0 и t2 > t0

|ui(t)1+ai >СФn-i(t;n)| Un(t) Гп1 при t > t2. (19)

Из (18) и (19) видно, что при любом четном £ е {2,...,n} существуют c > 0 и t* > t0, для которых

|ui(t)f+ai > c ■Ф n-1 (t; £ )| un (t) Гп 1 при t > t* (20)

Воспользовавшись (20) из последнего равенства системы (13), будем иметь:

(i + 1 ип (01) ■! ип Un (()|'<-<А ■(Ф n-1 ((; £ )) ■ an (() при t > t*

Полученное неравенство очевидно противоречит неравенствам (5) и (7). Теорема 1 доказана. Теорема 2. Пусть n > 4 четно, на множестве [0,+го)х Rn выполняются неравенства (3) и (4), где ai = const > 0, Г = const > 0 (i = 1,...,n), функции ai : [0;+ro)^ [0;+ro) (i = 1,...,n) локально суммируемы, соблюдаются условия (6) и

Г < 1 (i = 1,...,n-1), Г > 1 + ai. (21)

Пусть далее при любом четном £ е{ 2,..., n} соблюдается условие

+<ю

j фп-i (t, £)an (t)dt = +°°, (22)

0

где Фn-1 - функция, заданная равенствами (8)—(11). Тогда любое правильное решение системы (1) является колеблющимся.

Доказательство. Достаточно показать, что любое правильное решение системы (12) является колеблющимся. Допустим, что система (12) имеет правильное неколеблющееся решение (и1,и2,...,ип). Тогда, согласно лемме 1, найдутся t0 > 0 и четное число £ е{2,...,n}

такие, что соблюдаются неравенства (11). Если £ = п, то

г , г

|ф„_!(э;п)\ ип(у)) ^ < Ф„_!((;п)\ ип(() | +1а(э)Н„_2(э;£) | ип(э) | ^ < с„ | щ(0

го го

при г > г0, где с0 - достаточно большое положительное число.

Если же £ е{2,...,п - 2}, то для некоторых положительных чисел сх,с2,с3 будем иметь:

гг

' / "ч / 41 / 41 ' < ... < С' +

|фn-1 (£)| un(s)ds <ф„_1 (i0;£)-| un(()| + jb„_2(s;£k-(s) un(s)ds < ...<с

n-2 '

to

t

+ (

с21 ах (э)Н£-2 (э)| и£ (э)| ds < с3| Щ ((при г > г0.

г0

Следовательно, для £ е {2,...,п} и г0 > 0, при которых соблюдаются неравенства (11),

найдутся с* > 0 и с* > 0 такие, что

t

|м1(()|1+"1 > с* + с* ^n-1(s; £)an (s)| M1(s)|A"ds при t > t0.

t0

Откуда следует, что

(r())-^.r'()> с* Фп-1(t;£)• an(t) при t > t„

где

t

R(t) = с* + с* j Фn-1 (s; £)an (s) | u (s) ds.

t

Последнее неравенство очевидно противоречит условиям (21) и (22), что и доказывает теорему 2.

0

Теорема 3. Пусть n > 3 нечетно, на множестве [0,+го)х Rn выполняются неравенства

f ъ,-,xn)signxl+i >a(0f1+1 x1 )~a'\xi+i t ( =n) (23)

где

xn+1 = x1, ai = const > 0, t = const > 0 (i = 1,...,n), функции ai : [0,+ю) — [0,+ю) (i = 1,..., n) локально суммируемы, соблюдаются условия (5), (6). Пусть далее при любом £ е{ 2к:к = 1,..., nf} U {n} соблюдается условие (22), где функции Фn-1 заданы равенствами (8)-(9). Тогда любое правильное решение системы (1) является либо колеблющимся, либо удовлетворяющим условию

lim ui(t)i=+ro (i=1,...,n).

t —ю 1

Теорема 3 доказывается аналогично теореме 1, только вместо леммы 1 используется следующая

