CC BY
160
Распространение сейсмических волн в песчаных отложениях
Е.Б. Сибиряков, В.А. Куликов, Г.В. Егоров
Институт геофизики СО РАН, Новосибирск, 630090, Россия
В работе рассмотрена задача о распространении волн в слабосвязных сухих песчаных грунтах. Предложен новый метод вывода уравнений движения волн в таких средах, который не использует традиционное уравнение состояния, а базируется на учете взаимодействия между собой зерен, составляющих породу. Показано, что в случае контактных межзеренных взаимодействий в рамках закона Герца, даже при одномерном движении поперечной волны в канале с жесткими стенками, реализуется вторичный процесс волнового движения в направлении, ортогональном основному. Процесс описывается системой двух связанных между собой уравнений.
Установлена возможность оценки некоторых петрофизических свойств песчаных материалов по сейсмическим данным. Получена зависимость скоростей продольных и поперечных волн в песках от параметров микроструктуры среды. Произведено измерение скоростей распространения волн деформаций в сыпучих песках различного фракционного состава.
Сравнение вычисленных теоретически и измеренных экспериментально констант указанной среды указывает на вполне удовлетворительное совпадение.
1. Введение
Распространение волн динамических деформаций в неоднородных по составу слабосвязных средах давно привлекает внимание исследователей [1, 2]. В первую очередь, это обусловлено повсеместным распространением слабых горных пород, формирующих природные ландшафты, грунты и почвы верхней части разреза. Это наиболее молодые по возрасту геологические породы. Они обладают легко различимыми особенностями текстурного строения материала, относительно большим по объему содержанием легких и текучих компонент (газы, вода), а также наличием статического электрического заряда на поверхностях зерен скелета. Именно такой состав горной породы обладает низкими характеристическими константами (прежде всего, скоростью распространения слабых возмущений) по сравнению с таковыми для материалов, составляющих вещество каждого зерна, в том числе и для заполняющих флюидов. Это приводит, в конечном счете, к потере устойчивости природных массивов, выражающейся в проявлении эффектов тиксо-тропности, образовании плывунов и к оползневым разрушениям при воздействии на эти массивы механическими знакопеременными нагрузками. Кроме того, такие механические особенности оказывают решающее влия-
ние и на формирование упругих волн в очаге источника, которые являются основным средством для проведения сейсмических исследований [3].
Практически повсеместно источники сейсмических волн размещаются непосредственно в породах верхней части разреза и в зоне малых скоростей, обладающих свойствами различного рода неустойчивостей, фактически в самой неоднородной и неустойчивой структуре грунтов. Это приводит к практически мало предсказуемым процессам формирования упругих сейсмических волн. Поэтому исследование различных аспектов физики процессов возбуждения упругих волн в породах верхней части разреза играет важную роль в повышении достоверности и разрешающей способности сейсмических методов исследования земных недр.
Предшествующие исследования в области изучения структурированных сред в условиях как статического, так и динамического нагружения шли преимущественно в четырех основных направлениях.
Первое направление характеризуется изучением простых механических смесей разных материалов (фаз), не взаимодействующих между собой, и построением теории их динамического поведения (теория смесей). Она справедлива только при небольших перепадах
© Сибиряков Е.Б., Куликов В.А., Егоров Г.В., 2003
упругих свойств компонентов, либо при очень незначительной концентрации компонентов с невысокими значениями акустической жесткости примесей (рС) [1], так как теоремы об осреднении дифференциальных операторов требуют существования ограниченных обратных величин для всех упругих параметров. В случае равенства нулю какого-либо упругого модуля (или плотности) любого из компонентов формулы теории смесей становятся физически бессмысленными.
Второе направление связано с построением вязкоупругих, упругих, упругопластических, гипопластичес-ких и других моделей с феноменологическим подбором констант или даже функций (релаксации, вязкости и пр.) не совсем ясного физического смысла (количество неизвестных параметров в уравнениях возрастает, что сводит сложную задачу к еще более сложной) [1].
Третий подход — метод «клеточных автоматов» — основан на численном решении уравнений движения в виде системы обыкновенных дифференциальных уравнений, записанных для каждой отдельной частицы среды. При этом резко сужаются аналитические возможности, кроме того, при достаточно большой длине волны, не хватит никаких вычислительных мощностей.
Четвертое направление — представление среды в виде упорядоченного набора конкретных кристаллических упаковок, либо одномерных цепочек. В этом случае возникает анизотропия в изотропных средах или исчезают поперечные волны, а также зависимость скоростей упругих волн от структурных параметров среды.
