CC BY
60
Сейсмические волны в сыпучих грунтах в рамках гипопластической модели
Ю.А. Березин, С.В. Гольдин1
Институт теоретической и прикладной механики СО РАН, Новосибирск, 630090, Россия 1 Институт геофизики СО РАН, Новосибирск, 630090, Россия
Аналитически и численно исследованы волны малой амплитуды в сыпучих грунтах, описываемых нелинейной гипопластической моделью, которая учитывает различие жесткостей среды при нагружении и разгрузке.
Проведенные расчеты демонстрируют, что возбуждаемые в гипопластической среде плоские квазисинусоидальные волны — независимо от начальной поляризации — преобразуются в импульсы разрежения (разгрузки). Сопоставление с экспериментальными данными показывает, что эти особенности относятся к процессу распространения сильных волн, вследствие чего гипопластическая модель может быть рекомендована для расчета сильных движений грунта. Не подтвердилось высказанное рядом исследователей предположение, что возбуждаемая поперечной волной продольная волна имеет удвоенную частоту. Однако получила подтверждение обнаруженная В.А. Осиновым (на основе линеаризации уравнения в окрестной ненулевой деформации) потеря гиперболичности уравнений при больших сдвиговых напряжениях.
1. Введение
Хотя геофизика, главным образом, имеет дело с консолидированными горными породами, распространение сейсмических волн в приповерхностных сыпучих грунтах также имеет важное практическое значение. Во-первых, грунты, в частности сыпучие, — это естественная среда для инженерной геофизики, ориентированной на обеспечение строительства сооружений, дорог, дамб и т.п. Задачей этого раздела геофизики является определение геомеханических (прочностных) свойств грунтов. Во-вторых, важной практической проблемой является предсказание поведения грунтов во время сильных землетрясений при инженерно-сейсмологических исследованиях и микросейсморайонировании. В-третьих, сейсмические волны в высокочастотном диапазоне могут быть использованы при мониторинге естественных и техногенных склонов в связи с возможным развитием гравитационной неустойчивости, т.е. оползней.
Теоретические модели, основанные на теории упругости, не дают возможности описать известное различие в поведении сыпучего материала при разгрузке и нагрузке. Переход к более сложным классическим моделям пластичности, упругопластичности и даже вязкоуп-ругопластичности не устраняет трудностей. Так, в соответствии с классическими моделями пластичности среда, находящаяся в пластическом состоянии, не мо-
жет пропускать упругие волны, а упругопластические модели хотя и допускают существование волн разгрузки, но со скоростью обычной упругой волны, что противоречит экспериментам. Особенностью сыпучего материала является то, что помимо нелинейно-упругого поведения контактов зерен, которые неплохо описываются теорией Герца, в сыпучей среде важную роль играет переупаковка материала в процессе его деформирования. Следствием этой переупаковки является ди-латансия материала, которая по-разному проявляется при различных условиях деформирования. Следующим фактором является изменение порового давления во флюидонасыщенном грунте, что сказывается и на изменении эффективных напряжений в скелете грунта. Именно эти факторы и не могут быть «ухвачены» классическими теориями.
При изучении гранулированных сред достаточно широкое распространение получил подход, в котором основные соотношения получаются осреднением сил, действующих в дискретной микронеоднородной среде. (Под микронеоднородностью в таких случаях понимается неоднородность на масштабном уровне зерен). В рамках этого подхода может быть учтено влияние флюидонасыщенности и в районе контактов, и в поро-вом пространстве, но нам неизвестны работы этого направления, в которых учитывалось бы явление переупаковки.
© Березин Ю.А., Гольдин С.В., 2003
Другим направлением является построение моделей, которые изначально континуальны. В каком-то смысле к этому направлению относится модель Био-Френкеля, в которой учитывается гидродинамическое взаимодействие твердой и жидкой фаз, но модель скелета принимается в виде сплошной упругой среды, поэтому к сыпучим материалам она отношения не имеет.
В этой статье мы хотели бы познакомить российских геофизиков с популярной на Западе гипопластической моделью сыпучих грунтов. Ее первые наметки были предложены еще в конце 70-х, но довольно полное развитие она получила в последнее десятилетие минувшего века [1-5]. Наибольшее число работ было связано с циклическим нагружением среды. Работы, посвященные распространению сейсмических волн в гипопластичес-ком материале, появились сравнительно недавно. Решенные к настоящему времени задачи еще не дают полного представления об адекватности гипопластической модели по отношению к указанным задачам. В данной работе проводится численное исследование распространения квазисинусоидольных сигналов в гипопластичес-кой среде для различных типов предварительного напряженного состояния.