Лемма 2. Пусть на множестве [0,+ю) х Rn соблюдаются неравенства f((^v-xn)sign Х+1 >(0 x I(t,| Xi+1 | ) (i = ^^n-1),

fn (t, xn ) sign X1 > 0,

где функции < : [0,+ю)х R — (0,+ю) и (; [0,+ю) —> (0,+ю) удовлетворяют всем условиям леммы 1. Пусть (, u2,..., un) - правильное неколеблющееся решение системы (1). Тогда либо (,u2,...,un) является M -решением, либо найдутся числа t0 > 0 и £ е{1,...,n -1} такие, что n + £ - нечетно и соблюдается неравенство (12).

Лемма 2 доказывается аналогично лемме 14.2 из [1].

Теорема 4. Пусть n > 3, на множестве [0,+ю)х Rn соблюдаются неравенства

<(( xi+1f (( ^v- xn)sign xi+1 (t,X+1) (i = n -1), (24)

fn (( X1,..., Xn )sign X (t, X1 ) , (25)

где функции < : [0,+ю)х R — [0 ,+ю) (i = 1,...,n), со*: [0,+ю)х R — [0 ,+ю) (i = 1,...,n -1) удовлетворяют локальным условиям Каратеодори, < (t, x) sign x, с * (t, x) sign x (i = 1,..., n -1) не убывают по второму аргументу на R, ап (t, x) > 0, < (t, x) > 0 при t > 0, x Ф 0, и для любого c Ф 0

J< (t,c)dt = +ю (i = 1,...,n -1). (26)

0

Пусть далее каковы бы ни были положительные числа c0,c1v..,cn-1 и m е {-1,1} функция

<n( x) = [с 1*((, m •Ф n-2(t;m, ^v- cn-1))] • cn(t, x)

не убывают по первому аргументу, и выполняется условие

J <(t, m •ф n-1m, co, cl,..., cn-1))dt = , (27)

0

где

t

Ф1 (( m, cn-2 , cn-1 ) = cn-2 J <-1 ( m • cn-1 d , (28)

0

t

фк((;m, cn-K-1, cn-1) = cn-K-1 J <n-K (s; ™фк-1(s;m, cn-K, - cn-1))ds (29)

0

(к = 2,..., n -1). Тогда система (1) обладает свойством A .

Замечание 1. В теореме 4, а также в нижеследующей теореме 6 не предполагается монотонность функции со и по второму аргументу. В теоремах 5 и 7 рассматривается

случай, когда для некоторых чисел а > 0 и А > а функция а>п (t, х) sign х не убывает на (-а; а) и не возрастает на R \[-А;А] по второму аргументу. Результаты, аналогичные теоремам 6-9 для уравнения n -го порядка, содержатся в [2].

Доказательство. Предположим, что теорема неверна. Пусть (u1,u2,...,un) - правильное неколеблющееся решение системы (1). Согласно лемме 1, найдутся числа t0 > 1 и £ е Ц,...,n} такие, что £ + n четно и выполняются неравенства (12). Если £ = n (n - нечетно), то решение (u1,u2,...,un) будет удовлетворять условию (2). В самом деле, если допустить противное, то найдутся числа с * > 0 и с* > 0 для некоторых

с* <| u(t)|<с* при t > t0.

Полагая

s = min{®"n (1, х): с * < | х | < с* }> 0, из последнего равенства в (1) с учетом (25) и (12) имеем

г

-| un (t)|>£ffl*(t;mФn-2 (t;m,1,...,1)) при t > to, где m = sign u1 (t0). Отсюда следует сходимость интеграла

jffl*(s; m Ф n-2 (s; m,1,...,1))ds,

что очевидно противоречит условиям (24) и (26). Следовательно, решение (,и2,...,ип)

удовлетворяет условию (2).