Все эти направления исследований не дают возможности адекватного описания слабосвязной структурированной среды на уровне вычисления ее упругих параметров (плотность, упругие модули), а также получения физически обоснованных законов распространения и затухания волн в зависимости от структуры среды. В связи с этим была сформулирована задача: построить теорию контрастных микронеоднородных сред без использования феноменологических параметров, на основе рассмотрения законов взаимодействия зерен на контактах, использования длинноволнового приближения, физически обоснованного усреднения сил, действующих на каждую частицу, а также экспериментально подтвердить или опровергнуть ее. В качестве первого шага были исследованы пески, которые моделировались хаотически расположенными сферами, взаимодействующими между собой по закону Герца. Получено удовлетворительное соответствие с экспериментальными данными и известными из литературы свойствами песчаных сред.
2. Уравнения движения сыпучей среды
Если мы рассчитаем скорость распространения продольных волн в типичной сыпучей среде, пользуясь теорией смесей [1], то ошибка, по сравнению с эксперимен-
Рис. 1. Вид мезоструктуры
тальными данными, составит примерно два порядка. Теория смесей для таких сред не работает по причине слишком большой разницы (пять порядков) акустических жесткостей материалов зерен и газов. Так, например, при концентрации воздуха в водонасыщенном грунте 10-3 ошибка составит уже около 50 % [1]. Обычно такие среды рассматривают как сплошные с некоторыми эффективными упругими константами, которые подбираются феноменологически. Из всех параметров микроструктуры используется только пористость, определяемая как отношение объема пор к объему среды.
Рассмотрим данную среду на микроуровне, запишем силы, действующие на случайный шарик в зависимости от взаимного расположения соседей и относительного нормального сближения их центров масс, после чего сделаем длинноволновое приближение (d|X << 1) и получим уравнения движения.
Представим среду в виде сферических гранул с достаточно близкими диаметрами, взаимодействующих между собой по закону Герца (рис. 1) [4]:
F =-
2 Е
3(1 -V 2)
К1 К2
«1 + К 2
12
1/2
(1)
где F — сила сжатия гранул; Е — модуль Юнга материала; R1, R2 — радиусы; V — коэффициент Пуассона; хи х2 — координаты центров тяжести гранул. Эта сила направлена по нормали к поверхности контакта и является силой отталкивания (войдет в уравнения со знаком минус).
Идея использования закона Герца для описания песчаных сред не нова. Однако предыдущие исследователи ограничивались либо случаем одномерной цепочки, либо конкретной правильной упаковки (как правило, сферической или гексагональной), что всегда давало зависимость скорости продольных волн (Ср) от одной шестой степени статической силы начального поджатия (К), что соответствует экспериментальным данным. На-
пример, в работе [4] авторы записывают напряжения для каждого шарика, затем вычисляют деформации для системы контактирующих шаров и на этой основе вычисляют упругие модули кубически анизотропного тела. Отношение скоростей продольных и поперечных волн оказывается существенно завышенным (1/л/2"), что в изотропной среде соответствует нулевому коэффициенту Пуассона.
В данной работе предлагается вместо использования обычного для сплошной среды равенства сил, созданных внутренними напряжениями, и сил инерции = риш) вывести уравнения движения для некоторой типичной частицы, находящейся в поле сил, обладающих известным распределением. Этот подход является физически более предпочтительным, так как позволяет определить зависимость упругих модулей среды от ее микроструктуры и упругих свойств материала зерна.
Использование статического закона Герца для решения динамических задач подразумевает следующие ограничения:
1) максимальное напряжение в центре контакта должно быть меньше предела упругости;
2) размеры поверхности контакта много меньше радиусов кривизны каждой частицы;
3) характерные времена задачи много больше периода колебаний основной моды для упругого шара (то есть длина волны много больше диаметра шара).
Считаем, что система нагружена постоянной сжимающей силой К0, обеспечивающей начальное сближение гранул на 80. Как будет видно из дальнейшего, 80 удобно ввести в рассмотрение явно (из закона Герца 80 ~ К02/3). С этой целью вместо координат х1 будем рассматривать смещение частицы из положения равновесия ЦУг-, . Чтобы получить уравнения динамического
равновесия, нужно силу, действующую на частицу, разделить на ее массу (т = прd3/б, где d — диаметр гранулы; р — плотность ее материала).