2. Гипопластическая модель среды
В основе гипопластической модели сыпучей среды лежит ряд предположений, из которых главными являются:
- состояние материала полностью характеризуется эффективным напряжением (тензор а) и пористостью е;
- зерна не изменяют своей формы в процессе деформирования материала;
- деформация гранулярного скелета состоит в переупаковке зерен (относительное смещение зерен), включая изменение их контактов.
Довольно сложно выглядит описание пористости в этой модели, но на этом мы останавливаться не будем, так как при распространении сейсмических волн изменением пористости (как и плотности) можно пренебречь.
Математическая формулировка модели содержит уравнение движения и нелинейное уравнение эволюционного типа, которое связывает скорости изменения напряжения со скоростями деформации среды:
. дау
Ри- =-
дх,
ст + (йст)г/ + /і(аЩ; +
(1)
(2)
+ /і (тЖ^)а, + Щ (т)|Б||.
Здесь р — плотность; у(м, и, мі) — скорость; точка над буквой означает материальную производную d/dt = = д/дt + иід/дхі; т, — тензор напряжений; Б, = = (1/2)(диі/дх, + ди, /дхі) — тензор скоростей дефор-
маций; 0.у = (1/2)(диг-/дху -ди^/дх1) — тензор вращений; й(аО) = (аО)и (по дважды повторяющимся индексам, как обычно, проводится суммирование); ||о|| = = д/^(О2) = ^ (О 2)и — норма тензора скоростей деформаций. Функции /1, /2 и N у имеют вид:
/1(а) = СМа) /2(а) = CJtr(а),
N у = (Сз(а2) у + СДа*2))/^), (3)
где а-у = а у - (1/3)1г(а)8у, а константы С1, С2, С3, С4 характеризуют свойства материала и определяются из тестовых экспериментов и соответствующих численных решений. Такая процедура называется калибровкой. Если отбросить последнее слагаемое в уравнении (2) для скорости изменения напряжений, то получившаяся система уравнений будет соответствовать гипоупругой модели. Заметим, что в ряде работ предложены и более сложные нелинейные функции N у. Наличие в (2) слагаемого, пропорционального норме тензора скоростей деформаций, делает рассматриваемую гипопластичес-кую модель нелинейной даже в малом, так как она не допускает линеаризации вблизи значения ||о|| = 0. В общем случае коэффициенты зависят от пористости, которая, в свою очередь, определяется через деформации.
3. Уравнения плоских волн
Рассмотрим одномерные движения гипопластичес-кой среды, предположив, что скорости и напряжения зависят только от одной координаты, скажем, х и времени г. Имея в виду изучение сейсмических волн малой амплитуды, будем считать, что начальное состояние среды есть состояние покоя, материальные скорости при движении среды малы, изменения напряжений малы по сравнению с их начальными значениями, исходное состояние однородно (компоненты тензора напряжений в начальном состоянии не зависят от координат). Будем считать также, что движения среды происходят в плоскости (х, у), при этом м = 0, ахг = 0. Тогда из общих уравнений (1), (2) получаем
ди дахх ди да ™
Р дt дт хх
где
дt дТ ху
дt
Б =
дх , ди
* Тх~
ди
’4 дХ
Р дt , ди
дх
дх
ди
дх
31Б, 61Б,
(4)
1
+ — 2
и все коэффициенты ¿1,..., Ъ6 зависят от компонент тензора начальных напряжений. Если эти компоненты записать в виде т0хх = а1т0, = а 2т0, а°2 = ст,
коэффициенты в уравнениях (4) равны
0,
то
+
Ь = ^0 (аС -1 + а2 С2 / а),
Ь2 =као(а1 С2/ а-1),
Ьз = сто(а1 + к )Сз + [(1 — 2а1 + а2) /9 + к ]С4,
Ь4 = ка0а1 С2/ а,
Ь5 = -2 а 0(а1 —а 2 + аС1 + 2к2С2/а),
Ь6 = ка0[(а1 +а 2)С — 3 + (а1 +а 2 — 2)С4]/ а,
где а = 1 + а1 +а2, к = аст0. Параметры модели [3] таковы, что С1, С2, С3 < 0, С4 > 0 и ст0 < 0, поэтому коэффициенты Ь1,..., Ь6 > 0. Продифференцировав уравнения движения по времени, а уравнения для компонент тензора напряжений по координате, последние можно исключить, в результате чего получим два нелинейных уравнения второго порядка для материальных скоростей продольного и поперечного движений грунта (м и V соответственно):
д 2и д 2и д 2v д и и
Р^Т — Ь1ТТ = Ь2^~2 + Ь3 НИ , (5Л)
дг2 дх2 дх2 дх" 11
д '2v д 2v д 2и д ц ц
— Ь5ТГ = Ь4ТГ + Ь6 И . (5-2)
дг дх2 дх2 дх" 11
В гидростатическом случае (к = 0) коэффициенты Ь2, Ь4, Ь6 обращаются в нуль и уравнения (5) приобретают более простую форму
дг
^—№/ р) -т=№/ р)|| И,
дх
д 2v I \ д ^ =„
^—<Ь5/Р) дх2=0.