Теорема будет доказана, если мы покажем, что система (1) не имеет правильного неколеблющегося решения (и1,и2,...,ип), для которого £ е{2,...,п}. Допустим противное. Тогда найдутся положительные числа с0,..., сп-1, для которых

К (()<Ф n-, ((; m, c_1,..., Cn_1) (i = 1,2) при t > to (30)

и

1

(() <®1*((;m,фn_2(t;C1,...,Cn_1)) при t > to. (31)

Интегрируя неравенство

t

_| Un (t)\ >®n (t, "1 (t))

от t0 до t и воспользовавшись неравенствами (30), (31) и монотонностью функции Шп, получим

t t i t

| "п (t0 ) | > J®n ( U1 (S)) ) U1 (S) | ds > JX ((( U1 (S) | ), U1 (S)) ) U1 (S) | ds =

*0 f0

Q(|"1(i )|)

= J Шп ( тф n_1 (;m, Co,..., cn_1 ))фп_1 (г; m, с- )dr =

Q( U1(t0) | ) )|)

= J (г, тфп_1 (г; m co,..., cn_1 ))dr при t >

Q( U1(t0) | )

где Q - функция, обратная для функции Ф n-1. Отсюда в силу 26 и 11 вытекает, что

0 < с* =1 и1 (t0) I < I и1 (t) I < lim "1 (t) I = с* < .

Тогда

t

_| ип (tЯ > min{Бп(x): с* < | x | <с*} ® *(t;mфп_2 (t;m,cl,...,сп_1)) при t > t0, что противоречит условиям (24) и (25).

Таким образом, если n четно, система (1) не имеет правильных неколеблющихся решений, если же n нечетно - любое правильное неколеблющееся решение системы (1) удовлетворяет условию (2), то есть система (1) обладает свойством A . Теорема 4 доказана.

Теорема 5. Пусть n > 3, на множестве [û,+œ)x Rn соблюдаются неравенства (24) и (25), где функции oi : [û,+œ)x R ^ [0,+œ), о* : [û,+œ)x R ^ [0,+œ) (i = 1,...,n -1) удовлетворяют локальным условиям Каратеодори, функции

a>i ((, x)sign x, ®*(t, x) sign x (i = 1,...,n -1) не убывают по x на R, кроме того, существуют положительные числа а и А > а такие, что функция on(t;x)sign x не убывает по второму аргументу на промежутке (-а;а) и не возрастает на R \ [- А; А]. Пусть далее для любого c Ф 0 соблюдаются условия (26),

Jon (t; c )dt = +oo, J inf (n (t, x ):а<| x |<А) dt = +oo, (32)

0 0

и, каковы бы ни были положительные числа c0,..., cn-1 и m g {-1;1}, выполняется условие (27), где Ф n-1 - функция, заданная равенствами (28)-(29). Тогда система (1) обладает свойством A .

Доказательство. Пусть (,и2,...,ип) - правильное неколеблющееся решение системы (1). Согласно лемме 1, найдутся числа t0 > 1 и £ g{ 1,..., n } такие, что £ + n четно и соблюдаются неравенства (12). Покажем, что £ = 1. Допустим противное. Тогда в силу монотонности функции | и | найдутся числа s > 0 и t1 > t0, для которых либо

s<| щ(t)|<а при t > t1, (33)

либо

а<| щ(t)| < А при t > t1, (34)

либо

А<| и,(()<Фn-1 (t;m,c0,q,...,cn-1) при t > tx, (35)

где m = sign щ( ); c0,c1,...,cn-1 - достаточно большие положительные числа. Из неравенства

t

-| Un (t)\ >Оп (t, U1 (t))

легко видеть, что если соблюдается условие (33) (условие (34)), то имеет место неравенство

t t

Jon (s; sign щ ( ) ■ s)ds < Jon (s; щ (s))ds < | un (( ) при t > t1 t1 t!

Г t Л

J inf {n (s,r):a<| x |<а} <| un ( )| при t > t1

4t1

которое противоречит условию (32). Если же соблюдается (35), то

t

Jo((тФn-1(s;mc0,...,cn-1))ds <| un()| при t > tJ,

t1

что противоречит условию (27). Таким образом, £ = 1. В этом случае решение (, u2,..., un ) будет удовлетворять условию (2). Действительно, если допустить противное, то найдутся числа s> 0 и t1 > t0 такие, что соблюдается либо неравенство (33), либо (34), либо (35). Но как показано выше, ни одно из этих неравенств не может иметь место. Следовательно, (, u2,..., un ) удовлетворяет условию (2). Теорема 5 доказана.