Рассмотрим в качестве первого шага двумерную задачу для гранул с одинаковым размером (если диаметры зерен разные и известен закон их распределения, тогда нужно будет произвести усреднение путем интегрирования). Идея заключается в том, чтобы осуществить представление субоднородной среды в виде набора одинаковых мезоструктур. Набор составлен из N + 1 частиц, контактирующих между собой. При этом одна из них находится в центре, остальные N являются ее соседями. Центры масс этих соседей образуют вершины правильного ^угольника с центральным углом При повороте на этот угол симметрия мезоструктуры сохраняется. N— среднее число контактов. Эти многоугольники ориентированы под случайными углами ф к осиX. Очевидно, что для плоской задачи в случае гранул с одинаковыми диаметрами 2 < N < б, причем N может быть
как целым, так и нецелым числом. Вопрос более строгого обоснования представления среды в таком виде остается открытым. Выясним влияние силы, определяемой законом Герца (1), на уравнение движения. Запишем
(1) в более удобном виде:
Fn = - Am832, (2)
где A = 2E(2R)-5/2/ {пр(1 -v2)}; Fn — сила, определяемая (1). Поскольку данная сила является нормальной к поверхности взаимодействия, используется индекс «п». Сила Герца зависит только от нормального смещения из положения равновесия, а проекции взаимного сближения шаров на нормаль равны Д^соэф и ДГэтф, поэтому:
8 = 80 -Ди cosф-ДV sin ф, (3)
где 80 — начальное (нормальное) сближение, обусловленное статическим поджатием, а Ди и Д V — разности смещений между случайным зерном и соседом (Ди и ДУ обеспечивают изменение сближения в ходе распространения волны); ф — угол между нормалью к площадке контакта и осью х. Разложим Ди и Д V по малому параметру (d/A << 1):
Д(и, V) = d (U, V)x cos ф + d (U, V)y sin ф +
+ d2 {(U, V)хх cos2 ф + (U, V)^ sin2 ф+ (4)
+ 2(U, V)^ sin ф cos ф}/2 + к,
где d — диаметр зерна.
Запишем также разложение для Fn, которое будем использовать в дальнейшем наряду с длинноволновым приближением (в (4) можно ограничиться двумя написанными выше членами и ряд оборвать):
Fn =- Am83J2 {1 - ^U cos ф + ДУ sin ф)/80 }2 =
= - Am83J2 {1 - 3^U cos ф +ДV sin ф)/280 + (5) + 3^U cos ф +ДV sin ф)2/882 + к }.
Очевидно, что
Fx = Fncos Ф, (6)
Fy = Fi sin ф, (7)
Utt = Fjm, (8)
Vt = Fy/m. (9)
Заметим, что под функциями и(х, у), У(х, у) подразумевается поле смещений центров тяжести частиц, непрерывным образом продолженное на весь объем среды (подход аналогичен известному в физике построению одномерных континуумов для дискретных цепочек), то есть поле смещений в волне эквивалентно полю смещений центров тяжести частиц, осредненному по некото-
рому представительному объему. Необходимый размер представительного объема таков, что распределение углов ф может быть аппроксимировано непрерывной функцией, то есть в среде равновероятно могут существовать любые углы ф от 0 до у. Теперь получим уравнения движения. Для этого сложим проекции на оси x и у сил (6) и (7), действующих на случайный шарик со стороны соседей. Затем усредним их путем интегрирования по углу ф от 0 до у и разделим на массу частицы т. Запишем уравнение движения для X- и 7-компонент смещения в зависимости от угла ф:
Utt = -A{80 -Д^ cosф- Д V sinф} cosф-
- A {80 - ДU2 cos(ф + у) -
- Д V2 sin^ + у)}3^2 cos^ + у) - к - (10)
- A {80 - ДUn-1 cos^ + (N - 1)у) -
- Д Vn-1 sinfa + (N - 1)у)}3/2 cosfa + (N - 1)у); аналогично для V-компоненты смещения:
Vtt = - A {8 0 - Д U1 cos ф - Д V1 sin ф}2 sin ф -
- A {80 - ДU2 cos(ф + у) -
- Д V2 sin(ф + у)}32 sin^ + у) - к - (11)
- A {80 - ДUN-1 cos(ф + (N - 1)у) -
- Д Vn-1 sinfa + (N - 1)у)}3/2 sin(ф + (N - 1)у),
где индексы 1, 2, ..., N-1 относятся к 1, 2, ..., N-1 соседу окружающего многоугольника соответственно и в соответствии с (4):
Д(U, V)1 = d(U, V)x cos ф+ d (U, V)y sin ф +
+ d2{(U, V)xx cos2 ф+ (U, V)yy sin2 ф+ (12) + 2(U, V)xy sinфcosф}/2 + к,
Д(U, V)2 = d(U, V)x cos^ + у) +
+d (U, V) y sin(ф + у) +
+ d2{(U, V)xx cos2(ф + у) + (13)
+ (U, V)yy эт2(ф + у) +
+ 2(U, V)xy sin(ф + у) cos(ф + у)}/2 + к,
Д^, V)n-1 = d (U, V)x cosfo + (N - 1)у) +
+d (U, V) y sin^ + (N - 1)у) +
+ d2 {(U, V)xx cos2 (ф + (N - 1)у) + (14)
+ (U, V) yy sin2 (ф + (N - 1)у) + 2(U, V) xy x
x sin^ + (N - 1)у) cos^ + (N - 1)у) У2 + к .