(6.1)
(6.2)
Уравнение (6.1) представляет собой неоднородное волновое уравнение с нелинейным источником, а (6.2) — линейное волновое уравнение, поэтому в рассматриваемом приближении поперечная волна распространяется независимо от продольной, но, в то же время, поперечная волна воздействует на волну продольную.
Как уже указывалось во введении, изучение динамики сейсмических волн в гипопластических средах начато сравнительно недавно [6, 7]. В работе И. Готлиба и Ю. Лукашева [6] было проведено аналитическое исследование ситуации с предварительным изотропным напряженным состоянием. Поскольку в этом случае для поперечной волны можно взять любое «линейное» решение, исследовалась продольная волна, вызванная распространением гармонической поперечной волны а ^[ю(г — х/ с)]. Так как продольная волна заведомо должна иметь меньшую амплитуду, чем вызывающая ее поперечная волна, авторы сочли возможным линеаризовать норму тензора напряжений относительно малой величины |дм/дх| , что не совсем строго — ведь «большое» гармоническое колебание обязано принимать нулевые значения. Авторы получили, что решение
для продольной волны может быть представлено рядом Фурье по удвоенным частотам. Если это на самом деле так, то удвоение частоты продольных колебаний (при распространении поперечной волны) могло бы быть важным характеристическим признаком гипопластичности среды. Поэтому целесообразно провести численное моделирование (без не совсем строгой линеаризации) для подтверждения или опровержения этого вывода. Кстати, не совсем правильно в этой работе коэффициент перед нормой тензора напряжений назван коэффициентом дилатансии.
В работе В.А. Осинова [7] проведено исследование возможных скоростей распространения волн в гипо-пластической среде для негидростатического напряженного состояния на основе линейных уравнений, которые были получены путем линеаризации ||И| в окрестности некоторого ненулевого значения. Это предположение делает исследование сугубо формальным, поскольку трудно вообразить себе малые колебания, у которых скорость малых деформаций не проходит через нулевые значения. Тем не менее, физически разумный мысленный эксперимент в оправдание такой техники можно представить. Например, воздействие на среду характеризуется скачком производной (по времени) компонент м и V на фоне их монотонного изменения. Данное возмущение будет распространяться именно с теми скоростями, которые получены в работе [7]. В.А. Осинов показал, что установленная система уравнений имеет четыре характеристики и соответственно две скорости распространения, которые зависят, помимо прочего, от угла между направлением распространения плоской волны и направлением главных осей тензора предварительного напряженного состояния. Более того, оказалось, что при отношении максимального напряжения к минимальному > 2 существует такой интервал углов, при котором скорости комплексные и даже чисто мнимые. В последнем случае уравнение становится эллиптическим и распространение волн невозможно. Эта ситуация интерпретируется как неустойчивость типа «флаттер». Безусловно, и этот вывод нуждается в подтверждении для более типичной ситуации, когда И0 = 0. В работе Осинова есть только один численный пример с воздействием типа «ступеньки» для гидростатического тензора начальных напряжений.