Теорема 6. Пусть n > 3, на множестве [0,+o>)x Rn соблюдаются неравенства (24), кроме того

fn (( xn ^)signx1 >°n (U x1 ) , (36)

где функции аi : [0,+t»)x ,+ад) (i = 1,..., n), а*: [o,+t»)x ,+ад) (i = 1,...,n -1) удов-

летворяют локальным условиям Каратеодори, причем а{(t, x)sign x, а* (t, x)sign x (i = 1,..., n -1) не убывают по x на R, x~lаn-i (t, x) не возрастает по x на [- 1;0)u(0;l], а" (t; x)> 0, а,* (t; x)> 0 при t > 0, x Ф 0 и для любого числа c Ф 0 соблюдаются условия (2б). Пусть далее, каковы бы ни были положительные числа c0,c,,...,cl-2 и m e {- 1;l}, функция

ап (t; x ) = а( t; m, c,,..., cn_1 ( t, x ) не убывает по первому аргументу и соблюдаются условия:

чад

J [(t; m, c,,..., C"-2 )]dt = чад, (3 7)

I

чадА t Л

j| |а"-1 (s;-m)ds а(tmHn-2(t;m,Cn-2))dt = чад, (3В)

i V 0 J

где

t

Hi (t; ^ Cn-3 , Cn-2 ) = Cn-3 J а"-2 (s; m • Cn-2 )s , (3 9)

0

t

HK (t; m, Cn-к-2, . . ., Cn-2 ) = Cn-к-2 J а"-к-1 (s; mHK-I (s; m, Cn-K-iv^ Cn-2 ^ K = ^^ " - 2, (40)

0

t

a(t;m, cn-к-2,...,> cn-2)=(а,*(t;mHn-3(t; m ci,..., cn-• J ■а (s;-m))s, к = n - 2. (41 )

0

Тогда система (l) обладает свойством B* .

Доказательство. Пусть (u,,u2,..., un ) - правильное неколеблющееся решение системы (1). Согласно лемме 2, либо (u,,u2,...,un) является M-решением, либо существуют числа t0 > 1 и l e{l,..., n -1} такие, что l ч n нечетно и соблюдаются неравенства (12). Если l = 1

(n - четно), то решение (u,,u2,...,un) будет удовлетворять условию (2). Действительно, в

*

противном случае найдутся числа c* > 0 и c > 0 такие, что

C* <| U, (t) I < C* при t > t0. Тогда из последнего равенства в (1) ввиду (Зб) будем иметь

- un (t )| > min { (1, x ): c* <| x |< c*}(t,1,...,l)) при t > to,

это противоречит условию (37). Следовательно, решение (u,, u2,..., un ) удовлетворяет условию (2).

Теперь покажем, что система (l) не имеет правильного неколеблющегося решения, для которого l e{2,...,n -1}. Допустим противное. Тогда найдутся положительные c0,c,,...,cn-2, для которых

I Ui(t))<Hn-i-i(t;m,c-,,...,C"-2) (i = 1,2) при t > t{) (42)

и

f

lu, (t )|<а;( mH"-3 (t; m, c,,..., C"-2 )) при t > to, (43)

где m = sign u, (t0 ).