Заметим, что в статическом состоянии ^(U, V)■ = = 0) каждая частица находится в положении равновесия, так как
при у = 2п/ N
cos ф+ cos^ + у) + к + cos^+ (N - 1)у) = 0, (15)
sin ф + sin(ф + у) + к + sin^+ (N - 1)у) = 0. (16)
Выражения (15) и (16) (как вещественная и мнимая части) следуют из формулы геометрической прогрессии
e*P (1 + ег'у + е2г'у + к + e( N-1)г'у) =
= егу (1 - eт )/(1 - егу) = 0 (17)
при у = 2п/ N.
Разложим в ряд выражения (10), (11), считая, что 80 >> U, V, а d/A << 1, и используя (4) и (5) (Ux = U/A, остальные величины — аналогично). Введем также силу сухого трения, считая, что она направлена по касательной к поверхности контакта и пропорциональна силе, сближающей шары. При этом будем считать, что сила направлена в сторону, противоположную вектору скорости смещения частиц (д8т/дг) (аналогично [6, 7]). Запишем проекции силы трения на оси x и y для каждой контактной поверхности, после этого сложим их и усредним, аналогично описанному выше (сила трения будет уже не нормальной, как сила Герца, а касательной):
Fx тр i = ктр Fni sin(^ + (i - Цу) [sign(d8Jdt)], (18)
Fy тр i =-кТрFni cos(ф + (i - 1)у) [sign(dST/dt)], (19)
где ктр — коэффициент трения зерна по зерну; 8Ti = = -ДUi sin ф + ДVi cosф.
При выводе уравнений движения ограничимся в 8Т членами, содержащими первые производные:
(sign(d8Jdt))i =
= sign(- dUxt cos(ф + (i - 1)у) sin(ф + (i - 1)у) -
- dUyt sin2(ф + (i - 1)у) +
+ dVxt cos2 (ф + (i - 1)у) + (20)
+ dVyt sin(ф + (i - 1)у) cos(ф + (i - 1)у)) =
= - [(Uxt - Vyt )sin(^ + (i - 1)у) cos(^ +(i - 1)у) +
+ Uyt sin2^ + (i - 1)у) - Vxt cos2^ + (i - 1)у)] x x I (Uxt - Vyt) sin(ф + (i - 1)у) cos^ + (i - 1)у) +
+ Uyt sin2^ + (i - 1)у) - Vxt cos2 (ф + (i - 1)у) | , так как sign x = x/| x |.
Добавив проекции силы сухого трения, разделенные на массу т, в (10) и (11), получим уравнения движения для случайной частицы, которые надо будет усреднить.
Оказывается, для того чтобы «поймать» нелинейный эффект, связанный с трением, достаточно ограничиться первым членом разложения (5) (остальные будут малыми более высокого порядка) по параметру и/X для п-ого соседа, п = 1, 2, ..., N (4).
Изменение угла между зернами в процессе деформации при распространении упругой волны
Д(ф + (n - 1)у) = (-Д Un-1 cos^ + (n - 1)у) +
(21)
+AVn -1 sin(ф + (п - 1)у))/d
будет пренебрежимо мало, вследствие выполнения условия и, V<< 1 и й >> 80.
Для получения среднего поля перемещений с учетом трения усредним силы на каждом контакте и найдем их сумму, используя тождество:
1/ у
| F (ф^ф +1F (ф + у^ф + к +
0 0
у ] N 2п
+ J F(ф + (N - 1)у^ф = — J F(ф)dф
(22)
Другими словами, при переходе от отдельной случайной частицы к ансамблю усреднение сил будет производиться по ориентации площадок, на которые эти силы действуют, — единственному параметру, который отличает одну частицу от другой.
Подставляем в (21) в качестве F правые части (10),
(11) с учетом (18)-(20)
Utt = - A {80 - ДU cos ф-ДV sin ф }2 cos ф +
+ктр Asign(dST/dt) x (23)
x {80 - ДU cosф - ДV sin ф } sin ф и соответственно
Vtt = - A {8 0 - Д U cos ф - Д V sin ф } sin ф -
-ктр Asign(dST/dt) x (24)
x{80 - ДUcosф- ДVsinф}2 cosф.