Анализ простых решений без линеаризации слагаемого, содержащего норму тензора скоростей деформаций, вместе с соответствующими численными расчетами был проведен в работах Ю.А. Березина, В.А. Осинова, К. Хуттера [8] и Ю.А. Березина, Л.А. Сподаревой
[9]. Решения уравнения (6.1) зависят от знака производной ди/дх, а именно: если эта производная положительна, уравнение (6.1) сводится к линейному волновому уравнению, описывающему распространение начальных возмущений без изменения формы с постоянной скоростью ср1 = (Ь + Ь3)/р; там же, где производная
ди/дх отрицательна и Ь3 < Ъ1, начальные возмущения распространяются со скоростью ср2 = ±^(Ъ -Ьз)/Р < < ср1. Начальное возмущение продольной материальной скорости и(х, 0), заданное в форме гауссовой кривой, соответствует толчку вещества в сторону положительных значений координаты х, поэтому материал справа от точки максимума скорости подвергается сжатию (нагружению), а слева—разгрузке, вследствие чего эволюция указанного возмущения в разные стороны будет происходить несимметричным образом: волна, движущаяся вправо, с течением времени затухает, а движущаяся влево расширяется с сохранением амплитуды. При больших временах профиль состоит из распространяющейся влево волны с положительной постоянной амплитудой и расширяющегося вправо хвоста малой отрицательной амплитуды. Поперечное движение в этом случае не возбуждается. Если задать начальное возмущение V (х, 0) в форме гауссовой кривой, что соответствует толчку слоя грунта в направлении, параллельном этому слою, то начальный поперечный импульс расщепляется на два импульса одинаковой формы с половинной амплитудой, которые движутся в противоположных направлениях оси х с постоянной скоростью cs = V Ьб1р, так как в этом приближении волна сдвига описывается линейным волновым уравнением (6.2). Согласно (6.1), поперечное возмущение индуцирует две распространяющиеся в противоположных направлениях продольных волны. Передний фронт каждой волны соответствует разгрузке, и эти фронты движутся со скоростью с р1. Задний фронт каждой волны соответствует нагружению среды, эти фронты распространяются со скоростью ср2. Поскольку ср1 > ср2, профили волн с течением времени расширяются.
Задача расчетов, приведенных в этой работе, состояла в численной проверке явлений, выявленных с использованием линеаризации нелинейного слагаемого, а также распространении результатов на квазисинусоидаль-ные сигналы.
4. Распространение квазисинусоидальных сигналов
Рассмотрим на основе уравнений (6) распространение сейсмических волн в гипопластическом грунте, занимающем полупространство х > 0, которые генерируются заданными на границе х = 0 затухающими синусоидальными импульсами продольной и поперечной скорости
и (0, t) = и о ехр
V(0, t) = v0 ехр
/ \ 2
1 о
t1
V 1 )
/ \ 2
t -10
1
_ _
бш( шt),
),
(7)
Рис. 1. Сейсмограммы продольной скорости среды в волне, индуцируемой продольным импульсом (гидростатический случай)
где и о и v0 — амплитуды продольного и поперечного импульсов; ^ — длительность сигнала; ш = 2п[ — циклическая частота. Все расчеты проведены при следующих параметрах: р = 2 г/ см3, а0 = -200 кПа (это значение соответствует глубине 5 м), а1 = а2 = 0.94, / = 500 с-1; константы С1 = -106.5, С2 = -801.5, С3 = = -797.1, С4 = 1077.7 взяты из [3]. Скорости продольных и поперечных волн принимают значения ср1 = = 283 м/с, ср2 = 176 м/с, сБ = 124 м/с.
На рис. 1 представлена зависимость от времени скорости продольной затухающей синусоиды (7) с амплитудой 1 см/с, возбуждаемой на границе грунта х = 0 и в точках, отстоящих на X/2, X, 3Л/2, 2X от источника. Здесь X = срТ — длина волны заданного на границе импульса в упругом приближении; с р = (Ъ1/ р)12 — скорость; Т = 1/ f — период колебаний. К точке наблюдения х = X/2 приходит сначала волна сжатия (нагружения), которая сопровождается областью разгрузки. По мере удаления точки наблюдения от источника область нагрузки постепенно исчезает, в то время как зона разгрузки увеличивается, что находится в соответствии с качественным анализом решений с разными знаками производной ди дх. Волна сдвига в рассматриваемом гидростатическом случае при задании на границе грунта продольного импульса не возбуждается.