Проинтегрировав неравенство

t

-| Un-1 (t^ >а"-1 (t, Un (t

от t0 до t, получим

i

J®n-1 (un (s)))s <| u«-1 (0 ^ при t > t0. (44)

Отсюда ввиду монотонности функции | ип | и условия (26) будем иметь, что

\ип 1 при t > t*,

4 - достаточно большое число. Так как функция х-1сп-1 (t, х) не возрастает по х на [-1,0) и(0,1], то

(-1 (t, -т ) ип (t )|<С-1 (t, ип (t)) пРи t > t*. Тогда, умножая неравенство

'

-| ип (tЯ >®п(*, (t))

t

на ¡сп-1 (,-тй , а затем интегрируя от t* до t, с учетом (44), получим

0

I С 8 Л I С 8 Л '

|||®п-1 (Т -т)аТ (п ( и1 ())й8 <-|||®п-1 (Т -т)ат | ип ()) <

Щ V 0 У ф V 0 У

& г

<| ип) |-|®п-1 (т,-т)йг + |®п-1 (г,-т) ип (г) ) йг < с при t > 4, 0 (*

где

С * Л

1 + ¡(-1 (г-т)йг ип (to).

c =

Поэтому в силу неравенств (42) и (43) будем иметь

t

с > ¡( (,и (8)) ) и (8) | > ¡(5п (( | и (8) |),и (8))) и (8) | =

* t* ч(*) |)

= ¡ ( (г тН п-2 (г;m, с,... сп-2 (т, m, с^..^ сп-2 )йг =

□((* )|)

Ц I и1(*Я ) ) 8 Л

= ¡ | ¡(-1 (г -т)йт (п ( тНп-2 (m, Сo,..., сп-2 )))

ЦЫ** ) |))0 у

где Ц - функция, обратная Нп-2. Отсюда ввиду (38) и (26) вытекает, что

0 < с* <| щ (t )|< с* при t > t,,

где с * =1 и1(()), с* = Нш| и1 (()) . Это неравенство, как показано выше, противоречит условию (37). * ' 1 t1

Итак, любое правильное неколеблющееся решение системы (1) при нечетном п является М -решением, а при четном п - либо М -решением, либо удовлетворяющим условию (2), то есть система (1) обладает свойством Б*. Теорема 6 доказана.

Теорема 7. Пусть п > 3, на множестве [0,+го)х Яп соблюдаются неравенства (24) и (36), где функции со[ : [0,+сю)х Я ^ [0,+сю) (' = 1,..., п), со*: [0,+сю)х Я ^[0,+сю) (' = 1,..., п -1) удовлетворяют локальным условиям Каратеодори,

со,((,хх, о*(*,х) х (' = 1,...,п-1) не убывают по х на Я, кроме того, существуют положительные числа 5 и А > 5 такие, что функция соп ((, хх не убывает на (-5,5) и не возрастает на Я \ [-Д; А] по второму аргументу. Пусть далее для любых чисел с Ф 0, с, > 0 (' = 0,1,...,п- 2), т е {1;1} соблюдаются равенства

ПК' (, -т ) а>" ( с ) = +а0'

0 V 0 у

| jan-l(т,-m)dт inf{п(;х):| х |е[с>;А]} = +а (45)

0 V 0

и выполняются условия (26) и (38), где Нп-2 - функция, заданная равенствами (39) и (40).

Тогда система (1) обладает свойством В*.

Доказательство. Пусть (,и2,...,ип) - правильное неколеблющееся решение системы (1). Согласно лемме 2, либо (и1,и2,...,ип) является М-решением, либо существуют числа ¿0 > 0 и £ е{ 1,...,п -1} такие, что п + £ - нечетно и соблюдаются неравенства (12). В случае, когда ((,и2,...,ип) не является М-решением, как и при доказательстве теоремы 6, можно показать, что для некоторого с > 0 выполняется неравенство

t Г s ^

j jcn-1 -m)dz cn (s,u1 (s))ds <с при t > t0,

t0 v 0

(46)

где m = sign U1(t0). Тогда найдутся числа s> 0, ci > 0 (i = 0,1,...,n - 2) и t1 > t0, для которых либо

s<\ и1 (t)|<£ при t > t1, (47)

S<\ u1 (t )|<A при t > t1, (48)

либо

либо

A< Ui (()<H n-2 (t; m, c0,..., cn-2) при t > tx, (49)

где m = sign U1(t1), а Hn-2 — функция, заданная равенствами (39) и (40). Легко видеть, что

неравенства (47) и (48) в силу (46) противоречат условиям (45). Если допустить справедливость (49), то с учетом (46) получим противоречие с условием (38). Следовательно, £ ё{2,...,п -1}, то есть £ = 1 (п — четно). Покажем, что в этом случае (и1,и2,...,ип) удовлетворяет условию (2).