Раскладывая (23) и (24) по двум малым параметрам ((4) и (5)), выполнив усреднение (22), получим систему уравнений движения с учетом членов порядка (U, V/A)4 включительно:
9EN 8i/2d _1/2
Utt = 2 2
2n
Uxx +1 Uyy + | Vy + 3 {- Uxx (Uxt - Vyt) + Vxt (2Uxy + Vxx) } J -
42
cos ф sin ф
32n2p(1 -v2)
+ 3 {- (Uyy + 2Vxy )(Uxt - Vyt) + VxtVyy - Uyt (Vxx + 2Uxy) } J
\D\
dф +
24
cos ф sin ф \D\
dф-
(25)
2n
8 rr ТГ I f sin6 ф 5 2rr 1 i2rr 1 r2rr 1 i2xr 1 12rr
----VyyU уЛтр\ —i—i— dф +------------------------------------d U +-d U +-d Uyyyy +----d Vxxxy, +----d Vxy
. yy y D x 72 — -- xx"^ yyyy -- ™ -- x
3 yy yt тр D 0
72 xxxx 12
72
18
18
9EN 8i/2d _1/2
Vtt = 2 2
32n2p(1 -v2)
Vyy +1 Vxx + 2Uy + 8{(Uyy + 2Vxy )Vxt - UxxUyt + (2Uxy + Vxx)(Vyt - Uxt) } :
2n
2n
x J cos Dn ф дф + .3 {Vyy (Vyt - Uxt) - Uyt (Uyy + 2 Vxy)} J
4
cos ф sin ф
\d\
dф +
2n
8 cos6 ф 5 2 1 2 1 2 1 2 1 2
+— UYYVYtkтр \ —i—i—dф +--------d Vyyyy +-------------d Vxxyy +-d Vxxxx +--------------d Uxxxy> +---------d U.
3 xx xt тр j d "70 yyyy 1 ^ xxyy - - -
0
72
12
72 xxxx 18
xxxy
18
xyyy
где
D = I(Ux - Vy)sin2ф + -2(Uy - Vx) --2(Uy + Vx)cos2ф.
Если X > 10^, то членами, содержащими четвертую производную, можно пренебречь. Полученная система уравнений дает возможность найти продольную и поперечную скорости звука в такой среде.
3. Свойства сейсмических воли, вытекающие из уравиеиий движеиия
Система уравнений (25), (26), если пренебречь членами, связанными с сухим трением и содержащими четвертые производные, представляет собой хорошо известные уравнения теории упругости со скоростями продольных и поперечных волн, равными соответственно:
Ср = (3/4 гс)(Е^2р(1 - V 2))1/2(8„^ Л (27)
С = Ср/л/3. (28)
Известно, что в реальных сухих песках соотношение (28) не является справедливым. Это объясняется тем, что материалы зерен песков являются диэлектриками и их частицы вследствие трения друг о друга сильно электризуются, что приводит к появлению дополнительных сил электростатической природы. Оставляя за рамками данной статьи задачу учета этих сил, можно сказать, что эти силы существенно уменьшат скорость поперечных волн, а их влияние на скорость продольных волн будет малым. Если же среда будет из стальных шариков (проводников) или статический заряд с поверхностей частиц песка будет удален, тогда соотношение (28) будет вполне адекватным.
Формулу (27) (как и (28)) можно записать в другом виде, выразив смещение 8о через начальную силу под-жатия F0 отдельной частицы или через силу поджатия среды в целом F1, а также выразив плотность зерна материала гранул через плотность среды и пористость
/ (Рсреды = Рзерна (1 - /)):
Ср = (3/4 п)(М(1 - /)/2р)^2 х
(29)
х (Е/ (1 -V 2)й )1/3(3ЕоУ/6 или
Ср = 2112(3/4 п)(N(1 - /)/2р)12 х
х (Е/(1 ^^У16^)16 ^
(в (29) и (30) р — уже плотность среды, а не материала зерна).
Формулы (29), (30) представляют собой достаточно хорошо известный результат для песков (по зависимости продольной скорости звука от силы начального поджатия [8] и от пористости), однако, в дополнение к известному закону Ср = AF^6, получена зависимость скорости и от интегрально-геометрических характеристик среды (среднее число контактов, диаметр зерна), что является с физической точки зрения качествен-
но понятным: чем больше число контактов, тем выше должна быть скорость, а для диаметра — наоборот.
Если среднее число контактов не целое, то представляется обоснованным обобщить данный результат на любое количество N, определяемое при петрофизичес-ких измерениях. Если известен закон распределения зерен по радиусам, можно провести осреднение посредством интегрирования. Обратим внимание на то, что в полученную формулу для определения продольной (и поперечной) скорости звука входит пористость:
Cp~(1 - f )1/2.