На рис. 2 дана зависимость от времени в ряде точек по координате х материальной скорости и в продольной волне, индуцируемой заданной на границе поперечной волной (7) с амплитудой v0 = 1 см/с в гидростатическом приближении. На каждом профиле вертикальная черта с квадратиком отмечает момент вступления поперечной волны. Согласно уравнениям (6) поперечная волна распространяется без изменения профиля. Видно, что возбуждаемая волной сдвига продольная волна является волной разгрузки. Поскольку продольная волна уже на расстоянии X/ 2 регистрируется раньше поперечной, то она возникает в источнике. Более того, время ее вступления во всех точках «профиля» меньше, чем время вступления продольных волн на рис. 1. Это объясняется тем, что в первом эксперименте продольная вол-
Рис. 2. Сейсмограммы продольной скорости среды в волне, индуцируемой поперечным импульсом (гидростатический случай)
на вначале распространяется как волна сжатия и только затем как волна разрежения. Поперечная же волна индуцирует только волну разуплотнения (Эи/дх > 0), которая, согласно данному выше теоретическому анализу имеет скорость cp1, большую, чем скорость cp2 волны сжатия (ди/дх < 0).
На рис. 3 показана зависимость деформации Де в волнах от Дахх — превышения напряжения ахх над начальным значением а хх в точке х = Я. Кривая Oabc соответствует задаваемому на границе грунта продольному, а Ode — поперечному импульсу. Четко видны области нагружения и разгрузки материала. Отметим, что поскольку начальное значение а °х отрицательно и велико, то рост Дахх на графике означает уменьшение абсолютной величины полного напряжения. Сброс напряжения на кривой Oabc означает освобождение энергии, запасенной при предварительном поджатии грунта. Именно поэтому эта волна только на начальной стадии расходует энергию на дополнительное сжатие грунта, что отвечает обходу кривой Дахх- Де по часовой стрелке. На этапе высвобождения энергии обход совершается против часовой стрелки. Крайне важно отметить, что, хотя на промежуточных стадиях процесса среда находится в состоянии сильного разуплотнения, в конечном счете она приходит в состояние, более сжатое, чем начальное, благодаря переупаковке материала под влиянием действующего напряжения а 0. Этот факт находится в замечательном соответствии с механизмом уп-
ДаХХ'
5-
е _ b /
7
О
a 1 ■ 1 ■ 1 ■ 1 1 1 1 ►
лотнения грунта при циклическом вибровоздействии
[10]. При задании на границе поперечного импульса среда, как и в случае распространения «чисто» продольной волны, проходит через стадию разуплотнения и затем приходит в состояние более плотной упаковки (кривая Ode). Вариация разуплотнение-сжатие имеет значительно большую амплитуду, чем в случае «чисто» продольной волны. Характер продольных колебаний на рис. 2 ясно указывает, что их энергия непрерывно подпитывается энергией распространяющейся поперечной волны, в чем проявляется дилатансия сыпучего материала. Результаты данного эксперимента не подтверждают сделанного в работе [6] на основе не совсем корректной линеаризации уравнения (6.1) предположения об удвоении частоты продольной волны. Это предположение не подтверждается и расчетами для синусоидальных колебаний, которые здесь не приводятся.
Если в начальном напряженном состоянии грунта касательное напряжение а ° отлично от нуля, то для изучения распространения сейсмических волн нужно использовать систему уравнений (5), и в этом случае продольные и поперечные волны связаны друг с другом. Заметим, что проведение расчетов для различных значений а0 не имело смысла, поскольку функция д/аХи (х,^t) от значения а0 не зависит. Формально скорость распространения волн зависит от а0 как
-0.006 -0.004 -0.002
0.000 0.002
As
Рис. 3. Зависимость деформации от напряжения
сопбЦ/ а0. Однако, при увеличении а0 в любом реальном эксперименте (с фиксированными граничными условиями) вступает в игру зависимость коэффициентов гипопластической модели от пористости, которая, вследствие дилатансии, может существенно зависеть от напряженного состояния. На рис. 4 представлены зависимости от времени продольной и поперечной компонент материальной скорости в сейсмической волне при задании на границе х = 0 продольной затухающей синусоиды, а на рис. 5 — поперечной затухающей синусоиды с амплитудой 1 см/с при а = 0.2а 0 (к = 0.2) в тех же точках, как и в гидростатическом случае.