Допустим противное. Тогда в силу монотонности | и1 | найдутся числа s > 0, ct > 0 (i = 0,1,...,п- 2) и t1 > t0, для которых соблюдается либо неравенство (47), либо (48), либо (49). Но как показано выше, ни одно из этих неравенств не может иметь место. Следовательно, для (и1,и2,...,ип) соблюдается условие (2). Итак, любое правильное неколеблющееся решение (и1,и2,...,ип) системы (1) при нечетном п является M-решением, а при четном п — либо M -решение, либо удовлетворяющим условию (2). Теорема 7 доказана. Теорема 8. Пусть п > 3, на множестве [0,+го)х Rn соблюдаются неравенства

ai (t )| X2 Г1 < f ( t, Л! — Xn ) signX2 < ai* (t )| X2 Г1, f (t, Xn )signX,+i > ai Wl^i \Г (i = n - 1),

fn (t, ^^i — Xn ) sign X+1 > an (t) ®(X1 )

где Г = const > 0 (i = 1,...,n-1), функции ai : [0,+^) —> [0;+^) (i = 1,...,n), a* : [0;+^) —> [0;+^) локально суммируемы, функция щ : R — [0;+^) непрерывна, щ(0) = 0, a>(x)> 0 при X Ф 0. Пусть далее при любом m е {- 1;i} выполняются условия

j П-" (х)dx < j a (s)bh (s)ds =

где

«1 = 1 + 4n-1,

«к = 1 + 4n-к'«к-1

1 (к = 2,...,n - 2), a = 4(1 + 4^-2)

(50)

(51)

b () = inf {: 0 < s < 11,

l «1(s) J

Ък(() = (^Г^ : 0 < ^ < | ( = 2,...,п-1), (52)

х х

Ц. (х) = (т) Ц^х)^^1 (8) (к = 2,...,п -1). (53)

0 0 Тогда система (1) не имеет правильных М -решений.

Доказательство. Допустим противное, что система (1) имеет правильное решение (, и2,..., ип): [*0,+го) ^ Яп, для которого

и{(()• и1 (()> 0 (' = 1,...,п) при t > t0.

Воспользовавшись неравенством

' '

\и2 () ^ ип (t) > Ь1 (( (щ (t)) И. () при t > to и монотонностью функций I и, I (' = 1,2), Ц1 и Ь1, будем иметь, что

¡Г' г

un (t) N u2 (t) IA >| u2 (t) |A • fl un (s) | ds > J| u2 (s) |A ] un (s) | ds '

t0 t0

t ' I ч(*Л

>| Ь1 ) с (г/1 (у)) ) щ (5) >Ь1 (7) | >

t0 |Ч(*0 )|

> Ь. (t) Ц (| и. (t) |) (-Ц (| и (0) |)/Ц (| Щ (t1) |)) при t > t1, где т = sign и1 (t0) , а число ^ > t0 такое, что | и1 ^^) | < | и1 (t1) |. Отсюда ясно, что для некоторого с1 > 0

| ип () | • и2 () |Л1 > с1Ь1 (t) Ц1 (| и1 () |) при t > t1.

Возводя обе части последнего неравенства в степень Гп-1, а затем умножая его на ап-\ (t) и2 (t, находим

| ип-1 ^) I I и2 (t) р > с"п-1Ь2 (t) ЦГ-1 (| и. () и. () | при t > t1.