Как видно из полученных выражений, модель данной среды описывается одноконстантной теорией упругости (A = ц). (Это (а также (28)) справедливо для всех изотропных зернистых сред, в которых силы взаимодействия направлены по нормалям к поверхностям контактов и зависят только от сближения центров частиц, но не зависят от сдвигов частиц друг относительно друга.) Скорость продольной волны в среде, где зерна взаимодействуют по закону Герца, пропорциональна корню квадратному из среднего числа контактов и обратно пропорциональна корню шестой степени радиуса зерна. Отсюда следует, что при равных упругих модулях материалов зерен скорость будет уменьшаться при возрастании их среднего радиуса.
Посмотрим еще раз на систему уравнений (25), (26) и попытаемся оценить влияние сухого трения на затухание волн. Поскольку система достаточно сложна, рассмотрим влияние сухого трения на затухание плоских продольных (U = U(x), V = 0) и поперечных (V = V(x), U = 0) волн соответственно. В этом случае будет очень простой вид |8Т |:
18Т | = d| Ux 11 sin ф cos ф| для продольных и
18Т | = d | Vx | для поперечных волн соответственно.
Распространение продольной волны будет описываться уравнением:
Utt = Cp2Uxx (1 - 8^sign Uxt/3). (31)
Здесь (31) — уравнение для смещений из положения равновесия. Перейдем к уравнению для деформаций:
Utt = Cp2Uxx (1 - ensign Uj 3). (32)
В уравнении (32) U — деформация, а не смещение.
Вопросы распространения волн, описываемых уравнением типа (32), рассматривались в [6, 7]. Основные свойства этого уравнения в первом приближении определяются несложно. Выяснить, что коэффициент затухания пропорционален первой степени частоты можно разными методами. Самый простой — с помощью фу-рье-анализа. Хотя в существенно нелинейных уравнениях использование этого подхода неправомерно, использовать его в случае ктр << 3/8 (всегда выполняется)
для получения первого приближения вполне допустимо. Понизим порядок (sign Ut = -sign Ux):
Ut + CpUx - 4CpUxk4,signUx/3 = 0. (33)
Ищем решение в виде exp(ikx - iwt), получим дисперсионное соотношение
-iw = -ikCp - 4kCpk^sign(kU)/3. (34)
Соответственно, если U < 0, то сигнал увеличивается, то есть уменьшается по модулю.
Анализ уравнения (32) методом последовательных приближений показывает, что в первом приближении будет происходить только затухание, изменение длины волны (дисперсия) будет происходить во втором приближении. Этот факт говорит о том, что рассуждать о расплывании сигнала в (32), по-видимому, неправомерно (превышение точности).
Несмотря на это, можно сказать, что действие сухого трения на сигнал будет препятствовать образованию ударной волны (модуль деформации убывает). Скорее всего, именно по этой причине ударные волны не распространяются в сухих песчаных средах и трансформируются в непрерывные импульсы сжатия.
Теперь рассмотрим влияние сухого трения на поперечные волны. Уравнение движения будет более сложным, так как в первом приближении поперечная волна будет затухать через излучение продольной волны, то есть распространение поперечной волны будет описываться системой уравнений:
Vt = CpVxx/3, (35)
Utt = kтр Cp2/6VxxsignVxt. (36)
Таким образом, в среднем за период U = 0, однако потери энергии будут ненулевыми, так как | U | за период будет не равным нулю. Если учесть, что энергия продольной волны пропорциональна квадрату продольной скорости звука (то есть излучение продольной волны с амплитудой U равнозначно потере амплитуды поперечной волны на Cp jCs2U), а также то, что продольная волна будет излучаться в двух направлениях, то Vtt эфф = = Vtt - 6Utt, то есть
Vtt = C2Vxx/3 - kтpC2УxxSІgnУxt. (37)
Следовательно, поперечная волна будет затухать примерно в 2 (точнее в 2.25) раза сильнее, чем продольная, однако, если скорости продольных волн будут существенно больше, чем поперечных (из-за действия сил электростатической природы), затухание поперечных волн будет еще более значительным.
Для (25) и (26) затухание будет также пропорционально первой степени частоты, как для продольных, так и для поперечных волн, так как любую плоскую ли-
нейную волну можно разложить на продольную и поперечную.
Закономерность затухания упругих волн в геологических средах по линейному закону известна давно, однако удовлетворительного физического объяснения она так и не получила. В изученной модели независимое от амплитуды затухание пропорционально первой степени частоты, как для продольных, так и для поперечных волн.
4. Эксперимеиты по распределеиию продольиых воли в сыпучих средах
Чтобы проверить правильность наших теоретических предположений о зависимости свойств песчаных сред от их микроструктуры, были проведены эксперименты по определению скоростей распространения продольных волн в песках с разными средними диаметрами зерен, а также был проведен рентгеноструктурный анализ зерен. Было получено удовлетворительное соответствие с теоретическими предсказаниями.
Остановимся подробно на измерении скоростей распространения продольных волн в моноразмерных сыпучих средах.