Наиболее важной особенностью рассматриваемой ситуации, отличающей ее от гидростатического случая, является появление поперечной волны при чисто продольном импульсе, задаваемом на границе грунта. В силу того что эта поперечная волна формируется благодаря связи продольных и поперечных колебаний, вступление поперечных волн распространяется со скоростью продольных волн. Но на расстоянии X отчетливо проявляется и особенность, которая распространяется со скоростью поперечных волн. На сейсмограммах продольной волны также возникает аналогичная особенность (смена знака ди/дх), распространяющаяся со скоростью поперечной волны. Особенностью продольных колебаний является также более быстрое затухание волн уплотнения по сравнению с гидростатическим случаем. Как и ранее, среда приходит в состояние, более плотное
Рис. 4. Сейсмограммы продольной (а) и поперечной (б) скорости среды в волне, индуцируемой продольным импульсом (негидростатический случай)
по сравнению с начальным. Особенностью поведения грунта в продольной волне является более быстрое в отличие от гидростатического случая затухание волн уплотнения (так, на расстоянии х = X ее уже почти не видно). Далее, на расстояниях < 3X/ 2 отчетливо про-
является особенность (смена знака ди/дх), распространяющаяся со скоростью поперечной волны.
5. Обсуждение результатов
Наши расчеты демонстрируют, что возбуждаемые на границе гипопластической среды квазисинусоидаль-ные сигналы с течением времени преобразуются в импульсы разрежения (разгрузки). Сопоставление с многочисленными данными как по распространению слабых колебаний, так и по изучению состояния материала под платформой мощного вибратора показывает, что эти особенности относятся прежде всего к процессу распространения сильных волн, вследствие чего гипоплас-тическая модель может быть рекомедована для расчета так называемых сильных движений (strong motions) при оценке сейсмической опасности для сыпучих грунтов. В этих движениях основной постулат гипопластической модели — в процессе деформирования среды изменяется только упаковка зерен (а не сами зерна) — выполняется с достаточной степенью точности. В какой-то мере этот постулат родственен принимаемому при гидродинамических расчетах предположению о несжимаемости жидкости.
Нами была также проведена серия расчетов, соответствующих одинаковым начальным напряжениям а°х = а0у и различным отношениям а°х /а°zz, для внезапно начинающегося синусоидального режима продольных колебаний (рис. 6). Видно, что характер колебаний, наблюдаемых на расстоянии X от источника, сильно зависит от данного отношения. При гидростатическом предварительном нагружении на фоне постепенного и весьма сильного разрыхления материала наблюдаются малоамплитудные субгармонические колебания, имеющие ту же частоту, что и колебания, заданные в источнике. Такой же характер изменения состояния среды отмечался и в экспериментах, связанных с распространением акустических волн под платформой тяжелого сейсмического вибратора [10]. При уменьшении отношения а°х /а°z происходит увеличение времени вступления колебаний (т.е. уменьшение скорости распрост-
Рис. 5. Сейсмограммы продольной (а) и поперечной (б) скорости
среды в волне, индуцируемой поперечным импульсом (негидростати- Рис. 6. Зависимость продольной скорости среды в волне от г/Т при
ческий случай) различных отношениях бокового и нормального напряжений
ранения), равно как и уменьшение разрыхления грунта. При а°х/ а°2 = 0.28 разрыхление практически не наблюдается. Дальнейшее уменьшение величины этого отношения приводит к уплотнению грунта, но интерпретация результатов расчета при а°х/а°2 < 0.28 должна проводиться с осторожностью.
При возбуждении поперечной волны наиболее сложной выглядит сейсмограмма колебаний поперечной компоненты. Вступление распространяется со скоростью поперечной волны, далее регистрируются две особенности (одна из которых распространяется от источника, а другая формируется за первыми вступлениями), движущиеся со скоростью поперечной волны.
С увеличением сдвигового напряжения наблюдалось явление, обнаруженное Осиновым [7] при линеаризации нормы тензора деформаций в окрестности ненулевого значения величины ||.о|| = ||Д)||, а именно: при больших сдвиговых напряжениях решения становятся неустойчивыми из-за смены типа уравнения (оно становится эллиптическим). В наших расчетах, которые проводились при а^ = 0.5а0 (но при ||Д)| = 0), также обнаружена неустойчивость, проявляющаяся в неограниченном росте решения.