Рассуждениями, аналогичными проведенным выше, можно показать, что для некоторого с2 > 0

I ип-1 () | | и2 () > с2Ь2 () Ц (| и. (t) |) при t > t2, где t2 - достаточно большое число. Повторяя этот процесс п - 3 раза, можно убедиться в том, что для некоторых с > 0 и t*

I и2 () |1+Г1"п-2 > с • Ьп-1 (t) Ц-1 (| щ () |) при t > 4, где Ьп-1 и Цп-1 - функции, заданные соответственно равенствами (52) и (53). Отсюда ясно, что

I ч(*) I I

I Ц" (8) > с"|а. (8)Ь"-1 (8)й8 при t > 4,

| Щ1(**) | 1*

где а - число, заданное равенствами (51). Полученное неравенство очевидно противоречит условиям (50). Теорема 8 доказана.

Замечание 2. Если выполняются условия либо теорем 6 и 8, либо теорем 7 и 8, то каждое правильное решение системы (1) при нечетном п является колеблющимся, а при четном п - либо колеблющимся, либо удовлетворяющим условию (2).

Теорема 9. Пусть п > 3, на множестве [0,+го)х Яп выполняются неравенства

a(t)| х2 < f (t,Xj,...,xn)signx2 <Ma(t)| x2

f (t, X1,..., xn )si'gnxi+i > a (t) xi+i fi (i = 2,..., n — 1), (-j)n fn (t,X1,...,xn)sign xi > a(t) a (xi),

где = const > 0 (i = 1,...,n —1), функция a : [0,+ro)i (0;+да) локально суммируема, функция a :R i[0 непрерывна, a(0)= 0, a(x)> 0 при x Ф 0 и при любом m e {— 1;l} выполняются условия

1

JO-"1 (x) dx J a(s) ds = , (54)

0 0

где число а и функция On—1 заданы соответственно равенствами (51) и (53). Тогда система (1) не имеет правильных решений, удовлетворяющих условию (2).

Доказательство. Допустим противное, что система (1) имеет правильное решение ((,и2,...,ип): [t0,+ro)iRn, для которого

lim| и (t)| = 0, (—1)i+1 и (t)-U1 (t)> 0 (i = 1,..., n) при t > t0.

Умножая обе части неравенства

un ()| > a(())

на I u2 (t) и интегрируя от t до + , получим

|un(t)|-| u2(t)* >M1Q1 (I u1 (t)

:M4Qj ( uj (t)|) при t > t0, где m = sign uj(t0). Возводя обе части полученного неравенства в степень Хп_х, а затем, ум-

ножая его на an1 (t) u2 (t) *, будем иметь

-\ Un-1 (() Н U2 (t ) ^ > -M-1-*-1 • Q*-1 ( Ui (() ))• | un_i (t)) при t > t0.

Проинтегрировав это неравенство от г до + да, находим

К:{)|-| п2{>-М-1-1п-1 -П2{ Щ{г)|) при г >г0. Повторяя этот процесс п - 3 раза, можно убедиться в том, что для некоторого е> 0

Поэтому

U2 (t n-1 ( U1 (t )|) При t > to.

-| Ui (t )|> a (t )| u2 (t )| 1 >8aü (t (| Ui (t )|) при t > tQ. Последнее неравенство противоречит условиям (54). Теорема 9 доказана. Замечание 3. Если n нечетно и соблюдаются либо условия теорем 4 и 9, либо условия теорем 5 и 9, то каждое правильное решение системы (1) является колеблющимся.

Замечание 4. Если n четно и соблюдаются либо условия теорем 6 и 9, либо условия теорем 7 и 9, то любое правильное решение системы (1) является либо колеблющимся, либо M -решением.

Примечания: References:

1. Кигурадзе И.Т. Некоторые сингулярные краевые 1. Kiguradze I.T. Some singular boundary-value prob-задачи для обыкновенных дифференциальных lems for ordinary differential equations. Tbilisi: Tbilisi уравнений. Тбилиси: Изд-во Тбилисск. ун-та, 1975. University Publishing House, 1975. 352 pp.

352 с.

2. Трикони М. Дифференциальные уравнения. М.: 2. Trikomi F. Differential Equations. M.: Inostr. Lit., Иностр. лит., 1962. 352 с. 1962. 352 pp.