Для этой цели была разработана экспериментальная установка, принципиальная схема которой приведена на рис. 2.
Внутри стального цилиндра диаметром 71 мм, длиной 870 мм и толщиной стенок 3.5 мм помещается исследуемый сыпучий материал, который с торцов цилиндра зажимается двумя обоймами толщиной 150 мм. Эти обоймы контактируют со стенками цилиндра через резиновые уплотнительные кольца. Вдоль продольной оси цилиндра размещаются восемь одинаковых пьезокерамических датчиков в виде пластинок ЦТС-19 толщиной 0.5 мм и диаметром 10 мм, находящихся в трубке ПХВ через 115 мм друг от друга в трансформаторном масле. ПХВ-трубка закрывается резиновыми пробками, одна из которых содержит выходной разъем из 9 проводников, 8 каналов и один общий. Другая пробка выполнена в виде шарикового клапана, через входное отверстие которого подается трансформаторное масло. Это масло закачивается до момента достижения статического давления внутри трубки на 100 кПа выше атмосферного. Измерительная установка закрепляется посредством сдавливания резиновых проходных конусообразных пробок, расположенных в центрах концевых обойм. К одной из обойм присоединяется импульсный источник, осуществляющий механические удары калиброванной силы через заданные промежутки времени путем периодического удлинения и сжатия пьезокерамического излучателя. Можно отметить, что датчики, помещенные в масле, будут измерять давление в масле, равное рж Сжихж. В свою очередь, и в масле пропорционально V, а V в масле пропорционально и в среде, поэтому
Рис. 2. Схема установки для определения скоростей продольных волн в сыпучих средах: 1 — импульсный источник; 2 — обоймы; 3 — стальной цилиндр; 4 — датчики давления; 5 — сыпучая среда; 6 — осциллограф; 7 — генератор импульсных колебаний; 8 — управляющий модуль; 9 — линии связи; 10 — упор
датчик будет измерять величину, пропорциональную их в среде.
Возбуждение пьезокерамического излучателя осуществлялось прямоугольным импульсом амплитудой до 600 В и частотой следования 20 Гц от специального тиристорного преобразователя, на вход которого управляющий сигнал подается от стандартного генератора синусоидальных или прямоугольных сигналов.
Синхронизация регистрации осуществлялась по положительному или отрицательному фронту прямоугольных импульсов возбуждения, поступающих из управляющего генератора электрических колебаний. Излучатель работал на частоте 20 Гц, в результате чего на экране осциллографа можно было наблюдать неподвижную волновую картину. Пример сейсмограммы приведен на рис. 3. Прямые волны распространяются по несжимаемой жидкости (Рп) и по сыпучей среде (Рш), преломленные — по жесткому корпусу цилиндрического объема (/}).
Схема наблюдения и конструкция установки позволяют представить ситуацию в виде трехслойной сейсмической модели. Верхний и нижний слои моделируют упругие полупространства с однородным строением и известными одинаковыми свойствами (плотностью и скоростью распространения продольных волн). Между ними располагается также однородный и изотропный слой исследуемой породы с известными плотностью и пористостью. В середине этого слоя находится проплас-ток повышенной акустической жесткости с известными параметрами плотности и скорости распространения волн. Ситуация типична для образования волны в канале между двумя жесткими полупространствами с плоским фронтом. При этом изменение динамических параметров волны по пути распространения связано не только с внутренним текстурным строением, но и со степенью внешнего поджатия монокомпонента породы.
Поскольку сыпучая порода находилась внутри стального цилиндра (сжимаемость во много раз больше, чем сжимаемость породы), в этом случае в породе будет распространяться плоская продольная волна со скоростью,
равной + 2ц/р, а не ^Е/р. Дисперсия различных
цилиндрических мод будет при этом отсутствовать.
Вместе с тем конструкция канала и излучателя такова, что не исключает возможности возбуждения и распространения других типов волн, которые для данной схемы являются помехами. К таковым относятся волны по металлу и жидкости, отраженные волны от противоположных концов канала и самого излучателя и кратные высокочастотные волны между пластинами пьезокерамики датчиков. Эти волны-помехи обладают малой амплитудной выразительностью, более высокочастотны и фиксируются независимо от состава наполнителя канала. Избавится от них не удалось, поэтому скоростная характеристика породы определялась по углу наклона годографов, построенных на экспериментальных данных регистрации времени экстремумов первой фазы волновых импульсов каждого канала.
При выделении волн были использованы теоретические годографы для прямых и отраженных продольных волн по металлу, маслу и песку. Для этого бы-
Рис. 3. Пример сейсмограммы
ли приняты следующие значения скоростей волн в средах: металл — 5000 м/с, масло — 1420 м/с, песок — 400 м/с, с учетом времени пробега волны от стенки трубы до регистрирующего канала (песок).