На основе полученных результатов можно высказать гипотезу о том, что в основном разрушение грунтов обусловлено волной разрежения. При распространении продольной волны закон сохранения энергии не выполняется. Откуда берется энергия на большие остаточные деформации, а именно, на расширение объемов? Это выделяется энергия, запасенная при предварительном сжатии материала. Любое возмущение среда использует на то, чтобы сбросить накопленное напряжение и увеличить объем. При этом среда переупаковывается так, чтобы уменьшить напряжение, т.е. переходит в состояние более плотной упаковки (значение ахх уменьшается, т.е. среда сжимается).
При распространении слабых волн основным механизмом передачи упругой энергии, скорее всего, является изменение площади контактов (расстояния между зернами), которые интерпретируются в рамках теории Герца, а также целым рядом других контактных явлений, связанных и с взаимодействием жидкой фазы с зернами, и с электрическими явлениями, и т.п. В частности, полученный Осиновым вывод о том, что при сильных касательных напряжениях сейсмические волны вообще могут не распространяться, вряд ли может быть перенесен на слабые волны.
Литература
1. Kolymbas D. An outline of hypoplasticity // Arch. Appl. Mech. -1991.- V 61. - P. 143-151.
2. Gudehus G. A comprehensive constitutive equation for granular materials // Soils and Foundations. - 1996. - V 36. - No. 1. - P. 1-12.
3. Wu W., Bauer E., Kolymbas D. Hypoplastic constitutive model with critical state for granular materials // Mechanics of Materials. - 1996. -
V 23. - P. 45-69.
4. Колимбас Д., Лавриков С.В., Ревуженко А.Ф. Об одном методе анализа математических моделей сред при сложном нагружении // ПМТФ. - 1999. - Т. 40. - № 5. - C. 133-142.
5. Kolymbas D. Introduction to hypoplasticity. - Rotterdam: Balkema,
2000. - 205 p.
6. Gottlieb G., LoukachevI. Nonlinear wave propagation in soil: modeling of a spacial phenomenon and identification of parameters // Math. Num. Aspects of Wave Propagation / Ed. John de Santo. - SIAN, 1998.- P. 679-681.
7. Osinov V.A. Theoretical investigation of large-amplitude waves in granular soils // Soil Dynamics and Earthquake Engineering. - 1998. -
V 17. - P. 13-28.
8. Berezin Yu.A., Osinov VA., Hutter K. Evolution of plane disturbances in hypoplastic granular materials // Continuum Mech. Thermodyn. -
2001. - V 13. - P. 79-90.
9. Березин Ю.А., Сподарева Л.А. Продольные волны в сыпучих средах // ПМТФ. - 2001. - Т. 42. - № 2. - С. 148-152.
10. Геза Н.И., Егоров Г.В., Мкртумян Ю.В., Юшин В.И. Эсперимен-тальное исследование мгновенных вариаций скорости и затухания сейсмических волн в рыхлой среде in situ, подвергаемой пульсирующей динамической нагрузке // Геология и геофизика. - 2001. -Т. 42. - № 7. - С. 1135-1144.
Seismic waves in granular soils within the framework of the hypoplastic model
Yu.A. Berezin and S.V. Goldin1
Institute of Theoretical and Applied Mechanics, SB RAS, Novosibirsk, 630090, Russia 1 Institute of Geophysics, SB RAS, Novosibirsk, 630090, Russia
In this paper we studied analytically and numerically low-amplitude waves in granular soils described by the nonlinear hypoplastic model that allowed for the difference in the rigidity of a loaded or unloaded medium.
The performed calculations showed that plane quasi-sinusoidal waves (regardless of their initial polarization) excited in a hypoplastic medium are transformed into the pulses of rarefaction (unloading). A comparison of the calculation results with experimental data showed that these peculiarities are governed by the propagation of intense waves, hence the hypoplastic model can be used for calculating an intensive soil movement. The assumption of some authors that a longitudinal wave induced by a transverse wave has double frequency was not supported. However, it was confirmed that in conditions of high shear stresses hyperbolic equations become elliptical, which was shown by V.A. Osinov by equation linearization in a vicinity where deformation is non-zero.