Основными характеристиками волновых импульсов являлись: прямолинейность годографов, существование отраженной волны с тем же годографом и частотные особенности целевой волны. При удалении от источника происходит быстрое возрастание видимого периода колебаний и резкое затухание амплитуд. Так, на первом и восьмом каналах амплитуды различаются в 15-20 раз, а частота в 1.5-2 раза.
Скорости распространения продольных волн были измерены для цемента, четырех фракций песка и гравия. Характерный вид микроструктуры изученных пород представлен на рис. 4.
Зависимость скорости распространения продольных волн от размера частиц приведена на рис. 5. Сопоставляя теоретическую кривую с экспериментальными точками, мы можем увидеть, что отклонение от теоретичес-
0 1 2 3 4 5 6 с1, мм
Рис. 5. Зависимость скорости продольных волн от диаметра частиц для песков. Сплошная линия — теория; точки — эксперимент
кой кривой не превышает погрешностей эксперимента, особенно, если учесть, что по результатам рентгеноструктурного анализа зерна песка разных диаметров, взятые с одного карьера, имели неодинаковые упругие модули, а при теоретических расчетах они считались одинаковыми.
Анализ частотно-амплитудных особенностей волновых импульсов в сыпучих средах показывает, что резкое уменьшение экстремумов амплитуды волн наблюдается только на ближайших к излучателю каналах, а затем переходит в режим затухания, не зависящий от амплитуды. В то же время, увеличение длины волны происходит непрерывно на всем интервале размещения измерительного канала. При этом максимум амплитуды убывает примерно на порядок сильнее, чем растет длина волны.
5. Выводы
Был разработан и теоретически обоснован новый подход к выводу динамических уравнений равновесия микронеоднородной дискретно построенной среды, учитывающий параметры микростуктуры (средний диаметр зерен, среднее число контактов, пористость). Установлена связь между упругими константами среды (Ур, V) и параметрами текстуры. Найдена зависимость скорости распространения упругих волн от диаметра частиц хаотически построенной среды. Предложены механизмы затухания плоских продольных и поперечных волн, распространяющихся в структурированной слабосвязной среде. Установлено, что эти механизмы для продольных и поперечных волн различны. В частности, при распространении плоской поперечной волны происходит переизлучение части энергии в продольные колебания частиц среды. Коэффициент затухания при этом пропорционален первой степени частоты. Теоретически обосновано явление трансформации ударных волн в непрерывные импульсы сжатия в достаточно широком диапазоне деформаций.
Литература
1. Ляхов Г.М. Волны в грунтах и пористых многокомпонентных средах. - М.: Наука, 1982. - 288 с.
2. Далматов Б.И. Механика грунтов, основания и фундаменты. -М.: Стройиздат, 1981. - 319 с.
3. Чернявский В.Е., Жгенти С.А. Изучение верхней части разреза и выбор условий взрывного возбуждения для сейсморазведки высокого разрешения // Разведочная геофизика. - М.: Недра, 1985. -№ 100.
4. Нє^єрєнко B-Ф. Импульсное нагружение гетерогенных материа-
лов. - Новосибирск: Наука, 1992. - 200 с.
5. Duffy J., Mindlin R.D. Stress-strain relations and vibrations of a granular
medium // J. Appl. Mech. - 1957. - V. 24. - P. 5S5-593.
6. Koгaн С.Я. // Известия АН СССР. Физика Земли. - 19бб. - № 11-
12.
7. Knopoff, McDonald J. // J. Geophys. Res. - 19б0. - V. б5. - No. 7.
S. Нєршн C.B., Чудновский A-Ф. Физика почвы. - М.: Наука, 19б7. -
5S3 с.
Seismic wave propagation in sandy sediments
E.B. Sibiryakov, V.A. Kulikov, and G.V. Egorov
Institute of Geophysics, SB RAS, Novosibirsk, 630090, Russia
In the paper consideration was given to wave propagation in dry loose sandy soils. A new method was suggested for deriving equations of wave propagation in such media. The method uses not the conventional equation of state, but takes into account grain interaction. It was shown that in the case of contact grain interaction according to the Hertz law the secondary process of wave propagation is realized in the direction orthogonal to the direction of primary wave propagation (even for one-dimensional propagation of a transverse wave within a channel with rigid walls). This process was described by a system of two related equations.
It was found that certain petrophysical characteristics of sandy materials can be evaluated using seismic data. The dependence of velocities of longitudinal and transverse waves in sandy soils on the medium microstructure parameters was obtained. The velocities of deformation wave propagation were measured in loose sands with different fractional compositions.
The medium constants calculated theoretically and measured experimentally are in a quite satisfactory agreement.
